Теорема Пифагора · урок 4 из 10 · практикум

Практикум: теорема Пифагора, её применение

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R04 · GEOM8-045

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» (10 ч), урок 4/10, единица R04.1 «Теорема Пифагора, ее применение». Тип урока — П (практикум). Теорему доказывали на GEOM8-042; сегодня — отработка типов задач. На титуле: $9 + 16 = 25$ — квадраты на сторонах треугольника 3, 4, 5.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 теорема 2,5 · 5 алгоритм 2 · 6 сводка «где прямоугольный треугольник» 2,5 · 9 следствия: квадрат и равносторонний треугольник 2,5 · 14 типичные ошибки 1,5. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32): 3 разминка 2,5 · 7 образец «катет» 2,5 · 8 образец «прямоугольник, ромб» 2,5 · 10 образец «равнобедренный треугольник» 2,5 · 11 образец «трапеция» 2,5 · 12 образец «лестница» 2 · 13 образец «клетчатая бумага» 2 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 3 · 17 повышенный 2,5 · 18 ОГЭ 2 · 19 самостоятельная 5 · 20 итог 1.
В «Образец → сам» учитель за 1 мин разбирает образец (шаги по клику), остальное время ученики решают задания справа; ответы открываются по клику.
Если не успеваете: задания 3–4 со сл. 17 и третьи задания «сам» — в ДЗ; теорию не выбрасывать.

R04.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить сторону

гипотенузу по двум катетам и катет по гипотенузе и катету (ПР-5, REQ-6.5)

Видеть прямоугольный △

в прямоугольнике, ромбе, равнобедренном треугольнике и трапеции (REQ-6.5)

Строить модель

практическая задача → чертёж → длина (ПР-5, EL-6.10)

Решать задачи ОГЭ

линия 15 (треугольник) и линия 18 (клетчатая бумага)

повторение: R04.1

Разминка · устно

Найдите x и посчитайте в уме

x = 36 + 64 = 10

x = 169 - 25 = 12

x = 1 + 1 = 2

4)

196

14

5)

0, 6^{2}

0, 36

6)

1 3^{2} - 1 2^{2}

25

Пифагоровы тройки: 3, 4, 5 · 6, 8, 10 · 5, 12, 13 · 8, 15, 17 · 7, 24, 25

повторение: R04.1

Вспомним · теорема Пифагора

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

теорема

c^{2} = a^{2} + b^{2}

ищем гипотенузу

c = a^{2} + b^{2}

ищем катет

a = c^{2} - b^{2}

R04.1

Алгоритм · задача на теорему Пифагора

Четыре шага к ответу

Корень извлекаем в конце:

225 = 15

, ведь

1 5^{2} = 225

.

R04.1

Сводка · где искать прямоугольный треугольник

Фигура → прямоугольный △ → формула

Прямоугольник

d^{2} = a^{2} + b^{2}

Ромб: диагонали ⟂

a^{2} = (\frac{d _{1}}{2})^{2} + (\frac{d _{2}}{2})^{2}

Равнобедренный △

h^{2} = b^{2} - (\frac{a}{2})^{2}

Равнобедренная трапеция

h^{2} = c^{2} - (\frac{a - b}{2})^{2}

Клетчатая бумага

ℓ^{2} = 6^{2} + 3^{2}

Стена и земля

стена ⟂ земле

2,5 мин · теория
Сводка — опора для всех образцов: розовым — гипотенуза, синим и бирюзовым — катеты.
Прямоугольник: все углы прямые, диагональ — гипотенуза. Ромб: диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам — катеты равны половинам диагоналей, гипотенуза — сторона. Равнобедренный треугольник: высота к основанию — медиана, катет — половина основания. Равнобедренная трапеция ( $a$ — большее, $b$ — меньшее основание): отрезок большего основания от вершины до основания высоты равен $\frac{a - b}{2}$ . Клетчатая бумага: катеты идут по линиям сетки, в мини-схеме $ℓ = 36 + 9 = 45 = 35$ . Стена и земля: стена перпендикулярна земле, лестница (трос, диагональ) — гипотенуза.
Вопрос классу: в какой фигуре катет — половина стороны? (равнобедренный треугольник — половина основания; ромб — половины диагоналей).

R04.1 · тип 1

Образец → сам · катет по гипотенузе и катету

В △ABC ∠C = 90°, AB = 17, AC = 8. Найдите BC.

Образец

$A B$ — гипотенузалежит против $∠ C = 9 0^{\circ}$
$B C^{2} = A B^{2} - A C^{2}$ ищем катет — «−»
$B C^{2} = 289 - 64 = 225$
$BC = 225 = 15$ проверка: $15 < 17$ ✓

Сам: прямоугольный треугольник

Катеты $20$ и $21$ . Гипотенуза? $29$
Гипотенуза $26$ , катет $10$ . Другой катет? $24$
Катеты $1$ и $2$ . Гипотенуза? $5$

R04.1 · тип 2

Образец → сам · диагональ прямоугольника, сторона ромба

Прямоугольный треугольник внутри четырёхугольника

Образец: прямоугольник $15 \times 8$ ; ромб с диагоналями $16$ и $12$

△ $A C D$ : $∠ D = 9 0^{\circ}$ угол прямоугольника
$A C = 1 5^{2} + 8^{2} = 17$

$OM = 8$ , $O L = 6$ диагонали ромба ⟂ и делятся пополам
$L M = 8^{2} + 6^{2} = 10$

Сам

Диагональ квадрата со стороной $5$ $52$
Диагональ прямоугольника $25$ , сторона $7$ . Другая сторона? $24$
Сторона ромба $13$ , одна диагональ $10$ . Другая диагональ? $24$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин): где здесь прямой угол? У прямоугольника — угол $D$ ; у ромба диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Ответы: диагональ 17; сторона ромба 10. Чертежи в масштабе.
Сам: 1) $d = 25 + 25 = 50 = 52 \approx 7, 07$ — мостик к сл. 9; 2) $625 - 49 = 576 = 24$ ; 3) половина известной диагонали 5, половина другой $169 - 25 = 12$ , диагональ 24 (обратная задача).
Ошибка в ромбе: брать целые диагонали — $1 6^{2} + 1 2^{2} = 20$ (вдвое больше стороны); в задаче 3 ответить 12 (половину).

R04.1

Следствия · квадрат и равносторонний треугольник

Две формулы, которые получаются из теоремы Пифагора

Диагональ квадрата

$d^{2} = a^{2} + a^{2}$
$d^{2} = 2 a^{2}$
$d = a 2$ треугольник с углами $4 5^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$

Высота равностороннего треугольника

$h^{2} = a^{2} - (\frac{a}{2})^{2}$ высота — медиана
$h^{2} = \frac{3 a ^{2}}{4}$
$h = \frac{a 3}{2}$ углы $3 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$

2,5 мин · теория
Учитель выводит обе формулы у доски. Квадрат: диагональ делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника (углы $4 5^{\circ}$ ), $d = 2 a^{2} = a 2$ . Проверка с прошлого слайда: $a = 5$ , $d = 52$ .
Равносторонний треугольник: высота является медианой, катет $\frac{a}{2}$ , $h = a^{2} - \frac{a ^{2}}{4} = \frac{3 a ^{2}}{4} = \frac{a 3}{2}$ . В половинке — углы $3 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ : катет против $3 0^{\circ}$ равен половине гипотенузы.
Связь с ФРП (вид деятельности строки R04): «Исследовать соотношения между сторонами в прямоугольных треугольниках с углами 45° и 45°; 30° и 60°» — пригодится на уроках о синусе и косинусе.

R04.1 · тип 3

Образец → сам · высота равнобедренного треугольника

AB = BC = 10, AC = 12. Найдите высоту BH и площадь.

Образец

$B H$ — высота и медиана ⇒ $A H = 6$ свойство равнобедренного треугольника
$B H^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 64$ , $B H = 8$ △ $A B H$ : катет по гипотенузе $A B$
$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$

Сам: равнобедренный △

Боковая сторона $13$ , основание $10$ . Высота и площадь? $12; 60$
Боковая сторона $17$ , высота к основанию $15$ . Основание? $16$
Высота равностороннего треугольника со стороной $6$ $33$

R04.1 · тип 3

Образец → сам · высота равнобедренной трапеции

BC = 4, AD = 16, AB = CD = 10. Найдите высоту и площадь.

Образец

$A H = \frac{16 - 4}{2} = 6$ $HK = BC = 4$ , а $A H = KD$
$B H = 1 0^{2} - 6^{2} = 8$ △ $A B H$ , $∠ H = 9 0^{\circ}$
$S = \frac{4 + 16}{2} \cdot 8 = 80$

Сам: трапеция

Равнобедренная: основания $7$ и $17$ , боковая $13$ . Площадь? $144$
Равнобедренная: основания $6$ и $14$ , высота $3$ . Боковая сторона? $5$
Прямоугольная: основания $5$ и $11$ , высота $8$ . Большая боковая сторона? $10$

R04.1 · тип 4

Образец → сам · практическая задача · модель

Лестница 2,5 м приставлена к стене, низ — в 0,7 м от стены. На какой высоте верх?

Образец

Модель: прямоугольный △стена ⟂ земле; лестница — гипотенуза
$h^{2} = 2, 5^{2} - 0, 7^{2}$
$h^{2} = 6, 25 - 0, 49 = 5, 76$
$h = 5, 76 = 2, 4$ мпроверка: $2, 4^{2} = 5, 76$ ✓

Сам: сделайте чертёж

Экран телевизора $48 \times 36$ см. Диагональ? $60$ см
Трос $10$ м натянут от верха мачты высотой $8$ м до земли. В скольких метрах от мачты он закреплён? $6$ м
Участок $40 \times 30$ м. На сколько путь по диагонали короче пути по двум сторонам? $20$ м

R04.1 · тип 4

Образец → сам · отрезок на клетчатой бумаге

Размер клетки 1 × 1. Найдите длину отрезка PQ.

Образец

Достроим прямоугольный △катеты идут по линиям сетки
Считаем клетки: $3$ и $4$
$PQ = 3^{2} + 4^{2} = 5$

Сам: клетка 1 × 1

Длина отрезка $C D$ на рисунке $10$
Отрезок: $5$ клеток вправо, $12$ вверх $13$
Отрезок: $2$ клетки вправо, $2$ вверх $22$

R04.1

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Катет — с «+»

гипотенуза $13$ , катет $5$

✗ $x^{2} = 1 3^{2} + 5^{2}$

катет меньше гипотенузы — вычитаем

✓ $x^{2} = 169 - 25$ , $x = 12$

Корень из суммы

катеты $3$ и $4$

✗ $3^{2} + 4^{2} = 3 + 4 = 7$

корень из суммы ≠ сумме корней

✓ $9 + 16 = 25 = 5$

Целые диагонали

ромб, диагонали $16$ и $12$

✗ $1 6^{2} + 1 2^{2} = 20$

катеты — половины диагоналей

✓ $8^{2} + 6^{2} = 10$

R04.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Равнобедренная трапеция: основания $8$ и $20$ , боковая $10$ . Высота?

$A H = 20 - 8 = 12$ , $h^{2} = 100 - 144$ — задача не решается

$A H = \frac{20 - 8}{2} = 6$

$h = 100 - 36 = 8$

б) Диагонали ромба $10$ и $24$ . Периметр?

$a = 1 0^{2} + 2 4^{2} = 26$ , $P = 104$

$a = 5^{2} + 1 2^{2} = 13$

$P = 4 \cdot 13 = 52$

в) Катеты $0, 6$ и $0, 8$ . Гипотенуза?

$c^{2} = 3, 6 + 6, 4 = 10$ , $c = 10$

$c^{2} = 0, 36 + 0, 64 = 1$

$c = 1$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Забыли разделить разность оснований на 2: $A H = (20 - 8) : 2 = 6$ , $h = 100 - 36 = 8$ . Отрицательное число под корнем — сигнал ошибки.
б) Взяли целые диагонали вместо половин: катеты 5 и 12, сторона 13, $P = 52$ .
в) Неверно возвели в квадрат десятичные дроби: $0, 6^{2} = 0, 36$ , $0, 8^{2} = 0, 64$ , $c = 1$ (тройка 3, 4, 5, уменьшенная в 5 раз). Прикидка: гипотенуза меньше суммы катетов $1, 4$ , а $10 \approx 3, 2$ .

R04.1

Задания с самопроверкой · база

Решите в тетради, затем откройте ответ

Катеты $9$ и $12$ . Найдите гипотенузу. $15$
Гипотенуза $41$ , катет $9$ . Найдите другой катет. $40$
Стороны прямоугольника $20$ и $21$ . Найдите диагональ. $29$

Диагонали ромба $30$ и $16$ . Найдите сторону. $17$
Боковая сторона равнобедренного треугольника $25$ , основание $14$ . Найдите высоту к основанию. $24$
Сторона квадрата $7$ . Найдите диагональ. $72$

R04.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Два шага: сначала теорема Пифагора, потом то, что спрашивают

повыш.Сторона прямоугольника $9$ , диагональ $15$ . Найдите его площадь. $108$
повыш.Основание равнобедренного треугольника $16$ , высота к нему $15$ . Найдите периметр. $50$
повыш.Основания равнобедренной трапеции $10$ и $24$ , боковая сторона $25$ . Найдите площадь. $408$
из жизниТурист прошёл $1, 2$ км на север, затем $0, 5$ км на восток. Сколько километров до точки старта по прямой? $1, 3$ км

R04.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 15

Ответ — одно число

1. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны $16$ и $34$ . Найдите другой катет этого треугольника. $30$

Ответ: ________

Ещё задания линии 15

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $34$ , а основание равно $60$ . Найдите площадь этого треугольника. $480$
Катеты прямоугольного треугольника равны $8$ и $15$ . Найдите гипотенузу. $17$

В бланк — только число: 30, без «

x =

».

R04.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Катеты $8$ и $15$ . Найдите гипотенузу. $17$
Гипотенуза $13$ , катет $12$ . Найдите другой катет. $5$
Диагонали ромба $12$ и $16$ . Найдите периметр ромба. $40$
Равнобедренная трапеция: основания $3$ и $13$ , боковая сторона $13$ . Найдите площадь. $96$

Вариант 2

Катеты $12$ и $16$ . Найдите гипотенузу. $20$
Гипотенуза $17$ , катет $15$ . Найдите другой катет. $8$
Диагонали ромба $10$ и $24$ . Найдите периметр ромба. $52$
Равнобедренная трапеция: основания $5$ и $21$ , боковая сторона $10$ . Найдите площадь. $78$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Запомнить

c = a^{2} + b^{2}

a = c^{2} - b^{2}

d = a 2

,

h = \frac{a 3}{2}

Проверь себя

Где прямоугольный △ в ромбе? в трапеции?
Когда «+», когда «−»?
Как проверить ответ?

Дома

Гипотенуза $10$ , катет $6$ . Найдите другой катет.
Равнобедренная трапеция: основания $6$ и $14$ , боковая $5$ . Найдите площадь.
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_teorema_pifagora.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-045 · Практикум: теорема Пифагора, её применение

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии», 10 ч · урок 4/10 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R04.1 «Теорема Пифагора, ее применение» → 2–20
Результаты	ПР-5 = REQ-6.5 (теорема Пифагора в геометрических и практических задачах, модель, чертёж, длины) → 3–19 · EL-6.10 (применение теоремы Пифагора в практических задачах) → 12, 13, 17 · вид деятельности «использовать ее в практических вычислениях» → 7–19; «исследовать соотношения в треугольниках 45°–45° и 30°–60°» → 9
ОГЭ	линия 15 (треугольники) → 18; линия 18 (клетчатая бумага) → 13; линия 17 (четырёхугольники) → 8, 11
Вне урока	доказательство теоремы — GEOM8-042; тригонометрические функции острого угла (R04.2) — GEOM8-043, 046; основное тригонометрическое тождество (R04.3) — GEOM8-044, 047; обратная теорема Пифагора — не рассматривается
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %) · образцов «Образец → сам» 6
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: теорема Пифагора, её применение

Сегодня вы научитесь

Находить сторону

Видеть прямоугольный △

Строить модель

Решать задачи ОГЭ

Найдите x и посчитайте в уме

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Четыре шага к ответу

Фигура → прямоугольный △ → формула

Прямоугольник

Ромб: диагонали ⟂

Равнобедренный △

Равнобедренная трапеция

Клетчатая бумага

Стена и земля

В △ABC ∠C = 90°, AB = 17, AC = 8. Найдите BC.

Образец

Сам: прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник внутри четырёхугольника

Образец: прямоугольник 15×8; ромб с диагоналями 16 и 12

Сам

Две формулы, которые получаются из теоремы Пифагора

Диагональ квадрата

Высота равностороннего треугольника

AB = BC = 10, AC = 12. Найдите высоту BH и площадь.

Образец

Сам: равнобедренный △

BC = 4, AD = 16, AB = CD = 10. Найдите высоту и площадь.

Образец

Сам: трапеция

Лестница 2,5 м приставлена к стене, низ — в 0,7 м от стены. На какой высоте верх?

Образец

Сам: сделайте чертёж

Размер клетки 1 × 1. Найдите длину отрезка PQ.

Образец

Сам: клетка 1 × 1

Так нельзя

Катет — с «+»

Корень из суммы

Целые диагонали

Где ошибся ученик?

а) Равнобедренная трапеция: основания 8 и 20, боковая 10. Высота?

б) Диагонали ромба 10 и 24. Периметр?

в) Катеты 0,6 и 0,8. Гипотенуза?

Решите в тетради, затем откройте ответ

Два шага: сначала теорема Пифагора, потом то, что спрашивают

Ответ — одно число

Ещё задания линии 15

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Запомнить

Проверь себя

Дома

GEOM8-045 · Практикум: теорема Пифагора, её применение

Образец: прямоугольник $15 \times 8$ ; ромб с диагоналями $16$ и $12$

а) Равнобедренная трапеция: основания $8$ и $20$ , боковая $10$ . Высота?

б) Диагонали ромба $10$ и $24$ . Периметр?

в) Катеты $0, 6$ и $0, 8$ . Гипотенуза?