Площадь · практикум · урок 9 из 14

Практикум: формулы площади треугольника, параллелограмма, трапеции

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM8-036

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур» (14 ч), урок 9/14, единица R03.2 «Формулы для площади треугольника, параллелограмма, трапеции». Тип урока — П (практикум).
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 четыре формулы 2,5 · 5 откуда формулы 3 · 12 схема «нет высоты» 2 · 13 следствия 3.
Практика (32,5): 3 разминка 1,5 · 6 устный счёт 1 · 7–11 образцы 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · 14 образец «отношение площадей» 2,5 · 15 ошибки 1,5 · 16 найди ошибку 2 · 17 база 2,5 · 18 повышенный 2,5 · 19 ОГЭ 2 · 20 самостоятельная 4 · 21 итог 1.
Опора: вывод формул — GEOM8-029; свойства параллелограмма, ромба, равнобедренной трапеции (R01); катет против угла 30° и равнобедренный прямоугольный треугольник (7 класс). Теорему Пифагора не используем — она в строке R04.
Если времени мало: в образцах 10–11 «сам» решить по одному заданию, задание 4 повышенного уровня — в ДЗ. Теорию не выбрасывать.

R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу

площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции (EL-6.7)

Вычислять площадь

и находить по площади сторону или высоту (ПР-7, REQ-6.7)

Находить высоту

через углы 30°, 45° и свойства четырёхугольников (ПР-1, REQ-6.1)

Решать задания ОГЭ

линия 17 — четырёхугольники; практическая задача

1 мин · теория
ПР-7 = REQ-6.7: «Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором). Применять полученные умения в практических задачах».
ПР-1: «Распознавать основные виды четырехугольников, их элементы, пользоваться их свойствами при решении геометрических задач».
EL-6.7 кодификатора: «Формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции».

повторение: 7 класс, R01, R03.1

Разминка · устно

Всё, что понадобится сегодня

Гипотенуза $14$ , против катета угол $3 0^{\circ}$ . Катет? $7$
Прямоугольный треугольник, острый угол $4 5^{\circ}$ , катет $6$ . Второй катет? $6$
Полусумма чисел $5$ и $13$ $9$
$\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5$ $30$

Тупой угол параллелограмма $15 0^{\circ}$ . Острый? $3 0^{\circ}$
$2 \cdot 36 : 8$ $9$
Площадь квадрата со стороной $7$ $49$
Перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону, — это… высота

R03.2

Вспомним · четыре формулы

Площадь = основание × высота (с поправкой)

S = a \cdot h

S = \frac{1}{2} a h

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

R03.2 · повторение GEOM8-029

Откуда формулы · сводка вывода

Каждая формула сводится к прямоугольнику

Параллелограмм

Отрежем $△$ с высотой и приставим справа — получится прямоугольник $a \times h$ .

S = ah

Треугольник

Достроим до параллелограмма: диагональ делит его на два равных треугольника.

S = \frac{1}{2} ah

Трапеция

Диагональ $B D$ делит трапецию на два треугольника с общей высотой $h$ .

S = \frac{a + b}{2} h

Ромб

Ромб — половина прямоугольника $d_{1} \times d_{2}$ : диагонали перпендикулярны.

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

3 мин · теория
Сводка вывода с урока GEOM8-029 (свойства площадей, R03.1): равные фигуры имеют равные площади; если фигура разбита на части, её площадь равна сумме площадей частей.
Параллелограмм: $△ A B H$ отрезали и перенесли параллельным переносом на $△ D C H^{'}$ — получился прямоугольник со сторонами $a$ и $h$ . Треугольник: дополнили до параллелограмма $A B D C$ , $S_{△} = \frac{1}{2} ah$ . Трапеция: $S = \frac{1}{2} ah + \frac{1}{2} bh = \frac{a + b}{2} h$ . Ромб: четыре прямоугольных треугольника — половина прямоугольника со сторонами $d_{1}$ , $d_{2}$ .
Вопрос: годится ли $\frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ для любого параллелограмма? (нет — только если диагонали перпендикулярны: ромб, квадрат).

R03.2 · устно

Устный счёт · по готовому чертежу

Найдите площади

Треугольник и трапеция — разные фигуры, а площади равны: равновеликие.

R03.2 · тип 1

Образец → сам · параллелограмм: высоты нет на чертеже

Высота — из прямоугольного треугольника

Образец: $A B = 8$ , $A D = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

Проведём $B H ⊥ A D$ высота к стороне $A D$
$B H = \frac{1}{2} A B = 4$ катет против угла $3 0^{\circ}$ в $△ A B H$
$S = A D \cdot B H = 10 \cdot 4 = 40$

Сам: найдите площадь параллелограмма

$A B = 6$ , $A D = 9$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ $27$
$A B = 10$ , $A D = 7$ , $∠ A = 15 0^{\circ}$ $35$
Ромб со стороной $12$ и углом $3 0^{\circ}$ $72$

R03.2 · тип 2

Образец → сам · обратная задача: найти высоту

Одна площадь — две пары «сторона — высота»

Образец: $A D = 15$ , $A B = 10$ , $B H = 8$ . Найдите высоту $DK$ к $A B$ .

a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b}

$S = A D \cdot B H = 15 \cdot 8 = 120$ считаем площадь по известной паре
$DK = \frac{S}{A B} = \frac{120}{10} = 12$ та же площадь, другая пара «сторона — высота»

Сам: параллелограмм

Стороны $6$ и $9$ , высота к стороне $9$ равна $4$ . Найдите высоту к стороне $6$ $6$
$S = 48$ , стороны $6$ и $8$ . Найдите обе высоты $8$ и $6$
Стороны $12$ и $16$ , бо́льшая высота $8$ . Найдите меньшую $6$

R03.2 · тип 3

Образец → сам · треугольник: высота к гипотенузе

Площадь двумя способами

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 6$ , $BC = 8$ , $A B = 10$ . Найдите $S$ и $C H$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ катеты — основание и высота
$S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C H$ гипотенуза — основание, $C H$ — высота
$C H = \frac{2 S}{A B} = \frac{48}{10} = 4, 8$

Сам: прямоугольный треугольник

Катеты $9$ и $12$ , гипотенуза $15$ . Найдите $S$ и высоту к гипотенузе $54; 7, 2$
Катеты $15$ и $20$ , гипотенуза $25$ . Высота к гипотенузе? $12$
$S = 24$ , один катет $6$ . Найдите другой $8$

R03.2 · тип 4

Образец → сам · равнобедренная трапеция

Угол $4 5^{\circ}$ : высота равна отсечённому отрезку

Образец: $A B = C D$ , $BC = 5$ , $A D = 13$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$A H = \frac{13 - 5}{2} = 4$ высоты из $B$ и $C$ отсекают равные отрезки
$B H = A H = 4$ $∠ A B H = 4 5^{\circ}$ — $△ A B H$ равнобедренный
$S = \frac{5 + 13}{2} \cdot 4 = 36$

Сам: равнобедренная трапеция

$BC = 6$ , $A D = 10$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ $16$
Основания $7$ и $15$ , угол при основании $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ $44$
$S = 36$ , основания $5$ и $13$ . Найдите высоту $4$

R03.2 · ромб

Образец → сам · ромб: две формулы для одной площади

Через диагонали и через высоту

Образец: диагонали ромба $16$ и $12$ , сторона $10$ . Найдите $S$ и высоту.

$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96$ диагонали ромба перпендикулярны
$S = A D \cdot B K$ ромб — параллелограмм
$B K = \frac{96}{10} = 9, 6$

Сам: ромб

Диагонали $10$ и $7$ . Найдите $S$ $35$
$S = 24$ , одна диагональ $8$ . Найдите другую $6$
Диагонали $6$ и $8$ , сторона $5$ . Найдите высоту $4, 8$

R03.2 · схема

Схема · нет высоты на чертеже

Три способа найти высоту

Угол 30°

h = \frac{c}{2}

катет против угла 30°

Угол 45°

h = x

равнобедренный прямоугольный △

Известна площадь

h = \frac{S}{a}

h_{△} = \frac{2 S}{a}

сторона и высота к ней

R03.2

Следствия из формулы площади треугольника

Когда высота общая

Общая высота

общая вершина, основания на одной прямой

\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{a _{1}}{a _{2}}

Медиана

делит треугольник на два равновеликих

S_{A BM} = S_{CBM}

Общее основание

вершины на прямой $BC ∥ A D$

S_{A B D} = S_{A C D}

3 мин · теория
1) Треугольники с общей вершиной $B$ и основаниями на одной прямой имеют общую высоту $h$ : $S_{1} = \frac{1}{2} a_{1} h$ , $S_{2} = \frac{1}{2} a_{2} h$ , поэтому $S_{1} : S_{2} = a_{1} : a_{2}$ .
2) Частный случай: медиана делит сторону пополам — значит, треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника.
3) У $△ A B D$ и $△ A C D$ общее основание $A D$ , а вершины $B$ и $C$ лежат на прямой, параллельной $A D$ : высоты равны (расстояние между параллельными прямыми), площади равны.
Вопрос: на сколько равновеликих частей делят треугольник три медианы? (на 6 — докажем позже; сейчас не требуется).

R03.2

Образец → сам · общая высота

Отношение площадей = отношение оснований

Образец: $D \in A C$ , $A D = 4$ , $D C = 6$ , $S_{A BC} = 40$ . Найдите $S_{A B D}$ .

$B H$ — общая высота $△ A B D$ и $△ A BC$ вершина $B$ , основания на прямой $A C$
$\frac{S _{A B D}}{S _{A BC}} = \frac{A D}{A C} = \frac{4}{10}$ следствие 1
$S_{A B D} = 40 \cdot 0, 4 = 16$

Сам

$BM$ — медиана $△ A BC$ , $S_{A BC} = 34$ . Найдите $S_{A BM}$ $17$
$D \in A C$ , $A D : D C = 1 : 3$ , $S_{A B D} = 5$ . Найдите $S_{A BC}$ $20$
Трапеция $A BC D$ , $BC ∥ A D$ , диагонали пересекаются в $O$ . Докажите: $S_{A OB} = S_{CO D}$
$S_{A B D} = S_{A C D}$ (следствие 3) → вычесть $S_{A O D}$

R03.2

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Забыли ½

△: $a = 10$ , $h = 6$

✗ $S = 10 \cdot 6 = 60$

✓ $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30$

Боковая сторона ≠ высота

трапеция: основания $4$ и $10$ , боковая $5$ , высота $4$

✗ $S = 7 \cdot 5 = 35$

✓ $S = 7 \cdot 4 = 28$

Высота не к той стороне

▱: $A D = 15$ , $A B = 10$ , высота к $A B$ равна $12$

✗ $S = 15 \cdot 12$

✓ $S = 10 \cdot 12 = 120$

R03.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A BC D$ — параллелограмм, $A B = 6$ , $A D = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ и высоту к $A B$ .

$B H = \frac{1}{2} A B = 3$
$S = A B \cdot B H = 6 \cdot 3 = 18$
высота к $A B$ : $18 : 10 = 1, 8$

$B H ⊥ A D$ , значит $S = A D \cdot B H = 30$

высота к $A B$ : $30 : 6 = 5$

б) Равнобедренная трапеция, основания $4$ и $12$ , угол при большем основании $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$A H = 12 - 4 = 8$
$h = A H = 8$ ( $△ A B H$ равнобедренный)
$S = \frac{4 + 12}{2} \cdot 8 = 64$

отрезка два: $A H = \frac{12 - 4}{2} = 4$

$h = 4$ , $S = 8 \cdot 4 = 32$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика»; 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления по клику.
а) Шаг 1 верный. Ошибка 1: высота $B H$ проведена к $A D$ , а умножили на $A B$ — пара «сторона — высота» перепутана; $S = 10 \cdot 3 = 30$ . Ошибка 2: высоту к $A B$ ищут делением на $A B$ , а не на $A D$ : $30 : 6 = 5$ . Проверка: к меньшей стороне — бо́льшая высота ( $5 > 3$ ) ✓.
б) Ошибка в шаге 1: высоты из концов меньшего основания отсекают два равных отрезка, $A H = (12 - 4) : 2 = 4$ ; дальше рассуждение верное: $h = 4$ , $S = 32$ .

R03.2

Задания с самопроверкой · база

Решите — сверьте ответ

базаСторона параллелограмма $14$ , высота к ней $5$ . Найдите площадь. $70$
базаПлощадь треугольника $42$ , одна из сторон $12$ . Найдите высоту к этой стороне. $7$
базаОснования трапеции $7$ и $11$ , высота $6$ . Найдите площадь. $54$

базаДиагонали ромба $9$ и $14$ . Найдите площадь. $63$
базаКатеты прямоугольного треугольника $7$ и $10$ . Найдите площадь. $35$
базаСтороны параллелограмма $10$ и $16$ , угол между ними $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь. $80$

R03.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.В параллелограмме $A BC D$ $A B = 12$ , $A D = 20$ , $∠ A = 15 0^{\circ}$ . Найдите площадь. $120$
повыш.В трапеции $A BC D$ $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ . Найдите площадь. $42$
повыш.В треугольнике $A B = 8$ , $BC = 12$ , высота к $A B$ равна $9$ . Найдите высоту к $BC$ . $6$
практикаГазон — параллелограмм со стороной $40$ м и высотой к ней $25$ м. Пачка семян — на $50$ м $^{2}$ . Сколько пачек нужно? $20$

R03.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 17

Задание 17 · четырёхугольники

1. Сторона ромба равна $12$ , а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно $1$ . Найдите площадь этого ромба. $24$

Того же типа

Сторона ромба $10$ , расстояние от точки пересечения диагоналей до неё $3$ . Найдите площадь. $60$
Периметр ромба $40$ , один из углов $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь. $50$

В бланк — только число: 24, без «

S =

».

R03.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Сторона треугольника $16$ , высота к ней $5$ . Найдите $S$ . $40$
Основания трапеции $6$ и $14$ , высота $5$ . Найдите $S$ . $50$
Стороны параллелограмма $8$ и $15$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $60$
Равнобедренная трапеция: основания $5$ и $11$ , угол при основании $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ . $24$

Вариант 2

Сторона треугольника $18$ , высота к ней $7$ . Найдите $S$ . $63$
Диагонали ромба $12$ и $15$ . Найдите $S$ . $90$
Стороны параллелограмма $12$ и $9$ , угол $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $54$
Площадь параллелограмма $72$ , стороны $8$ и $12$ . Найдите высоту к стороне $8$ . $9$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем площадь треугольника отличается от площади параллелограмма?
Как найти высоту, если известны площадь и сторона?
Где взять высоту при угле 30°? 45°?

Домашнее задание

Стороны параллелограмма $8$ и $14$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите площадь.
Основания равнобедренной трапеции $6$ и $16$ , угол при основании $4 5^{\circ}$ . Найдите площадь.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchadi_parallelogramma_treugolnika_trapecii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-036 · Практикум: формулы для площади треугольника, параллелограмма, трапеции

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур», 14 ч · урок 9/14 · тип П
Единицы → слайды	R03.2 «Формулы для площади треугольника, параллелограмма, трапеции» → 2, 4–21; повторение R03.1 (свойства площадей) → 5; R01 (свойства параллелограмма, ромба, равнобедренной трапеции) → 7, 10, 11, 19
Результаты	ПР-7 = REQ-6.7 (площадь треугольника и многоугольных фигур, практические задачи) → 3–21 · ПР-1 (свойства четырёхугольников) → 7, 10, 11, 19 · EL-6.7 → 4–5, 7–13 · вид деятельности «Вычислять площади различных многоугольных фигур» → 6–20
ОГЭ	линия 17 (четырёхугольники) → 19
Вне урока	вывод формул — GEOM8-029; сложные фигуры — GEOM8-037; клетчатая бумага — GEOM8-038; площади подобных фигур — GEOM8-039; формула через диагонали и угол между ними, теорема Пифагора, синус — строка R04 и далее
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: формулы площади треугольника, параллелограмма, трапеции

Сегодня вы научитесь

Выбирать формулу

Вычислять площадь

Находить высоту

Решать задания ОГЭ

Всё, что понадобится сегодня

Площадь = основание × высота (с поправкой)

Каждая формула сводится к прямоугольнику

Параллелограмм

Треугольник

Трапеция

Ромб

Найдите площади

Высота — из прямоугольного треугольника

Образец: AB=8, AD=10, ∠A=30∘. Найдите SABCD​.

Сам: найдите площадь параллелограмма

Одна площадь — две пары «сторона — высота»

Образец: AD=15, AB=10, BH=8. Найдите высоту DK к AB.

Сам: параллелограмм

Площадь двумя способами

Образец: ∠C=90∘, AC=6, BC=8, AB=10. Найдите S и CH.

Сам: прямоугольный треугольник

Угол 45∘: высота равна отсечённому отрезку

Образец: AB=CD, BC=5, AD=13, ∠A=45∘. Найдите S.

Сам: равнобедренная трапеция

Через диагонали и через высоту

Образец: диагонали ромба 16 и 12, сторона 10. Найдите S и высоту.

Сам: ромб

Три способа найти высоту

Угол 30°

Угол 45°

Известна площадь

Когда высота общая

Общая высота

Медиана

Общее основание

Отношение площадей = отношение оснований

Образец: D∈AC, AD=4, DC=6, SABC​=40. Найдите SABD​.

Сам

Так нельзя

Забыли ½

Боковая сторона ≠ высота

Высота не к той стороне

Где ошибся ученик?

а) ABCD — параллелограмм, AB=6, AD=10, ∠A=30∘. Найдите S и высоту к AB.

б) Равнобедренная трапеция, основания 4 и 12, угол при большем основании 45∘. Найдите S.

Решите — сверьте ответ

Подумайте и решите

Задание 17 · четырёхугольники

Того же типа

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8-036 · Практикум: формулы для площади треугольника, параллелограмма, трапеции

Образец: $A B = 8$ , $A D = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

Образец: $A D = 15$ , $A B = 10$ , $B H = 8$ . Найдите высоту $DK$ к $A B$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 6$ , $BC = 8$ , $A B = 10$ . Найдите $S$ и $C H$ .

Угол $4 5^{\circ}$ : высота равна отсечённому отрезку

Образец: $A B = C D$ , $BC = 5$ , $A D = 13$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ .

Образец: диагонали ромба $16$ и $12$ , сторона $10$ . Найдите $S$ и высоту.

Образец: $D \in A C$ , $A D = 4$ , $D C = 6$ , $S_{A BC} = 40$ . Найдите $S_{A B D}$ .

а) $A BC D$ — параллелограмм, $A B = 6$ , $A D = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ и высоту к $A B$ .

б) Равнобедренная трапеция, основания $4$ и $12$ , угол при большем основании $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ .