Площадь многоугольных фигур · урок 7 из 14 · новый материал

Метод вспомогательной площади

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R03 · GEOM8-034

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур» (14 ч), урок 7/14, единица R03.7 «Решение задач с помощью метода вспомогательной площади». Тип — Н (новый материал).
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 5 проблема 1,5 · 6 идея метода 2 · 7 алгоритм 1 · 9 свойство высот 2,5 · 12 доказательство 2,5 · 14 общая высота 2. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (31,5): 3 разминка 2 · 4 «Вспомним» 1,5 · 8 образец «высота к гипотенузе» 2,5 · 10 образец «параллелограмм» 2,5 · 11 образец «ромб» 2 · 13 образец «точка внутри треугольника» 1,5 · 15 образец «общая высота» 2 · 16 ошибки 1,5 · 17 найди ошибку 2 · 18 база 3 · 19 повышенный 3 · 20 ОГЭ 2 · 21 задача из жизни 1 · 22 самостоятельная 4 · 23 итог 1.
Опора: формулы площадей (GEOM8-029), свойства площади (GEOM8-028). Теорему Пифагора ещё не проходили (R04) — во всех задачах нужные длины даны.
Если не успеваете: задачи 3–4 со сл. 19 и задачу из жизни (сл. 21) — в ДЗ; теорию не выбрасывать. Сильный класс: образцы 10–11 устно, больше времени на сл. 19.

R03.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Записывать площадь двумя способами

и составлять из этого уравнение (ПР-7, REQ-6.7)

Находить высоты и расстояния

через площадь, без измерений (ПР-7, EL-6.7)

Сравнивать площади треугольников

с общей высотой по их основаниям (EL-6.8)

Решать практическую задачу и ОГЭ

задание 17 «Четырёхугольники» (ПР-1, ПР-7)

1 мин · теория
ПР-7 = REQ-6.7 (ФРП дословно): «Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором). Применять полученные умения в практических задачах». Сегодня ключевые слова — «различными способами».
ПР-1: «Распознавать основные виды четырехугольников, их элементы, пользоваться их свойствами при решении геометрических задач» — параллелограмм и ромб (сл. 10–11, 20). EL-6.7 — формулы площадей, EL-6.8 — свойства площадей.
Вопрос классу: можно ли найти длину отрезка, если известны только площади? Сегодня ответим «да».

повторение: R03.2, R03.1

Разминка · устно

Площади и уравнения — в уме

Катеты $6$ и $8$ . Площадь? $24$
Параллелограмм: $a = 7$ , $h = 3$ . $S$ ? $21$
Ромб: диагонали $4$ и $10$ . $S$ ? $20$
$10 h = 48$ $h = 4, 8$

$\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h = 30$ $h = 6$
$36$ разделить в отношении $1 : 2$ $12$ и $24$
Что короче: перпендикуляр или наклонная? перпендикуляр
Фигуру разрезали на части $5$ и $7$ . Её $S$ ? $12$

2 мин · практика
Ответы (по клику): 1) ½·6·8 = 24; 2) 7·3 = 21; 3) ½·4·10 = 20; 4) h = 48 : 10 = 4,8; 5) 5h = 30, h = 6; 6) 36 : 3 = 12, части 12 и 24; 7) перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки; 8) 5 + 7 = 12 (площадь фигуры равна сумме площадей частей).
Каждое задание — приём урока: 1–3 — формулы площадей (запись площади «первым способом»), 4–5 — уравнение после приравнивания, 6 — отношение площадей при общей высоте, 7 — проверка ответа (высота короче стороны), 8 — свойство площади для разбиения.

повторение: R03.2

Вспомним · устно

Какие формулы площади мы знаем?

S = \frac{1}{2} ah

треугольник

S = \frac{1}{2} ab

прямоугольный △

S = ah

параллелограмм

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

ромб

Вопрос: у треугольника три высоты. Какую сторону брать в формуле $S = \frac{1}{2} ah$ ?

R03.7

Проблема

Как найти высоту $C H$ без линейки?

Дано:

△ A BC

,

∠ C = 9 0^{\circ}

,

A C = 6

,

BC = 8

,

A B = 10

.
Найти: высоту

C H

.

Подсказка. Площадь

△ A BC

можно посчитать двумя способами.

Какие две пары «основание — высота» видны на чертеже?

R03.7

Идея метода

Одна площадь — две записи

\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8

=

\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h

48 = 10 h, h = 4, 8

h = \frac{ab}{c}

высота к гипотенузе

2 мин · теория
Левый треугольник: площадь через катеты (один катет — высота к другому). Правый — тот же треугольник: основание — гипотенуза, высота — CH.
Площадь одна, поэтому выражения равны — получаем уравнение с одним неизвестным h. Ответ: CH = 4,8. Проверка: 4,8 меньше обоих катетов (перпендикуляр короче наклонной) ✓.
Общая формула h = ab/c — для прямоугольного треугольника; запоминать не обязательно, важнее уметь вывести за 10 секунд.
Типичная ошибка: ½ написали только в одной части — h = 9,6, больше катета, абсурд.

R03.7

Алгоритм

Метод вспомогательной площади — 4 шага

1

Выбрать фигуру

площадь которой можно записать двумя способами

2

Записать $S$ первым способом

через известные элементы

3

Записать $S$ вторым способом

через искомый элемент $x$

4

Приравнять

и решить уравнение: $S_{1} = S_{2}$

Так находят: высоты · расстояние от точки до прямой · отношения отрезков и площадей

R03.7

Образец → сам · высота к гипотенузе

Площадь через катеты = площадь через гипотенузу

Образец: катеты $15$ и $20$ , гипотенуза $25$ . Найдите высоту $C H$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$ катет — высота к другому катету
$S = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot h$ основание — гипотенуза, высота — $C H$
$\frac{1}{2} \cdot 25 h = 150, h = 12$ приравняли; $12$ короче катета $15$ ✓

Сам: найдите неизвестное

Катеты $9$ и $12$ , гипотенуза $15$ . Высота к гипотенузе?
$7, 2$
Катеты $18$ и $24$ , гипотенуза $30$ . Высота к гипотенузе?
$14, 4$
Гипотенуза $10$ , высота к ней $4, 8$ , один катет $6$ . Другой катет?
$8$

R03.7

Свойство высот

Больше сторона — меньше высота

a h_{a} = b h_{b} = c h_{c} = 2 S

Пример. $a = 14$ , $h_{a} = 12$ , $b = 15$ . Найдите $h_{b}$ .

14 \cdot 12 = 15 \cdot h_{b}

h_{b} = \frac{168}{15} = 11, 2

2,5 мин · теория
Три высоты появляются по одной; каждая — своим цветом, вместе со своей стороной. Подписи: hₐ — к стороне a = BC и т. д.
Каждое произведение «сторона × высота к ней» равно 2S — значит, они равны между собой. Высоты обратно пропорциональны сторонам: к большей стороне — меньшая высота.
Ответ: S = ½·14·12 = 84, hb = 2·84/15 = 11,2. Проверка по свойству: b = 15 > a = 14, значит hb < ha = 12 ✓.
Для сильных: hc = 168/13 ≈ 12,9 — самая длинная высота к самой короткой стороне c = 13.

R03.7 · R03.2

Образец → сам · параллелограмм

Каждая сторона — со своей высотой

Образец: стороны $10$ и $8$ , высота к $A D$ равна $6$ . Найдите высоту к $A B$ .

$S = A D \cdot 6 = 10 \cdot 6 = 60$ основание $A D$ и высота к нему
$S = A B \cdot h = 8 h$ основание $A B$ и высота $DH$ к нему
$8 h = 60, h = 7, 5$ приравняли; к меньшей стороне — бо́льшая высота ✓

Сам: найдите вторую высоту или сторону

Стороны $12$ и $9$ , высота к большей стороне $6$ . Высота к меньшей?
$8$
Стороны $6$ и $10$ , высота к стороне $6$ равна $5$ . Высота к стороне $10$ ?
$3$
Высоты $4$ и $6$ ; сторона, к которой проведена высота $4$ , равна $9$ . Другая сторона?
$6$

R03.7 · R03.2

Образец → сам · ромб

Через диагонали и через сторону

Образец: диагонали $12$ и $16$ , сторона $10$ . Найдите высоту ромба.

$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ площадь через диагонали
$S = ah = 10 h$ ромб — параллелограмм: сторона × высота
$10 h = 96, h = 9, 6$ приравняли две записи; все высоты ромба равны

Сам: ромб

Диагонали $6$ и $8$ , сторона $5$ . Высота?
$4, 8$
Сторона $5$ , высота $4, 8$ , одна диагональ $6$ . Другая диагональ?
$8$
Площадь $60$ , сторона $10$ . Высота?
$6$

R03.7

Пример · доказательство

Точка внутри равностороннего треугольника

$A B = BC = A C = a$ , высота $h$ .
Докажите: $d_{1} + d_{2} + d_{3} = h$ .

$S = S_{A MC} + S_{A MB} + S_{BMC}$ разбили △ABC на три треугольника с вершиной $M$
$S = \frac{1}{2} a d_{1} + \frac{1}{2} a d_{2} + \frac{1}{2} a d_{3} = \frac{1}{2} a (d_{1} + d_{2} + d_{3})$ основание каждого — сторона $a$ , высота — $d_{i}$
$S = \frac{1}{2} ah \Rightarrow d_{1} + d_{2} + d_{3} = h$ приравняли две записи площади

2,5 мин · теория
Шаг 1 метода здесь — разбиение: соединяем M с вершинами (треугольники подсвечиваются по щелчку). d₁, d₂, d₃ — перпендикуляры из M к сторонам, это высоты маленьких треугольников.
Вопрос: зависит ли сумма от положения точки M? (Нет — всегда равна h.) Вывод неожиданный, а получен в три строки — сила метода.
Пример: h = 9, d₁ = 2, d₂ = 3 ⇒ d₃ = 4 (разберём на сл. 13, пригодится в ДЗ).
Ошибка: взять разные основания — у равностороннего треугольника все стороны равны a, поэтому a выносится за скобки.

R03.7

Образец → сам · точка внутри треугольника

Сумма расстояний равна высоте

Образец: точка $M$ внутри равностороннего $△ A BC$ удалена от сторон на $1$ , $2$ и $3$ . Найдите его высоту.

$S = \frac{1}{2} a (1 + 2 + 3)$ разбили на $△ A MC$ , $△ A MB$ , $△ BMC$
$S = \frac{1}{2} ah$ та же площадь через высоту
$h = 1 + 2 + 3 = 6$ приравняли и сократили на $\frac{1}{2} a$

Сам: равносторонний треугольник

$h = 12$ , расстояния от $M$ до двух сторон $3$ и $4$ . До третьей?
$5$
Все три расстояния от точки до сторон равны $3$ . Высота?
$9$
$S = 36$ , сторона $12$ . Сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон?
$6$

R03.7

Общая высота

Треугольники с общей высотой

\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{A D}{D C}

Пример. $A D : D C = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 40$ .

S_{1} = 40 \cdot \frac{2}{5} = 16, S_{2} = 24

Следствие. Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади.

R03.7 · R03.1

Образец → сам · общая высота

Площади относятся как основания

Образец: $D \in A C$ , $A D : D C = 3 : 5$ , $S_{A B D} = 12$ . Найдите $S_{D BC}$ и $S_{A BC}$ .

$\frac{S _{A B D}}{S _{D BC}} = \frac{A D}{D C} = \frac{3}{5}$ общая высота $B H$ из вершины $B$
$S_{D BC} = 12 \cdot \frac{5}{3} = 20$ одна часть — $12 : 3 = 4$ , пять частей — $20$
$S_{A BC} = 12 + 20 = 32$ свойство площади: сумма частей

Сам: $D \in A C$

$A D : D C = 1 : 2$ , $S_{A BC} = 30$ . Найдите $S_{A B D}$ .
$10$
$B D$ — медиана, $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{A B D}$ .
$25$
$A D = 4$ , $D C = 6$ , $S_{D BC} = 18$ . Найдите $S_{A B D}$ .
$12$

R03.7

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Потеряли $\frac{1}{2}$

$6 \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h \Rightarrow h = 9, 6$ — больше катета!

Верно: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h$ , $h = 4, 8$

Не та пара

Сторона $8$ и высота $6$ к стороне $10$ : $8 \cdot 6 = 10 h$ .

Верно: $10 \cdot 6 = 8 \cdot h$ — пара «сторона — её высота»

Высота «снаружи»

«В тупоугольном △ формула не работает».

Верно: высота падает на продолжение стороны, $S = \frac{1}{2} a h_{a}$ верна

Отношение площадей

$S_{1} : S_{2} = A D : D C$ для любых треугольников.

Верно: только при общей высоте

1,5 мин · практика
Каждую карточку — вопросом «Что здесь не так?», затем открыть исправление. Как поймать ошибку проверкой: высота не может быть длиннее стороны, проведённой из той же вершины (перпендикуляр короче наклонной).
Пара: у каждой высоты своя сторона — та, к которой она перпендикулярна. Подсказка: на чертеже отмечать пары одним цветом.
Общая высота: треугольники должны иметь общую вершину, а основания — лежать на одной прямой.

R03.7

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Катеты $6$ и $8$ , гипотенуза $10$ . Высота к гипотенузе?

$\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 10 h$ , $h = 2, 4$

справа потеряли $\frac{1}{2}$ : $24 = 5 h$

$h = 4, 8$

б) Параллелограмм: стороны $12$ и $8$ , высота к $12$ равна $4$ . Высота к $8$ ?

$12 h = 8 \cdot 4$ , $h = \frac{8}{3}$

пары перепутаны: $12 \cdot 4 = 8 h$

$h = 6$

в) $D \in A C$ , $A D = 2$ , $D C = 6$ , $S_{A BC} = 40$ . Найти $S_{A B D}$ .

$S_{A B D} = 40 \cdot \frac{2}{6} = 13 \frac{1}{3}$

делить надо на всю $A C = 8$

$S_{A B D} = 40 \cdot \frac{2}{8} = 10$

R03.7

Задания с самопроверкой · база

Площадь двумя способами

базаКатеты $9$ и $12$ , гипотенуза $15$ . Найдите высоту к гипотенузе. $7, 2$
база $A B = 8$ , $BC = 12$ , высота к $A B$ равна $6$ . Найдите высоту к $BC$ . $4$
базаРомб: диагонали $18$ и $24$ , сторона $15$ . Найдите высоту. $14, 4$

базаПараллелограмм: стороны $5$ и $8$ , высота к стороне $8$ равна $4$ . Найдите высоту к стороне $5$ . $6, 4$
базаСтороны треугольника $10$ и $15$ , высота к стороне $15$ равна $6$ . Найдите высоту к стороне $10$ . $9$
база $D \in A C$ , $A D = 3$ , $D C = 9$ , $S_{A BC} = 48$ . Найдите $S_{D BC}$ . $36$

R03.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $D \in A C$ , $A D : D C = 1 : 3$ , $S_{A BC} = 36$ . Найдите $S_{A B D}$ . $9$
повыш.Равнобедренный △: боковые стороны $5$ , основание $6$ , высота к основанию $4$ . Найдите высоту к боковой стороне. $4, 8$
повыш.Высоты параллелограмма $6$ и $8$ , периметр $56$ . Найдите его стороны. $16$ и $12$
повыш. $D$ — середина $A C$ , $E$ — середина $B D$ , $S_{A BC} = 48$ . Найдите $S_{A BE}$ . $12$

R03.7 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 17

Ответ — одно число

1. Стороны параллелограмма равны $9$ и $15$ . Высота, опущенная на сторону $9$ , равна $10$ . Найдите высоту, опущенную на сторону $15$ . $6$

Тот же тип

Стороны параллелограмма $10$ и $16$ , высота на сторону $16$ равна $5$ . Найдите высоту на сторону $10$ . $8$
Стороны параллелограмма $6$ и $10$ , высота на сторону $10$ равна $3$ . Найдите высоту на сторону $6$ . $5$

В бланк — только число: 6, без «

h =

».

R03.6 · R03.7

Задача из жизни

Кратчайшее расстояние — это высота

практикаУчасток — прямоугольный треугольник со сторонами $30$ , $40$ и $50$ м. От угла $9 0^{\circ}$ к дороге ведут кратчайшую тропинку. Её длина $x$ ? $24$ м

практикаВымпел — равнобедренный треугольник: основание $24$ см, высота к нему $16$ см, боковые стороны по $20$ см. Распорка $x$ идёт от конца основания перпендикулярно боковой стороне. Её длина? $19, 2$ см

R03.7

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

В задачах 4: точка $D$ лежит на стороне $A C$ треугольника $A BC$ .

Вариант 1

Катеты $12$ и $16$ , гипотенуза $20$ . Высота к гипотенузе? $9, 6$
Параллелограмм: стороны $6$ и $9$ , высота к стороне $9$ равна $4$ . Высота к стороне $6$ ? $6$
Ромб: диагонали $30$ и $40$ , сторона $25$ . Высота? $24$
$A D : D C = 2 : 5$ , $S_{A BC} = 35$ . Найдите $S_{A B D}$ . $10$

Вариант 2

Катеты $24$ и $32$ , гипотенуза $40$ . Высота к гипотенузе? $19, 2$
Параллелограмм: стороны $8$ и $12$ , высота к стороне $12$ равна $6$ . Высота к стороне $8$ ? $9$
Ромб: диагонали $14$ и $48$ , сторона $25$ . Высота? $13, 44$
$A D : D C = 3 : 4$ , $S_{A B D} = 18$ . Найдите $S_{A BC}$ . $42$

R03.7

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Главное

S_{1} = S_{2}

a h_{a} = b h_{b} = 2 S

\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{A D}{D C}

Проверь себя

Записываю площадь двумя способами.
Беру пару «сторона — её высота».
Проверяю: высота короче стороны.

Дома

Катеты $21$ и $28$ , гипотенуза $35$ . Найдите высоту к гипотенузе.
Расстояния от точки внутри равностороннего △ до сторон $2$ , $3$ , $4$ . Найдите его высоту.
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchadi_parallelogramma_treugolnika_trapecii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-034 · Метод вспомогательной площади

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур», 14 ч · урок 7/14 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R03.7 «Решение задач с помощью метода вспомогательной площади» → 2, 5–23 · опора на R03.2 «Формулы для площади треугольника, параллелограмма, трапеции» → 3–4, 10–11 · R03.1 (свойства площади) → 3, 15 · R03.6 (практическая задача) → 21
Результаты	ПР-7 = REQ-6.7 (площади различными способами, практические задачи) → 2, 5–23 · ПР-1 = REQ-6.1 (свойства четырёхугольников) → 10, 11, 20 · EL-6.7 → 4, 6, 10, 11 · EL-6.8 → 14, 15
Виды деятельности	«Разбирать примеры использования вспомогательной площади для решения геометрических задач» → 5–15, 17 · «Решать задачи на площадь с практическим содержанием» → 21
ОГЭ	линия 17 (четырёхугольники) → 10, 11, 20; линия 15 (треугольники) — по типу → 8, 18, 19
Вне урока	теорема Пифагора (длины сторон даны) — R04; площадь трапеции и через синус угла — не используются; площади подобных фигур — GEOM8-032; практикум по свойствам площадей — GEOM8-035
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Метод вспомогательной площади

Сегодня вы научитесь

Записывать площадь двумя способами

Находить высоты и расстояния

Сравнивать площади треугольников

Решать практическую задачу и ОГЭ

Площади и уравнения — в уме

Какие формулы площади мы знаем?

Как найти высоту CH без линейки?

Одна площадь — две записи

Метод вспомогательной площади — 4 шага

Выбрать фигуру

Записать S первым способом

Записать S вторым способом

Приравнять

Площадь через катеты = площадь через гипотенузу

Образец: катеты 15 и 20, гипотенуза 25. Найдите высоту CH.

Сам: найдите неизвестное

Больше сторона — меньше высота

Каждая сторона — со своей высотой

Образец: стороны 10 и 8, высота к AD равна 6. Найдите высоту к AB.

Сам: найдите вторую высоту или сторону

Через диагонали и через сторону

Образец: диагонали 12 и 16, сторона 10. Найдите высоту ромба.

Сам: ромб

Точка внутри равностороннего треугольника

Сумма расстояний равна высоте

Образец: точка M внутри равностороннего △ABC удалена от сторон на 1, 2 и 3. Найдите его высоту.

Сам: равносторонний треугольник

Треугольники с общей высотой

Площади относятся как основания

Образец: D∈AC, AD:DC=3:5, SABD​=12. Найдите SDBC​ и SABC​.

Сам: D∈AC

Так нельзя

Потеряли 21​

Не та пара

Высота «снаружи»

Отношение площадей

Где ошибся ученик?

а) Катеты 6 и 8, гипотенуза 10. Высота к гипотенузе?

б) Параллелограмм: стороны 12 и 8, высота к 12 равна 4. Высота к 8?

в) D∈AC, AD=2, DC=6, SABC​=40. Найти SABD​.

Площадь двумя способами

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Тот же тип

Кратчайшее расстояние — это высота

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Главное

Проверь себя

Дома

GEOM8-034 · Метод вспомогательной площади

Как найти высоту $C H$ без линейки?

Записать $S$ первым способом

Записать $S$ вторым способом

Образец: катеты $15$ и $20$ , гипотенуза $25$ . Найдите высоту $C H$ .

Образец: стороны $10$ и $8$ , высота к $A D$ равна $6$ . Найдите высоту к $A B$ .

Образец: диагонали $12$ и $16$ , сторона $10$ . Найдите высоту ромба.

Образец: точка $M$ внутри равностороннего $△ A BC$ удалена от сторон на $1$ , $2$ и $3$ . Найдите его высоту.

Образец: $D \in A C$ , $A D : D C = 3 : 5$ , $S_{A B D} = 12$ . Найдите $S_{D BC}$ и $S_{A BC}$ .

Сам: $D \in A C$

Потеряли $\frac{1}{2}$

а) Катеты $6$ и $8$ , гипотенуза $10$ . Высота к гипотенузе?

б) Параллелограмм: стороны $12$ и $8$ , высота к $12$ равна $4$ . Высота к $8$ ?

в) $D \in A C$ , $A D = 2$ , $D C = 6$ , $S_{A BC} = 40$ . Найти $S_{A B D}$ .