Площадь · практикум · урок 13 из 14

Практикум: задачи с практическим содержанием

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM8-040

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур» (14 ч), урок 13/14, единица R03.6 «Задачи с практическим содержанием». Тип урока — П (практикум). Новый материал по этой единице был на GEOM8-033; сегодня — отработка типов задач.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 формулы площадей 2 · 5 свойства площади 2 · 6 единицы площади 2 · 7 алгоритм 2,5 · 13 сводка типов задач 2.
Практика (32,5): 3 разминка 2,5 · 8 образец «плитка» 3 · 9 образец «покраска» 3 · 10 образец «участок» 2,5 · 11 образец «фасад» 2,5 · 12 образец «план» 2,5 · 14 ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 3 · 17 повышенный 3 · 18 ОГЭ 2 · 19 самостоятельная 4 · 20 итог 1.
Калькулятор разрешён (ПР-7: «пользуясь, где необходимо, калькулятором»), но устный счёт на образцах — желателен.
Если времени мало: на сл. 12 (план) — только способ 2; задания 3–4 сл. 17 перенести в ДЗ. Теорию не выбрасывать.

R03.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить модель

условие → чертёж с размерами → фигура и формула (ПР-10, REQ-6.10)

Вычислять площади

пола, стены, участка, фасада — разбиением на части (ПР-7, REQ-6.7)

Переводить единицы

м², дм², см², ары (сотки), гектары (ПР-7)

Давать ответ по смыслу

округлять число банок и плиток; план через $k^{2}$ ; ОГЭ, линия 17 (EL-6.8)

1 мин · теория
ПР-7 = REQ-6.7: «Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором). Применять полученные умения в практических задачах».
ПР-10 = REQ-6.10: «Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления…». EL-6.8: «Отношение площадей подобных фигур» (план и масштаб).
Вид деятельности ФРП: «Решать задачи на площадь с практическим содержанием».

повторение: R03.2, R03.5

Разминка · устно

Посчитайте в уме

$0, 3 \cdot 0, 3$ $0, 09$
$7, 2 : 0, 09$ $80$
$50$ см — сколько метров? $0, 5$ м
Прямоугольник $4 м \times 2, 5 м$ : площадь $10 м^{2}$

Треугольник: $a = 6$ , $h = 4$ . $S = ?$ $12$
$3 м^{2}$ — сколько $дм^{2}$ ? $300$
Нужно $2, 1$ банки краски. Сколько купить? $3$
$k = 3$ . Во сколько раз больше площадь? в $9$

повторение: R03.2

Вспомним · формулы площадей

Четыре формулы, которые нужны сегодня

S = ab

S = \frac{1}{2} ah

S = ah

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

повторение: R03.1, R03.5

Сводка · свойства площади

На чём держится каждое решение

Разбиение: площадь фигуры равна сумме площадей её частей.

S = S_{1} + S_{2}

Вычитание: часть, которую не покрывают, вычитают из целого.

S = S_{стены} - S_{окна}

Подобие: длины в $k$ раз больше — площадь в $k^{2}$ раз.

S_{2} = k^{2} \cdot S_{1}

повторение: единицы площади

Вспомним · единицы площади

Квадрат $1 м \times 1 м$ — это 100 квадратов по $1 дм^{2}$

1 м^{2} = 100 дм^{2} = 10000 см^{2}

1 а = 100 м^{2}

(сотка)

1 га = 10000 м^{2}

Устно:

2, 5 м^{2} = ? см^{2}

·

1200 м^{2} = ?

соток

R03.6

Алгоритм · практическая задача на площадь

От условия к ответу — пять шагов

Плитки, банки, рулоны, упаковки — округляем вверх:

3, 3

банки →

4

банки.

R03.6 · тип 1

Образец → сам · покрытие плиткой

Сколько плиток 30 × 30 см нужно на пол 3 м × 2,4 м?

Образец: пол $3 \times 2, 4$ м, плитка $30 \times 30$ см

$S_{пола} = 3 \cdot 2, 4 = 7, 2 м^{2}$ пол — прямоугольник
$S_{пл} = 0, 3 \cdot 0, 3 = 0, 09 м^{2}$ 30 см = 0,3 м — одни единицы
$7, 2 : 0, 09 = 80$ плитокпроверка по рисунку: $10 \cdot 8 = 80$
С запасом 10 %: $88$ $80 + 8$ — на подрезку и бой

Сам: сколько плиток?

Пол $3, 6 м \times 2, 4 м$ , плитка $40 \times 40$ см $54$
Стена $2, 5 м \times 2 м$ , плитка $25 \times 20$ см $100$
Пол $25 м^{2}$ , плитка $50 \times 50$ см, запас 10 % $110$

3 мин · практика
Образец (1,5 мин, шаги по клику): перед шагом 3 спросить: можно ли посчитать без площадей? (вдоль 3 м помещается $300 : 30 = 10$ плиток, вдоль 2,4 м — $240 : 30 = 8$ ; всего 80). Два способа дают одно число — это проверка. Ответ: 80 плиток (без запаса), 88 — с запасом 10 %. В задачах ОГЭ запас указывают явно; если не указан — не добавлять. Чертёж в масштабе: 1 плитка = 48 px.
Сам (1,5 мин): 1) $3, 6 \cdot 2, 4 = 8, 64$ ; $0, 4 \cdot 0, 4 = 0, 16$ ; $8, 64 : 0, 16 = 54$ (проверка $9 \cdot 6$ ). 2) $5 : (0, 25 \cdot 0, 2) = 5 : 0, 05 = 100$ (проверка $10 \cdot 10$ ). 3) $25 : 0, 25 = 100$ , с запасом $100 + 10 = 110$ .
Ошибка: $7, 2 : 900 = 0, 008$ — делят м² на см². Ещё одна: $S_{пл} = 0, 3 \cdot 0, 3 = 0, 9$ (неверно поставлена запятая).

R03.6 · тип 2

Образец → сам · покраска · вычитаем лишнее

Стену красят в 2 слоя, банки хватает на 6 м². Сколько банок?

Образец: стена $5 \times 2, 7$ м, окно $1, 5 \times 1, 2$ м, дверь $0, 9 \times 2$ м

$S_{стены} = 5 \cdot 2, 7 = 13, 5 м^{2}$
$S_{окна} + S_{двери} = 1, 8 + 1, 8 = 3, 6$ окно и дверь не красят
$13, 5 - 3, 6 = 9, 9$ ; 2 слоя: $19, 8 м^{2}$
$19, 8 : 6 = 3, 3$ → 4 банки3 банок не хватит — округляем вверх

Сам: сколько банок?

Стена $4 \times 2, 5$ м, окно $1, 5 \times 1$ м, 1 слой, банка на $5 м^{2}$ $2$
Забор: длина $20$ м, высота $1, 5$ м, красят с двух сторон, банка на $8 м^{2}$ $8$
Потолок $5 \times 4$ м, 2 слоя, банка на $12 м^{2}$ $4$

R03.6 · тип 3

Образец → сам · участок · сотки и расход

Газон на участке-трапеции. 1 кг семян — на 40 м². Сколько семян?

Образец: прямоугольная трапеция, основания $30$ и $50$ м, высота $20$ м

$S = \frac{30 + 50}{2} \cdot 20 = 800 м^{2}$ площадь трапеции
Проверка: $600 + 200 = 800$ прямоугольник + треугольник
$800 м^{2} = 8$ соток $1 а = 100 м^{2}$
$800 : 40 = 20$ кг семян

Сам: площадь участка

Участок $50 м \times 30 м$ . Сколько соток? $15$ соток
Поле — трапеция: основания $300$ и $500$ м, высота $200$ м. Сколько гектаров? $8$ га
Газон — треугольник: основание $16$ м, высота $10$ м; 1 кг семян на $40 м^{2}$ $2$ кг

R03.6 · тип 4

Образец → сам · фасад · разбиение на части

Торец дома обшивают сайдингом, панель — 0,6 м². Сколько панелей?

Образец: стена $6 \times 3$ м, фронтон высотой $2$ м, окно $1, 2 \times 1$ м

$S_{прям} = 6 \cdot 3 = 18 м^{2}$
$S_{△} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6 м^{2}$ основание 6 м, высота 2 м
$18 + 6 - 1, 2 = 22, 8 м^{2}$ окно $1, 2 \cdot 1$ не обшивают
$22, 8 : 0, 6 = 38$ панелей

Сам: найдите площадь

Торец сарая: прямоугольник $4 \times 2, 5$ м и треугольник высотой $1, 5$ м сверху $13 м^{2}$
Фронтон — треугольник: основание $8$ м, высота $3$ м, окно $1 \times 1$ м $11 м^{2}$
Пол — прямоугольник $6 \times 4$ м без угла $2 \times 2$ м $20 м^{2}$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин): пятиугольник = прямоугольник + треугольник (свойство: площадь фигуры равна сумме площадей частей). Окно $1, 2 \times 1$ м вычитаем. Ответ: 38 панелей (делится нацело — округлять не нужно). Вопрос: а если панель 0,5 м²? ( $22, 8 : 0, 5 = 45, 6$ → 46 панелей). Чертёж в масштабе 70 px = 1 м.
Сам (1,5 мин): 1) $4 \cdot 2, 5 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1, 5 = 10 + 3 = 13$ . 2) $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 - 1 = 12 - 1 = 11$ . 3) $6 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 24 - 4 = 20$ (или разбиением: $6 \cdot 2 + 4 \cdot 2 = 20$ ).
Ошибка: высота треугольника — «5 м» (взяли от земли до конька). Высота треугольника фронтона — от линии стены до конька: $5 - 3 = 2$ м.

R03.6 · R03.5 · тип 5

Образец → сам · план квартиры · масштаб

На плане 1 : 200 комната 3 см × 2,5 см. Найдите её площадь.

Образец: масштаб $1 : 200$ , на плане $3 \times 2, 5$ см

Способ 1 · длины

$3 \cdot 200 = 600$ см $= 6$ м; $2, 5 \cdot 200 = 5$ м
$S = 6 \cdot 5 = 30 м^{2}$

Способ 2 · площади подобных фигур

$7, 5 \cdot 20 0^{2} = 300000 см^{2} = 30 м^{2}$ $S = S_{пл} \cdot k^{2}$

Сам: площадь по плану

$1 : 100$ , кухня на плане $3 \times 4$ см $12 м^{2}$
$1 : 50$ , на плане $20 см^{2}$ $5 м^{2}$
$1 : 1000$ , участок на плане $6 см^{2}$ . Сколько соток? $6$ соток

R03.6

Сводка · пять типов задач

Тип задачи → модель → ответ

Задача	Модель	Действие	Ответ
Плитка, ламинат	прямоугольник	$S_{пола} : S_{плитки}$	штуки — вверх
Покраска, обои	прямоугольник минус проёмы	$\times$ число слоёв, $:$ расход	банки — вверх
Участок	трапеция, треугольник	$м^{2}$ → сотки, гектары	площадь не округляем
Фасад	прямоугольник + треугольник	сумма частей минус окна	$м^{2}$ или штуки
План	подобная фигура	$S = S_{пл} \cdot k^{2}$	$см^{2}$ → $м^{2}$

R03.6

Осторожно · типичные ошибки

Где здесь ошибка?

Перевод единиц

✗ $1 м^{2} = 100 см^{2}$

✓ $100 \cdot 100 = 10000 см^{2}$

Округление

нужно $3, 3$ банки

✗ купить 3 банки

✓ купить 4 банки

Разные единицы

✗ $3 м \cdot 40 см = 120$

✓ $3 \cdot 0, 4 = 1, 2 м^{2}$

R03.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Стена $6 \times 2, 5$ м, окно $2 \times 1, 5$ м, 2 слоя, банка на $8 м^{2}$

$15 - 3 = 12$ ; $12 : 8 = 1, 5$ → 2 банки

Забыл второй слой: $24 м^{2}$

$24 : 8 = 3$ банки

б) План $1 : 200$ , комната на плане $4 см^{2}$ . Площадь комнаты?

$4 \cdot 200 = 800 см^{2} = 0, 08 м^{2}$

Площадь — в $k^{2}$ раз: $4 \cdot 40000$

$160000 см^{2} = 16 м^{2}$

в) Пол $2, 4 \times 1, 8$ м, плитка $20 \times 20$ см

$4, 32 : (20 \cdot 20) = 0, 0108$ плитки

Плитка: $0, 2 \cdot 0, 2 = 0, 04 м^{2}$

$4, 32 : 0, 04 = 108$ плиток

R03.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

базаПол $4, 2 м \times 3, 5 м$ покрывают ламинатом, в упаковке $2 м^{2}$ . Сколько упаковок купить? $8$
базаУчасток — прямоугольник $25 м \times 40 м$ . Сколько это соток? $10$
базаКлумба — трапеция с основаниями $3$ м и $5$ м, высота $2$ м. На $1 м^{2}$ — 9 тюльпанов. Сколько луковиц? $72$

базаКомната $5 \times 4$ м, высота $2, 5$ м. Площадь всех стен (без проёмов)? $45 м^{2}$
базаУчасток — треугольник с основанием $60$ м и высотой $30$ м. Сколько соток? $9$
база $1, 2$ га — сколько $м^{2}$ ? $12000$

R03.6 · R03.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стена $4 \times 2, 5$ м с окном $1, 4 \times 1, 5$ м. Рулон обоев $0, 53 \times 10$ м. Сколько рулонов (без подгонки рисунка)? $2$
повыш.На плане $1 : 100$ участок — трапеция с основаниями $6$ и $10$ см и высотой $5$ см. Площадь участка в $м^{2}$ ? $40$
из жизниУчасток $20 \times 15$ м, на нём дом $8 \times 6$ м, остальное — газон. Семена в пачках по 1 кг, 1 кг — на $40 м^{2}$ . Сколько пачек? $7$
повыш.На плане $1 : 100$ квадратная комната занимает $16 см^{2}$ . Найдите длину её стены. $4$ м

3 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) $10 - 2, 1 = 7, 9 м^{2}$ , рулон $5, 3 м^{2}$ , $7, 9 : 5, 3 \approx 1, 49$ → 2 рулона. Ошибка: не вычли окно ( $10 : 5, 3 \approx 1, 9$ — тоже 2, но рассуждение неверное).
2) $S_{пл} = \frac{6 + 10}{2} \cdot 5 = 40 см^{2}$ , $40 \cdot 10000 = 400000 см^{2}$ = 40 м² (проверка: 6 м, 10 м, 5 м ⇒ 40 м²). Ошибка: $40 \cdot 100 = 4000$ — умножили на $k$ , а не на $k^{2}$ .
3) $300 - 48 = 252 м^{2}$ ; $252 : 40 = 6, 3$ → 7 пачек.
4) Сторона на плане $4$ см (так как $4 \cdot 4 = 16$ ); $4 \cdot 100 = 400$ см = 4 м. Или: $16 \cdot 10000 = 160000 см^{2} = 16 м^{2}$ , сторона 4 м.

R03.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 17

Задание 17 · четырёхугольники

1. Основания трапеции равны $6$ и $14$ , а её площадь равна $100$ . Найдите высоту трапеции. $10$

Тот же тип: формула площади

Основания трапеции $5$ и $11$ , высота $4$ . Найдите площадь. $32$
Площадь параллелограмма $48$ , сторона $8$ . Найдите высоту, проведённую к ней. $6$

В бланк — только число: 10, без «

h =

».

R03.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Пол $3 \times 2, 4$ м, плитка $20 \times 20$ см. Сколько плиток? $180$
Стена $5 \times 2, 6$ м, дверь $0, 8 \times 2$ м, 1 слой, банка на $5 м^{2}$ . Сколько банок? $3$
План $1 : 100$ , комната $4 \times 3, 5$ см. Площадь комнаты? $14 м^{2}$

Вариант 2

Пол $3, 6 \times 2, 4$ м, плитка $30 \times 30$ см. Сколько плиток? $96$
Стена $4 \times 2, 5$ м, окно $1, 2 \times 1, 5$ м, 1 слой, банка на $4 м^{2}$ . Сколько банок? $3$
План $1 : 200$ , комната $3 \times 2$ см. Площадь комнаты? $24 м^{2}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Сколько см² в 1 м²? Сколько м² в сотке?
Когда число штук округляют вверх?
Как найти площадь фасада с треугольной крышей?

Домашнее задание

Сколько плиток 20 × 20 см нужно на стену 2 м × 1,6 м?
Участок — трапеция с основаниями 40 м и 60 м и высотой 30 м. Сколько это соток?
Тренажёр «Площади параллелограмма, треугольника, трапеции»:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchadi_parallelogramma_treugolnika_trapecii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-040 · Практикум: задачи с практическим содержанием

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур», 14 ч · урок 13/14 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R03.6 «Задачи с практическим содержанием» → 2, 7–17, 19–20; повторение R03.1 (свойства площади) → 5; R03.2 (формулы площадей) → 3–4, 18; единицы площади → 6; R03.5 (площади подобных фигур, план) → 5, 12, 15, 17
Результаты	ПР-7 = REQ-6.7 (площади многоугольных фигур, практические задачи, калькулятор) → 3–4, 8–19 · ПР-10 = REQ-6.10 (математические модели задач реальной жизни) → 7–13, 16–17, 19 · EL-6.7 → 4, 18 · EL-6.8 → 5, 11–12 · вид деятельности «Решать задачи на площадь с практическим содержанием» → 7–19
ОГЭ	линия 17 (четырёхугольники) → 18
Вне урока	введение темы — GEOM8-033; метод вспомогательной площади (R03.7) — GEOM8-034; обобщение строки — GEOM8-041; длина наклонной стороны участка (теорема Пифагора) — R04; площадь круга — 9 класс
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: задачи с практическим содержанием

Сегодня вы научитесь

Строить модель

Вычислять площади

Переводить единицы

Давать ответ по смыслу

Посчитайте в уме

Четыре формулы, которые нужны сегодня

На чём держится каждое решение

Квадрат 1 м×1 м — это 100 квадратов по 1 дм2

От условия к ответу — пять шагов

Сколько плиток 30 × 30 см нужно на пол 3 м × 2,4 м?

Образец: пол 3×2,4 м, плитка 30×30 см

Сам: сколько плиток?

Стену красят в 2 слоя, банки хватает на 6 м². Сколько банок?

Образец: стена 5×2,7 м, окно 1,5×1,2 м, дверь 0,9×2 м

Сам: сколько банок?

Газон на участке-трапеции. 1 кг семян — на 40 м². Сколько семян?

Образец: прямоугольная трапеция, основания 30 и 50 м, высота 20 м

Сам: площадь участка

Торец дома обшивают сайдингом, панель — 0,6 м². Сколько панелей?

Образец: стена 6×3 м, фронтон высотой 2 м, окно 1,2×1 м

Сам: найдите площадь

На плане 1 : 200 комната 3 см × 2,5 см. Найдите её площадь.

Образец: масштаб 1:200, на плане 3×2,5 см

Сам: площадь по плану

Тип задачи → модель → ответ

Где здесь ошибка?

Перевод единиц

Округление

Разные единицы

Где ошибся ученик?

а) Стена 6×2,5 м, окно 2×1,5 м, 2 слоя, банка на 8 м2

б) План 1:200, комната на плане 4 см2. Площадь комнаты?

в) Пол 2,4×1,8 м, плитка 20×20 см

Решите и сверьте ответ

Подумайте и решите

Задание 17 · четырёхугольники

Тот же тип: формула площади

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8-040 · Практикум: задачи с практическим содержанием

Квадрат $1 м \times 1 м$ — это 100 квадратов по $1 дм^{2}$

Образец: пол $3 \times 2, 4$ м, плитка $30 \times 30$ см

Образец: стена $5 \times 2, 7$ м, окно $1, 5 \times 1, 2$ м, дверь $0, 9 \times 2$ м

Образец: прямоугольная трапеция, основания $30$ и $50$ м, высота $20$ м

Образец: стена $6 \times 3$ м, фронтон высотой $2$ м, окно $1, 2 \times 1$ м

Образец: масштаб $1 : 200$ , на плане $3 \times 2, 5$ см

а) Стена $6 \times 2, 5$ м, окно $2 \times 1, 5$ м, 2 слоя, банка на $8 м^{2}$

б) План $1 : 200$ , комната на плане $4 см^{2}$ . Площадь комнаты?

в) Пол $2, 4 \times 1, 8$ м, плитка $20 \times 20$ см