Площадь · урок 10 из 14 · практикум

Вычисление площадей сложных фигур

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R03 · GEOM8-037

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур» (14 ч), урок 10/14, единица R03.3 «Вычисление площадей сложных фигур». Тип — П (практикум): теория только сводкой, основное время — задачи.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 формулы площадей 2,5 · 5 свойства площади и два приёма 2,5 · 6 четыре типа задач 1,5 · 9 откуда взять высоту 2 · 12 алгоритм 1,5.
Практика (33): 3 разминка 3 · 7 образец 1 — 2,5 · 8 образец 2 — 2,5 · 10 образец 3 — 3 · 11 образец 4 — 3 · 13 образец 5 — 2,5 · 14 ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 3 · 17 повышенный 2,5 · 18 ОГЭ 2 · 19 самостоятельная 4,5 · 20 итог 1.
Опора урока: формулы площадей (GEOM8-029/036), свойства площади (GEOM8-028/035), первое знакомство со сложными фигурами (GEOM8-030); катет против угла 30° и равнобедренный прямоугольный треугольник — 7 класс.
Если не успеваете: задачи 3–4 повышенного уровня (сл. 17) — в ДЗ; теорию не выбрасывать.

R03.3

Цели урока

Ученик научится

Выбирать способ

сложить части или вычесть лишнее: $S = S_{1} + S_{2}$ , $S = S_{внеш} - S_{выр}$ (ПР-7)

Находить недостающие размеры

высоту — по углу $4 5^{\circ}$ или $3 0^{\circ}$ и свойствам фигур (ПР-7, EL-6.7)

Разбивать перпендикулярами

многоугольник — на прямоугольные треугольники и трапеции (ФРП: виды деятельности)

Решать практические задачи

и задачи формата ОГЭ, линия 17 (ПР-7, EL-6.8)

1 мин · теория
ПР-7 (ФРП) = REQ-6.7: «Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором). Применять полученные умения в практических задачах».
EL-6.7 «Формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции»; EL-6.8 «Свойства площадей геометрических фигур».
Виды деятельности ФРП: «использовать разбиение фигуры на части и достраивание», «Вычислять площади различных многоугольных фигур», «Решать задачи на площадь с практическим содержанием».

повторение: R03.2, R03.3

Разминка · устно

Сложить или вычесть? Сосчитайте устно

а) все углы прямые

6 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 20

б) срезан уголок

6 \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 22

в) квадратное окно

6^{2} - 2^{2} = 32

г) Треугольник: основание $10$ , высота $3$ . $S$ ? $15$

д) Трапеция: основания $5$ и $7$ , высота $4$ . $S$ ? $24$

е) Гипотенуза $12$ , угол $3 0^{\circ}$ . Катет против него? $6$

R03.2 → R03.3

Вспомним · формулы площадей

Формулы, которые сегодня нужны

Прямоугольник

S = a b

Параллелограмм

S = a h

Треугольник

S = \frac{1}{2} a h

Прямоугольный треугольник

S = \frac{1}{2} a b

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} h

Ромб

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

2,5 мин · теория
Сводка формул GEOM8-029/036. Учитель показывает каждую фигуру: какой отрезок — основание (бирюзовый), какой — высота (розовый).
Главное: высота всегда перпендикулярна основанию (прямой угол на чертеже). Боковая сторона параллелограмма или трапеции — не высота.
В трапеции $a$ и $b$ — параллельные стороны (основания), $h$ — расстояние между ними. В ромбе $d_{1}$ , $d_{2}$ — диагонали.
Вопрос классу: какая формула «спрятана» в каждой? (Прямоугольный треугольник — половина прямоугольника; ромб — половина прямоугольника со сторонами $d_{1}$ и $d_{2}$ .)

R03.3

Свойства площади · два приёма

Разбить на части или достроить

Свойство 1. Равные фигуры имеют равные площади.

Свойство 2. Если фигура разбита на части, её площадь равна сумме площадей частей:

S = S_{1} + S_{2}

.

Следствие. Если фигура — большая фигура без выреза:

S = S_{внеш} - S_{выр}

.

Разбиение

7 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 29

Достраивание

7 \cdot 5 - 3 \cdot 2 = 29

R03.3

Сводка · четыре типа задач

Четыре типа задач практикума

1

Сложение частей

прямоугольник + треугольник, трапеция

S = S_{1} + S_{2}

2

Вычитание выреза

рамка, дорожка, отверстие

S = S_{внеш} - S_{выр}

3

Недостающий размер

высота через угол $4 5^{\circ}$ или $3 0^{\circ}$

h = A H

4

Перпендикуляры

к одной стороне многоугольника

S = S_{1} + S_{2} + S_{3}

R03.3

Образец → сам · сложение частей

Разрезать на знакомые фигуры

Образец: площадь фигуры-стрелки

Разрежем по пунктирупрямоугольник + треугольник
$S_{1} = 6 \cdot 2 = 12$ прямоугольник $6 \times 2$
$S_{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ основание $4$ , высота $3$
$S = 12 + 6 = 18$ свойство 2: сумма частей

Сам: найдите площадь

база

а) «Домик»: крыша — равнобедренная трапеция высотой $3$ . $58$

повыш.

б) Шестиугольник: боковые стороны равны, левая и правая вершины — на средней линии. $32$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин, шаги по клику). Вопросы: «на какие части?», «что основание, что высота треугольника?». Высота треугольника — от острия до прямой основания: $9 - 6 = 3$ . Ответ 18. Ошибки: основание треугольника 2 (ширина стрелки) ⇒ 15; забыли $\frac{1}{2}$ ⇒ 24.
Сам (1,5 мин): а) $8 \cdot 5 + \frac{8 + 4}{2} \cdot 3 = 40 + 18 = 58$ .
б) Прямоугольник $6 \times 4 = 24$ и два треугольника с основанием 4 и высотой $(10 - 6) : 2 = 2$ : $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 8$ ; $S = 32$ . Проверка: две трапеции с основаниями 10 и 6, высотой 2: $2 \cdot \frac{10 + 6}{2} \cdot 2 = 32$ . Ошибка: высота треугольника $10 - 6 = 4$ ⇒ 40.

R03.3

Образец → сам · вычитание выреза

Большая фигура минус вырез

Образец: площадь рамки для фото (см)

$S = S_{внеш} - S_{выр}$ следствие свойства 2
$10 - 2 \cdot 1, 5 = 7$ , $8 - 2 \cdot 1, 5 = 5$ рамка с двух сторон окна
$S = 10 \cdot 8 - 7 \cdot 5 = 80 - 35$ внешний прямоугольник минус окно
$S = 45$ см²

Сам: площадь «с дыркой»

практика

а) Вокруг клумбы — дорожка шириной $1$ м. Площадь дорожки? $24$ м²

база

б) Из квадрата со стороной $10$ вырезали ромб с диагоналями $6$ и $4$ . Площадь остатка? $88$

R03.3

Недостающий размер · откуда взять высоту

Высоты нет на чертеже — найдите её

Угол $4 5^{\circ}$

$△ A B H$ прямоугольный с углом $4 5^{\circ}$ — равнобедренный

h = B H = A H

Угол $3 0^{\circ}$

катет против угла $3 0^{\circ}$ равен половине гипотенузы

h = \frac{c}{2} = \frac{A B}{2}

Равнобедренная трапеция

$△ A B H = △ D C K$ , $HK = BC$

A H = KD = \frac{A D - BC}{2}

R03.3

Образец → сам · недостающий размер

Сначала высота, потом площадь

Образец: $A BC D$ — равнобедренная трапеция, $∠ A = 4 5^{\circ}$

Высоты $B H$ и $C K$ $H BC K$ — прямоугольник, $HK = BC = 4$
$A H = KD = \frac{12 - 4}{2} = 4$ $△ A B H = △ D C K$
$B H = A H = 4$ $∠ A B H = 4 5^{\circ}$ , $△ A B H$ равнобедренный
$S = \frac{12 + 4}{2} \cdot 4 = 32$

Сам: найдите $S_{A BC D}$

база

а) Прямоугольная трапеция, $∠ D = 4 5^{\circ}$ . $42, 5$

повыш.

б) Параллелограмм: $A B = 8$ , $A D = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . $40$

3 мин · практика
Образец (1,5 мин): ключевая мысль — высоты на чертеже нет, находим её из прямоугольного треугольника. Ответ 32. Ошибки: высота $= A B$ (боковая сторона); $A H = 12 - 4 = 8$ (не поделили на 2) ⇒ 64. Проверка разбиением: $4 \cdot 4 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 32$ .
Сам (1,5 мин). Подсказка: «проведите высоту из $C$ (в а) или из $B$ (в б)».
а) $C K ⊥ A D$ , $C K = A B = 5$ ; $∠ K C D = 4 5^{\circ}$ ⇒ $KD = C K = 5$ ; $A D = 6 + 5 = 11$ ; $S = \frac{6 + 11}{2} \cdot 5 = 42, 5$ . Ошибка: $A D = 6$ ⇒ 30.
б) Высота $B H$ — катет против угла $3 0^{\circ}$ : $B H = 8 : 2 = 4$ ; $S = 10 \cdot 4 = 40$ . Ошибка: $8 \cdot 10 = 80$ — перемножили стороны.

R03.3

Образец → сам · перпендикуляры к стороне

Как землемеры измеряли участок

Образец: площадь четырёхугольника $A BC D$

$B H ⊥ A D$ , $C K ⊥ A D$ два треугольника и трапеция
$S_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$ , $S_{3} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = 7, 5$
$S_{2} = \frac{4 + 5}{2} \cdot 4 = 18$ основания $B H$ и $C K$ , высота $HK$
$S = 4 + 18 + 7, 5 = 29, 5$

Сам: план участка (м)

базаНа какие фигуры разбивают участок перпендикуляры? 2 треуг. + 2 трапеции
практикаНайдите площадь участка $A BC D E$ . $35, 5$ м²
повыш.На $1$ м² газона — $40$ г семян. Сколько граммов нужно? $1420$ г

3 мин · практика
Образец (1,5 мин): у трапеции $H BC K$ основания вертикальные ( $B H$ и $C K$ ), высота — горизонтальный отрезок $HK = 4$ . Проверка: $2 + 4 + 3 = 9 = A D$ — все части основания учтены. Ответ 29,5. Ошибка: высота трапеции 5 (взяли $C K$ ) ⇒ 22,5 вместо 18.
Сам (1,5 мин, калькулятор можно — ПР-7): 1) два прямоугольных треугольника по краям и две прямоугольные трапеции.
2) $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 + \frac{3 + 6}{2} \cdot 3 + \frac{6 + 4}{2} \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 3 + 13, 5 + 15 + 4 = 35, 5$ м². 3) $35, 5 \cdot 40 = 1420$ г.
Самопроверка: участок помещается в прямоугольник $10 \times 6 = 60$ м² — ответ меньше 60.

R03.3

Сводка · алгоритм

Как найти площадь сложной фигуры

1

Выбрать способ

разбить на части или достроить до простой фигуры

2

Отметить части

пунктир, штриховка, подписи $S_{1}, S_{2}, \dots$

3

Найти размеры

разность сторон, угол $4 5^{\circ}$ или $3 0^{\circ}$ , равные треугольники

4

Сосчитать

площадь каждой части, затем сложить или вычесть

5

Проверить

другим способом; сумма отрезков равна всей стороне

Высота всегда перпендикулярна основанию. Боковая сторона — не высота, если угол не прямой.

R03.3

Образец → сам · комбинированная задача

Вычитание + недостающая высота

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A B = 6$ , $A D = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $M$ — середина $BC$ . Найдите $S_{A MC D}$ .

$h = B H = \frac{6}{2} = 3$ катет против угла $3 0^{\circ}$
$S_{A BC D} = 10 \cdot 3 = 30$ $S = ah$
$S_{A BM} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = 7, 5$ $BM = 5$ , высота та же
$S_{A MC D} = 30 - 7, 5 = 22, 5$

Сам: постройте чертёж и решите

Прямоугольник $A BC D$ : $A B = 4$ , $A D = 9$ ; $K \in A D$ , $A K = 3$ . Найдите $S_{BC DK}$ . $30$
Параллелограмм $A BC D$ : $A B = 8$ , $A D = 12$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ ; $K$ — середина $A D$ . Найдите $S_{A B K}$ . $12$
Равнобедренная трапеция: основания $10$ и $4$ , острый угол $4 5^{\circ}$ ; в ней вырезано квадратное окно со стороной $2$ . Площадь остатка? $17$

R03.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Рамка: ширину вычли один раз

✗ окно: $10 - 1, 5 = 8, 5$

рамка есть с двух сторон окна

✓ $10 - 2 \cdot 1, 5 = 7$

Боковая сторона вместо высоты

✗ $S = \frac{12 + 4}{2} \cdot A B$

$A B$ не перпендикулярна основаниям

✓ $h = B H = A H = 4$

Треугольник как прямоугольник

✗ $S_{△} = 4 \cdot 3 = 12$

треугольник — половина прямоугольника

✓ $S_{△} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$

Потеряли часть фигуры

✗ $S = S_{1} + S_{2} = 4 + 18 = 22$

забыли $S_{3}$ — часть основания не учтена

✓ проверка: $2 + 4 + 3 = A D$ , $S = 29, 5$

R03.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик? (две ошибки)

$A BC D$ — прямоугольная трапеция, $∠ D = 4 5^{\circ}$ ; вырезан квадрат со стороной $2$ . Найдите площадь остатка.

1	$C H ⊥ A D$ , $HD = 10 - 4 = 6$	верно
2	$C H = HD : 2 = 3$	$C H = HD = 6$ ( $4 5^{\circ}$ )
3	$S_{A BC D} = \frac{10 + 4}{2} \cdot 3 = 21$	$\frac{10 + 4}{2} \cdot 6 = 42$
4	$S = 21 - 2 = 19$	$42 - 2^{2} = 38$

Ошибки: правило «катет против

3 0^{\circ}

» применили к углу

4 5^{\circ}

; вычли сторону квадрата вместо площади.

R03.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

Из прямоугольника $8 \times 5$ вырезали квадрат со стороной $3$ . Площадь остатка? $31$
Фигура: квадрат со стороной $4$ и приставленный к нему прямоугольный треугольник с катетами $4$ и $6$ . $S$ ? $28$
Параллелограмм: стороны $6$ и $10$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . $S$ ? $30$

Равнобедренная трапеция: основания $9$ и $3$ , острый угол $4 5^{\circ}$ . $S$ ? $18$
Прямоугольник $A BC D$ : $A D = 6$ , $A B = 4$ ; $M$ — середина $BC$ . Найдите $S_{A M D}$ . $12$
Вокруг квадратного бассейна $10 \times 10$ м — дорожка шириной $2$ м. Площадь дорожки? $96$ м²

R03.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

из жизниСтена $5 \times 2, 8$ м, в ней окно $1, 5 \times 1, 2$ м и дверь $0, 9 \times 2$ м. Одной банки краски хватает на $4$ м². Сколько банок купить? $3$ банки
повыш.Прямоугольник $A BC D$ : $A B = 6$ , $A D = 8$ ; $M$ — середина $A B$ , $N$ — середина $A D$ . Найдите $S_{CMN}$ . $18$
повыш.Трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$ : $A B = 8$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $BC = 5$ , $A D = 15$ . Найдите $S$ . $40$
повыш.У квадрата со стороной $8$ отрезали все четыре угла — равнобедренные прямоугольные треугольники с катетом $2$ . Площадь восьмиугольника? $56$

R03.3 · ОГЭ 17

Формат ОГЭ · линия 17

Задача с кратким ответом

17 В прямоугольнике $A BC D$ сторона $A B = 6$ , $A D = 10$ , точка $M$ — середина стороны $BC$ . Найдите площадь четырёхугольника $A MC D$ .

Ответ: ________ $45$

Подсказка: из прямоугольника вычтите

△ A BM

— или сразу трапеция

A MC D

.

R03.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Из квадрата со стороной $9$ вырезали прямоугольник $3 \times 4$ . Площадь остатка? $69$
Равнобедренная трапеция: основания $11$ и $5$ , острый угол $4 5^{\circ}$ . $S$ ? $24$
Параллелограмм: $A B = 12$ , $A D = 7$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . $S$ ? $42$
Картина $6 \times 4$ дм в рамке шириной $1$ дм. Площадь рамки? $24$ дм²

Вариант 2

Из квадрата со стороной $8$ вырезали прямоугольник $2 \times 5$ . Площадь остатка? $54$
Равнобедренная трапеция: основания $13$ и $5$ , острый угол $4 5^{\circ}$ . $S$ ? $36$
Параллелограмм: $A B = 10$ , $A D = 9$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . $S$ ? $45$
Картина $5 \times 3$ дм в рамке шириной $1$ дм. Площадь рамки? $20$ дм²

R03.3

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Запомнить

$S = S_{1} + S_{2}$ — разбиение
$S = S_{внеш} - S_{выр}$ — достраивание
высоту ищем по углу $4 5^{\circ}$ / $3 0^{\circ}$
проверка — вторым способом

Проверь себя

Какой тип задач был самым трудным?
Как найти высоту трапеции, если её нет на чертеже?
Как проверить, что ни одна часть не потеряна?

Дома

Из квадрата со стороной $10$ вырезали в центре квадрат со стороной $4$ . Площадь остатка?
Равнобедренная трапеция: основания $15$ и $7$ , острый угол $4 5^{\circ}$ . $S$ ?
Стрелка: прямоугольник $8 \times 2$ и треугольник с основанием $5$ и высотой $4$ . $S$ ?
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchad_mnogougolnika.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-037 · Практикум: Вычисление площадей сложных фигур

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур», 14 ч · урок 10/14 · тип П
Единицы → слайды	R03.3 «Вычисление площадей сложных фигур» → 2–20 (повторение R03.2 → 3, 4)
Результаты	ПР-7 = REQ-6.7 (вычислять различными способами площади многоугольных фигур, практические задачи) → 2, 3, 5, 7–8, 10–11, 13, 16–19 · EL-6.7 → 4, 9, 10, 13 · EL-6.8 → 5, 7, 8 · виды деятельности «разбиение фигуры на части и достраивание», «задачи на площадь с практическим содержанием» → 5, 8, 11, 17
Формат 30/70	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %); образцов «Образец → сам» — 5; разбор ошибок — 14, 15
ОГЭ	линия 17 (четырёхугольники) → 18
Вне урока	свойства площадей — GEOM8-028/035; вывод формул — GEOM8-029/036; клетчатая бумага — GEOM8-031/038; подобные фигуры — GEOM8-032/039; вспомогательная площадь — GEOM8-034; формула через диагонали и угол (синус) и теорема Пифагора — позже в курсе
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Вычисление площадей сложных фигур

Ученик научится

Выбирать способ

Находить недостающие размеры

Разбивать перпендикулярами

Решать практические задачи

Сложить или вычесть? Сосчитайте устно

а) все углы прямые

б) срезан уголок

в) квадратное окно

Формулы, которые сегодня нужны

Прямоугольник

Параллелограмм

Треугольник

Прямоугольный треугольник

Трапеция

Ромб

Разбить на части или достроить

Разбиение

Достраивание

Четыре типа задач практикума

Сложение частей

Вычитание выреза

Недостающий размер

Перпендикуляры

Разрезать на знакомые фигуры

Образец: площадь фигуры-стрелки

Сам: найдите площадь

Большая фигура минус вырез

Образец: площадь рамки для фото (см)

Сам: площадь «с дыркой»

Высоты нет на чертеже — найдите её

Угол 45∘

Угол 30∘

Равнобедренная трапеция

Сначала высота, потом площадь

Образец: ABCD — равнобедренная трапеция, ∠A=45∘

Сам: найдите SABCD​

Как землемеры измеряли участок

Образец: площадь четырёхугольника ABCD

Сам: план участка (м)

Как найти площадь сложной фигуры

Выбрать способ

Отметить части

Найти размеры

Сосчитать

Проверить

Вычитание + недостающая высота

Образец: ABCD — параллелограмм, AB=6, AD=10, ∠A=30∘, M — середина BC. Найдите SAMCD​.

Сам: постройте чертёж и решите

Неверно → почему → верно

Рамка: ширину вычли один раз

Боковая сторона вместо высоты

Треугольник как прямоугольник

Потеряли часть фигуры

Где ошибся ученик? (две ошибки)

ABCD — прямоугольная трапеция, ∠D=45∘; вырезан квадрат со стороной 2. Найдите площадь остатка.

Решите и сверьте ответ

Подумайте и решите

Задача с кратким ответом

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Запомнить

Проверь себя

Дома

GEOM8-037 · Практикум: Вычисление площадей сложных фигур

Угол $4 5^{\circ}$

Угол $3 0^{\circ}$

Образец: $A BC D$ — равнобедренная трапеция, $∠ A = 4 5^{\circ}$

Сам: найдите $S_{A BC D}$

Образец: площадь четырёхугольника $A BC D$

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $A B = 6$ , $A D = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $M$ — середина $BC$ . Найдите $S_{A MC D}$ .

$A BC D$ — прямоугольная трапеция, $∠ D = 4 5^{\circ}$ ; вырезан квадрат со стороной $2$ . Найдите площадь остатка.