Площадь · урок 5 из 14 · новый материал

Площади подобных фигур

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R03 · GEOM8-032

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур» (14 ч), урок 5/14, единица R03.5 «Площади подобных фигур». Тип урока — Н (новый материал).
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 5 проблема 2 · 6 доказательство 3,5 · 7 формулировка 1 · 10 многоугольники 1,5 · 12 средняя линия 1,5 · 15 сводка 1. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32,5): 3 разминка 2 · 4 «Вспомним» 1,5 · 8, 9, 11, 13, 14 «Образец → сам» по 2,5 · 16 ошибки 1,5 · 17 найди ошибку 2 · 18 база 3 · 19 повышенный 2,5 · 20 ОГЭ 2,5 · 21 самостоятельная 4 · 22 итог 1.
Опора: подобие треугольников и признаки подобия (строка R02), формулы площадей (GEOM8-028, GEOM8-029).
Если не успеваете: задания «сам» на сл. 11 и 14 — по одному, задания 3–4 сл. 19 — в ДЗ; теорию не выбрасывать.

R03.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать

теорему об отношении площадей подобных треугольников (EL-6.8)

Вычислять площади

подобных фигур через $k^{2}$ и находить $k$ по площадям (ПР-7, REQ-6.7)

Находить подобные треугольники

в треугольнике и трапеции по признакам подобия (ПР-4, REQ-6.4)

Решать практические задачи

план и масштаб; задание ОГЭ, линия 15 (ПР-10, REQ-6.10)

1 мин · теория
ПР-7 = REQ-6.7: «Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур… Применять полученные умения в практических задачах».
ПР-4 = REQ-6.4: «Применять признаки подобия треугольников в решении геометрических задач». ПР-10 = REQ-6.10: «…проводить соответствующие вычисления с применением подобия…».
EL-6.8 кодификатора: «Свойства площадей геометрических фигур. Отношение площадей подобных фигур». Вид деятельности ФРП: «Находить площади подобных фигур».

повторение: R02, R03.2

Разминка · устно

Квадраты, корни, отношения — в уме

$(\frac{2}{3})^{2}$ $\frac{4}{9}$
$\frac{25}{9}$ $\frac{5}{3}$
$1, 5^{2}$ $2, 25$
Сократите $\frac{50}{18}$ $\frac{25}{9}$

$S_{△}$ , если $a = 8$ , $h_{a} = 5$ $20$
Сходственные стороны $4$ и $10$ . $k$ ? $2, 5$
Средняя линия, если $A C = 14$ $7$
$1$ м² — сколько см²? $10000$

повторение: R02 (подобие)

Вспомним · подобные треугольники

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$

Чему равен коэффициент подобия $k$ ? $2$
Найдите отношение периметров $\frac{P _{1}}{P}$ . $2$
Найдите $S$ и $S_{1}$ . Во сколько раз $S_{1} > S$ ? $6$ и $24$ , в $4$ раза

Стороны — в 2 раза, площадь — в 4 раза. Почему?

R03.5

Проблема · что происходит с площадью

Стороны увеличили в $k$ раз. Во сколько раз выросла площадь?

стороны

\times k

⟹ площадь

\times k^{2}

R03.5

Теорема · доказательство по шагам

$△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ с коэффициентом $k$

$A_{1} C_{1} = k \cdot A C$ определение подобия
$△ A B H \sim △ A_{1} B_{1} H_{1}$ $∠ A = ∠ A_{1}$ , $∠ H = ∠ H_{1} = 9 0^{\circ}$ — по двум углам
$B_{1} H_{1} = k \cdot B H$ $k = \frac{A _{1} B _{1}}{A B}$ — тот же коэффициент
$S_{1} = \frac{1}{2} \cdot ka \cdot kh = k^{2} \cdot \frac{1}{2} ah = k^{2} S$

R03.5

Теорема · запомнить

Площади подобных треугольников относятся как $k^{2}$

\frac{S _{1}}{S} = k^{2}

\frac{P _{1}}{P} = k

но

\frac{S _{1}}{S} = k^{2}

$k$	стороны, высоты, медианы, периметры	площади
$2$	$\times 2$	$\times 4$
$3$	$\times 3$	$\times 9$
$\frac{1}{2}$	$\times \frac{1}{2}$	$\times \frac{1}{4}$
$10$	$\times 10$	$\times 100$

R03.5 · образец 1

Образец → сам · известен k — найти площадь

Площадь умножаем на $k^{2}$

Образец: $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $S = 12$ . Найдите $S_{1}$ .

$k = \frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{9}{6} = 1, 5$ сходственные стороны

$k^{2} = 1, 5^{2} = 2, 25$ площади — как $k^{2}$

$S_{1} = 12 \cdot 2, 25 = 27$ теорема

Сам

Треугольники подобны, $k = 3$ , площадь меньшего $7$ . Площадь большего? $63$
Сходственные стороны относятся как $2 : 5$ , площадь большего $75$ . Площадь меньшего? $12$
Все стороны треугольника увеличили в $4$ раза, площадь была $5$ . Какой стала? $80$

R03.5 · образец 2

Образец → сам · обратная задача: k по площадям

От площадей к длинам — извлекаем корень

Образец: $S = 18$ , $S_{1} = 50$ , $A C = 6$ . Найдите $A_{1} C_{1}$ .

$k^{2} = \frac{50}{18} = \frac{25}{9}$ отношение площадей

$k = \frac{25}{9} = \frac{5}{3}$ извлекаем корень

$A_{1} C_{1} = \frac{5}{3} \cdot 6 = 10$ длины — как $k$

Сам

Площади подобных треугольников $8$ и $72$ . Найдите $k$ . $3$
Площади подобных треугольников $9$ и $16$ , сторона большего $12$ . Найдите сходственную сторону меньшего. $9$
Площади подобных треугольников $27$ и $75$ , периметр меньшего $15$ . Периметр большего? $25$

R03.5

Любые подобные многоугольники

Разбиваем на треугольники — каждый растёт в $k^{2}$ раз

S_{1} = k^{2} S_{I} + k^{2} S_{II} + k^{2} S_{III}

S_{1} = k^{2} S

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

R03.5 · образец 3

Образец → сам · план и масштаб

План и комната — подобные фигуры

Образец: план в масштабе $1 : 200$ . Найдите площадь комнаты в м².

$S_{план} = 3 \cdot 1, 5 = 4, 5$ см², $k = 200$ длины — в 200 раз

$S = 4, 5 \cdot 20 0^{2} = 180000$ см² площадь — в $k^{2}$ раз

$180000 : 10000 = 18$ м² $1$ м² $= 10000$ см²

Сам

Пятиугольники подобны, $k = 2$ , площадь меньшего $13$ . Площадь большего? $52$
Квадраты со сторонами $3$ и $5$ . Во сколько раз площадь второго больше? в $\frac{25}{9}$ раза
Масштаб $1 : 100$ , пол на плане $20$ см². Площадь пола в м²? $20$ м²

R03.5

Важный случай · средняя линия

$MN$ — средняя линия $△ A BC$

△ MBN \sim △ A BC

,

k = \frac{1}{2}

S_{MBN} = \frac{1}{4} S_{A BC}

S_{A MNC} = \frac{3}{4} S_{A BC}

R03.5 · образец 4

Образец → сам · прямая, параллельная стороне

Отсекает подобный треугольник

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{MBN}$ и $S_{A MNC}$ .

$△ MBN \sim △ A BC$ $∠ B$ общий, $∠ BMN = ∠ A$ — соответственные

$k = \frac{BM}{B A} = \frac{2}{5}$ часть к целой стороне, а не $BM : M A$

$S_{MBN} = 50 \cdot \frac{4}{25} = 8$ , $S_{A MNC} = 50 - 8 = 42$

Сам: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$

$MN$ — средняя линия, $S_{A BC} = 48$ . Найдите $S_{MBN}$ . $12$
$BM : M A = 1 : 3$ , $S_{A BC} = 32$ . Найдите $S_{MBN}$ . $2$
$S_{MBN} = 9$ , $S_{A BC} = 25$ , $A C = 10$ . Найдите $MN$ . $6$

R03.5 · образец 5

Образец → сам · диагонали трапеции

«Бабочка»: $△ BOC \sim △ D O A$

Образец: $BC ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , $S_{BOC} = 8$ . Найдите $S_{A O D}$ .

$△ BOC \sim △ D O A$ $∠ OBC = ∠ O D A$ — накрест лежащие, $∠ BOC = ∠ D O A$ — вертикальные

$k = \frac{A D}{BC} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ сходственные — основания

$S_{A O D} = 8 \cdot \frac{25}{4} = 50$

Сам: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$

$BC = 3$ , $A D = 6$ , $S_{BOC} = 5$ . Найдите $S_{A O D}$ . $20$
$S_{BOC} = 4$ , $S_{A O D} = 36$ , $A D = 12$ . Найдите $BC$ . $4$
$BO : O D = 2 : 3$ , $S_{A O D} = 27$ . Найдите $S_{BOC}$ . $12$

R03.5

Сводка правил

Длины — $k$ , площади — $k^{2}$

Известно	Найти	Как
$k$	площадь	$S_{1} = k^{2} S$
площади	$k$	$k = \frac{S _{1}}{S}$
площади	сторону, периметр	сначала $k$ , потом $\times k$
масштаб $1 : n$	площадь	$\times n^{2}$ , перевести единицы

Где искать подобие

MN ∥ A C

:

k = \frac{BM}{B A}

трапеция:

k = \frac{A D}{BC}

средняя линия:

\frac{1}{4}

площади

R03.5

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Забыли квадрат

$k = 3$ , $S = 5$

✗ $S_{1} = 15$

площадь — не длина

✓ $S_{1} = 5 \cdot 3^{2} = 45$

Забыли корень

$S_{1} : S = 49 : 4$

✗ $k = \frac{49}{4}$

это $k^{2}$ , а не $k$

✓ $k = \frac{49}{4} = \frac{7}{2}$

Не та сторона

$MN ∥ A C$ , $BM : M A = 1 : 2$

✗ $k = \frac{1}{2}$

$M A$ — не сторона $△ MBN$

✓ $k = \frac{BM}{B A} = \frac{1}{3}$

R03.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $MN ∥ A C$ , $A M = 4$ , $MB = 6$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{A MNC}$ .

1) $△ MBN \sim △ A BC$

2) $k = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

3) $S_{MBN} = 50 \cdot \frac{3}{5} = 30$

4) $S_{A MNC} = 50 - 30 = 20$

3) $S_{MBN} = 50 \cdot \frac{9}{25} = 18$

4) $S_{A MNC} = 50 - 18 = 32$

б) Площади подобных треугольников $4$ и $25$ , сторона меньшего $6$ . Найдите сходственную сторону большего.

$k = \frac{25}{4}$ , сторона $= 6 \cdot \frac{25}{4} = 37, 5$

$k = \frac{25}{4} = \frac{5}{2}$

сторона $= 6 \cdot \frac{5}{2} = 15$

R03.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

Треугольники подобны, $k = 4$ , площадь меньшего $3$ . Площадь большего? $48$
Площади подобных треугольников $12$ и $75$ . Найдите $k$ . $2, 5$
Периметры подобных треугольников $10$ и $15$ , площадь меньшего $8$ . Площадь большего? $18$

Средняя линия отсекает от треугольника треугольник площадью $6$ . Площадь исходного? $24$
Основания трапеции $5$ и $15$ , $S_{BOC} = 3$ ( $O$ — точка пересечения диагоналей). Найдите $S_{A O D}$ . $27$
Сторону квадрата увеличили в $3$ раза. Во сколько раз увеличилась площадь? в $9$ раз

R03.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ , $A M = 6$ , $MB = 4$ , $S_{A BC} = 75$ . Найдите $S_{A MNC}$ . $63$
повыш.Основания трапеции $3$ и $9$ , диагонали пересекаются в точке $O$ , $S_{A O D} = 18$ . Найдите $S_{BOC}$ . $2$
повыш.Прямая $MN ∥ A C$ делит $△ A BC$ на треугольник и трапецию равной площади, $A C = 10$ . Найдите $MN$ . $52$
из жизниПлан участка в масштабе $1 : 500$ , площадь участка на плане $12$ см². Найдите площадь участка в м². $300$ м²

R03.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 15

Ответ — одно число

1. Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает стороны $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, $A C = 20$ , $MN = 15$ . Площадь треугольника $A BC$ равна $64$ . Найдите площадь треугольника $MBN$ . $36$

Та же конструкция: $MN ∥ A C$

$A C = 24$ , $MN = 18$ , $S_{A BC} = 48$ . Найдите $S_{MBN}$ . $27$
$MN$ — средняя линия, $S_{A BC} = 68$ . Найдите площадь трапеции $A MNC$ . $51$

В бланк — только число: 36, без «

S =

».

R03.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

В задачах 3: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ . В задачах 4: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $O$ — точка пересечения диагоналей.

Вариант 1

Треугольники подобны, $k = 2$ , площадь меньшего $9$ . Площадь большего? $36$
Площади подобных треугольников $4$ и $49$ , сторона меньшего $6$ . Сходственная сторона большего? $21$
$BM : M A = 1 : 2$ , $S_{A BC} = 45$ . Найдите $S_{MBN}$ . $5$
$BC = 2$ , $A D = 6$ , $S_{A O D} = 27$ . Найдите $S_{BOC}$ . $3$

Вариант 2

Треугольники подобны, $k = 3$ , площадь меньшего $5$ . Площадь большего? $45$
Площади подобных треугольников $9$ и $64$ , сторона большего $16$ . Сходственная сторона меньшего? $6$
$BM : M A = 3 : 2$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{MBN}$ . $18$
$BC = 4$ , $A D = 10$ , $S_{BOC} = 6$ . Найдите $S_{A O D}$ . $37, 5$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Главное

\frac{S _{1}}{S} = k^{2}

Длины — в $k$ раз, площади — в $k^{2}$ раз; от площадей к длинам — корень.

Ответьте одной фразой

Стороны увеличили в 4 раза. Что с периметром? С площадью?
Как найти $k$ , если известны площади?
Какую долю площади отсекает средняя линия?

Дома

Площади подобных треугольников относятся как $4 : 9$ , сторона большего $12$ . Найдите сходственную сторону меньшего.
Средняя линия отсекает треугольник площадью $7$ . Найдите площадь исходного.
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_podobnye_treugolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-032 · Площади подобных фигур

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур», 14 ч · урок 5/14 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R03.5 «Площади подобных фигур» → 2, 5–22; повторение R02 (подобие, признаки) и R03.2 (формулы площадей) → 3–4
Результаты	ПР-7 = REQ-6.7 (площади многоугольных фигур, практические задачи) → 5–22 · ПР-4 = REQ-6.4 (признаки подобия) → 4, 6, 12–14, 17, 20 · ПР-10 = REQ-6.10 (практика, подобие) → 11, 19 (№ 4) · EL-6.8 → 5–7, 10, 15 · вид деятельности «Находить площади подобных фигур» → 8–22
ОГЭ	линия 15 (треугольники) → 20; линия 17 (трапеция) → 14
Вне урока	площади на клетчатой бумаге — GEOM8-031; задачи с практическим содержанием — GEOM8-033; метод вспомогательной площади (равновеликие треугольники в трапеции) — GEOM8-034; площадь круга — 9 класс
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Площади подобных фигур

Сегодня вы научитесь

Доказывать

Вычислять площади

Находить подобные треугольники

Решать практические задачи

Квадраты, корни, отношения — в уме

△ABC∼△A1​B1​C1​

Стороны увеличили в k раз. Во сколько раз выросла площадь?

△A1​B1​C1​∼△ABC с коэффициентом k

Площади подобных треугольников относятся как k2

Площадь умножаем на k2

Образец: △ABC∼△A1​B1​C1​, S=12. Найдите S1​.

Сам

От площадей к длинам — извлекаем корень

Образец: S=18, S1​=50, AC=6. Найдите A1​C1​.

Сам

Разбиваем на треугольники — каждый растёт в k2 раз

План и комната — подобные фигуры

Образец: план в масштабе 1:200. Найдите площадь комнаты в м².

Сам

MN — средняя линия △ABC

Отсекает подобный треугольник

Образец: MN∥AC, BM:MA=2:3, SABC​=50. Найдите SMBN​ и SAMNC​.

Сам: MN∥AC, M∈AB, N∈BC

«Бабочка»: △BOC∼△DOA

Образец: BC∥AD, BC=4, AD=10, SBOC​=8. Найдите SAOD​.

Сам: ABCD — трапеция, BC∥AD

Длины — k, площади — k2

Где искать подобие

Так нельзя

Забыли квадрат

Забыли корень

Не та сторона

Где ошибся ученик?

а) MN∥AC, AM=4, MB=6, SABC​=50. Найдите SAMNC​.

б) Площади подобных треугольников 4 и 25, сторона меньшего 6. Найдите сходственную сторону большего.

Решите и сверьте ответ

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Та же конструкция: MN∥AC

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Главное

Ответьте одной фразой

Дома

GEOM8-032 · Площади подобных фигур

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$

Стороны увеличили в $k$ раз. Во сколько раз выросла площадь?

$△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ с коэффициентом $k$

Площади подобных треугольников относятся как $k^{2}$

Площадь умножаем на $k^{2}$

Образец: $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $S = 12$ . Найдите $S_{1}$ .

Образец: $S = 18$ , $S_{1} = 50$ , $A C = 6$ . Найдите $A_{1} C_{1}$ .

Разбиваем на треугольники — каждый растёт в $k^{2}$ раз

Образец: план в масштабе $1 : 200$ . Найдите площадь комнаты в м².

$MN$ — средняя линия $△ A BC$

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 3$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{MBN}$ и $S_{A MNC}$ .

Сам: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$

«Бабочка»: $△ BOC \sim △ D O A$

Образец: $BC ∥ A D$ , $BC = 4$ , $A D = 10$ , $S_{BOC} = 8$ . Найдите $S_{A O D}$ .

Сам: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$

Длины — $k$ , площади — $k^{2}$

а) $MN ∥ A C$ , $A M = 4$ , $MB = 6$ , $S_{A BC} = 50$ . Найдите $S_{A MNC}$ .

б) Площади подобных треугольников $4$ и $25$ , сторона меньшего $6$ . Найдите сходственную сторону большего.

Та же конструкция: $MN ∥ A C$