Площадь многоугольных фигур · урок 6 из 14 · новый материал

Задачи с практическим содержанием

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R03 · GEOM8-033

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур» (14 ч), урок 6/14, единица R03.6 «Задачи с практическим содержанием». Тип урока — Н.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 проблема 1,5 · 5 свойства и формулы 2 · 6 алгоритм 3 · 8 ответ по смыслу 2 · 10 единицы площади 2,5. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32): 3 разминка 2,5 · 7 образец «пол» 3 · 9 образец «стена» 3 · 11 образец «участок» 3 · 12 образец «план» 3 · 13 ошибки 1,5 · 14 найди ошибку 2 · 15 база 3 · 16 повышенный 2,5 · 17 ОГЭ 2 · 18 самостоятельная 5 · 19 итог 1,5.
Нужны: калькулятор (по ФРП — «пользуясь, где необходимо, калькулятором»), рулетка или линейка для домашнего измерения.
Если не успеваете: задания «сам» на сл. 12 и № 3–4 сл. 16 — в ДЗ; теорию не выбрасывать.

R03.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить модель

видеть в комнате, стене, участке прямоугольник, треугольник, трапецию (ПР-10, REQ-6.10)

Вычислять площадь

разбиением и вычитанием, с калькулятором (ПР-7, REQ-6.7, EL-6.7)

Переводить единицы

см², м², сотки, гектары; планы в масштабе (EL-6.8)

Отвечать по смыслу

сколько банок, упаковок, плиток — округлять правильно (ПР-7)

1 мин · теория
ПР-7 (ФРП) = REQ-6.7: «Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором). Применять полученные умения в практических задачах».
ПР-10 = REQ-6.10: «…строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия…» — план в масштабе (сл. 12).
Вид деятельности ФРП: «Решать задачи на площадь с практическим содержанием». EL-6.7 — формулы площадей; EL-6.8 — свойства площадей, отношение площадей подобных фигур.

повторение: R03.2, R03.5

Разминка · устно

Площади и единицы — в уме

S = ab

S = 24

S = ah

S = 40

S = \frac{1}{2} ah

S = 30

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

S = 28

$50 см = ? м$ $0, 5 м$
$1, 5 \cdot 1, 2$ $1, 8$

Сколько банок по 2 л нужно на 5 л краски? $3$
Стороны квадрата увеличили в 3 раза. Площадь — в ? раз в $9$

R03.6

Проблема

Хватит ли 7 упаковок ламината?

В упаковке — $2, 2 м^{2}$ ламината.

Голосуем

А) хватит 7 Б) нужно 8 В) нужно 9

Ответ — после алгоритма (слайд 7)

повторение: R03.1, R03.2

Новый материал · свойства площади и формулы

Чем мы будем считать

Разбиение

S = S_{1} + S_{2}

Достраивание

S = S_{0} - S_{1}

Равные фигуры имеют равные площади; площадь фигуры равна сумме площадей её частей.

Фигура	Площадь
прямоугольник	$S = ab$
параллелограмм	$S = ah$
треугольник	$S = \frac{1}{2} ah$
трапеция	$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$
ромб	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

R03.6

Новый материал · алгоритм

Пять шагов практической задачи

Шаг 5 — вернуться к вопросу: банки, упаковки, рулоны покупают целыми ⇒ округляем вверх.

R03.6 · R03.3

Образец → сам · пол комнаты

Решаем задачу про ламинат

Образец: комната с нишей, упаковка — $2, 2 м^{2}$

$S = 3 \cdot 4 + 2 \cdot 2, 5 = 17$ разбили на два прямоугольника
или $S = 5 \cdot 4 - 2 \cdot 1, 5 = 17$ достроили и вычли нишу
$17 : 2, 2 \approx 7, 7$ упаковок
Нужно 8 упаковок — 7 не хватит

Сам: найдите площадь и число упаковок

Комната $6 \times 4$ м, из угла вырезан выступ $2 \times 1$ м. Площадь пола?
$22 м^{2}$
Кухня $3, 5 \times 3$ м, в упаковке плитки $1, 44 м^{2}$ . Сколько упаковок?
$7, 3 \Rightarrow 8$
Коридор — прямоугольники $4 \times 1, 5$ и $2 \times 1, 5$ м. Ламинат по $2, 2 м^{2}$ . Сколько упаковок?
$4, 1 \Rightarrow 5$

3 мин · практика
Образец (1,5 мин, шаги по клику). Два способа — свойства площади (R03.1): площадь фигуры равна сумме площадей частей; достраивание — вычитание. Ответ: $S = 17$ м², $17 : 2, 2 = 7, 727 \dots$ ⇒ 8 упаковок (верен вариант Б со сл. 4). Проверка: $7 \cdot 2, 2 = 15, 4 < 17$ , $8 \cdot 2, 2 = 17, 6 \geq 17$ .
Вопрос: откуда 2,5 м? ( $4 - 1, 5$ ), откуда 3 м? ( $5 - 2$ ).
Сам (1,5 мин): 1) $6 \cdot 4 - 2 \cdot 1 = 22$ м². 2) $3, 5 \cdot 3 = 10, 5$ ; $10, 5 : 1, 44 = 7, 29 \dots$ ⇒ 8 упаковок. 3) $6 + 3 = 9$ м²; $9 : 2, 2 = 4, 09 \dots$ ⇒ 5 упаковок (даже «чуть больше 4» — это 5).
На практике берут запас 5–10 % на подрезку — можно спросить сильных: хватит ли 8 упаковок с запасом 5 %? ( $17 \cdot 1, 05 = 17, 85 > 17, 6$ — нет, нужно 9).

R03.6

Новый материал · ответ по смыслу задачи

Когда округлять вверх, а когда вниз

Вверх ↑

Покупаем, чтобы хватило: банки, упаковки, рулоны, плитки.

7, 7 \Rightarrow 8

даже $4, 1 \Rightarrow 5$

Вниз ↓

Считаем, сколько целых выйдет: полок из доски, мест в зале.

3, 3 \Rightarrow 3

доска 2 м, полка 0,6 м

Запас $p %$

Сначала умножаем на запас, потом округляем.

S \cdot (1 + \frac{p}{100})

$17 \cdot 1, 1 = 18, 7$

R03.6

Образец → сам · покраска стены

Сколько банок краски по 2 л купить?

Образец: расход $0, 25$ л на $1 м^{2}$ , 2 слоя

$5 \cdot 2, 7 = 13, 5$ вся стена, м²
$13, 5 - 0, 9 \cdot 2 - 1, 5 \cdot 1, 2 = 9, 9$ минус дверь и окно
$9, 9 \cdot 0, 25 \cdot 2 = 4, 95$ лдва слоя краски
$4, 95 : 2 \approx 2, 5$ ⇒ 3 банки

Сам: вычтите проёмы

Стена $4 \times 2, 5$ м с окном $1, 2 \times 1, 5$ м. Площадь покраски?
$8, 2 м^{2}$
Забор $20 \times 1, 5$ м красят с двух сторон, $0, 2$ л на $1 м^{2}$ , банка $2, 5$ л. Сколько банок?
$4, 8 \Rightarrow 5$
Стена $3 \times 2, 5$ м с дверью $0, 8 \times 2$ м. Хватит ли банки на $6 м^{2}$ ?
да: $5, 9 < 6$

3 мин · практика
Образец (1,5 мин). Модель: прямоугольник стены минус два прямоугольника (свойство площади — вычитание). Ответ: $S = 13, 5 - 1, 8 - 1, 8 = 9, 9$ м²; краски $4, 95$ л; $4, 95 : 2 = 2, 475$ ⇒ 3 банки. Проверка: 2 банки = 4 л < 4,95 л. Чертёж в масштабе (1 м = 62 px).
Типичные ошибки: не вычли дверь и окно ( $13, 5 \cdot 0, 5 = 6, 75$ л ⇒ 4 банки — лишняя покупка); забыли второй слой (2,475 л ⇒ 2 банки); округлили 2,475 до 2.
Сам (1,5 мин): 1) $10 - 1, 8 = 8, 2$ м². 2) $20 \cdot 1, 5 \cdot 2 = 60$ м²; $60 \cdot 0, 2 = 12$ л; $12 : 2, 5 = 4, 8$ ⇒ 5 банок. 3) $7, 5 - 1, 6 = 5, 9$ м² ⇒ хватит.

R03.6 · повторение

Новый материал · единицы площади

Каждая ступень — в 100 раз больше

1 м^{2} = 10000 см^{2}

клетка — $1 дм^{2}$

1 а = 100 м^{2}

ар — «сотка»

1 га = 10000 м^{2}

$1 га = 100 а$

R03.6 · R03.2

Образец → сам · дачный участок

Участок — прямоугольная трапеция

Образец: площадь в сотках; семена газона — $30$ г на $1 м^{2}$

$S = \frac{30 + 20}{2} \cdot 18 = 450 м^{2}$ трапеция: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$ , высота — забор под прямым углом
$450 м^{2} = 4, 5$ сотки1 сотка = 100 м²
газон: $450 \cdot 30 = 13500$ г30 г семян на 1 м²
13,5 кг ⇒ 14 пачек по 1 кг

Сам: площадь участка

Прямоугольный участок $40 \times 25$ м. Сколько соток?
$10$ соток
Поле — прямоугольный треугольник с катетами $300$ м и $200$ м. Площадь в гектарах?
$3$ га
Огород — трапеция: основания $16$ и $10$ м, высота $9$ м; удобрения $0, 5$ кг на $1 м^{2}$ , мешок $10$ кг. Сколько мешков?
$5, 85 \Rightarrow 6$

3 мин · практика
Образец (1,5 мин). Модель: участок с двумя параллельными заборами — трапеция; высота — сторона, перпендикулярная основаниям (прямой угол на плане). Ответ: $S = 25 \cdot 18 = 450$ м² = 4,5 сотки; семян 13 500 г = 13,5 кг ⇒ 14 пачек. Чертёж в масштабе (1 м = 11 px).
Вопрос: можно ли найти длину наклонного забора? (пока нет — нужна теорема Пифагора, строка R04: $1 8^{2} + 1 0^{2} \approx 20, 6$ м — только упомянуть).
Сам (1,5 мин): 1) $40 \cdot 25 = 1000$ м² = 10 соток. 2) $\frac{1}{2} \cdot 300 \cdot 200 = 30000$ м² = 3 га. 3) $\frac{16 + 10}{2} \cdot 9 = 117$ м²; $117 \cdot 0, 5 = 58, 5$ кг; $58, 5 : 10 = 5, 85$ ⇒ 6 мешков.

R03.6 · R03.5

Образец → сам · план в масштабе

Площадь на плане и в жизни

Образец: план $1 : 200$ , кухня на плане $2 \times 2, 5$ см

S_{реал} = k^{2} \cdot S_{план}

$S_{план} = 2 \cdot 2, 5 = 5 см^{2}$
$5 \cdot 20 0^{2} = 200000 см^{2} = 20 м^{2}$ площади подобных фигур — в $k^{2}$ раз
Проверка: $4 \cdot 5 = 20 м^{2}$ 1 см плана = 2 м

Сам: найдите площадь в жизни

План $1 : 100$ , комната $4 \times 3$ см. Площадь комнаты?
$12 м^{2}$
План $1 : 200$ , на плане комната занимает $6 см^{2}$ . Площадь комнаты?
$24 м^{2}$
Карта $1 : 10000$ , озеро — $2 см^{2}$ . Площадь в гектарах?
$2$ га

R03.6

Осторожно · типичные ошибки

Три ловушки практических задач

Разные единицы

✗ $2 \cdot 50 = 100 м^{2}$

✓ $2 \cdot 0, 5 = 1 м^{2}$

Округление

✗ 7 упаковок

✓ 8 — покупаем целыми

Масштаб

✗ площадь в $k$ раз

✓ площадь в $k^{2}$ раз

R03.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Стена $3 \times 2, 5$ м, дверь $0, 8 \times 2$ м, в рулоне обоев $5 м^{2}$ . Сколько рулонов?

$7, 5 - 1, 6 = 5, 9$ ; $5, 9 : 5 = 1, 18$

Ответ: 1 рулон

Покупаем, чтобы хватило: вверх

Ответ: 2 рулона

б) План $1 : 100$ , комната $5 \times 3$ см. Площадь комнаты?

$S_{план} = 15 см^{2}$

$15 \cdot 100 = 1500 см^{2} = 0, 15 м^{2}$

Площадь — в $k^{2} = 10000$ раз

$150000 см^{2} = 15 м^{2}$

в) Участок $25 \times 40$ м. Сколько это гектаров?

$S = 25 \cdot 40 = 1000 м^{2}$

$1000 м^{2} = 1$ га

$1 га = 10000 м^{2}$

$1000 м^{2} = 10$ соток $= 0, 1$ га

R03.6

Задания с самопроверкой · база

Реши сам

базаКлумба — ромб с диагоналями $4$ м и $3$ м. На $1 м^{2}$ сажают 8 кустов. Сколько кустов нужно? $48$

базаФронтон с окном $1 \times 1, 2$ м обшивают вагонкой. Сколько $м^{2}$ вагонки нужно без запаса? $10, 8 м^{2}$

базаПол ванной кладут плиткой $30 \times 30$ см. Сколько плиток нужно без запаса? $48$

R03.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Пол $5 \times 4$ м выкладывают паркетными дощечками $20 \times 10$ см. Сколько дощечек нужно? $1000$
повыш.Комнату $17 м^{2}$ покрывают ламинатом с запасом $10 %$ , в упаковке $2, 2 м^{2}$ . Сколько упаковок? $9$
повыш.Участок 6 соток — прямоугольник длиной $30$ м. Вдоль длинной стороны — дорожка шириной $1$ м. Найдите площадь остальной части. $570 м^{2}$
из жизниСтены комнаты $5 \times 4$ м высотой $2, 5$ м оклеивают обоями; окно $1, 5 \times 1, 5$ м, дверь $0, 9 \times 2$ м; в рулоне $5, 3 м^{2}$ . Сколько рулонов? $8$

R03.6 · R03.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 18

Фигуры на клетчатой бумаге

1. На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите её площадь. $20$

Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь

2. Параллелограмм $15$

3. Треугольник $12$

2 мин · практика
В бланк — только число. Авторские задания в формате банка ФИПИ.
1) Нижнее основание 7 клеток, верхнее 3, высота 4 ⇒ $S = \frac{7 + 3}{2} \cdot 4 = 20$ . 2) Основание 5, высота 3 ⇒ $S = 15$ . 3) Основание 6, высота 4 (вершина вне основания — высота падает на продолжение) ⇒ $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ .
Ошибки: 40 в № 1 (забыли разделить на 2); считают боковые стороны «по клеткам» как высоту; в № 3 ищут высоту только «внутри» треугольника.
Практические задачи такого же смысла — в заданиях ОГЭ 1–5 (план участка, квартиры): там тоже площадь, единицы и округление по смыслу.

R03.6

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Комната $4, 5 \times 3, 2$ м. Найдите площадь пола. $14, 4 м^{2}$
Прямоугольный участок 6 соток, ширина $20$ м. Найдите длину. $30$ м
Карта $1 : 10000$ , лес — $3 см^{2}$ . Площадь леса в гектарах? $3$ га
Стена $4 \times 2, 5$ м с дверью $0, 8 \times 2$ м; в рулоне обоев $5 м^{2}$ . Сколько рулонов купить? $2$

Вариант 2

Комната $5, 5 \times 3, 6$ м. Найдите площадь пола. $19, 8 м^{2}$
Прямоугольный участок 8 соток, длина $40$ м. Найдите ширину. $20$ м
План $1 : 200$ , комната $3 \times 2$ см. Площадь комнаты в $м^{2}$ ? $24 м^{2}$
Стена $5 \times 2, 6$ м с окном $1, 5 \times 1, 4$ м; краски $0, 2$ л на $1 м^{2}$ , банка $1$ л. Сколько банок? $3$

R03.6

Итог урока

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Назови пять шагов практической задачи.
Сколько м² в 1 сотке? в 1 га?
Когда округляем вверх, а когда вниз?

Дома

Огород — трапеция: основания 25 м и 15 м, высота 12 м. Сколько это соток?
На плане 1 : 50 комната 8 см × 6 см. Найдите её площадь в м².
Измерь пол своей комнаты: сколько упаковок ламината по 2,2 м² нужно?
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchadi_parallelogramma_treugolnika_trapecii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-033 · Задачи с практическим содержанием

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур», 14 ч · урок 6/14 · тип Н
Единицы → слайды	R03.6 «Задачи с практическим содержанием» → 2, 4, 6–19; повторение R03.1 (свойства площади) → 5, 7; R03.2 (формулы) → 3, 5, 11, 15; R03.3 (сложные фигуры) → 7, 9; R03.5 (подобные фигуры) → 3, 12, 14; R03.4 (клетчатая бумага) → 17
Результаты	ПР-7 = REQ-6.7 (площади многоугольных фигур, калькулятор, практические задачи) → 2, 3, 5, 7, 9, 11, 15–18 · ПР-10 = REQ-6.10 (модели задач реальной жизни, подобие) → 4, 6, 8, 12, 18 · EL-6.7 → 3, 5, 11, 15 · EL-6.8 → 5, 10, 12, 13 · вид деятельности «Решать задачи на площадь с практическим содержанием» → 4–19
Формат 30/70	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %); «Образец → сам» — 4 (сл. 7, 9, 11, 12); разбор ошибок — сл. 13, 14
ОГЭ	линия 18 (фигуры на клетчатой бумаге) → 17; смысловая связь с заданиями 1–5
Вне урока	метод вспомогательной площади — GEOM8-034; длина наклонной стороны (теорема Пифагора) — строка R04; площадь через диагонали и угол — в практикумах R03
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Задачи с практическим содержанием

Сегодня вы научитесь

Строить модель

Вычислять площадь

Переводить единицы

Отвечать по смыслу

Площади и единицы — в уме

Хватит ли 7 упаковок ламината?

Голосуем

Чем мы будем считать

Разбиение

Достраивание

Пять шагов практической задачи

Решаем задачу про ламинат

Образец: комната с нишей, упаковка — 2,2 м2

Сам: найдите площадь и число упаковок

Когда округлять вверх, а когда вниз

Вверх ↑

Вниз ↓

Запас p%

Сколько банок краски по 2 л купить?

Образец: расход 0,25 л на 1 м2, 2 слоя

Сам: вычтите проёмы

Каждая ступень — в 100 раз больше

Участок — прямоугольная трапеция

Образец: площадь в сотках; семена газона — 30 г на 1 м2

Сам: площадь участка

Площадь на плане и в жизни

Образец: план 1:200, кухня на плане 2×2,5 см

Сам: найдите площадь в жизни

Три ловушки практических задач

Разные единицы

Округление

Масштаб

Где ошибся ученик?

а) Стена 3×2,5 м, дверь 0,8×2 м, в рулоне обоев 5 м2. Сколько рулонов?

б) План 1:100, комната 5×3 см. Площадь комнаты?

в) Участок 25×40 м. Сколько это гектаров?

Реши сам

Подумайте и решите

Фигуры на клетчатой бумаге

Клетка 1×1. Найдите площадь

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Дома

GEOM8-033 · Задачи с практическим содержанием

Образец: комната с нишей, упаковка — $2, 2 м^{2}$

Запас $p %$

Образец: расход $0, 25$ л на $1 м^{2}$ , 2 слоя

Образец: площадь в сотках; семена газона — $30$ г на $1 м^{2}$

Образец: план $1 : 200$ , кухня на плане $2 \times 2, 5$ см

а) Стена $3 \times 2, 5$ м, дверь $0, 8 \times 2$ м, в рулоне обоев $5 м^{2}$ . Сколько рулонов?

б) План $1 : 100$ , комната $5 \times 3$ см. Площадь комнаты?

в) Участок $25 \times 40$ м. Сколько это гектаров?

Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь