Теорема Пифагора и начала тригонометрии · урок 1 из 10 · новый материал

Теорема Пифагора, её применение

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R04 · GEOM8-042

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» (10 ч), урок 1/10, единица R04.1 «Теорема Пифагора, её применение». Тип урока — Н (новый материал).
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 5 проблема 1,5 · 6 теорема 1,5 · 7 доказательство 3 · 8 «без слов» 1 · 9 схема 1 · 12 теорема в фигурах 1,5 · 16 история 1. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32,5): 3 разминка 2 · 4 вспомним 1,5 · 10 образец «гипотенуза» 2,5 · 11 образец «катет» 2,5 · 13 образец «в фигурах» 2,5 · 14 образец «практическая задача» 3 · 15 образец «клетчатая бумага» 2,5 · 17 ошибки 1,5 · 18 найди ошибку 2 · 19 база 3 · 20 повышенный 2,5 · 21 ОГЭ 2 · 22 самостоятельная 4 · 23 итог 1.
Если не успеваете: сл. 8 и 16 показать бегло, задания 3–4 на сл. 20 — в ДЗ; теорию не выбрасывать.

R04.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать теорему Пифагора

через площади фигур (ФРП: виды деятельности)

Находить гипотенузу и катет

по двум другим сторонам: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ (ПР-5, REQ-6.5)

Находить длины в фигурах

диагональ прямоугольника, высоту треугольника, сторону ромба, отрезок на клетках (REQ-6.5)

Решать практические задачи

строить модель и чертёж, находить длины (ПР-5, EL-6.10)

1 мин · теория
ПР-5 (ФРП) = REQ-6.5: «Пользоваться теоремой Пифагора для решения геометрических и практических задач. Строить математическую модель в практических задачах, самостоятельно делать чертёж и находить соответствующие длины».
EL-6.10 «Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора при решении практических задач».
Виды деятельности ФРП: «Доказывать теорему Пифагора, использовать её в практических вычислениях», «Знакомиться с историей развития геометрии».

повторение: алгебра 8 (корни), 7 класс

Разминка · устно

Квадраты и корни — в уме

$7^{2}$ $49$
$81$ $9$
$169$ $13$
$1, 2^{2}$ $1, 44$

$9 + 16$ $5$
$25 - 16$ $3$
Сумма острых углов прямоугольного треугольника $9 0^{\circ}$
Против какого угла лежит гипотенуза? прямого

повторение: площади (R03)

Вспомним · что понадобится

Что понадобится для доказательства

а) Назовите стороны

a

,

b

— катеты,

c

— гипотенуза

б) Площадь прямоуг. △

S = \frac{1}{2} ab

в) Площадь квадрата

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

1,5 мин · практика (фронтальный опрос)
По каждой карточке — вопрос, затем открываю ответ.
а) Гипотенуза — сторона против прямого угла, самая длинная. Катеты — стороны, образующие прямой угол.
б) Прямоугольный треугольник — половина прямоугольника $a \times b$ , поэтому $S = \frac{1}{2} ab$ .
в) Квадрат суммы — из алгебры; именно он и площадь прямоугольного треугольника понадобятся в доказательстве.
Ошибка: $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ — забыли удвоенное произведение.

R04.1

Проблема · считаем клетки

Квадраты на сторонах треугольника 3, 4, 5

3^{2} = 9

,

4^{2} = 16

9 + 16 = 25 =

5^{2}

Гипотеза: площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах. Всегда ли?

R04.1

Новый материал · теорема

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c^{2}

=

a^{2}

+

b^{2}

△ A BC

,

∠ C = 9 0^{\circ}

:

A B^{2} = B C^{2} + A C^{2}

R04.1

Доказательство · через площади

Достроим до квадрата со стороной $a + b$

4 равных прямоугольных △ с катетами $a$ , $b$ равны по двум катетам
Внутри — квадрат со стороной $c$ угол: $18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ (сумма острых углов △ равна $9 0^{\circ}$ )
$(a + b)^{2} = 4 \cdot \frac{1}{2} ab + c^{2}$ площадь квадрата = сумма площадей частей
$a^{2} + 2 ab + b^{2} = 2 ab + c^{2}$
$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ∎

R04.1

Доказательство «без слов»

Те же 4 треугольника — по-другому

=

Квадраты равны, треугольники одинаковые ⇒ без них остаётся поровну:

c^{2}

=

a^{2}

+

b^{2}

R04.1

Схема · что ищем

Гипотенуза или катет?

Ищем гипотенузу — складываем

c

= a^{2} + b^{2}

Ищем катет — вычитаем

a

= c^{2} - b^{2}

Проверка: гипотенуза — самая длинная сторона:

c > a

,

c > b

.

R04.1

Образец → сам · гипотенуза

Даны два катета — складываем квадраты

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = 6$ , $A C = 8$ . Найдите $A B$ .

$A B$ — гипотенузалежит против прямого угла $C$
$A B^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ теорема Пифагора
$A B = 100 = 10$ длина положительна; проверка: $10 > 8$

Сам: найдите гипотенузу по катетам

$9$ и $40$ $41$
$1, 5$ и $2$ $2, 5$
$1$ и $1$ $2$

R04.1

Образец → сам · катет

Даны гипотенуза и катет — вычитаем

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 13$ , $BC = 5$ . Найдите $A C$ .

$A C$ — катет, $A B$ — гипотенуза $A B$ лежит против $∠ C = 9 0^{\circ}$
$A C^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144$ $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ ⇒ $A C^{2} = A B^{2} - B C^{2}$
$A C = 144 = 12$ проверка: $12 < 13$

Сам: гипотенуза $c$ , катет $a$ . Найдите $b$ .

$c = 10$ , $a = 6$ $8$
$c = 29$ , $a = 21$ $20$
$c = 3$ , $a = 1$ $22$

R04.1

Применение · найди прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора в фигурах

Диагональ прямоугольника

A C = 1 2^{2} + 5^{2} = 13

Высота равнобедренного △

B H = 1 0^{2} - 6^{2} = 8

Сторона ромба

4^{2} + 3^{2} = 5

Высота делит основание равнобедренного △ пополам; диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.

R04.1

Образец → сам · в фигурах

Сначала найди прямоугольный треугольник

Образец: $A B = BC = 13$ , $A C = 10$ . Найдите высоту $B H$ .

$A H = H C = 10 : 2 = 5$ в равнобедренном △ высота к основанию — медиана
$△ A B H$ — прямоугольный, $A B$ — гипотенуза $B H ⊥ A C$
$B H^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 144$ , $B H = 12$ теорема Пифагора: ищем катет

Сам

Равнобедренный △: боковая сторона $25$ , основание $14$ . Высота к основанию? $24$
Диагонали ромба $16$ и $30$ . Сторона? $17$
Равносторонний △ со стороной $2$ . Высота? $3$

R04.1

Образец → сам · задача из жизни

Модель: где прямой угол, что гипотенуза?

Образец: лестница длиной 5 м, низ — в 1,4 м от стены. На какой высоте верх?

Стена ⟂ земле ⇒ прямоугольный △; лестница — гипотенузамодель: лежит против прямого угла
$x^{2} = 5^{2} - 1, 4^{2} = 25 - 1, 96 = 23, 04$ ищем катет — вычитаем
$x = 23, 04 = 4, 8$ м $4 8^{2} = 2304$

Сам: сделайте чертёж

Газон $80 \times 60$ м. На сколько путь по диагонали короче, чем по краям? на $40$ м
Экран $48 \times 36$ см. Его диагональ? $60$ см
Трос от верха мачты высотой $12$ м закреплён в $5$ м от её основания. Длина троса? $13$ м

R04.1 · ОГЭ 18

Образец → сам · клетчатая бумага

Длина отрезка на клетках (клетка 1 × 1)

Образец: найдите длину отрезка $A B$ .

Достроим прямоугольный △ по линиям сеткилинии сетки перпендикулярны
Катеты: $3$ и $4$ клеткисчитаем клетки
$A B = 9 + 16 = 5$ теорема Пифагора

Сам: по тому же рисунку

Длина $C D$ $10$
Длина $EF$ $10$
Постройте отрезок длиной $5$ , не идущий по линиям сетки катеты $3$ и $4$

R04.1 · история

Дополнительно · из истории геометрии

Египетский треугольник

Верёвка с 12 узлами: натянули треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — получили прямой угол.

$a$	$b$	$c$	$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
3	4	5	$9 + 16 = 25$
5	12	13	$25 + 144 = 169$
8	15	17	$64 + 225 = 289$

R04.1

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Сложили стороны

✗ $c = 6 + 8 = 14$

Складываются квадраты, а не стороны.

✓ $c = 36 + 64 = 10$

Катет: сложили вместо вычитания

✗ $b^{2} = 1 3^{2} + 5^{2} = 194$

Катет короче гипотенузы — её квадрат уменьшаем.

✓ $b^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 144$ , $b = 12$

Забыли извлечь корень

✗ $c^{2} = 100 \Rightarrow c = 100$

$100$ — это площадь квадрата, а не сторона.

✓ $c = 100 = 10$

R04.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , $BC = 6$ . Найти $A C$ .

Решение: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 100 + 36 = 136$ , $A C = 136$

$A B$ — гипотенуза (против $∠ C$ ), $A C$ — катет

$A C^{2} = 100 - 36 = 64$ , $A C = 8$

б) Диагонали ромба $6$ и $8$ . Найти сторону.

Решение: $a = 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10$

Катеты — половины диагоналей: $3$ и $4$

$a = 9 + 16 = 5$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Перепутали гипотенузу: против прямого угла $C$ лежит $A B$ , значит $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ , $A C^{2} = 100 - 36 = 64$ , $A C = 8$ . Сигнал ошибки: «катет» $136 \approx 11, 7$ больше гипотенузы 10.
б) Прямоугольный треугольник образуют сторона и половины диагоналей (диагонали ромба делятся пополам и перпендикулярны): $3^{2} + 4^{2} = 5$ . Проверка: сторона 10 больше суммы половин $3 + 4 = 7$ — так не бывает.

R04.1

Задания с самопроверкой · база

Найдите $x$

база

1) Катеты $9$ и $12$ . $15$

база

2) Гипотенуза $17$ , катет $8$ . $15$

база

3) Прямоугольник $24 \times 7$ , $x$ — диагональ. $25$

база

4) Квадрат со стороной $4$ , $x$ — диагональ. $42$

R04.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Диагональ прямоугольника $26$ , одна сторона $10$ . Найдите периметр. $68$
повыш.Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна $12$ , основание $10$ . Найдите периметр. $36$
повыш.Прямоугольная трапеция: основания $7$ и $15$ , большая боковая сторона $10$ . Найдите высоту. $6$
из жизниКатеты прямоугольного треугольника относятся как $3 : 4$ , гипотенуза $25$ см. Найдите катеты. $15$ и $20$ см

R04.1 · ОГЭ 15

Формат ОГЭ · линия 15

Ответ — одно число

15 В треугольнике $A BC$ стороны $A B = BC = 17$ , $A C = 16$ . Найдите высоту $B H$ . $15$

Ещё в том же формате

Катет прямоугольного треугольника $20$ , гипотенуза $25$ . Найдите другой катет. $15$
Сторона ромба $13$ , одна из диагоналей $10$ . Найдите другую диагональ. $24$

В бланк — только число: 15, без «

B H =

».

R04.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Катеты $8$ и $15$ . Найдите гипотенузу. $17$
Гипотенуза $26$ , катет $10$ . Найдите другой катет. $24$
Стороны прямоугольника $9$ и $12$ . Найдите диагональ. $15$
Диагонали ромба $12$ и $16$ . Найдите сторону. $10$

Вариант 2

Катеты $20$ и $21$ . Найдите гипотенузу. $29$
Гипотенуза $41$ , катет $9$ . Найдите другой катет. $40$
Стороны прямоугольника $16$ и $30$ . Найдите диагональ. $34$
Диагонали ромба $10$ и $24$ . Найдите сторону. $13$

R04.1

Итог урока

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Сформулируйте теорему Пифагора.
Когда складываем квадраты, а когда вычитаем?
Где в ромбе прямоугольный треугольник?

Дома

Катеты 5 и 12. Найдите гипотенузу.
Гипотенуза 25, катет 7. Найдите второй катет.
Диагонали ромба 18 и 24. Найдите сторону ромба.
Выучить доказательство (сл. 7).
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_teorema_pifagora.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-042 · Теорема Пифагора, её применение

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R04 «Теорема Пифагора и начала тригонометрии», 10 ч · урок 1/10 · тип Н
Единицы → слайды	R04.1 «Теорема Пифагора, её применение» → 2, 5–23 (повторение: корни — 3, площади R03 — 4)
Результаты	ПР-5 = REQ-6.5 (теорема Пифагора в геометрических и практических задачах, модель и чертёж) → 2, 9–15, 17–23 · EL-6.10 → 6–15, 21 · вид деятельности «доказывать теорему Пифагора» → 5, 7, 8; «история развития геометрии» → 16
ОГЭ	линия 15 (треугольник) → 21; линия 17 (ромб) → 21; линия 18 (клетчатая бумага) → 15
Вне урока	обратная теорема Пифагора — только упоминание (сл. 16, «Дополнительно»); синус, косинус, тангенс — GEOM8-043; основное тригонометрическое тождество — GEOM8-044; треугольники с углами 45°, 30° и 60° — далее в строке R04
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Теорема Пифагора, её применение

Сегодня вы научитесь

Доказывать теорему Пифагора

Находить гипотенузу и катет

Находить длины в фигурах

Решать практические задачи

Квадраты и корни — в уме

Что понадобится для доказательства

а) Назовите стороны

б) Площадь прямоуг. △

в) Площадь квадрата

Квадраты на сторонах треугольника 3, 4, 5

Теорема Пифагора

Достроим до квадрата со стороной a+b

Те же 4 треугольника — по-другому

Гипотенуза или катет?

Ищем гипотенузу — складываем

Ищем катет — вычитаем

Даны два катета — складываем квадраты

Образец: ∠C=90∘, BC=6, AC=8. Найдите AB.

Сам: найдите гипотенузу по катетам

Даны гипотенуза и катет — вычитаем

Образец: ∠C=90∘, AB=13, BC=5. Найдите AC.

Сам: гипотенуза c, катет a. Найдите b.

Теорема Пифагора в фигурах

Диагональ прямоугольника

Высота равнобедренного △

Сторона ромба

Сначала найди прямоугольный треугольник

Образец: AB=BC=13, AC=10. Найдите высоту BH.

Сам

Модель: где прямой угол, что гипотенуза?

Образец: лестница длиной 5 м, низ — в 1,4 м от стены. На какой высоте верх?

Сам: сделайте чертёж

Длина отрезка на клетках (клетка 1 × 1)

Образец: найдите длину отрезка AB.

Сам: по тому же рисунку

Египетский треугольник

Так нельзя

Сложили стороны

Катет: сложили вместо вычитания

Забыли извлечь корень

Где ошибся ученик?

а) ∠C=90∘, AB=10, BC=6. Найти AC.

б) Диагонали ромба 6 и 8. Найти сторону.

Найдите x

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Ещё в том же формате

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Дома

GEOM8-042 · Теорема Пифагора, её применение

Достроим до квадрата со стороной $a + b$

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $BC = 6$ , $A C = 8$ . Найдите $A B$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 13$ , $BC = 5$ . Найдите $A C$ .

Сам: гипотенуза $c$ , катет $a$ . Найдите $b$ .

Образец: $A B = BC = 13$ , $A C = 10$ . Найдите высоту $B H$ .

Образец: найдите длину отрезка $A B$ .

а) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 10$ , $BC = 6$ . Найти $A C$ .

б) Диагонали ромба $6$ и $8$ . Найти сторону.

Найдите $x$