Площадь. Площади подобных фигур · урок 12 из 14 · практикум

Практикум: площади подобных фигур

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R03 · GEOM8-039

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 теорема (напоминание) 3 · 5 где искать подобные треугольники 2 · 6 алгоритм 2 · 11 масштаб и площадь 2 · 13 сводка 1,5.
Практика (32,5): 3 разминка 3 · образцы → сам: 7 — 2,5 · 8 — 2,5 · 9 — 2,5 · 10 — 2,5 · 12 — 2,5 · 14 типичные ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 3 · 17 повышенный 2,5 · 18 ОГЭ 2 · 19 самостоятельная 5 · 20 итог 1.
Паспорт: R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур» (14 ч), урок 12/14, единица R03.5 «Площади подобных фигур». Тип урока — П (практикум). Продолжение GEOM8-032: теорема уже доказана, сегодня — пять типов задач.
На титуле: прямые, параллельные основанию, делят сторону на 3 равные части, а площадь — в отношении $1 : 3 : 5$ . Почему — разберём в образце 2.
Если времени мало: задания 3–4 повышенного уровня (сл. 17) и задачу ОГЭ 17 — в ДЗ; теоретические слайды не пропускать.

R03.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Вычислять площади

подобных многоугольников через $k^{2}$ и находить $k$ по площадям (ПР-7, REQ-6.7, EL-6.8)

Делить фигуру на части

прямыми, параллельными стороне: треугольник и трапеция (ПР-7, REQ-6.7)

Находить подобные треугольники

в прямоугольном треугольнике и трапеции по признакам подобия (ПР-4, REQ-6.4)

Решать практические задачи

карта и масштаб; задания ОГЭ, линии 15 и 17 (ПР-10, REQ-6.10)

1 мин · теория
ПР-7 = REQ-6.7: «Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур… Применять полученные умения в практических задачах».
ПР-4 = REQ-6.4: «Применять признаки подобия треугольников в решении геометрических задач». ПР-10 = REQ-6.10: «…проводить соответствующие вычисления с применением подобия…».
EL-6.8 кодификатора: «Свойства площадей геометрических фигур. Отношение площадей подобных фигур». Вид деятельности ФРП: «Находить площади подобных фигур».

повторение: R03.5 (GEOM8-032)

Разминка · устно

Длины — в $k$ раз, площади — в $k^{2}$ раз

$k$	$\frac{P _{1}}{P}$	$\frac{S _{1}}{S}$
$3$	$3$	$9$
$5$	$5$	$25$
$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$
$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{4}{9}$
$1, 5$	$1, 5$	$2, 25$
$7$	$7$	$49$

R03.5 · повторение GEOM8-032

Напоминание · теорема об отношении площадей

Почему площади относятся как $k^{2}$

\frac{S _{1}}{S} = k^{2}

1. $A_{1} C_{1} = k \cdot A C$ $△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ с коэффициентом $k$

2. $B_{1} H_{1} = k \cdot B H$ $△ A_{1} B_{1} H_{1} \sim △ A B H$ : $∠ A_{1} = ∠ A$ , прямые углы

3. $S_{1} = \frac{1}{2} \cdot ka \cdot kh = k^{2} \cdot \frac{1}{2} ah = k^{2} S$ $S = \frac{1}{2} ah$

4. Многоугольник диагоналями из одной вершины делится на треугольники, подобные с тем же $k$ ⇒ $S_{1} = k^{2} S$ площадь — сумма площадей частей

3 мин · теория
Теорема доказана на уроке GEOM8-032; здесь — краткое напоминание, учитель проводит его сам, шаги открываются по клику.
Обозначения: $a = A C$ , $h = B H$ — основание и высота; у подобного треугольника основание $ka$ и высота $kh$ (одинаковые цвета на чертеже).
Вопрос: почему высоты тоже относятся как $k$ ? (прямоугольные треугольники $A B H$ и $A_{1} B_{1} H_{1}$ подобны по острому углу, $A B$ и $A_{1} B_{1}$ — сходственные гипотенузы).
Чертёж в масштабе: $△ A BC$ с $A C = 6$ , $B H = 4$ ; $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ — его копия с $k = 1, 5$ ( $A_{1} C_{1} = 9$ , $B_{1} H_{1} = 6$ ), площади $12$ и $27 = 1, 5^{2} \cdot 12$ .

R03.5

Где искать подобные треугольники

Четыре конфигурации урока

Прямая $∥$ стороне

$△ MBN \sim △ A BC$ : $∠ B$ общий, соответственные углы

Высота из прямого угла

$△ A C H \sim △ A BC \sim △ CB H$ — у каждой пары общий острый угол

Трапеция: боковые стороны

$△ EBC \sim △ E A D$ : $∠ E$ общий, $BC ∥ A D$

Трапеция: диагонали

$△ BOC \sim △ D O A$ : вертикальные и накрест лежащие углы

R03.5

Алгоритм · для всех типов задач

Три шага решения

2 мин · теория
Шаг 1 — найти подобные фигуры и назвать признак (для треугольников — чаще всего по двум углам). Шаг 2 — коэффициент: отношение сходственных сторон (лежат против равных углов) или корень из отношения площадей. Шаг 3 — площадь.
Нижняя схема: от длин к площадям — возводим в квадрат, от площадей к длинам — извлекаем корень.
Вопрос: какие стороны называются сходственными? Почему $k$ для треугольника и его части берём как «часть : целое»?

R03.5 · тип 1

Образец → сам · подобные многоугольники

Длины известны → $k$ → площадь

$A BC D \sim A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , $P = 12$ , $P_{1} = 18$ , $S = 20$ . Найдите $S_{1}$ .

$k = \frac{P _{1}}{P} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ периметры относятся как $k$
$k^{2} = \frac{9}{4}$ площади относятся как $k^{2}$
$S_{1} = 20 \cdot \frac{9}{4} = 45$

Сам

Площади двух подобных ромбов $27$ и $48$ , сторона меньшего $6$ . Найдите сторону большего. $8$
Периметры двух квадратов относятся как $2 : 5$ , площадь большего $75$ . Найдите площадь меньшего. $12$
Площадь многоугольника увеличилась в $16$ раз при подобии. Во сколько раз увеличился периметр? в $4$ раза

2,5 мин · практика
Образец (1 мин): вопрос перед шагом 1 — что известно: длины или площади? (периметры — длины, их отношение и есть $k$ ). Ответ: 45. Проверка: $\frac{45}{20} = 2, 25 = 1, 5^{2}$ ✓. Равные дуги — равные углы: у подобных многоугольников углы равны, стороны пропорциональны.
Сам (1,5 мин): 1) $k^{2} = \frac{48}{27} = \frac{16}{9}$ , $k = \frac{4}{3}$ , сторона $6 \cdot \frac{4}{3} = 8$ . 2) $k = \frac{2}{5}$ (от большего к меньшему), $S = 75 \cdot \frac{4}{25} = 12$ ; проверка: стороны $23$ и $53$ . 3) $k^{2} = 16$ , $k = 4$ .
Типичные ошибки: $S_{1} = 20 \cdot \frac{3}{2} = 30$ (умножили на $k$ , а не на $k^{2}$ ); в 1) $6 \cdot \frac{16}{9}$ — забыли корень.

R03.5 · тип 2

Образец → сам · прямые, параллельные стороне

Отсечённый треугольник подобен всему

$A B$ разделили на 3 равные части, прямые $∥ A C$ , $S_{A BC} = 45$ . Найдите площади частей.

верхний: $k = \frac{1}{3}$ , $S = 45 \cdot \frac{1}{9} = 5$ часть стороны $A B$ : вся сторона
до 2-й прямой: $45 \cdot \frac{4}{9} = 20$ , полоса $20 - 5 = 15$ $k = \frac{2}{3}$
нижняя: $45 - 20 = 25$ $5 : 15 : 25 = 1 : 3 : 5$

Сам: $M \in A B$ , $N \in BC$ , $MN ∥ A C$

$MN$ — средняя линия, $S_{A MNC} = 24$ . Найдите $S_{MBN}$ . $8$
$BM = 2$ , $M A = 3$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{MBN}$ . $8$
$BM : M A = 3 : 1$ , $S_{A MNC} = 28$ . Найдите $S_{A BC}$ . $64$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин): каждый отсечённый треугольник подобен $△ A BC$ — угол $B$ общий, углы при параллельных прямых соответственные. Ответ: 5, 15, 25; проверка $5 + 15 + 25 = 45$ ✓. Почему полосы не равны? Площади треугольников растут как $1, 4, 9$ , разности — $1, 3, 5$ .
Сам: 1) $k = \frac{1}{2}$ , треугольник $\frac{1}{4} S$ , трапеция $\frac{3}{4} S = 24$ ⇒ $S = 32$ , $S_{MBN} = 8$ . 2) $B A = 5$ , $k = \frac{2}{5}$ , $S_{MBN} = 50 \cdot \frac{4}{25} = 8$ . 3) $k = \frac{3}{4}$ , $S_{MBN} = \frac{9}{16} S$ , трапеция $\frac{7}{16} S = 28$ ⇒ $S = 64$ ; проверка $64 - 36 = 28$ ✓.
Ошибки: «каждая часть 15»; в 2) $k = \frac{2}{3}$ (взяли $BM : M A$ , а не $BM : B A$ ).

R03.5 · тип 3

Образец → сам · высота прямоугольного треугольника

Высота делит треугольник на два подобных ему

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ , $A C = 6$ , $BC = 8$ . Найдите $S_{A C H}$ .

$△ A C H \sim △ A BC$ $∠ A$ общий, $∠ A H C = ∠ A CB = 9 0^{\circ}$
$A B = 10$ , $k = \frac{A C}{A B} = \frac{3}{5}$ т. Пифагора; гипотенуза к гипотенузе
$S_{A BC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$
$S_{A C H} = 24 \cdot \frac{9}{25} = 8, 64$

Сам ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота)

$A C : A B = 1 : 2$ , $S_{A BC} = 40$ . Найдите $S_{A C H}$ . $10$
$BC : A B = 4 : 5$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{BC H}$ . $32$
$S_{A C H} = 9$ , $S_{BC H} = 16$ . Найдите $S_{A BC}$ и $A C : BC$ . $25$ ; $3 : 4$

R03.5 · тип 4

Образец → сам · трапеция и треугольник

Трапеция = большой треугольник − малый

$BC ∥ A D$ , $BC = 3$ , $A D = 5$ , $S_{A BC D} = 32$ , $E$ — точка пересечения прямых $A B$ и $C D$ . Найдите $S_{EBC}$ .

$△ EBC \sim △ E A D$ $∠ E$ общий, $∠ EBC = ∠ E A D$ — соответственные
$k = \frac{3}{5}$ : $S_{EBC} = 9 x$ , $S_{E A D} = 25 x$ площади относятся как $k^{2} = 9 : 25$
$25 x - 9 x = 16 x = 32$ , $x = 2$
$S_{EBC} = 9 \cdot 2 = 18$

Сам: трапеция, $BC ∥ A D$

$BC = 4$ , $A D = 8$ , $S_{E A D} = 48$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $36$
$BC = 2$ , $A D = 6$ , $S_{EBC} = 5$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $40$
Диагонали пересекаются в $O$ , $BC = 2$ , $A D = 4$ , $S_{BOC} = 3$ . Найдите $S_{A O D}$ . $12$

R03.5 · R03.6

Масштаб и площадь

Масштаб $1 : n$ — это $k = n$ для длин

S_{мест} = n^{2} \cdot S_{план}

1 м = 100 см

, значит

1 м^{2} = 10 0^{2} см^{2} = 10000 см^{2}

1 га = 10000 м^{2}

,

1 км^{2} = 1000000 м^{2}

Масштаб	$1 см$ на плане	$1 см^{2}$ на плане
$1 : 100$	$1 м$	$1 м^{2}$
$1 : 1000$	$10 м$	$100 м^{2}$
$1 : 10000$	$100 м$	$1 га$
$1 : 100000$	$1 км$	$1 км^{2}$

R03.5 · R03.6

Образец → сам · план и карта

Площадь по плану: $\times n^{2}$

Участок на плане $1 : 500$ — прямоугольник $6 см \times 4 см$ . Найдите площадь участка.

$S_{план} = 6 \cdot 4 = 24 см^{2}$
$1 см$ на плане $= 5 м$ , $1 см^{2} = 25 м^{2}$ $500 см = 5 м$ , площадь — в квадрате
$S = 24 \cdot 25 = 600 м^{2}$ проверка: $30 м \cdot 20 м = 600 м^{2}$

Сам

Озеро на карте $1 : 10000$ занимает $7 см^{2}$ . Площадь озера в гектарах? $7$ га
Модель самолёта $1 : 50$ , площадь крыла модели $60 см^{2}$ . Площадь крыла самолёта в $м^{2}$ ? $15 м^{2}$
Фото $10 \times 15$ увеличили до $20 \times 30$ . Во сколько раз больше краски уйдёт? в $4$ раза

R03.5

Сводка · что дано → как найти $k$

Шпаргалка практикума

Ситуация	Коэффициент $k$	Площадь
даны стороны или периметры	$k = \frac{a _{1}}{a} = \frac{P _{1}}{P}$	$S_{1} = k^{2} S$
даны площади	$k = \frac{S _{1}}{S}$	длины: $a_{1} = ka$
$MN ∥ A C$ в $△ A BC$	$k = \frac{BM}{B A}$ (часть : целое)	$S_{A MNC} = S - k^{2} S$
высота $C H$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$	$k = \frac{A C}{A B}$ (катет : гипотенуза)	$S_{A C H} = k^{2} S_{A BC}$
трапеция, $E$ или $O$	$k = \frac{BC}{A D}$	$S_{A BC D} = S_{E A D} - S_{EBC}$
масштаб $1 : n$	$k = n$	$S_{мест} = n^{2} S_{план}$

R03.5

Осторожно · типичные ошибки

Что здесь не так?

Часть, а не треугольник

$MN$ — средняя линия, $S_{A BC} = 40$ . Найти $S_{A MNC}$

✗ $40 \cdot \frac{1}{4} = 10$

✓ $40 - 10 = 30$

«Полосы равны»

$A B$ — на 3 равные части, прямые $∥ A C$ , $S = 45$

✗ $15$ , $15$ , $15$

✓ $5$ , $15$ , $25$

Масштаб без квадрата

План $1 : 100$ , на плане $3 см^{2}$

✗ $300 см^{2}$

✓ $3 \cdot 10 0^{2} = 30000 см^{2}$ $= 3 м^{2}$

R03.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Трапеция $A BC D$ : $BC = 4$ , $A D = 10$ , $E$ — точка пересечения прямых $A B$ и $C D$ , $S_{EBC} = 8$ . Найти $S_{A BC D}$ .

1) $△ EBC \sim △ E A D$ , $k = \frac{10}{4} = 2, 5$

2) $S_{E A D} = 8 \cdot 2, 5 = 20$

3) $S_{A BC D} = 20 - 8 = 12$

2) $S_{E A D} = 8 \cdot 2, 5^{2} = 50$

3) $S_{A BC D} = 50 - 8 = 42$

б) $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ , $A M : MB = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 50$ . Найти $S_{MBN}$ .

1) $k = \frac{A M}{A B} = \frac{2}{5}$

2) $S_{MBN} = 50 \cdot \frac{4}{25} = 8$

1) $k = \frac{BM}{B A} = \frac{3}{5}$ — стороны треугольника $MBN$

2) $S_{MBN} = 50 \cdot \frac{9}{25} = 18$

R03.5

Задания с самопроверкой · база

Найдите площадь или сторону

Треугольники подобны, $k = 4$ , площадь меньшего $5$ . Найдите площадь большего. $80$
Площади подобных треугольников $18$ и $50$ , сторона меньшего $6$ . Найдите сходственную сторону большего. $10$
Стороны квадрата площадью $7$ увеличили в $3$ раза. Найдите новую площадь. $63$

$MN$ — средняя линия $△ A BC$ , $S_{A BC} = 36$ . Найдите $S_{MBN}$ . $9$
$MN ∥ A C$ , $BM : B A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 27$ . Найдите $S_{MBN}$ . $12$
План $1 : 1000$ , на плане $5 см^{2}$ . Площадь на местности? $500 м^{2}$

R03.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Две подобные фигуры и вычитание

$MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ , $A M : MB = 1 : 3$ , $S_{A BC} = 48$ . Найдите $S_{A MNC}$ . $21$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота, $A H = 4$ , $H B = 9$ . Найдите $S_{A C H} : S_{CB H}$ . $4 : 9$

Трапеция $A BC D$ : $BC = 3$ , $A D = 7$ , $E$ — точка пересечения прямых $A B$ и $C D$ , $S_{EBC} = 18$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $80$
Прямая $∥ A C$ отсекает от $△ A BC$ треугольник $MBN$ , площадь которого в $9$ раз меньше $S_{A BC}$ . Найдите $BM : M A$ . $1 : 2$

R03.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 17

Ответ — число в бланк

15. Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает стороны $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, $A B = 12$ , $BM = 9$ . Площадь треугольника $MBN$ равна $27$ . Найдите площадь треугольника $A BC$ .

Ответ: $48$

17. Основания трапеции $A BC D$ равны $BC = 4$ и $A D = 10$ , диагонали пересекаются в точке $O$ . Площадь треугольника $BOC$ равна $6$ . Найдите площадь треугольника $A O D$ .

Ответ: $37, 5$

R03.5

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

В задачах 2: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ . В задачах 3: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $E$ — точка пересечения прямых $A B$ и $C D$ .

Вариант 1

Площади подобных многоугольников $8$ и $50$ , сторона меньшего $4$ . Найдите сходственную сторону большего. $10$
$A M : MB = 1 : 2$ , $S_{MBN} = 12$ . Найдите $S_{A MNC}$ . $15$
$BC = 2$ , $A D = 6$ , $S_{EBC} = 4$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $32$
Карта $1 : 10000$ , поле на карте — $15 см^{2}$ . Площадь поля в гектарах? $15$ га

Вариант 2

Площади подобных многоугольников $12$ и $27$ , сторона большего $9$ . Найдите сходственную сторону меньшего. $6$
$A M : MB = 1 : 3$ , $S_{MBN} = 18$ . Найдите $S_{A MNC}$ . $14$
$BC = 3$ , $A D = 6$ , $S_{EBC} = 7$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $21$
Карта $1 : 5000$ , участок на карте — $3 см^{2}$ . Площадь участка в гектарах? $0, 75$ га

5 мин · практика
Вариант 1: 1) $k^{2} = \frac{50}{8} = \frac{25}{4}$ , $k = \frac{5}{2}$ , сторона $10$ . 2) $k = \frac{BM}{B A} = \frac{2}{3}$ , $S_{A BC} = 12 \cdot \frac{9}{4} = 27$ , $S_{A MNC} = 15$ . 3) $k = 3$ , $S_{E A D} = 36$ , $S_{A BC D} = 32$ . 4) $1 см^{2} = 1$ га, $15$ га.
Вариант 2: 1) $k^{2} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$ , $k = \frac{3}{2}$ , сторона $9 : \frac{3}{2} = 6$ . 2) $k = \frac{3}{4}$ , $S_{A BC} = 18 \cdot \frac{16}{9} = 32$ , $S_{A MNC} = 14$ . 3) $k = 2$ , $S_{E A D} = 28$ , $S_{A BC D} = 21$ . 4) $1 см = 50 м$ , $1 см^{2} = 2500 м^{2}$ , $3 \cdot 2500 = 7500 м^{2} = 0, 75$ га.
4 мин на решение, 1 мин — обмен тетрадями и проверка по ответам (по клику). Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3».
Ошибки: в 2) $k = \frac{A M}{MB}$ ; в 3) ответ — площадь $△ E A D$ , а не трапеции; в 4) масштаб без квадрата.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти площадь трапеции, отсечённой прямой $∥$ стороне?
В каком отношении делят площадь прямые, делящие сторону на 3 равные части?
Масштаб $1 : 1000$ . Во сколько раз площадь на местности больше?

Домашнее задание

Площади подобных треугольников $12$ и $75$ , сторона большего $15$ . Найдите сходственную сторону меньшего.
$BC = 4$ , $A D = 6$ — основания трапеции, $E$ — точка пересечения продолжений боковых сторон, $S_{EBC} = 16$ . Найдите $S_{A BC D}$ .
Тренажёр «Отношение периметров и площадей»:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_podobnye_treugolniki_03.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-039 · Практикум: Площади подобных фигур

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур», 14 ч · урок 12/14 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R03.5 «Площади подобных фигур» → 2–20 (повторение теоремы из GEOM8-032 → 3–4)
Результаты	ПР-7 = REQ-6.7 (площади многоугольных фигур, практические задачи) → 3–20 · ПР-4 = REQ-6.4 (признаки подобия) → 5, 8–10, 18 · ПР-10 = REQ-6.10 (практика, масштаб) → 11, 12, 14, 16, 19 · EL-6.8 → 3–20 · вид деятельности «Находить площади подобных фигур» → 7–20
ОГЭ	линия 15 (треугольники), линия 17 (четырёхугольники) → 18
Хронометраж	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %); образцов «Образец → сам» — 5
Вне урока	доказательство теоремы об отношении площадей — GEOM8-032; задачи с практическим содержанием — GEOM8-040; метод вспомогательной площади — GEOM8-034; обобщение — GEOM8-041; площадь круга — 9 класс
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: площади подобных фигур

Сегодня вы научитесь

Вычислять площади

Делить фигуру на части

Находить подобные треугольники

Решать практические задачи

Длины — в k раз, площади — в k2 раз

Почему площади относятся как k2

Четыре конфигурации урока

Прямая ∥ стороне

Высота из прямого угла

Трапеция: боковые стороны

Трапеция: диагонали

Три шага решения

Длины известны → k → площадь

ABCD∼A1​B1​C1​D1​, P=12, P1​=18, S=20. Найдите S1​.

Сам

Отсечённый треугольник подобен всему

AB разделили на 3 равные части, прямые ∥AC, SABC​=45. Найдите площади частей.

Сам: M∈AB, N∈BC, MN∥AC

Высота делит треугольник на два подобных ему

∠C=90∘, CH⊥AB, AC=6, BC=8. Найдите SACH​.

Сам (∠C=90∘, CH — высота)

Трапеция = большой треугольник − малый

BC∥AD, BC=3, AD=5, SABCD​=32, E — точка пересечения прямых AB и CD. Найдите SEBC​.

Сам: трапеция, BC∥AD

Масштаб 1:n — это k=n для длин

Площадь по плану: ×n2

Участок на плане 1:500 — прямоугольник 6 см×4 см. Найдите площадь участка.

Сам

Шпаргалка практикума

Что здесь не так?

Часть, а не треугольник

«Полосы равны»

Масштаб без квадрата

Где ошибся ученик?

а) Трапеция ABCD: BC=4, AD=10, E — точка пересечения прямых AB и CD, SEBC​=8. Найти SABCD​.

б) MN∥AC, M∈AB, N∈BC, AM:MB=2:3, SABC​=50. Найти SMBN​.

Найдите площадь или сторону

Две подобные фигуры и вычитание

Ответ — число в бланк

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8-039 · Практикум: Площади подобных фигур

Длины — в $k$ раз, площади — в $k^{2}$ раз

Почему площади относятся как $k^{2}$

Прямая $∥$ стороне

Длины известны → $k$ → площадь

$A BC D \sim A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , $P = 12$ , $P_{1} = 18$ , $S = 20$ . Найдите $S_{1}$ .

$A B$ разделили на 3 равные части, прямые $∥ A C$ , $S_{A BC} = 45$ . Найдите площади частей.

Сам: $M \in A B$ , $N \in BC$ , $MN ∥ A C$

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H ⊥ A B$ , $A C = 6$ , $BC = 8$ . Найдите $S_{A C H}$ .

Сам ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $C H$ — высота)

$BC ∥ A D$ , $BC = 3$ , $A D = 5$ , $S_{A BC D} = 32$ , $E$ — точка пересечения прямых $A B$ и $C D$ . Найдите $S_{EBC}$ .

Сам: трапеция, $BC ∥ A D$

Масштаб $1 : n$ — это $k = n$ для длин

Площадь по плану: $\times n^{2}$

Участок на плане $1 : 500$ — прямоугольник $6 см \times 4 см$ . Найдите площадь участка.

а) Трапеция $A BC D$ : $BC = 4$ , $A D = 10$ , $E$ — точка пересечения прямых $A B$ и $C D$ , $S_{EBC} = 8$ . Найти $S_{A BC D}$ .

б) $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ , $A M : MB = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 50$ . Найти $S_{MBN}$ .