Площадь многоугольных фигур · урок 11 из 14 · практикум

Площади фигур на клетчатой бумаге

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R03 · урок-практикум · GEOM8-038

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 три способа 2,5 · 5 высота на клетках 2 · 8 вывод формулы через диагонали 2 · 10 клетка не 1 × 1 1,5 · 13 схема выбора способа 2,5. Это сводка к уроку-практикуму: новых способов нет, напоминаем и обосновываем.
Практика (32,5): 3 разминка 2,5 · 6 образец → сам (формула) 3 · 7 (достраивание) 3 · 9 (диагонали) 2,5 · 11 (клетка 2 см, задача из жизни) 3 · 12 (разбиение и вырез) 2,5 · 14 типичные ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 3 · 17 повышенный 2,5 · 18 ОГЭ 2 · 19 самостоятельная 4 · 20 итог 1.
Паспорт: R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур» (14 ч), урок 11/14, единица R03.4 «Площади фигур на клетчатой бумаге». Тип урока — П (практикум).
Опора: урок GEOM8-031 (новый материал по этой единице: три способа), формулы площадей (R03.2), сложные фигуры (GEOM8-037). Сегодня — не новые способы, а тренировка на разных типах фигур.
Если времени мало: задание 3 сл. 9 и задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ; теорию не выбрасывать.

R03.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Вычислять площади

треугольников и многоугольников на клетчатой бумаге (ПР-7, REQ-6.7, EL-6.9)

Выбирать способ

формула, достраивание, разбиение на части, диагонали — по виду фигуры (вид деятельности ФРП)

Учитывать размер клетки

и решать практические задачи по плану на клетках (ПР-7)

Решать задание ОГЭ

линия 18 «Фигуры на клетчатой бумаге» (REQ-6.7)

1 мин · теория
ПР-7 = REQ-6.7: «Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором). Применять полученные умения в практических задачах».
EL-6.9 кодификатора: «Вычисление площадей треугольников и многоугольников на клетчатой бумаге».
Вид деятельности ФРП: «Находить площади фигур, изображенных на клетчатой бумаге, использовать разбиение фигуры на части и достраивание».

повторение: R03.2, GEOM8-031

Разминка · устно

Клетка 1 × 1. Найдите площадь

а)

12

б)

15

в)

10

Прямоугольный треугольник, катеты $3$ и $4$ клетки $6$
Ромб, диагонали $6$ и $4$ клетки $12$
Клетка $2 \times 2$ см. Её площадь? $4$ см²

2,5 мин · практика
Ответы: а) параллелограмм, $a = 4$ , $h = 3$ : $S = 12$ ; б) трапеция, основания $7$ и $3$ , $h = 3$ : $S = \frac{7 + 3}{2} \cdot 3 = 15$ ; в) треугольник, $a = 5$ , $h = 4$ : $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10$ ; 4) $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ ; 5) $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ ; 6) $2 \cdot 2 = 4$ см².
Вопросы: что такое высота? (перпендикуляр к прямой, содержащей основание); почему высоту тут легко найти? (она идёт по вертикальной линии сетки).
Ошибка: в а) взять наклонную сторону вместо высоты. В в) высота падает внутрь, но вершина не над серединой — это неважно. В 6) ответ «2 см²» — путают сторону и площадь клетки.

R03.4

Вспомним · три способа

Вершины в узлах сетки — площадь находится точно

1. Формула

сторона и высота к ней идут по линиям сетки

S = \frac{1}{2} a h

2. Достраивание

до прямоугольника, вычесть «уголки»

S = S_{пр} - S_{уг}

3. Разбиение

на части, площади которых легко найти

S = S_{1} + S_{2}

2,5 мин · теория
Сводка способов урока GEOM8-031. Обоснование: способы 2 и 3 опираются на свойства площади (R03.1) — площадь фигуры, составленной из частей, равна сумме площадей частей; площадь «вычтенной» части отнимается.
Вопрос: почему «уголки» удобны? (это прямоугольные треугольники, их катеты идут по линиям сетки — $S = \frac{1}{2} \cdot$ катет $\cdot$ катет).
На рисунке 1: $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10$ ; рисунок 2: $20 - (2, 5 + 4 + 3) = 10, 5$ ; рисунок 3: $5 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 15$ (числа можно спросить у класса устно).

R03.4 · R03.2

Высота на клетках

Где искать высоту

а) внутри: $a = 6$ , $h = 4$

б) на продолжение основания: $a = 3$ , $h = 4$

в) основание вертикально — высота горизонтальна: $a = 5$ , $h = 4$

Высота — перпендикуляр к прямой, содержащей основание. Основание по сетке ⇒ высота тоже по сетке: считаем клетки.

R03.4

Образец → сам · по формуле

Тупоугольный $△ A BC$ . Найдите площадь.

Образец: найдите $S_{△ A BC}$

$A C = 4$ основание по линии сетки

$B H = 5$ высота на продолжение $A C$

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10$ $S = \frac{1}{2} ah$

Сам: клетка 1 × 1, найдите площадь

1

18

2

20

3

15

3 мин · практика
Образец (1 мин, шаги по клику): $A C = 4$ — по линии сетки; $B H = 5$ — высота падает на продолжение $A C$ (треугольник тупоугольный); $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10$ . Проверка достраиванием: $7 \cdot 5 - \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = 35 - 17, 5 - 7, 5 = 10$ ✓.
Сам (2 мин): 1) трапеция с вертикальными основаниями $6$ и $3$ , высота $4$ : $\frac{6 + 3}{2} \cdot 4 = 18$ ; 2) параллелограмм, вертикальная сторона $4$ , высота к ней $5$ : $4 \cdot 5 = 20$ ; 3) треугольник, вертикальная сторона $5$ , высота $6$ : $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15$ .
Ошибки: в 1) брать за основания наклонные стороны; в 2) умножать на наклонную сторону.

R03.4

Образец → сам · достраивание

Ни одна сторона не идёт по сетке

Образец: найдите площадь треугольника

$S_{пр} = 7 \cdot 5 = 35$ по крайним узлам

$\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 21, 5$ уголки

$S = 35 - 21, 5 = 13, 5$

Сам: клетка 1 × 1, найдите площадь

1

10

2

18

3

8, 5

3 мин · практика
Образец (1 мин): прямоугольник $7 \times 5 = 35$ ; уголки $7 + 10 + 4, 5 = 21, 5$ ; $S = 13, 5$ . Вопрос: почему «уголки» легко считать? (катеты идут по линиям сетки).
Сам: 1) «косой» квадрат: $4 \times 4 = 16$ , четыре уголка по $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1, 5$ : $16 - 6 = 10$ ; 2) параллелограмм: $6 \times 5 = 30$ , уголки $2 + 4 + 2 + 4 = 12$ : $30 - 12 = 18$ ; 3) треугольник: $5 \times 4 = 20$ , уголки $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 2, 5 + 6 + 3 = 11, 5$ : $20 - 11, 5 = 8, 5$ .
Ошибки: забыли $\frac{1}{2}$ у уголков (получается отрицательная или слишком большая разность — сразу видно); посчитали катеты не по клеткам.

R03.4 · R03.2

Площадь через диагонали · вывод

Если диагонали перпендикулярны

1

S = S_{A BC} + S_{A D C}

свойство площади: фигура разбита на две части

2

S_{A BC} = \frac{1}{2} A C \cdot BO

,

S_{A D C} = \frac{1}{2} A C \cdot D O

BO ⊥ A C

и

D O ⊥ A C

— высоты

3

S = \frac{1}{2} A C (BO + D O) = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

BO + D O = B D

Ромб, квадрат, «дельтоид» — любой четырёхугольник с

d_{1} ⊥ d_{2}

. На клетках: диагонали по линиям сетки ⇒ перпендикулярны.

R03.4

Образец → сам · через диагонали

Диагонали по сетке — считаем через них

Образец: найдите площадь

$d_{1} = 7$ , $d_{2} = 6$ по линиям сетки, $d_{1} ⊥ d_{2}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6 = 21$ $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

проверка: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 21$ ✓

Сам: клетка 1 × 1, найдите площадь

1

12

2

18

3

12

2,5 мин · практика
Образец: $d_{1} = 7$ (вертикальная), $d_{2} = 6$ (горизонтальная), $S = 21$ ; проверка — горизонтальная диагональ делит фигуру на треугольники с основанием $6$ и высотами $3$ и $4$ .
Сам: 1) ромб, диагонали $4$ и $6$ : $12$ ; 2) «дельтоид», диагонали $6$ и $6$ : $18$ ; 3) невыпуклый четырёхугольник: прямые диагоналей перпендикулярны, $d_{1} = 6$ (горизонтальная, лежит вне фигуры), $d_{2} = 4$ : $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ ; проверка вычитанием: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 18 - 6 = 12$ .
Ошибка: забыть $\frac{1}{2}$ (ответ $42$ в образце); применять формулу, когда диагонали не перпендикулярны.

R03.4

Клетка не 1 × 1

Длины умножаем на $a$ , площади — на $a^{2}$

S = N \cdot a^{2}

$N$ — площадь в клетках, $a$ — сторона клетки

клетка	1 клетка
$1 \times 1$ см	$1$ см²
$2 \times 2$ см	$4$ см²
$10 \times 10$ м	$100$ м²

N = 6

:

S = 6 \cdot 4 = 24

см²

R03.4 · R03.6

Образец → сам · клетка не 1 × 1

Сначала в клетках, потом — в единицах

Образец: клетка 2 × 2 см, площадь в см²

$N = \frac{5 + 3}{2} \cdot 2 = 8$ клеток трапеция

$1$ клетка $= 2^{2} = 4$ см² $a^{2}$

$S = 8 \cdot 4 = 32$ см² в см: $\frac{10 + 6}{2} \cdot 4 = 32$ ✓

Площадь в см² $54$ см²
из жизниПлан участка: м² и сотки $2400$ м² $= 24$ сотки
$12$ клеток $= 48$ см². Сторона клетки? $2$ см

3 мин · практика
Образец: $8$ клеток, $1$ клетка $= 4$ см², $S = 32$ см². Главная ошибка: $8 \cdot 2 = 16$ — умножили на сторону клетки, а не на её площадь.
Сам: 1) треугольник: основание $4$ , высота $3$ клетки, $N = 6$ ; клетка $3 \times 3$ см $= 9$ см²: $S = 54$ см². 2) участок: прямоугольник $6 \times 3 = 18$ клеток + треугольник $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$ : $24$ клетки; клетка $10 \times 10$ м $= 100$ м²: $2400$ м² $= 24$ сотки ( $1$ сотка $= 100$ м²). 3) обратная задача: $a^{2} = 48 : 12 = 4$ , $a = 2$ см.
Ошибки: в 2) умножить на $10$ , а не на $100$ ( $240$ м²); в 3) ответ « $4$ см» — площадь клетки вместо стороны.

R03.4 · R03.3

Образец → сам · разбиение и вырез

Невыпуклая фигура: части или «минус вырез»

Образец: площадь двумя способами

$S_{1} = 6 \cdot 3 = 18$ , $S_{2} = S_{3} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$ разбиение

$S = 18 + 3 + 3 = 24$

проверка: $6 \cdot 5 - \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 30 - 6 = 24$ ✓ минус вырез

Сам: клетка 1 × 1, найдите площадь

1

25

2

17

2,5 мин · практика
Образец: пунктир делит фигуру на прямоугольник $6 \times 3$ и два треугольника с катетами $3$ и $2$ : $18 + 3 + 3 = 24$ ; второй способ — прямоугольник $6 \times 5$ минус треугольный вырез с основанием $6$ и высотой $2$ .
Сам: 1) прямоугольник $7 \times 4 = 28$ минус треугольное отверстие (основание $3$ , высота $2$ ): $28 - 3 = 25$ ; 2) «стрелка»: прямоугольник $4 \times 2 = 8$ + треугольник с вертикальным основанием $6$ и высотой $3$ : $9$ ; $S = 17$ .
Ошибки: в 1) прибавили вырез ( $31$ ); в 2) взяли основание треугольника $2$ вместо $6$ .

R03.4

Схема · какой способ выбрать

От простого к общему

R03.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Наклонная вместо высоты

✗ параллелограмм: $S = 4 \cdot 5$ , где $5$ — наклонная сторона

наклонная не $⊥$ основанию

✓ $S = a \cdot h$ , высота — по линии сетки

Забыли $\frac{1}{2}$

✗ уголок с катетами $3$ и $4$ : $3 \cdot 4 = 12$

уголок — половина прямоугольника

✓ $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$

Клетка 2 см

✗ $8$ клеток: $8 \cdot 2 = 16$ см²

площадь клетки $a^{2}$ , а не $a$

✓ $8 \cdot 2^{2} = 32$ см²

R03.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Клетка 1 × 1

S_{пр} = 6 \cdot 5 = 30

уголки:

\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1 = 3

,

4 \cdot 5 = 20

,

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4

S = 30 - 27 = 3

\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10

S = 30 - 17 = 13

б) Трапеция: основания $5$ и $3$ клетки, высота $2$ ; клетка $3 \times 3$ см

N = \frac{5 + 3}{2} \cdot 2 = 8

S = 8 \cdot 3 =

24

см²

1

клетка

= 3^{2} = 9

см²

S = 8 \cdot 9 = 72

см²

R03.4

Задания с самопроверкой · база

Клетка 1 × 1. Найдите площадь — выберите способ

1. Трапеция $16$

2. Треугольник $10, 5$

3. Параллелограмм $11$

4. Четырёхугольник $12$

3 мин · практика
Самостоятельно в тетради; ответ к каждому — по клику, класс сверяет. Спросить, какой способ выбрал каждый.
1) Формула: основания $6$ и $2$ , $h = 4$ : $\frac{6 + 2}{2} \cdot 4 = 16$ . 2) Достраивание: $5 \times 5 = 25$ , уголки $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 = 5 + 4, 5 + 5 = 14, 5$ : $10, 5$ .
3) Достраивание: $5 \times 4 = 20$ ; с каждой стороны отрезается «уголок» с квадратиком: $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = 4, 5$ , дважды — $9$ : $20 - 9 = 11$ . 4) Диагонали $6$ и $4$ по сетке: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ .
Ошибка в 3): вычесть только четыре треугольника ( $20 - 7 = 13$ ), забыв два квадратика в углах.

R03.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

1. Клетка 1 × 1. Площадь? $23, 5$

повыш.Основание $A C$ треугольника идёт по линии сетки, $A C = 6$ клеток, $S = 15$ . На сколько клеток вершина $B$ удалена от прямой $A C$ ? $5$
повыш.Нарисуйте треугольник площадью $6$ , ни одна сторона которого не идёт по сетке. напр. $(0; 0)$ , $(5; 2)$ , $(4; 4)$
повыш.Клетка $5 \times 5$ мм, фигура занимает $18$ клеток. Площадь в см²? $4, 5$ см²

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы по клику. Задание 3 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Пятиугольник $(1; 2)$ , $(4; 1)$ , $(7; 3)$ , $(5; 7)$ , $(1; 5)$ : прямоугольник $6 \times 6 = 36$ , уголки $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 1, 5 + 3 + 4 + 4 = 12, 5$ ; $S = 23, 5$ (сторона на $x = 1$ лежит на стороне прямоугольника).
2) Обратная задача: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h = 15$ , $h = 5$ — вершина на любой прямой сетки, параллельной $A C$ , в $5$ клетках от неё.
3) Пример $(0; 0)$ , $(5; 2)$ , $(4; 4)$ : $5 \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 20 - 5 - 1 - 8 = 6$ . Ответов много — проверяем достраиванием.
4) Клетка $0, 5 \times 0, 5$ см $= 0, 25$ см²; $18 \cdot 0, 25 = 4, 5$ см². Ошибка: $18 \cdot 0, 5 = 9$ .

R03.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 18

Фигуры на клетчатой бумаге: ответ — одно число

1. На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите её площадь. $32, 5$

2. Найдите длину средней линии этой трапеции. $6, 5$

3. На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь. $8$

В бланк — только число: 32,5, без «

S =

».

R03.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1 · клетка 1 × 1

Площадь фигуры 1 $15$
Площадь фигуры 2 $9$
Диагонали ромба по сетке: $8$ и $5$ клеток $20$
Фигура — $9$ клеток, клетка $2 \times 2$ см. $S$ в см² $36$

Вариант 2 · клетка 1 × 1

Площадь фигуры 1 $13, 5$
Площадь фигуры 2 $7, 5$
Диагонали ромба по сетке: $6$ и $7$ клеток $21$
Фигура — $7$ клеток, клетка $3 \times 3$ см. $S$ в см² $63$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Способы

сторона и высота по сетке — формула
диагонали по сетке — $\frac{1}{2} d_{1} d_{2}$
иначе — достраивание или разбиение
клетка $a$ — умножить на $a^{2}$

Проверь себя

Какой способ работает для любой фигуры с вершинами в узлах?
Клетка $3 \times 3$ см: во сколько раз умножить ответ в клетках?

Дома

Постройте четырёхугольник $(1; 1)$ , $(6; 2)$ , $(5; 6)$ , $(0; 4)$ и найдите его площадь.
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchadi_parallelogramma_treugolnika_trapecii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-038 · Практикум: Площади фигур на клетчатой бумаге

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур», 14 ч · урок 11/14 · тип П
Единицы → слайды	R03.4 «Площади фигур на клетчатой бумаге» → 2, 4–20; повторение R03.2 (формулы площадей) → 3, 5, 8; R03.3 (сложные фигуры) → 12; R03.6 (практическое содержание) → 11
Результаты	ПР-7 = REQ-6.7 (площади треугольников и многоугольных фигур, практические задачи) → 3–20 · EL-6.9 → 4–19 · вид деятельности «использовать разбиение фигуры на части и достраивание» → 4, 7, 12, 13, 16 · «площадь выпуклого четырехугольника через диагонали» → 8, 9, 16
ОГЭ	линия 18 (фигуры на клетчатой бумаге) → 18
Хронометраж	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %); разобранных примеров «Образец → сам» — 5
Вне урока	новый материал по единице — GEOM8-031; площади подобных фигур — GEOM8-039; задачи с практическим содержанием — GEOM8-040; формула Пика — сверх ФРП (не используется); длины отрезков на клетках через теорему Пифагора — строка R04
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Площади фигур на клетчатой бумаге

Сегодня вы научитесь

Вычислять площади

Выбирать способ

Учитывать размер клетки

Решать задание ОГЭ

Клетка 1 × 1. Найдите площадь

Вершины в узлах сетки — площадь находится точно

1. Формула

2. Достраивание

3. Разбиение

Где искать высоту

Тупоугольный △ABC. Найдите площадь.

Образец: найдите S△ABC​

Сам: клетка 1 × 1, найдите площадь

Ни одна сторона не идёт по сетке

Образец: найдите площадь треугольника

Сам: клетка 1 × 1, найдите площадь

Если диагонали перпендикулярны

Диагонали по сетке — считаем через них

Образец: найдите площадь

Сам: клетка 1 × 1, найдите площадь

Длины умножаем на a, площади — на a2

Сначала в клетках, потом — в единицах

Образец: клетка 2 × 2 см, площадь в см²

Невыпуклая фигура: части или «минус вырез»

Образец: площадь двумя способами

Сам: клетка 1 × 1, найдите площадь

От простого к общему

Неверно → почему → верно

Наклонная вместо высоты

Забыли 21​

Клетка 2 см

Где ошибся ученик?

Клетка 1 × 1. Найдите площадь — выберите способ

Подумайте и решите

Фигуры на клетчатой бумаге: ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1 · клетка 1 × 1

Вариант 2 · клетка 1 × 1

Что запомнить и что сделать дома

Способы

Проверь себя

Дома

GEOM8-038 · Практикум: Площади фигур на клетчатой бумаге

Тупоугольный $△ A BC$ . Найдите площадь.

Образец: найдите $S_{△ A BC}$

Длины умножаем на $a$ , площади — на $a^{2}$

Забыли $\frac{1}{2}$