Площадь многоугольников · урок 2 из 14 · новый материал

Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R03 · GEOM8-029

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур» (14 ч), урок 2/14, единица R03.2 «Формулы для площади треугольника, параллелограмма, трапеции». Тип урока — Н (новый материал).
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 5 высота 1 · 6 вывод для параллелограмма 2,5 · 8 вывод для треугольника 2 · 9 следствия 1,5 · 11 ромб 1,5 · 12 вывод для трапеции 2 · 14 схема-конспект 1. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (31,5): 3 разминка 2 · 4 «Вспомним» 1,5 · 7 образец (параллелограмм) 2,5 · 10 образец (треугольник) 2,5 · 13 образец (трапеция) 2,5 · 15 образец (угол 30°) 2,5 · 16 ошибки 1,5 · 17 найди ошибку 2 · 18 база 3 · 19 повышенный 2,5 · 20 ОГЭ 3 · 21 самостоятельная 4,5 · 22 итог 1,5.
Если не успеваете: из сл. 19 задания 3–4 — в ДЗ, на сл. 20 оставить только задачу 1; теорию не выбрасывать.
Нужны: бумажный параллелограмм и ножницы для демонстрации на сл. 6 (по желанию).

R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить формулы

площади параллелограмма, треугольника, трапеции из площади прямоугольника (ФРП: виды деятельности)

Вычислять площадь

треугольника, параллелограмма, ромба, трапеции (ПР-7, REQ-6.7, EL-6.7)

Находить высоту

или сторону по известной площади (ПР-7)

Решать задачи

практические и в формате ОГЭ, линия 17 (ПР-7)

1 мин · теория
ПР-7 (ФРП, 8 класс) = REQ-6.7: «Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором). Применять полученные умения в практических задачах».
EL-6.7 кодификатора: «Формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции».
Вид деятельности ФРП: «Выводить формулы площади параллелограмма, треугольника, трапеции из формулы площади прямоугольника (квадрата)».

повторение: 7 класс, R03.1

Разминка · устно

Считаем в уме

Площадь прямоугольника $7 \times 4$ $28$
Площадь квадрата со стороной $6$ $36$
Половина от $5 \cdot 8$ $20$
$\frac{3 + 7}{2}$ $5$

Гипотенуза $12$ , катет против угла $3 0^{\circ}$ $6$
Прямоугольный треугольник, угол $4 5^{\circ}$ , катет $5$ . Второй катет? $5$
Угол параллелограмма $3 0^{\circ}$ . Соседний угол? $15 0^{\circ}$
Прямоугольник: $S = 48$ , сторона $6$ . Другая сторона? $8$

2 мин · практика
Ответы (по клику): 1) 7 · 4 = 28; 2) $6^{2} = 36$ ; 3) 40 : 2 = 20; 4) 10 : 2 = 5; 5) 12 : 2 = 6 (катет против 30° равен половине гипотенузы); 6) 5 — второй острый угол тоже 45°, треугольник равнобедренный; 7) 180° − 30° = 150° (сумма углов, прилежащих к стороне); 8) 48 : 6 = 8.
Темп — 10–15 секунд на задание. Каждое задание — приём урока: 1–2 — исходная формула, 3 — ½ у треугольника, 4 — полусумма оснований трапеции, 5–7 — высота через угол 30° и 45°, 8 — обратная задача (сторона по площади).

повторение: R03.1

Вспомним · свойства площади

Площадь прямоугольника и сложение площадей

S = a \cdot b

Сколько клеток в прямоугольнике слева?
Найдите площадь фигуры справа. Как считали?
Равные фигуры — равные площади?

R03.2

Главный элемент формул

Высота — перпендикуляр к стороне (основанию)

основание

a

и высота

h

к нему всегда идут парой

R03.2

Вывод формулы · параллелограмм

Отрежем треугольник — получим прямоугольник

Отрежем $△ A B H$ $B H ⊥ A D$
Перенесём его к $D C$ $△ A B H = △ D C H_{1}$ , площадь не изменилась
$H BC H_{1}$ — прямоугольникстороны $a$ и $h$

S = a h

a — сторона, h — высота к ней

R03.2

Образец → сам · параллелограмм

Любая пара «сторона — высота к ней»

Образец: $A D = 12$ , $A B = 10$ , $B H = 8$ . Найдите высоту $DK$ .

$S = A D \cdot B H = 12 \cdot 8 = 96$ $B H$ — высота к стороне $A D$
$S = A B \cdot DK$ другая пара «сторона — высота»: $DK ⊥ A B$
$DK = \frac{96}{10} = 9, 6$ площадь одна и та же

Сам: параллелограмм

Сторона $15$ , высота к ней $4$ . Найдите $S$ . $60$
$S = 72$ , сторона $9$ . Найдите высоту к этой стороне. $8$
Стороны $6$ и $9$ , высота к большей стороне $4$ . Найдите высоту к меньшей. $6$

R03.2

Вывод формулы · треугольник

Треугольник — половина параллелограмма

Достроим $△ A BC$ до параллелограмма $A B D C$ $B D ∥ A C$ , $C D ∥ A B$
$△ A BC = △ D CB$ по трём сторонам
$S_{△} = \frac{1}{2} S_{A B D C}$

S = \frac{1}{2} a h

R03.2

Три следствия

Частные случаи формулы $S = \frac{1}{2} ah$

Прямоугольный

S = \frac{1}{2} a b

$a$ , $b$ — катеты

Тупоугольный

S = \frac{1}{2} a h

высота — вне треугольника

Медиана

S_{1} = S_{2}

равные основания, общая высота

R03.2

Образец → сам · треугольник

Одна площадь — две пары «основание — высота»

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 6$ , $BC = 8$ , $A B = 10$ . Найдите высоту $C H$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ катеты: один — основание, другой — высота
$S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C H$ основание — гипотенуза, высота $C H ⊥ A B$
$C H = \frac{2 S}{A B} = \frac{48}{10} = 4, 8$

Сам: треугольник

Сторона $14$ , высота к ней $9$ . Найдите $S$ . $63$
$S = 36$ , сторона $12$ . Найдите высоту к ней. $6$
Катеты $9$ и $12$ , гипотенуза $15$ . Найдите высоту к гипотенузе. $7, 2$

R03.2

Ромб · через диагонали

Ромб — половина прямоугольника $d_{1} \times d_{2}$

Диагонали ромба $⊥$ и делятся точкой $O$ пополам
Каждый из 4 треугольников ромба равен «уголку» вне его

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

ромб — параллелограмм, поэтому и $S = a h$

R03.2

Вывод формулы · трапеция

Диагональ делит трапецию на два треугольника

$S = S_{A C D} + S_{A BC}$ у обоих высота $h$ — расстояние между основаниями
$S = \frac{1}{2} a h + \frac{1}{2} b h$

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

полусумма оснований на высоту

R03.2

Образец → сам · трапеция

Сначала найдём высоту

Образец: трапеция равнобедренная, $A D = 14$ , $BC = 6$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ .

$A H = \frac{14 - 6}{2} = 4$ $B H ⊥ A D$ ; в равнобедренной трапеции «хвосты» у оснований равны
$B H = A H = 4$ $△ A B H$ прямоугольный, $∠ A = 4 5^{\circ}$ ⇒ равнобедренный
$S = \frac{14 + 6}{2} \cdot 4 = 40$

Сам: трапеция

Основания $7$ и $13$ , высота $5$ . Найдите $S$ . $50$
$S = 60$ , основания $8$ и $12$ . Найдите высоту. $6$
Прямоугольная трапеция: основания $5$ и $9$ , острый угол $4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ . $28$

R03.2

Схема-конспект

Четыре формулы — одна идея: основание и высота

Параллелограмм

S = a h

Треугольник

S = \frac{1}{2} a h

Ромб

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} h

R03.2

Образец → сам · высота через угол $3 0^{\circ}$

Высоты нет в условии — найдём её

Образец: $A D = 10$ , $A B = 6$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите площадь параллелограмма.

Проведём высоту $B H ⊥ A D$ нужна высота к стороне $A D$
$B H = \frac{1}{2} A B = 3$ катет против угла $3 0^{\circ}$
$S = A D \cdot B H = 10 \cdot 3 = 30$

Сам

Параллелограмм: стороны $8$ и $14$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $56$
Ромб: сторона $10$ , тупой угол $15 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $50$
$△ A BC$ : $A B = 12$ , $A C = 9$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $27$

R03.2

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Сторона вместо высоты

$S = 8 \cdot 5$ ✗

$S = 8 \cdot h$ ✓

5 — боковая сторона, не высота

Забыли $\frac{1}{2}$

$S = 8 \cdot 5 = 40$ ✗

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20$ ✓

у треугольника есть $\frac{1}{2}$

Не та сторона

$S = 12 \cdot h$ ✗

$S = 10 \cdot h$ ✓

высота проведена к стороне 10

R03.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Трапеция: основания $4$ и $10$ , высота $5$

$S = (4 + 10) \cdot 5 = 70$

$S = \frac{4 + 10}{2} \cdot 5$

$S = 35$

б) Треугольник: $S = 30$ , сторона $10$ . Найти высоту к ней.

$h = 30 : 10 = 3$

$30 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h$

$h = \frac{2 \cdot 30}{10} = 6$

в) Параллелограмм: $A B = 6$ , $A D = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$

$B H = 3$ , $S = A B \cdot B H = 18$

$B H ⊥ A D$ — высота к $A D$

$S = A D \cdot B H = 30$

R03.2

Задания с самопроверкой · база

Найдите площадь

Параллелограмм: сторона $12$ , высота к ней $5$ $60$
Треугольник: сторона $16$ , высота к ней $7$ $56$
Ромб: диагонали $10$ и $16$ $80$

Трапеция: основания $3$ и $9$ , высота $4$ $24$
Прямоугольный треугольник: катеты $7$ и $10$ $35$
Квадрат: диагональ $6$ $18$

Формулы под рукой:

S = a h

S = \frac{1}{2} a h

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

S = \frac{a + b}{2} h

R03.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны параллелограмма $8$ и $12$ , высота к большей стороне $4$ . Найдите высоту к меньшей. $6$
повыш.Ромб: диагонали $6$ и $8$ , сторона $5$ . Найдите высоту ромба. $4, 8$
повыш.Площадь трапеции $84$ , высота $7$ , одно основание $9$ . Найдите другое основание. $15$
из жизниГазон — трапеция: основания $30$ м и $50$ м, расстояние между ними $20$ м. Мешка семян хватает на $50 м^{2}$ . Сколько мешков купить? $16$

R03.2 · ОГЭ 17

Формат ОГЭ · линия 17

Ответ — одно число

17 1. Основания трапеции равны $18$ и $6$ , боковая сторона, равная $7$ , образует с одним из оснований трапеции угол $15 0^{\circ}$ . Найдите площадь этой трапеции. $42$

Та же идея: высота через угол

Сторона ромба $6$ , один из углов $15 0^{\circ}$ . Найдите площадь ромба. $18$
Основания равнобедренной трапеции $7$ и $13$ , угол при основании $4 5^{\circ}$ . Найдите её площадь. $30$

В бланк — только число: 42, без «

S =

».

R03.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Параллелограмм: сторона $9$ , высота к ней $6$ . Найдите $S$ . $54$
Треугольник: сторона $10$ , высота к ней $7$ . Найдите $S$ . $35$
Трапеция: основания $6$ и $10$ , высота $5$ . Найдите $S$ . $40$
Параллелограмм: стороны $8$ и $12$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $48$

Вариант 2

Параллелограмм: сторона $7$ , высота к ней $8$ . Найдите $S$ . $56$
Ромб: диагонали $12$ и $9$ . Найдите $S$ . $54$
Трапеция: основания $5$ и $13$ , высота $6$ . Найдите $S$ . $54$
$△ A BC$ : $A B = 10$ , $A C = 14$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ . $35$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Проверь себя

Из какой фигуры получили формулу параллелограмма?
Почему у треугольника $\frac{1}{2}$ ?
Что такое высота трапеции?

Я умею

выбирать пару «сторона — высота к ней»;
находить высоту по площади: $h = \frac{2 S}{a}$ у треугольника;
находить высоту через угол $3 0^{\circ}$ или $4 5^{\circ}$ .

Дома

Трапеция: основания $5$ и $11$ , высота $6$ . Найдите $S$ .
Параллелограмм: стороны $14$ и $10$ , угол $3 0^{\circ}$ . Найдите $S$ .
Треугольник: $S = 42$ , сторона $12$ . Найдите высоту к ней.
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchadi_parallelogramma_treugolnika_trapecii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-029 · Формулы для площади треугольника, параллелограмма, трапеции

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур», 14 ч · урок 2/14 · тип Н
Единицы → слайды	R03.2 «Формулы для площади треугольника, параллелограмма, трапеции» → 2, 5–22; повторение R03.1 (свойства площади) и 7 класса → 3–4
Результаты	ПР-7 = REQ-6.7 (вычислять площадь треугольника и многоугольных фигур, практические задачи) → 2, 7, 10, 13, 15–22 · EL-6.7 (формулы площади треугольника, параллелограмма, ромба, трапеции) → 5–6, 8–9, 11–12, 14 · вид деятельности «выводить формулы площади параллелограмма, треугольника, трапеции из формулы площади прямоугольника» → 6, 8, 12
ОГЭ	линия 17 (четырёхугольники) → 20
Вне урока	свойства площади — GEOM8-028; сложные фигуры — GEOM8-030; клетчатая бумага — GEOM8-031; площади подобных фигур — R03.5; площадь четырёхугольника через диагонали и угол между ними — после синуса (R04)
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции

Сегодня вы научитесь

Выводить формулы

Вычислять площадь

Находить высоту

Решать задачи

Считаем в уме

Площадь прямоугольника и сложение площадей

Высота — перпендикуляр к стороне (основанию)

Отрежем треугольник — получим прямоугольник

Любая пара «сторона — высота к ней»

Образец: AD=12, AB=10, BH=8. Найдите высоту DK.

Сам: параллелограмм

Треугольник — половина параллелограмма

Частные случаи формулы S=21​ah

Прямоугольный

Тупоугольный

Медиана

Одна площадь — две пары «основание — высота»

Образец: ∠C=90∘, AC=6, BC=8, AB=10. Найдите высоту CH.

Сам: треугольник

Ромб — половина прямоугольника d1​×d2​

Диагональ делит трапецию на два треугольника

Сначала найдём высоту

Образец: трапеция равнобедренная, AD=14, BC=6, ∠A=45∘. Найдите S.

Сам: трапеция

Четыре формулы — одна идея: основание и высота

Параллелограмм

Треугольник

Ромб

Трапеция

Высоты нет в условии — найдём её

Образец: AD=10, AB=6, ∠A=30∘. Найдите площадь параллелограмма.

Сам

Так нельзя

Сторона вместо высоты

Забыли 21​

Не та сторона

Где ошибся ученик?

а) Трапеция: основания 4 и 10, высота 5

б) Треугольник: S=30, сторона 10. Найти высоту к ней.

в) Параллелограмм: AB=6, AD=10, ∠A=30∘

Найдите площадь

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Та же идея: высота через угол

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Проверь себя

Я умею

Дома

GEOM8-029 · Формулы для площади треугольника, параллелограмма, трапеции

Образец: $A D = 12$ , $A B = 10$ , $B H = 8$ . Найдите высоту $DK$ .

Частные случаи формулы $S = \frac{1}{2} ah$

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 6$ , $BC = 8$ , $A B = 10$ . Найдите высоту $C H$ .

Ромб — половина прямоугольника $d_{1} \times d_{2}$

Образец: трапеция равнобедренная, $A D = 14$ , $BC = 6$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $S$ .

Образец: $A D = 10$ , $A B = 6$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите площадь параллелограмма.

Забыли $\frac{1}{2}$

а) Трапеция: основания $4$ и $10$ , высота $5$

б) Треугольник: $S = 30$ , сторона $10$ . Найти высоту к ней.

в) Параллелограмм: $A B = 6$ , $A D = 10$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$