Площадь · урок 8 из 14 · практикум

Практикум: свойства площадей геометрических фигур

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM8-035

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур» (14 ч), урок 8/14, единица R03.1 «Свойства площадей геометрических фигур». Тип — П (практикум). Новый материал по теме был на уроке GEOM8-028; формулы площадей треугольника и параллелограмма уже известны (GEOM8-029).
Хронометраж: Теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %), итого 45 мин.
Теория (11,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 опорная схема 2 · 5 единицы площади 1,5 · 9 свойство медианы 2,5 · 11 свойство трапеции 2 · 14 алгоритм 1,5. Теория на практикуме — короткие сводки и два доказательства; все показываются полностью.
Практика (33,5): 3 разминка 2 · 6 образец «единицы» 2,5 · 7 образец «дорожка» 2,5 · 8 задачи на сумму и разность 2,5 · 10 образец «доля площади» 2,5 · 12 образец «трапеция» 2,5 · 13 образец «параллелограмм» 2,5 · 15 ошибки 1,5 · 16 найди ошибку 2 · 17 база 3 · 18 повышенный 2 · 19 ОГЭ 2 · 20 самостоятельная 5 · 21 итог 1.
Если не успеваете: задачи 3–4 со сл. 18 — в ДЗ; на сл. 8 решить только первую фигуру. Теорию не выбрасывать.

R03.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Переводить единицы площади

$км^{2}$ , га, а, $м^{2}$ , $см^{2}$ (EL-6.8)

Находить площадь разбиением и достраиванием

сумма и разность площадей (ПР-7, REQ-6.7)

Делить площадь на равные части

медиана, диагонали, общая высота (EL-6.8)

Применять свойства площади в задачах

практических и в формате ОГЭ (ПР-7, REQ-6.7)

1 мин · теория
ПР-7 = REQ-6.7 (ФРП дословно): «Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором). Применять полученные умения в практических задачах».
EL-6.8 «Свойства площадей геометрических фигур. Отношение площадей подобных фигур» — сегодня первая часть; площади подобных фигур — GEOM8-032.
Сказать: сегодня 5 типов задач; в каждом — образец, потом задания того же типа сами.

повторение: GEOM8-028, GEOM8-029

Разминка · устно

Площади — в уме

Периметр квадрата $20$ . Его площадь? $25$
Диагональ делит квадрат площадью $18$ на два треугольника. Площадь одного? $9$
Площадь прямоугольника $36$ , одна сторона $4$ . Другая? $9$
Сторону квадрата увеличили в $2$ раза. Площадь — во сколько раз? в $4$

$1 м^{2} = ? дм^{2}$ $100$
Прямоугольники $3 \times 5$ и $2 \times 5$ приложили длинными сторонами. Площадь фигуры? $25$
Треугольник: основание $8$ , высота $5$ . Площадь? $20$
$1$ га $= ? м^{2}$ $10000$

R03.1

Опорная схема · свойства площади

Свойства площади и формулы

1. Равные фигуры

имеют равные площади

2. Фигура из частей

$S = S_{1} + S_{2}$

3. Квадрат

$S = a^{2}$

Прямоугольник

S = ab

Параллелограмм

S = ah

Треугольник

S = \frac{1}{2} ah

R03.1

Единицы площади

Лестница единиц: каждый шаг — 100

Почему 100?

1 дм^{2} = 10 \cdot 10 = 100 см^{2}

Два шага — 10 000

1 м^{2} = 10000 см^{2}

Земля

1 а = 100 м^{2}, 1 га = 10000 м^{2}

R03.1

Образец → сам · единицы площади

Сколько шагов по лестнице?

Образец: переведите

$3, 5 га = 3, 5 \cdot 10000 = 35000 м^{2}$ га → а → $м^{2}$ : два шага вправо, $\cdot 100 \cdot 100$
$2400 см^{2} = 2400 : 10000 = 0, 24 м^{2}$ $см^{2}$ → $дм^{2}$ → $м^{2}$ : два шага влево, $: 100 : 100$
$12$ соток $= 12 \cdot 100 = 1200 м^{2}$ сотка — это ар: один шаг вправо

Сам:

$0, 6 м^{2} = ? см^{2}$ $6000$
$1500 м^{2} = ?$ а $15$
$4 км^{2} = ?$ га $400$
$350 дм^{2} = ? м^{2}$ $3, 5$

R03.1

Образец → сам · достраивание

Дорожка шириной 1 м вокруг клумбы 6 × 4 м

Внешний прямоугольник $8 \times 6$ дорожка с двух сторон: $6 + 2$ и $4 + 2$
$S = 8 \cdot 6 - 6 \cdot 4 = 24 м^{2}$ достраивание: из большой площади вычли клумбу
Проверка: $2 \cdot 8 + 2 \cdot 4 = 24$ разбиение на 4 полосы шириной 1 м

Сам:

Бассейн $10 \times 5$ м, вокруг дорожка шириной $1$ м. Площадь дорожки? $34 м^{2}$
Из квадрата $8 \times 8$ вырезали квадрат $3 \times 3$ . Площадь остатка? $55$
Ковёр $3 \times 2$ м в комнате $5 \times 4$ м. Сколько $м^{2}$ пола открыто? $14 м^{2}$

R03.1

Задачи · сумма и разность площадей

Разбиение или достраивание?

базаНайдите площадь фигуры двумя способами. $36$

практикаСтена с окном и дверью (размеры в метрах). Сколько $м^{2}$ покрасить? $9, 1 м^{2}$

R03.1

Свойство медианы · доказательство

Медиана делит треугольник на два равновеликих

$A M = MC$ $BM$ — медиана
$B H$ — общая высотадля $△ A BM$ и $△ CBM$
$S_{A BM} = \frac{1}{2} A M \cdot B H = \frac{1}{2} MC \cdot B H = S_{CBM}$ формула площади треугольника

S_{A BC} = 30 \Rightarrow S_{A BM} = 15

R03.1

Образец → сам · доля площади

Диагонали параллелограмма делят площадь

Образец: $S_{A BC D} = 48$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите $S_{A OB}$ .

$S_{A BC} = 48 : 2 = 24$ диагональ $A C$ делит параллелограмм на два равных треугольника
$A O = OC$ диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
$S_{A OB} = 24 : 2 = 12$ $BO$ — медиана $△ A BC$

Сам (чертёж — в тетради):

Диагонали параллелограмма $A BC D$ пересекаются в $O$ , $S_{BOC} = 9$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $36$
$M$ — середина $A C$ , $K$ — середина $BM$ , $S_{A BC} = 40$ . Найдите $S_{A K M}$ . $10$
$D \in A C$ , $A D : D C = 1 : 3$ , $S_{A BC} = 32$ . Найдите $S_{A B D}$ . $8$

R03.1

Свойство трапеции · общее основание

Трапеция: $S_{A BO} = S_{D CO}$

$S_{A B D} = S_{A C D}$ общее основание $A D$ , высоты равны: $BC ∥ A D$
$S_{A BO} = S_{A B D} - S_{A O D}$ ,
$S_{D CO} = S_{A C D} - S_{A O D}$ из равных площадей вычли одно и то же

S_{A BO} = S_{D CO}

Проверь:

S_{A C D} = 30

,

S_{A O D} = 18

. Найдите

S_{A BO}

.

12

R03.1

Образец → сам · трапеция

Общее основание — равные площади

Образец: $A D ∥ BC$ , $S_{A B D} = 50$ , $S_{A O D} = 32$ . Найдите $S_{D CO}$ .

$S_{A C D} = S_{A B D} = 50$ общее основание $A D$ , равные высоты ( $BC ∥ A D$ )
$S_{D CO} = S_{A C D} - S_{A O D} = 50 - 32 = 18$ свойство 2: разность площадей

Сам: $A BC D$ — трапеция, $A D ∥ BC$

$S_{A BO} = 15$ , $S_{A O D} = 25$ . Найдите $S_{A C D}$ . $40$
$S_{A BC} = 20$ . Найдите $S_{D BC}$ . $20$
$S_{A BO} = 6$ , $S_{BOC} = 4$ . Найдите $S_{BC D}$ . $10$

R03.1

Образец → сам · треугольник в параллелограмме

Половина параллелограмма

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $S_{A BC D} = 60$ , $M \in BC$ . Найдите $S_{A M D}$ .

$M H = h$ — высота параллелограмма $BC ∥ A D$ : расстояние от $M$ до $A D$ постоянно
$S_{A M D} = \frac{1}{2} A D \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30$ $S_{A BC D} = A D \cdot h$

Сам: $A BC D$ — параллелограмм

$S_{A BC D} = 50$ , $K \in C D$ . Найдите $S_{A B K}$ . $25$
$M \in BC$ , $S_{A M D} = 18$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $36$
$M \in BC$ , $S_{A BM} = 7$ , $S_{MC D} = 5$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $24$

R03.1

Алгоритм

Как выбрать способ

R03.1

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

$4, 5 м^{2} = 450 см^{2}$

от $м^{2}$ до $см^{2}$ — два шага по 100

$4, 5 \cdot 10000 = 45000 см^{2}$

Сторона × 2 ⇒ площадь × 2

в квадрат $2 a \times 2 a$ входят 4 квадрата $a \times a$

$(2 a)^{2} = 4 a^{2}$ — в 4 раза

Любой отрезок из вершины делит площадь пополам

высота общая, но основания разные

пополам делит только медиана

R03.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Дорожка шириной $1$ м вокруг клумбы $6 \times 4$ м

$S = 7 \cdot 5 - 6 \cdot 4 = 11 м^{2}$

внешний прямоугольник $8 \times 6$

$48 - 24 = 24 м^{2}$

б) $M \in A C$ , $A M = 2$ , $MC = 6$ , $S_{A BC} = 24$ . Найти $S_{A BM}$ .

$BM$ делит площадь пополам: $S_{A BM} = 12$

$BM$ — не медиана; высота общая

$S_{A BM} = 24 \cdot \frac{2}{8} = 6$

в) Переведите $0, 8$ га в $м^{2}$

$0, 8 \cdot 100 = 80 м^{2}$

га → а → $м^{2}$ : два шага

$0, 8 \cdot 10000 = 8000 м^{2}$

R03.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Сколько $м^{2}$ в $2, 5$ га? $25000$
Диагональ делит прямоугольник $7 \times 10$ на два треугольника. Площадь одного? $35$
$BM$ — медиана $△ A BC$ , $S_{A BC} = 26$ . Найдите $S_{A BM}$ . $13$

Из квадрата $10 \times 10$ вырезали прямоугольник $3 \times 4$ . Площадь остатка? $88$
Диагонали делят параллелограмм на 4 треугольника, площадь одного $7$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $28$
Участок $6$ соток — прямоугольник со стороной $20$ м. Другая сторона? $30$ м

R03.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Фото $15 \times 10$ см в рамке шириной $2$ см. Найдите площадь рамки. $116 см^{2}$
повыш. $K$ и $M$ — середины сторон $A B$ и $A C$ треугольника $A BC$ , $S_{A BC} = 48$ . Найдите $S_{A K M}$ . $12$
повыш.Трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$ , $O$ — точка пересечения диагоналей, $S_{A B D} = 30$ , $S_{A O D} = 20$ , $S_{BOC} = 5$ . Найдите $S_{A BC D}$ . $45$
из жизниКомната $5 \times 4$ м, высота $2, 7$ м, окно $1, 5 \times 1, 6$ м, дверь $0, 9 \times 2$ м. Сколько $м^{2}$ обоев на стены? $44, 4 м^{2}$

R03.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 17

Часть параллелограмма

ОГЭ · линия 17

1. Площадь параллелограмма $A BC D$ равна $56$ . Точка $E$ — середина стороны $A B$ . Найдите площадь трапеции $EBC D$ . $42$

План решения

$S_{A E D} = \frac{1}{2} A E \cdot h$ $h$ — высота параллелограмма к стороне $A B$
$A E = \frac{1}{2} A B \Rightarrow S_{A E D} = \frac{1}{4} S_{A BC D}$ $S_{A BC D} = A B \cdot h$
$S_{EBC D} = S_{A BC D} - S_{A E D}$ свойство 2: разность площадей

2. То же, но $A E : EB = 1 : 3$ . Найдите $S_{EBC D}$ . $49$

R03.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$1, 8$ га $= ? м^{2}$ $18000$
$BM$ — медиана $△ A BC$ , $S_{A BC} = 34$ . Найдите $S_{CBM}$ . $17$
Из квадрата $6 \times 6$ вырезали квадрат $2 \times 2$ . Площадь остатка? $32$
$A BC D$ — параллелограмм, $S_{A BC D} = 44$ , $M \in BC$ . Найдите $S_{A M D}$ . $22$

Вариант 2

$50000 см^{2} = ? м^{2}$ $5$
Диагонали параллелограмма $A BC D$ пересекаются в $O$ , $S_{A BC D} = 52$ . Найдите $S_{A OB}$ . $13$
Дорожка шириной $1$ м вокруг клумбы $4 \times 3$ м. Её площадь? $18 м^{2}$
Трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$ , $O$ — точка пересечения диагоналей, $S_{A B D} = 24$ , $S_{A O D} = 15$ . Найдите $S_{D CO}$ . $9$

R03.1

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Главное

S = S_{1} + S_{2}

S = S_{бол .} - S_{выреза}

1 м^{2} = 10000 см^{2}

Медиана делит площадь пополам.

Проверь себя

Перевожу га, а, м², см².
Выбираю: разбиение или достраивание.
Нахожу долю площади по медиане, диагоналям, общему основанию.

Дома

$3, 2$ га $= ? м^{2}$
Фото $20 \times 15$ см в рамке шириной $3$ см. Площадь рамки?
Диагонали делят параллелограмм на 4 треугольника, $S$ одного $= 7, 5$ . Найдите $S_{A BC D}$ .
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchad_mnogougolnika.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-035 · Практикум: Свойства площадей геометрических фигур

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур», 14 ч · урок 8/14 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R03.1 «Свойства площадей геометрических фигур» → 2, 4–21 · опора на GEOM8-028, GEOM8-029 → 3–4
Результаты	ПР-7 = REQ-6.7 (вычислять площади многоугольных фигур, практические задачи) → 2, 7–8, 13, 17–21 · EL-6.8 (свойства площадей) → 2, 4–6, 9–16
ОГЭ	линия 17 (четырёхугольники) → 19; приёмы линии 17 → 10, 12–13
Вне урока	практикум по формулам площадей — GEOM8-036 (R03.2); сложные фигуры — R03.3; клетчатая бумага — R03.4; площади подобных фигур — R03.5; метод вспомогательной площади — R03.7
Время	теория 11,5 мин · практика 33,5 мин (74 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: свойства площадей геометрических фигур

Сегодня вы научитесь

Переводить единицы площади

Находить площадь разбиением и достраиванием

Делить площадь на равные части

Применять свойства площади в задачах

Площади — в уме

Свойства площади и формулы

1. Равные фигуры

2. Фигура из частей

3. Квадрат

Прямоугольник

Параллелограмм

Треугольник

Лестница единиц: каждый шаг — 100

Почему 100?

Два шага — 10 000

Земля

Сколько шагов по лестнице?

Образец: переведите

Сам:

Дорожка шириной 1 м вокруг клумбы 6 × 4 м

Сам:

Разбиение или достраивание?

Медиана делит треугольник на два равновеликих

Диагонали параллелограмма делят площадь

Образец: SABCD​=48, O — точка пересечения диагоналей. Найдите SAOB​.

Сам (чертёж — в тетради):

Трапеция: SABO​=SDCO​

Общее основание — равные площади

Образец: AD∥BC, SABD​=50, SAOD​=32. Найдите SDCO​.

Сам: ABCD — трапеция, AD∥BC

Половина параллелограмма

Образец: ABCD — параллелограмм, SABCD​=60, M∈BC. Найдите SAMD​.

Сам: ABCD — параллелограмм

Как выбрать способ

Так нельзя

Где ошибся ученик?

а) Дорожка шириной 1 м вокруг клумбы 6×4 м

б) M∈AC, AM=2, MC=6, SABC​=24. Найти SABM​.

в) Переведите 0,8 га в м2

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Часть параллелограмма

План решения

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Главное

Проверь себя

Дома

GEOM8-035 · Практикум: Свойства площадей геометрических фигур

Образец: $S_{A BC D} = 48$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите $S_{A OB}$ .

Трапеция: $S_{A BO} = S_{D CO}$

Образец: $A D ∥ BC$ , $S_{A B D} = 50$ , $S_{A O D} = 32$ . Найдите $S_{D CO}$ .

Сам: $A BC D$ — трапеция, $A D ∥ BC$

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $S_{A BC D} = 60$ , $M \in BC$ . Найдите $S_{A M D}$ .

Сам: $A BC D$ — параллелограмм

а) Дорожка шириной $1$ м вокруг клумбы $6 \times 4$ м

б) $M \in A C$ , $A M = 2$ , $MC = 6$ , $S_{A BC} = 24$ . Найти $S_{A BM}$ .

в) Переведите $0, 8$ га в $м^{2}$