Площадь многоугольных фигур · урок 4 из 14 · новый материал

Площади фигур на клетчатой бумаге

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R03 · GEOM8-031

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур» (14 ч), урок 4/14, единица R03.4 «Площади фигур на клетчатой бумаге». Тип урока — Н (новый материал).
Теория (12): титул 0,5 · цели 0,5 · проблема 1,5 · способ 1, треугольники 2 · способ 1, четырёхугольники 1,5 · разбиение 2 · достраивание 2 · схема 1 · формула Пика 1 (дополнительно).
Практика (33): разминка 2 · вспомним формулы 1,5 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 3 · ОГЭ 2 · самостоятельная 5 · итог 1.
Если не успеваете: формулу Пика (сл. 15) показать за полминуты как проверку; задачи 4–5 повышенного уровня (сл. 20) — в ДЗ. Теорию не выбрасывать.
Нужны: тетради в клетку, карандаш; у доски — клетчатая магнитная доска или проектор с сеткой.

R03.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Считать по формуле

основание и высота — по линиям сетки (EL-6.9)

Разбивать на части

прямоугольники и прямоугольные треугольники (ФРП: виды деятельности)

Достраивать

до прямоугольника и вычитать лишнее (ФРП: виды деятельности)

Решать задачи

практические и ОГЭ, линия 18 (ПР-7, REQ-6.7)

повторение: R03.1, R03.2

Разминка · устно

Площади — в уме

Прямоугольник $7 \times 4$ $28$
Прямоугольный треугольник, катеты $6$ и $3$ $9$
$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4$ $10$
Трапеция: основания $3$ и $5$ , высота $4$ $16$

Ромб, диагонали $6$ и $8$ $24$
$30 - 5 - 6 - 4$ $15$
Из квадрата $5 \times 5$ вырезали прямоугольный треугольник с катетами $2$ и $2$ $23$
Клетка — квадрат со стороной $2$ см. Её площадь? $4$ см²

повторение: R03.2

Вспомним

Какие формулы площади вы знаете?

Прямоугольник

S = a b

Треугольник

S = \frac{1}{2} a h

Параллелограмм

S = a h

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

Ромб

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

R03.4

Проблема

Как найти площадь, если размеры не даны?

Клетка

1 \times 1

:

S = 1

1 — считаем клетки

2 — половина прямоугольника

3 — стороны наклонные. Как быть?

R03.4 · R03.2

Способ 1 · по формуле

Основание и высота идут по линиям сетки

S = \frac{1}{2} a h

$S_{A BC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$

$S_{D EF} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$

Высота — по линии сетки, даже вне фигуры

R03.4 · R03.2

Образец → сам · треугольник по формуле

Сторона по сетке — основание

Образец: площадь $△ A BC$

$A B = 5$ $A B$ — по вертикальной линии сетки
$C H ⊥ A B$ , $C H = 4$ перпендикуляр к вертикали — горизонталь
$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10$ $S = \frac{1}{2} ah$

Сам: найдите площадь (клетка $1 \times 1$ )

а)

9

б)

4

в)

12

2,5 мин · практика
Образец (1 мин, шаги по клику): основание не обязано быть горизонтальным — ищем сторону на любой линии сетки. $A B = 5$ (по вертикали), высота $C H$ — горизонтальный отрезок, $C H = 4$ ; $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10$ . Проверка достраиванием: прямоугольник $4 \times 5 = 20$ минус $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 6 + 4$ ⇒ $10$ ✓.
Сам (1,5 мин): а) основание $6$ , высота $3$ ⇒ $9$ ; б) тупоугольный: основание $2$ , высота $4$ падает на продолжение ⇒ $4$ (ошибка — взять основание $5$ и получить $10$ ); в) основание вертикальное $6$ , высота горизонтальная $4$ ⇒ $12$ .

R03.4 · R03.2

Способ 1 · по формуле

Ищем элементы, лежащие на линиях сетки

Параллелограмм

S = a h

$5 \cdot 3 = 15$

Ромб

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

$\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} h

$\frac{7 + 2}{2} \cdot 3 = 13, 5$

R03.4 · R03.2

Образец → сам · четырёхугольник по формуле

Основания могут быть вертикальными

Образец: площадь трапеции $A BC D$

$A B = 5$ , $C D = 3$ $A B ∥ C D$ — обе по вертикали
$h = 4$ расстояние между основаниями — по горизонтали
$S = \frac{5 + 3}{2} \cdot 4 = 16$ $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$

Сам: найдите площадь (клетка $1 \times 1$ )

а) параллелограмм

12

б) ромб

12

в) трапеция

15

R03.4 · R03.1

Способ 2 · разбиение на части

Площадь фигуры равна сумме площадей частей

S = S_{1} + S_{2}

прямоугольник: $S_{1} = 7 \cdot 3 = 21$

треугольник: $S_{2} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 2 = 7$

$S = 21 + 7 = 28$

Разрезаем по линиям сетки

R03.4 · R03.1

Образец → сам · разбиение

Режем по линиям сетки

Образец: площадь пятиугольника

$4 \cdot 4 = 16$ разрез по линии сетки: квадрат
$2 \cdot 2 = 4$ , $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ прямоугольник и прямоугольный треугольник
$S = 16 + 4 + 2 = 22$ площадь = сумма площадей частей

Сам: найдите площадь (клетка $1 \times 1$ )

а)

16

б)

14

в)

15

2,5 мин · практика
Образец (1 мин): разрезаем по линиям сетки на квадрат $4 \times 4 = 16$ , прямоугольник $2 \times 2 = 4$ и прямоугольный треугольник с катетами $2$ и $2$ : $2$ . $S = 22$ . Проверка достраиванием: прямоугольник $6 \times 4 = 24$ минус угловой треугольник $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ ⇒ $22$ ✓.
Сам (1,5 мин): а) «домик»: прямоугольник $4 \times 3 = 12$ + треугольник с основанием $4$ и высотой $2$ : $4$ ⇒ $16$ ; б) прямоугольник $5 \times 2 = 10$ + квадрат $2 \times 2 = 4$ ⇒ $14$ ; в) прямоугольник $4 \times 3 = 12$ + прямоугольный треугольник $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$ ⇒ $15$ (или по формуле трапеции: $\frac{6 + 4}{2} \cdot 3 = 15$ ).

R03.4

Способ 3 · достраивание

Достроим до прямоугольника и вычтем лишнее

S = S_{пр} - S_{1} - S_{2} - S_{3}

$S_{пр} = 6 \cdot 5 = 30$

$S_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 = 5$

$S_{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$

$S_{3} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$

$S_{A BC} = 30 - 5 - 6 - 6 = 13$

R03.4

Образец → сам · достраивание

Ни одной стороны по сетке? Достраиваем

Образец: площадь четырёхугольника

$S_{пр} = 6 \cdot 5 = 30$ вершины — на сторонах прямоугольника
$3 + 4, 5 + 4 + 3 = 14, 5$ угловые треугольники: половина произведения катетов
$S = 30 - 14, 5 = 15, 5$ вычитаем лишнее

Сам: найдите площадь (клетка $1 \times 1$ )

а)

8

б)

11

в)

13

R03.4

Схема · какой способ выбрать

Алгоритм: от простого к общему

R03.4 · дополнительно

Дополнительно · формула Пика

Проверка «по узлам»

S = В + \frac{Г}{2} - 1

В — узлы внутри: $12$

Г — узлы на границе: $4$

$S = 12 + \frac{4}{2} - 1 = 13$

Только для многоугольников с вершинами в узлах сетки

R03.4 · R03.2

Образец → сам · строим фигуру заданной площади

Обратная задача: площадь дана

Образец: отметьте узел $C$ так, чтобы $S_{A BC} = 6$

$6 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h$ ⇒ $h = 3$ $S = \frac{1}{2} ah$ , $A B = 4$ по сетке
$C$ — на прямой $∥ A B$ через 3 клеткиу всех таких треугольников высота $3$
$C$ , $C_{1}$ , … — ответов многопрямую можно провести и ниже $A B$

Сам: нарисуйте в тетради

Отрезок $A B = 6$ клеток. Через сколько клеток от $A B$ отметить $C$ , чтобы $S_{A BC} = 9$ ? $3$
Параллелограмм: основание $4$ клетки, площадь $12$ . Высота? $3$
Трапеция: основания $3$ и $5$ клеток, площадь $12$ . Высота? $3$

R03.4

Осторожно · типичные ошибки

Где ошибаются чаще всего

Наклонную сторону мерят клетками

✗ гипотенуза ≠ 3

✓ берём катеты: $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$

Высоту путают с боковой стороной

✗ $S = 3 \cdot бок . сторона$

✓ $h = 2$ по сетке: $S = 6$

Забывают угловую часть

✗ вычли не всё

✓ $8 - 1 = 7$

1,5 мин · практика
Сначала спросить: «Что не так?» — затем открыть верный вариант.
1) Длина наклонного отрезка больше числа клеток по горизонтали (диагональ клетки длиннее стороны). Площадь — через катеты по сетке: $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$ .
2) Параллелограмм: основание $3$ , высота $2$ (по вертикали) ⇒ $S = 6$ ; боковая сторона наклонная, её в формулу $S = ah$ не подставляют.
3) Трапеция внутри прямоугольника $4 \times 2 = 8$ : лишний только один угловой треугольник $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$ ⇒ $7$ . Проверка формулой: $\frac{3 + 4}{2} \cdot 2 = 7$ ✓.

R03.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) треугольник

«Основание $5$ , высота $3$ :
$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = 7, 5$ »

Основание — сама сторона: $2$

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$

б) трапеция

«Основания $6$ и $3$ , высота $3$ :
$S = (6 + 3) \cdot 3 = 27$ »

Сумму оснований делим на $2$

$S = \frac{6 + 3}{2} \cdot 3 = 13, 5$

в) достраивание

«Прямоугольник $12$ , лишнее $2$ и $3$ :
$S = 12 - 2 - 3 = 7$ »

Забыт третий угол: $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1, 5$

$S = 12 - 2 - 3 - 1, 5 = 5, 5$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Тупоугольный треугольник: ученик взял за основание отрезок до основания высоты ( $5$ клеток). Основание — сторона, $2$ ; высота $3$ ⇒ $S = 3$ .
б) Забыто деление на $2$ в формуле трапеции: $\frac{6 + 3}{2} \cdot 3 = 13, 5$ .
в) Достраивание до прямоугольника $4 \times 3 = 12$ : лишних треугольников три (по числу сторон), ученик вычел два. Третий — $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1, 5$ ⇒ $S = 5, 5$ .

R03.4

Задания с самопроверкой · база

Найдите площадь фигуры

база а) параллелограмм

$9$

база б) трапеция

$20$

повыш. в) четырёхугольник

$16, 5$

Клетка

1 \times 1

. Найдите площади. Каким способом удобнее?

R03.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Выберите удобный способ

1 база

$10$

2 база

$10, 5$

3 повыш.

$9$

4 повыш.

$14$

5 практика

$19, 5 сот .$

1–4: клетка

1 \times 1

. Найдите площадь.

5: план участка, клетка —

10 \times 10

м. Сколько это соток?

3 мин · практика
1–2 — всем, 3–5 — по выбору (сильным — 3, 4, 5). Ответ к каждой фигуре — по клику. Задача 5 — из жизни.
1) Основание $5$ , высота $4$ ⇒ $10$ .
2) Основания вертикальные: $5$ и $2$ , высота $3$ ⇒ $\frac{5 + 2}{2} \cdot 3 = 10, 5$ .
3) Прямоугольник $5 \times 4 = 20$ ; угловые: $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 1 = 2, 5$ ; $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$ ; $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4, 5$ ⇒ $20 - 11 = 9$ .
4) Квадрат $4 \times 4 = 16$ минус угловой треугольник $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ ⇒ $14$ .
5) Прямоугольник $6 \times 4 = 24$ ; лишние угловые треугольники: справа $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2$ , снизу слева $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 1 = 2, 5$ ⇒ $24 - 4, 5 = 19, 5$ клетки. Одна клетка $= 10 \cdot 10 = 100$ м² $= 1$ сотка ⇒ $1950$ м² $= 19, 5$ сотки. Ошибка: клетка $= 10$ м² (забыли возвести в квадрат).

R03.4 · ОГЭ 18

Формат ОГЭ · линия 18

Ответ — одно число

№ 18 На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь. $12$

№ 18 На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите её площадь. $22$

R03.4

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Клетка $1 \times 1$ . Найдите площадь каждой фигуры, запишите способ: формула, разбиение или достраивание.

Вариант 1

1

10

2

12

3

7, 5

Вариант 2

1

6

2

12

3

7

5 мин · практика
4 мин на решение, затем обмен тетрадями и проверка по ответам (по клику). Критерий: 3 верно — «5», 2 — «4», 1 — «3».
Вариант 1: 1) основание $5$ , высота $4$ ⇒ $10$ ; 2) трапеция: основания $6$ и $2$ , высота $3$ ⇒ $\frac{6 + 2}{2} \cdot 3 = 12$ ; 3) достраивание: $4 \times 4 = 16$ , лишнее $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 2 + 2 + 4, 5 = 8, 5$ ⇒ $7, 5$ .
Вариант 2: 1) тупоугольный: основание $4$ , высота $3$ ⇒ $6$ ; 2) параллелограмм: основание $4$ , высота $3$ ⇒ $12$ ; 3) достраивание: $4 \times 4 = 16$ , лишнее $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 2 + 3 + 4 = 9$ ⇒ $7$ .
Типичные ошибки: в В2-1 взять основание $6$ (до высоты); в В1-2 забыть деление на $2$ .

R03.4

Итог урока

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Какие три способа мы узнали?
Когда формулой воспользоваться нельзя?
Какой способ работает всегда?

Дома

Найдите площадь (клетка $1 \times 1$ ).
Нарисуйте три разных треугольника площадью $6$

Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchadi_parallelogramma_treugolnika_trapecii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-031 · Площади фигур на клетчатой бумаге

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур», 14 ч · урок 4/14 · тип Н
Единицы → слайды	R03.4 «Площади фигур на клетчатой бумаге» → 2–23; повторение R03.2 (формулы) → 3, 4, 6–9, 16; R03.1 (свойство площади) → 3, 10, 11
Результаты	ПР-7 = REQ-6.7 (вычислять различными способами площадь треугольника и многоугольных фигур, практические задачи) → 2, 6–13, 16, 19–22 · EL-6.9 → 5–22 · EL-6.7 → 4, 6–9 · вид деятельности «разбиение фигуры на части и достраивание» → 10–14; образцы → сам: 7, 9, 11, 13, 16; разбор ошибок: 17, 18; задача из жизни (сотки): 20
ОГЭ	линия 18 (фигуры на клетчатой бумаге) → 21; формат линии 18 → 7–13, 19, 20, 22
Дополнительно	формула Пика (сверх ФРП, только как проверка) → 15
Вне урока	вывод формул — GEOM8-029; сложные фигуры — GEOM8-030; площади подобных фигур — GEOM8-032; вспомогательная площадь — R03.7
Проверки	хронометраж 30/70: теория 12 мин · практика 33 мин (73 %) · автопроверка: pending · методист: pending

Площади фигур на клетчатой бумаге

Сегодня вы научитесь

Считать по формуле

Разбивать на части

Достраивать

Решать задачи

Площади — в уме

Какие формулы площади вы знаете?

Прямоугольник

Треугольник

Параллелограмм

Трапеция

Ромб

Как найти площадь, если размеры не даны?

Основание и высота идут по линиям сетки

Сторона по сетке — основание

Образец: площадь △ABC

Сам: найдите площадь (клетка 1×1)

Ищем элементы, лежащие на линиях сетки

Параллелограмм

Ромб

Трапеция

Основания могут быть вертикальными

Образец: площадь трапеции ABCD

Сам: найдите площадь (клетка 1×1)

Площадь фигуры равна сумме площадей частей

Режем по линиям сетки

Образец: площадь пятиугольника

Сам: найдите площадь (клетка 1×1)

Достроим до прямоугольника и вычтем лишнее

Ни одной стороны по сетке? Достраиваем

Образец: площадь четырёхугольника

Сам: найдите площадь (клетка 1×1)

Алгоритм: от простого к общему

Проверка «по узлам»

Обратная задача: площадь дана

Образец: отметьте узел C так, чтобы SABC​=6

Сам: нарисуйте в тетради

Где ошибаются чаще всего

Наклонную сторону мерят клетками

Высоту путают с боковой стороной

Забывают угловую часть

Где ошибся ученик?

а) треугольник

б) трапеция

в) достраивание

Найдите площадь фигуры

база а) параллелограмм

база б) трапеция

повыш. в) четырёхугольник

Выберите удобный способ

1 база

2 база

3 повыш.

4 повыш.

5 практика

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Дома

GEOM8-031 · Площади фигур на клетчатой бумаге

Образец: площадь $△ A BC$

Сам: найдите площадь (клетка $1 \times 1$ )

Образец: площадь трапеции $A BC D$

Сам: найдите площадь (клетка $1 \times 1$ )

Сам: найдите площадь (клетка $1 \times 1$ )

Сам: найдите площадь (клетка $1 \times 1$ )

Образец: отметьте узел $C$ так, чтобы $S_{A BC} = 6$