Площадь многоугольных фигур · урок 3 из 14 · новый материал

Вычисление площадей сложных фигур

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R03 · GEOM8-030

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур» (14 ч), урок 3/14, единица R03.3 «Вычисление площадей сложных фигур». Тип урока — Н (новый материал).
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 5 проблема 1,5 · 6 разбиение 2,5 · 7 достраивание 2 · 8 алгоритм 1,5 · 11 перпендикулярные диагонали 3. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32,5): 3 разминка 2 · 4 «Вспомним» 1,5 · 9 образец (разбиение) 3 · 10 образец (достраивание) 3 · 12 образец (диагонали) 2,5 · 13 образец (ремонт) 3 · 14 ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 4 · 17 повышенный 2,5 · 18 ОГЭ 2,5 · 19 самостоятельная 4 · 20 итог 1.
Если времени мало: задания 3–4 сл. 17 перенести в ДЗ; теорию не выбрасывать.
Нужны: линейка, цветные карандаши — штриховать части фигуры; калькулятор для сл. 13.

R03.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Разбивать фигуру

на прямоугольники, треугольники, трапеции: $S = S_{1} + S_{2}$ (ПР-7)

Достраивать фигуру

до прямоугольника и вычитать лишнее (ФРП: виды деятельности)

Находить размеры

которых нет на чертеже, по данным длинам (REQ-6.7)

Решать задачи

практические и в формате ОГЭ, линия 17 (ПР-7, EL-6.7)

1 мин · теория
ПР-7 (ФРП) = REQ-6.7: «Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором). Применять полученные умения в практических задачах».
EL-6.7: «Формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции»; EL-6.8: «Свойства площадей геометрических фигур».
Вид деятельности ФРП: «…использовать разбиение фигуры на части и достраивание», «Вычислять площади различных многоугольных фигур».

повторение: R03.1, R03.2

Разминка · устно

Площади — в уме

Прямоугольник $6 \times 9$ $54$
Квадрат со стороной $1, 5$ $2, 25$
Прямоугольный треугольник, катеты $6$ и $5$ $15$
Недостающий размер: $12 - 7, 5$ $4, 5$

Прямоугольник $10 \times 4$ разрезали на две равные части. Площадь части? $20$
$1 м^{2} = ? см^{2}$ $10000$
Параллелограмм: сторона $8$ , высота к ней $3$ $24$
Трапеция: основания $3$ и $7$ , высота $4$ $20$

повторение: R03.1, R03.2

Вспомним · уроки 1–2 темы

Назовите формулу площади

Прямоугольник

S = ab

Параллелограмм

S = ah

Треугольник

S = \frac{1}{2} ah

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

Ромб

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

Свойство площади: если фигура составлена из нескольких частей без общих внутренних точек, её площадь равна сумме площадей частей.

Равные фигуры имеют равные площади.

R03.3

Проблема

Формулы для такой фигуры нет

Все углы прямые. Размеры даны в сантиметрах.
Как найти площадь?

Идея 1. Разрезать на знакомые фигуры.

Идея 2. Достроить до знакомой фигуры.

R03.3

Способ 1 · разбиение

Разрежем на два прямоугольника

S = 6 \cdot 8 + 4 \cdot 3 = 48 + 12 = 60

S = 6 \cdot 5 + 10 \cdot 3 = 30 + 30 = 60

R03.3

Способ 2 · достраивание

Достроим до прямоугольника и вычтем лишнее

S = S_{прям} - S_{лишн}

S = 10 \cdot 8 - 4 \cdot 5

S = 80 - 20 = 60

Тот же ответ, что и при разбиении: $60$ см².

R03.3

Алгоритм

Площадь сложной фигуры за 4 шага

Разбиение

S = S_{1} + S_{2} + \dots

Достраивание

S = S_{целой} - S_{лишней}

R03.3

Образец → сам · разбиение

Прямоугольник + треугольник

Образец: найдите площадь пятиугольника $A BC D E$

Разрежем по $EC$ прямоугольник $A BCE$ + треугольник $EC D$
$h = 8 - 5 = 3$ высота треугольника — недостающий размер
$S_{1} = 8 \cdot 5 = 40$
$S_{2} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$ формулы прямоугольника и треугольника
$S = 40 + 12 = 52$ свойство: площадь фигуры — сумма площадей частей

Сам: «домик» (прямоугольник + треугольник)

Квадрат $6 \times 6$ , сверху треугольник высотой $2$ . Найдите $S$ . $42$
Прямоугольник $10 \times 4$ , сверху треугольник, высота всей фигуры $7$ . Найдите $S$ . $55$
Ширина $8$ , стены $5$ , площадь «домика» $52$ . Найдите высоту крыши. $3$

R03.3

Образец → сам · достраивание

От прямоугольника отрезали два уголка

Образец: найдите площадь шестиугольника

$S_{прям} = 12 \cdot 6 = 72$ высота $4 + 2 = 6$
$S_{1} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$ прямоугольный треугольник: половина произведения катетов
$S_{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$
$S = 72 - 3 - 4 = 65$ вычли лишнее

Сам: дострой и вычти

Из прямоугольника $8 \times 5$ вырезали в углу прямоугольник $3 \times 2$ . $34$
У квадрата со стороной $10$ отрезали четыре уголка — треугольники с катетами $2$ и $2$ . $92$
Рамка: прямоугольник $9 \times 7$ , внутри вырезан $5 \times 3$ . $48$

R03.3

Разбиение диагональю · вывод формулы

$A C ⊥ B D$ , $A C = 10$ , $B D = 8$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

$S_{A BC} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot BO$ $BO$ — высота $△ A BC$
$S_{A D C} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot O D$ $O D$ — высота $△ A D C$
$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 40$ сложили: $BO + O D = B D = 8$

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

для любого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями

R03.3

Образец → сам · диагонали

Обратная задача: известна площадь

Образец: $A C ⊥ B D$ , $S_{A BC D} = 36$ , $B D = 8$ . Найдите $A C$ .

$S = \frac{1}{2} A C \cdot B D$ диагонали перпендикулярны
$36 = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot 8 = 4 A C$ подставили данные
$A C = 36 : 4 = 9$ проверка: $\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8 = 36$

Сам: $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

Ромб с диагоналями $10$ и $24$ . Найдите $S$ . $120$
$A C ⊥ B D$ , $A C = 14$ , $S = 70$ . Найдите $B D$ . $10$
Квадрат с диагональю $8$ . Найдите $S$ . $32$

R03.3

Образец → сам · ремонт

Ламинат для кухни-гостиной

Образец: упаковка ламината — $2, 4$ м², цена $1250$ р.

$S = 7 \cdot 5 - 3 \cdot 2 = 29$ м²достроили; вырез $(7 - 4) \times (5 - 3)$
$29 : 2, 4 \approx 12, 08$ ⇒ $13$ упаковококругляем вверх: $12$ упаковок — только $28, 8$ м²
$13 \cdot 1250 = 16250$ р.

Сам (можно калькулятор)

Комната $6 \times 4$ м с нишей $2 \times 1, 5$ м. Сколько упаковок по $2, 4$ м²? $12$
Стена $5 \times 2, 7$ м, окно $1, 5 \times 1, 4$ м. Площадь покраски? $11, 4$ м²
Газон $20 \times 12$ м, в углах 4 клумбы — треугольники с катетами $2$ и $3$ м. Площадь газона? $228$ м²

R03.3

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Части перекрываются

✗ $6 \cdot 8 + 10 \cdot 3 = 78$

прямоугольник $6 \times 3$ посчитан дважды

✓ $6 \cdot 8 + 4 \cdot 3 = 60$

Забыли $\frac{1}{2}$

✗ $S_{△} = 8 \cdot 3 = 24$

треугольник — половина прямоугольника

✓ $S_{△} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$

Не тот размер

✗ высота крыши $= 8$

$8$ — высота всей фигуры, а не треугольника

✓ $8 - 5 = 3$

Разные единицы

✗ $2 м \cdot 50 см = 100$

перед умножением — одни единицы

✓ $2 \cdot 0, 5 = 1 м^{2}$

R03.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Все углы прямые. Найдите $S$ .

Ученик: $S = 5 \cdot 7 + 12 \cdot 3 = 35 + 36 = 71$

Ширина правой части $12 - 5 = 7$ , а не $12$

$S = 35 + 7 \cdot 3 = 56$

б) Прямоугольная трапеция. Найдите $S$ .

Ученик: $S = \frac{9 + 6}{2} \cdot 5 = 37, 5$

$5$ — наклонная боковая сторона, высота — $4$

$S = \frac{9 + 6}{2} \cdot 4 = 30$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Разрез вертикальный по линии $x = 5$ : левая часть $5 \times 7 = 35$ , правая $(12 - 5) \times 3 = 21$ , итого 56. Ученик взял всю ширину 12 — части перекрылись. Проверка достраиванием: $12 \cdot 7 - 7 \cdot 4 = 84 - 28 = 56$ .
б) Площадь через неперпендикулярную «высоту». Высота прямоугольной трапеции — боковая сторона, перпендикулярная основаниям ( $4$ ). Проверка разбиением: $6 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 24 + 6 = 30$ (проекция наклонной стороны $9 - 6 = 3$ , треугольник 3–4–5).

R03.3

Задания с самопроверкой · база

Найдите площадь каждой фигуры

база

а) все углы прямые

$42$

база

б) двумя способами

$30$

повыш.

в) углы прямые, ступеньки равные

$24$

R03.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Из угла прямоугольника $10 \times 8$ вырезали квадрат; площадь оставшейся фигуры $64$ . Найдите сторону квадрата. $4$
повыш.В прямоугольнике $A BC D$ : $A B = 6$ , $A D = 10$ , $M$ — середина $BC$ . Найдите площадь $A MC D$ . $45$
повыш.Диагонали четырёхугольника перпендикулярны и равны $6$ и $8$ . Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах его сторон. $12$
из жизниФронтон дома: ширина $8$ м, стены $3$ м, высота до конька $6$ м, окно $1, 2 \times 1, 5$ м. Сколько м² обшивки? $34, 2$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) $80 - 64 = 16$ — площадь квадрата, сторона $4$ .
2) $S_{A BC D} = 60$ , $S_{A BM} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$ ⇒ $60 - 15 = 45$ (или трапеция: $\frac{5 + 10}{2} \cdot 6 = 45$ ).
3) Стороны «серединного» четырёхугольника — средние линии треугольников: они параллельны диагоналям и равны их половинам ⇒ прямоугольник $3 \times 4$ , $S = 12$ (половина площади $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ ).
4) Прямоугольник $8 \cdot 3 = 24$ , треугольник $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot (6 - 3) = 12$ , окно $1, 8$ : $24 + 12 - 1, 8 = 34, 2$ м².

R03.3 · ОГЭ 17

Формат ОГЭ · линия 17

Ответ — одно число

17 1. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке. $45$

Тот же тип

Трапеция: высота $4$ , меньшее основание $5$ , проекции боковых сторон на большее основание $3$ и $2$ . Найдите $S$ . $30$
Площадь трапеции $60$ , высота $6$ , одно основание $7$ . Найдите другое. $13$

Подсказка: прямоугольник и два треугольника — или формула трапеции.

R03.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Из угла прямоугольника $9 \times 6$ вырезан прямоугольник $4 \times 2$ . Найдите $S$ . $46$
«Домик»: квадрат со стороной $4$ и треугольная крыша высотой $3$ . Найдите $S$ . $22$
Диагонали четырёхугольника перпендикулярны, равны $10$ и $7$ . Найдите $S$ . $35$
Пол: $5 \times 4$ м и выступ $2 \times 1$ м. Сколько упаковок ламината по $2, 5$ м²? $9$

Вариант 2

Из угла прямоугольника $10 \times 7$ вырезан квадрат $3 \times 3$ . Найдите $S$ . $61$
«Домик»: квадрат со стороной $6$ и треугольная крыша высотой $4$ . Найдите $S$ . $48$
Диагонали четырёхугольника перпендикулярны, равны $12$ и $9$ . Найдите $S$ . $54$
Пол: $6 \times 3$ м и выступ $2 \times 1, 5$ м. Сколько упаковок ламината по $2, 4$ м²? $9$

R03.3

Итог урока

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Какие два способа мы узнали?
Как проверить ответ?
Какой шаг алгоритма самый трудный?

Дома

Из угла прямоугольника $12 \times 9$ вырезан прямоугольник $5 \times 4$ . Найдите площадь двумя способами.
«Домик»: ширина $6$ , стены $4$ , высота до конька $7$ . Найдите $S$ .
Диагонали четырёхугольника перпендикулярны и равны $7$ и $12$ . Найдите $S$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchad_mnogougolnika.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-030 · Вычисление площадей сложных фигур

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур», 14 ч · урок 3/14 · тип Н
Единицы → слайды	R03.3 «Вычисление площадей сложных фигур» → 2, 5–20; повторение R03.1 (свойства площадей), R03.2 (формулы) → 3–4
Результаты	ПР-7 = REQ-6.7 (вычислять различными способами площади многоугольных фигур, практические задачи) → 2, 5–20 · EL-6.7 → 4, 9, 11–12, 18 · EL-6.8 → 4, 6, 7 · вид деятельности «разбиение фигуры на части и достраивание», «формула площади четырёхугольника через диагонали» → 6–12
ОГЭ	линия 17 (четырёхугольники) → 18
Вне урока	свойства площадей — GEOM8-028; вывод формул — GEOM8-029; клетчатая бумага — GEOM8-031; подобные фигуры — GEOM8-032; формула через диагонали и угол (синус) — после тригонометрии; теорема Пифагора — GEOM8-042
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Вычисление площадей сложных фигур

Сегодня вы научитесь

Разбивать фигуру

Достраивать фигуру

Находить размеры

Решать задачи

Площади — в уме

Назовите формулу площади

Прямоугольник

Параллелограмм

Треугольник

Трапеция

Ромб

Формулы для такой фигуры нет

Разрежем на два прямоугольника

Достроим до прямоугольника и вычтем лишнее

Площадь сложной фигуры за 4 шага

Разбиение

Достраивание

Прямоугольник + треугольник

Образец: найдите площадь пятиугольника ABCDE

Сам: «домик» (прямоугольник + треугольник)

От прямоугольника отрезали два уголка

Образец: найдите площадь шестиугольника

Сам: дострой и вычти

AC⊥BD, AC=10, BD=8. Найдите SABCD​.

Обратная задача: известна площадь

Образец: AC⊥BD, SABCD​=36, BD=8. Найдите AC.

Сам: S=21​d1​d2​

Ламинат для кухни-гостиной

Образец: упаковка ламината — 2,4 м², цена 1250 р.

Сам (можно калькулятор)

Так нельзя

Части перекрываются

Забыли 21​

Не тот размер

Разные единицы

Где ошибся ученик?

а) Все углы прямые. Найдите S.

б) Прямоугольная трапеция. Найдите S.

Найдите площадь каждой фигуры

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Тот же тип

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Дома

GEOM8-030 · Вычисление площадей сложных фигур

Образец: найдите площадь пятиугольника $A BC D E$

$A C ⊥ B D$ , $A C = 10$ , $B D = 8$ . Найдите $S_{A BC D}$ .

Образец: $A C ⊥ B D$ , $S_{A BC D} = 36$ , $B D = 8$ . Найдите $A C$ .

Сам: $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

Образец: упаковка ламината — $2, 4$ м², цена $1250$ р.

Забыли $\frac{1}{2}$

а) Все углы прямые. Найдите $S$ .

б) Прямоугольная трапеция. Найдите $S$ .