Теорема Пифагора и начала тригонометрии · урок 8 из 10 · практикум

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R04 · GEOM8-049

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» (10 ч), урок 8/10, единица R04.2 «Определение тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника, тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике». Тип — П (практикум), второй практикум по R04.2 (первый — GEOM8-046: отношения сторон, сторона по углу, значения 30°/45°/60°). Сегодня — продолжение: прямоугольный треугольник «спрятан» в другой фигуре, высота к гипотенузе, обратная задача (найти угол).
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12) — только сводки, без нового материала: сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 определения и соотношения 2,5 · 5 значения для 30°, 45°, 60° 3 · 6 схема решения 2,5 · 10 высота к гипотенузе 2.
Практика (33): 3 разминка 2 · 7 образец «30°» 3 · 8 образец «равнобедренный» 3 · 9 образец «трапеция» 3 · 11 образец «высота к гипотенузе» 3 · 12 образец «найти угол» 2 · 13 задачи из жизни 2 · 14 ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 2,5 · 17 повышенный 2 · 18 ОГЭ 2 · 19 самостоятельная 4 · 20 итог 1.
Если не успеваете: задания «сам» № 3 на сл. 7–9 и сл. 17 (задачи 3–4) — в ДЗ; теоретические сводки не выбрасывать, но сл. 5 можно провести за 2 мин, если класс уверенно помнит таблицу.

R04.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать

прямоугольные треугольники с углами $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ и находить угол по сторонам (ПР-6, REQ-6.6, EL-6.11)

Находить

прямоугольный треугольник в равнобедренном треугольнике, трапеции, параллелограмме (ПР-6)

Применять соотношения

для высоты, проведённой к гипотенузе (ФРП: «выводить тригонометрические соотношения»)

Строить модель

практической задачи и решать задание ОГЭ, линия 15 (REQ-6.10)

1 мин · теория
ПР-6 (ФРП) = REQ-6.6: «Владеть понятиями синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пользоваться этими понятиями для решения практических задач».
REQ-6.10: строить математические модели для задач реальной жизни с применением тригонометрии (калькулятор — где необходимо). EL-6.11: тригонометрические функции углов в 30°, 45° и 60°.
Виды деятельности ФРП: «Исследовать соотношения между сторонами в прямоугольных треугольниках с углами в 45° и 45°; 30° и 60°», «Выводить тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике», «Применять полученные знания и умения при решении практических задач».

повторение: R04.1, R04.2 (GEOM8-043, 046)

Разминка · устно

Синус, косинус, тангенс — в уме

$sin 3 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$
$cos 6 0^{\circ}$ $\frac{1}{2}$
$tg 4 5^{\circ}$ $1$
Гипотенуза $10$ . Катет против угла $3 0^{\circ}$ ? $5$

Катеты $3$ и $4$ . Гипотенуза? $5$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 3 5^{\circ}$ . $∠ B$ ? $5 5^{\circ}$
Гипотенуза $10$ , $cos A = 0, 8$ . Прилежащий катет? $8$
$tg A = 2$ , прилежащий катет $3$ . Противолежащий? $6$

R04.2 · повторение GEOM8-043

Сводка · определения и соотношения

Три отношения — шесть формул

определение	$sin A = \frac{a}{c}$	$cos A = \frac{b}{c}$	$tg A = \frac{a}{b}$
найти катет	$a = c s i n A$	$b = c c o s A$	$a = b tg A$
делением	$c = \frac{a}{sin A}$	$c = \frac{b}{cos A}$	$b = \frac{a}{tg A}$
второй угол	$sin B = cos A$	$cos B = sin A$	$∠ B = 9 0^{\circ} - ∠ A$

Катет всегда меньше гипотенузы:

sin

и

cos

острого угла меньше

1

.

2,5 мин · теория
Сводка определений GEOM8-043 (R04.2). $a = BC$ — катет, противолежащий углу $A$ (розовый), $b = A C$ — прилежащий катет (бирюзовый), $c = A B$ — гипотенуза (фиолетовый). Чертёж в масштабе: катеты 3 и 4, гипотенуза 5.
Строки 2–3 класс выводит сам из определения: умножаем обе части на знаменатель / делим. Вид деятельности ФРП «выводить тригонометрические соотношения».
Строка 4: для угла $B$ катет $b$ — противолежащий, $a$ — прилежащий, поэтому $sin B = \frac{b}{c} = cos A$ .
Вопрос классу: может ли $cos A = 1, 2$ ? (Нет: прилежащий катет больше гипотенузы не бывает.) Это пригодится на сл. 15.

R04.2 · EL-6.11

Сводка · значения для 30°, 45°, 60°

Откуда берутся значения для $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$

	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
sin	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$
cos	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$
tg	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$

3 мин · теория
Фронтально. Слева — половина квадрата (углы 45° и 45°) и половина равностороннего треугольника (углы 30° и 60°) — вид деятельности ФРП «исследовать соотношения между сторонами». Чертёж в масштабе: катет 160, высота 277 ≈ 160 · √3.
Вопросы: почему гипотенуза $2$ ? ( $1^{2} + 1^{2} = 2$ ). Почему высота $3$ ? ( $2^{2} - 1^{2} = 3$ ). Почему против угла 30° катет равен половине гипотенузы? (половина стороны равностороннего треугольника).
Таблицу заполняет класс по чертежу, учитель открывает ячейки. $tg 3 0^{\circ} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ .
Ошибка: $sin 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ . Самопроверка: против меньшего угла — меньший катет, синус меньше.

R04.2

Сводка · схема решения

Как решить прямоугольный треугольник

2,5 мин · теория
Схема — опора на весь урок; можно оставить на доске.
Пример к правой ветке: известна гипотенуза и угол, нужен противолежащий катет — синус: катет $=$ гипотенуза $\cdot sin$ . Известен катет, нужна гипотенуза — делим: гипотенуза $=$ катет $: sin$ .
Самопроверка ответа: катет всегда меньше гипотенузы; против большего угла — больший катет.
Нижняя плашка — главная идея сегодняшних задач (сл. 8–9): в равнобедренном треугольнике, трапеции и параллелограмме прямоугольный треугольник появляется после проведения высоты.

R04.2 · EL-6.11

Образец → сам · угол 30°

Сторона и угол → две стороны и угол

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A B = 12$ . Найдите $BC$ , $A C$ , $∠ B$ .

$BC = A B \cdot sin 3 0^{\circ} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ противолежащий катет; катет против $3 0^{\circ}$ — половина гипотенузы
$A C = A B \cdot cos 3 0^{\circ} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 63$ прилежащий катет
$∠ B = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ сумма острых углов — $9 0^{\circ}$

Сам: $∠ C = 9 0^{\circ}$

база $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $BC = 5$ . Найдите $A B$ и $A C$ .
$A B = 10$ , $A C = 53$
база $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $A C = 7$ . Найдите $BC$ и $A B$ .
$BC = 7$ , $A B = 72$
повыш. $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A C = 12$ . Найдите $BC$ и $A B$ .
$BC = 43$ , $A B = 83$

3 мин · практика
Образец (1 мин, шаги по клику). Перед каждым шагом: «какая сторона известна, какая нужна, какая функция их связывает?» (схема сл. 6). Проверка Пифагором: $6^{2} + (63)^{2} = 36 + 108 = 144 = 1 2^{2}$ ✓. Чертёж в масштабе; $A C \approx 10, 4$ .
Сам (2 мин, в тетрадях; ответы по клику). 1) $BC$ прилежит к $∠ B$ : $A B = \frac{BC}{cos 6 0 ^{\circ}} = 5 : \frac{1}{2} = 10$ ; $A C = A B \cdot sin 6 0^{\circ} = 53 \approx 8, 66$ .
2) Треугольник равнобедренный: $BC = A C \cdot tg 4 5^{\circ} = 7$ ; $A B = \frac{A C}{cos 4 5 ^{\circ}} = 72 \approx 9, 9$ .
3) $BC = A C \cdot tg 3 0^{\circ} = 12 \cdot \frac{3}{3} = 43$ ; $A B = 2 \cdot BC = 83$ (катет против 30°). Проверка: $48 + 144 = 192 = (83)^{2}$ ✓.
Ошибка в 1): $A B = 5 \cdot cos 6 0^{\circ} = 2, 5$ — гипотенуза меньше катета, невозможно.

R04.2

Образец → сам · равнобедренный треугольник

Высота делит его на два прямоугольных

Образец: $A B = BC = 10$ , $cos A = 0, 6$ . Найдите $A C$ и высоту $B H$ .

$B H$ — высота и медиана, $A H = H C$ свойство равнобедренного треугольника
$A H = A B \cdot cos A = 10 \cdot 0, 6 = 6$ , $A C = 2 \cdot A H = 12$ из прямоугольного $△ A B H$
$B H = 1 0^{2} - 6^{2} = 8$ теорема Пифагора

Сам: $A B = BC$ , $B H$ — высота

база $A C = 16$ , $tg A = 0, 75$ . Найдите $B H$ и $A B$ .
$B H = 6$ , $A B = 10$
база $A B = 12$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $B H$ и $A C$ .
$B H = 6$ , $A C = 123$
повыш. $B H = 9$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $A B$ и $A C$ .
$A B = 15$ , $A C = 24$

R04.2 · повторение R01

Образец → сам · трапеция и параллелограмм

Две высоты отсекают два «уголка»

Образец: равнобедренная трапеция, $A D = 14$ , $BC = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ и высоту $B H$ .

$A H = \frac{A D - BC}{2} = \frac{14 - 6}{2} = 4$ высоты отсекают равные прямоугольные треугольники
$A B = \frac{A H}{cos 6 0 ^{\circ}} = 4 : \frac{1}{2} = 8$ , $B H = A H \cdot tg 6 0^{\circ} = 43$ $A H$ — прилежащий катет, $B H$ — противолежащий

Сам: проведите высоту

базаПараллелограмм $A BC D$ : $A B = 8$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите высоту $B H$ . $4$
базаРавнобедренная трапеция: основания $11$ и $5$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите высоту и боковую сторону.
$3$ и $32$
повыш.Прямоугольник: диагональ $A C = 10$ , $sin ∠ C A D = 0, 6$ . Найдите периметр. $28$

R04.2

Сводка · высота к гипотенузе

Высота $C H$ даёт ещё два прямоугольных треугольника

$∠ BC H = 9 0^{\circ} - ∠ B = ∠ A$ острые углы прямоугольных $△ BC H$ и $△ A BC$
$∠ A C H = 9 0^{\circ} - ∠ A = ∠ B$ так же, в $△ A C H$
В $△ A C H$ : $C H = A C sin A$ , $A H = A C cos A$
В $△ BC H$ : $B H = BC sin A$ , $C H = BC cos A$ угол $BC H$ равен $A$ , $B H$ — против него

R04.2

Образец → сам · высота к гипотенузе

Угол $A$ — в каждом из трёх треугольников

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A B = 25$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $B H$ и $C H$ .

$BC = A B \cdot sin A = 25 \cdot 0, 6 = 15$ в $△ A BC$
$B H = BC \cdot sin ∠ BC H = 15 \cdot 0, 6 = 9$ $∠ BC H = ∠ A$ (сл. 10)
$C H = 1 5^{2} - 9^{2} = 12$ теорема Пифагора в $△ BC H$

Сам: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота

база $A C = 20$ , $cos A = 0, 8$ . Найдите $A H$ и $C H$ .
$A H = 16$ , $C H = 12$
база $C H = 6$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ и $A H$ .
$A C = 12$ , $A H = 63$
повыш. $A H = 16$ , $B H = 9$ . Найдите $C H$ , записав $tg A$ двумя способами. $12$

R04.2 · EL-6.11

Образец → сам · обратная задача: найти угол

Известны стороны — узнаём угол по таблице

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 43$ , $BC = 4$ . Найдите углы $A$ и $B$ и сторону $A B$ .

$tg A = \frac{BC}{A C} = \frac{4}{4 3} = \frac{3}{3}$ ⇒ $∠ A = 3 0^{\circ}$ значение тангенса из таблицы (сл. 5)
$∠ B = 6 0^{\circ}$ , $A B = 2 \cdot BC = 8$ катет против $3 0^{\circ}$ — половина гипотенузы

Сам: найдите угол $A$

база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , $BC = 5$ . $3 0^{\circ}$
база $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = BC = 6$ . $4 5^{\circ}$
повыш. $A B = BC = 8$ , $A C = 83$ . Найдите все углы $△ A BC$ .
$3 0^{\circ}$ , $3 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$

R04.2 · REQ-6.10

Задача из жизни · модель — прямоугольный треугольник

Дерево и самолёт

практика

а) Тень дерева 12 м, $tg α = 0, 75$ . Найдите высоту дерева. $9$ м

практика

б) Самолёт пролетел 1,5 км под углом $α$ к земле, $sin α = 0, 2$ . Найдите высоту. $300$ м

R04.2

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Перепутали значения

✗ $sin 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$

✓ $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ — меньший катет

Взяли всё основание

✗ $cos A = \frac{A C}{A B}$

✓ $cos A = \frac{A H}{A B}$ , $A H = \frac{A C}{2}$

Трапеция: забыли «:2»

✗ $A H = A D - BC$

✓ $A H = \frac{A D - BC}{2}$

Не тот угол

✗ $∠ BC H = ∠ B$

✓ $∠ BC H = ∠ A$

R04.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 6$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найти $A B$ .

$A B = A C \cdot cos 3 0^{\circ} = 33$

$A B$ — гипотенуза, она больше $A C$

$A B = \frac{A C}{cos 3 0 ^{\circ}} = 43$

б) Равнобедренная трапеция: $A D = 20$ , $BC = 8$ , $A B = 10$ . Найти $cos A$ .

$A H = 20 - 8 = 12$ , $cos A = \frac{12}{10} = 1, 2$

$cos A < 1$ ! $A H = \frac{20 - 8}{2} = 6$

$cos A = 0, 6$

в) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = 5$ , $A B = 10$ . Найти $∠ A$ .

$sin A = \frac{1}{2}$ ⇒ $∠ A = 6 0^{\circ}$

$\frac{1}{2}$ — это $sin 3 0^{\circ}$

$∠ A = 3 0^{\circ}$

R04.2

Задания с самопроверкой · база

В задачах 1–4 угол $C$ прямой

$A B = 20$ , $sin A = 0, 35$ . Найдите $BC$ . $7$
$A C = 9$ , $tg A = \frac{4}{3}$ . Найдите $BC$ и $A B$ . $12$ ; $15$
$BC = 6$ , $cos B = 0, 3$ . Найдите $A B$ . $20$

$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A C = 5$ . Найдите $A B$ . $10$
Параллелограмм: $A B = 12$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите высоту $B H$ . $62$
$A B = BC = 17$ , $A C = 16$ . Найдите $tg A$ . $1, 875$

R04.2 · REQ-6.10

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Найдите прямоугольный треугольник сами

повыш.Сторона ромба $10$ , острый угол $6 0^{\circ}$ . Найдите его диагонали. $10$ и $103$
повыш.Прямоугольная трапеция $A BC D$ : $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $BC = 5$ , $A D = 11$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $C D$ . $62$
повыш. $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 15$ , $BC = 20$ , $C H$ — высота. Найдите $C H$ и $A H$ . $12$ ; $9$
из жизниЛестница длиной $5$ м приставлена к стене, косинус угла с землёй $0, 28$ . На каком расстоянии от стены её низ и на какой высоте верх? $1, 4$ м; $4, 8$ м

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задачи 3–4 при нехватке времени — в ДЗ. Чертёж строят сами.
1) Диагонали ромба перпендикулярны, делятся пополам и делят углы пополам: в прямоугольном треугольнике гипотенуза $10$ , угол $3 0^{\circ}$ ; половины диагоналей $10 \cdot sin 3 0^{\circ} = 5$ и $10 \cdot cos 3 0^{\circ} = 53$ ⇒ диагонали $10$ и $103 \approx 17, 3$ .
2) Высота $C K$ : $KD = 11 - 5 = 6$ , $C K = KD \cdot tg 4 5^{\circ} = 6$ , $C D = \frac{6}{cos 4 5 ^{\circ}} = 62 \approx 8, 49$ .
3) $A B = 25$ , $sin A = \frac{20}{25} = 0, 8$ , $cos A = 0, 6$ ; $C H = A C sin A = 12$ , $A H = A C cos A = 9$ .
4) Низ: $5 \cdot 0, 28 = 1, 4$ м; верх: $25 - 1, 96 = 4, 8$ м (повторение GEOM8-048).

R04.2 · ОГЭ 15

Формат ОГЭ · линия 15

Ответ — одно число

1. В треугольнике $A BC$ угол $C$ равен $9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $BC = 10$ , $sin A = 0, 4$ . Найдите $B H$ . $4$

Ещё два задания: $∠ C = 9 0^{\circ}$

$A C = 4$ , $cos A = 0, 8$ . Найдите $A B$ . $5$
$BC = 7$ , $tg A = 0, 35$ . Найдите $A C$ . $20$

В бланк — только число: 4, без «

B H =

».

R04.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Во всех задачах, кроме 3, угол $C$ прямой. В задачах 3: $A B = BC$ . В задачах 4: $C H$ — высота.

Вариант 1

$A B = 18$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $9$
$A C = 6$ , $tg A = 1, 5$ . Найдите $BC$ . $9$
$A B = 13$ , $cos A = \frac{5}{13}$ . Найдите $A C$ . $10$
$BC = 15$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $B H$ . $9$

Вариант 2

$A B = 22$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A C$ . $11$
$BC = 8$ , $tg A = 0, 4$ . Найдите $A C$ . $20$
$A B = 25$ , $cos A = 0, 28$ . Найдите $A C$ . $14$
$BC = 20$ , $sin A = 0, 3$ . Найдите $B H$ . $6$

R04.2

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Запомнить

катет $= c sin$ или $c cos$
нет прямого угла — проведите высоту
при высоте к гипотенузе $∠ BC H = ∠ A$

Проверь себя

Я помню $sin$ , $cos$ , $tg$ для $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ .
Нахожу прямоугольный треугольник в трапеции и параллелограмме.
Нахожу угол по двум сторонам.

Дома

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A B = 14$ . Найдите $A C$ и $BC$ .
Равнобедренная трапеция: основания $10$ и $4$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите высоту.
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A C = 10$ , $cos A = 0, 6$ . Найдите $A H$ и $C H$ .
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_sootnosheniya_v_pryamougolnom_treugolnike.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-049 · Практикум: тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии», 10 ч · урок 8/10 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R04.2 «Определение тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника, тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике» → 2–20 (повторение R04.2 GEOM8-043/046 и R04.1 → 3–5; свойства трапеции и параллелограмма R01 → 9)
Результаты	ПР-6 = REQ-6.6 (синус, косинус, тангенс; практические задачи) → 2–19 · EL-6.11 (функции углов 30°, 45°, 60°) → 3, 5, 7, 12 · REQ-6.10 (модели реальных задач) → 13, 17
Виды деятельности	«Исследовать соотношения… 45° и 45°; 30° и 60°» → 5 · «Выводить тригонометрические соотношения» → 4, 10 · «Применять… при решении практических задач» → 13, 17
ОГЭ	линия 15 (треугольники) → 18; линия 17 (четырёхугольники) → 9, 17
Вне урока	основное тригонометрическое тождество и его применение — GEOM8-044, 047, 050; систематизация строки — GEOM8-051
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Сегодня вы научитесь

Решать

Находить

Применять соотношения

Строить модель

Синус, косинус, тангенс — в уме

Три отношения — шесть формул

Откуда берутся значения для 30∘, 45∘, 60∘

Как решить прямоугольный треугольник

Сторона и угол → две стороны и угол

Образец: ∠C=90∘, ∠A=30∘, AB=12. Найдите BC, AC, ∠B.

Сам: ∠C=90∘

Высота делит его на два прямоугольных

Образец: AB=BC=10, cosA=0,6. Найдите AC и высоту BH.

Сам: AB=BC, BH — высота

Две высоты отсекают два «уголка»

Образец: равнобедренная трапеция, AD=14, BC=6, ∠A=60∘. Найдите AB и высоту BH.

Сам: проведите высоту

Высота CH даёт ещё два прямоугольных треугольника

Угол A — в каждом из трёх треугольников

Образец: ∠C=90∘, CH — высота, AB=25, sinA=0,6. Найдите BH и CH.

Сам: ∠C=90∘, CH — высота

Известны стороны — узнаём угол по таблице

Образец: ∠C=90∘, AC=43​, BC=4. Найдите углы A и B и сторону AB.

Сам: найдите угол A

Дерево и самолёт

Так нельзя

Перепутали значения

Взяли всё основание

Трапеция: забыли «:2»

Не тот угол

Где ошибся ученик?

а) ∠C=90∘, AC=6, ∠A=30∘. Найти AB.

б) Равнобедренная трапеция: AD=20, BC=8, AB=10. Найти cosA.

в) ∠C=90∘, BC=5, AB=10. Найти ∠A.

В задачах 1–4 угол C прямой

Найдите прямоугольный треугольник сами

Ответ — одно число

Ещё два задания: ∠C=90∘

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Запомнить

Проверь себя

Дома

GEOM8-049 · Практикум: тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Откуда берутся значения для $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A B = 12$ . Найдите $BC$ , $A C$ , $∠ B$ .

Сам: $∠ C = 9 0^{\circ}$

Образец: $A B = BC = 10$ , $cos A = 0, 6$ . Найдите $A C$ и высоту $B H$ .

Сам: $A B = BC$ , $B H$ — высота

Образец: равнобедренная трапеция, $A D = 14$ , $BC = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ и высоту $B H$ .

Высота $C H$ даёт ещё два прямоугольных треугольника

Угол $A$ — в каждом из трёх треугольников

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A B = 25$ , $sin A = 0, 6$ . Найдите $B H$ и $C H$ .

Сам: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 43$ , $BC = 4$ . Найдите углы $A$ и $B$ и сторону $A B$ .

Сам: найдите угол $A$

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 6$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найти $A B$ .

б) Равнобедренная трапеция: $A D = 20$ , $BC = 8$ , $A B = 10$ . Найти $cos A$ .

в) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = 5$ , $A B = 10$ . Найти $∠ A$ .

В задачах 1–4 угол $C$ прямой

Ещё два задания: $∠ C = 9 0^{\circ}$