Площадь · урок 1 из 14 · новый материал

Свойства площадей геометрических фигур

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R03 · GEOM8-028

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур» (14 ч), урок 1/14, единица R03.1 «Свойства площадей геометрических фигур». Тип — Н (новый материал).
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), итого 45 мин.
Теория (14): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 проблема 1,5 · 5 понятие и единицы 2 · 7 свойство 1 1 · 8 свойство 2 1,5 · 9 свойство 3 1,5 · 10 теорема о площади прямоугольника 2,5 · 12 равновеликие 1 · 13 схема-конспект 1. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (31): 3 разминка 2 · 6 образец: единицы 2,5 · 11 образец: S = ab 2,5 · 14 образец: разбиение и достраивание 3 · 15 образец: клетчатая бумага 2,5 · 16 образец: задача из жизни 2,5 · 17 ошибки 1,5 · 18 найди ошибку 2 · 19 база 3 · 20 повышенный 2,5 · 21 ОГЭ 2 · 22 самостоятельная 4 · 23 итог 1.
Слабый класс: доказательство (сл. 10) провести фронтально у доски, задания 3–4 сл. 20 — в ДЗ; теорию не выбрасывать. Сильный класс: разминку (сл. 3) пройти за 1,5 мин.

R03.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое площадь

и переводить единицы площади (EL-6.8)

Формулировать свойства площади

и объяснять их наглядный смысл (EL-6.8)

Выводить формулу площади прямоугольника

$S = ab$ из площади квадрата (ПР-7, REQ-6.7)

Вычислять площади фигур

разбиением на части и достраиванием (ПР-7, REQ-6.7)

1 мин · теория
ПР-7 = REQ-6.7 (ФРП дословно): «Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором). Применять полученные умения в практических задачах».
EL-6.8 «Свойства площадей геометрических фигур. Отношение площадей подобных фигур» — сегодня первая часть; площади подобных фигур — R03.5.
Вопрос классу: где в жизни нужна площадь? (ремонт, участок, квартира, краска, ткань).

R03.1 · повторение 5–6 кл.

Разминка · устно

Считаем клетки

Сколько клеток в фигуре $A$ ? $12$
В фигуре $B$ ? $14$
В фигуре $C$ ? $6$
Периметр фигуры $A$ $14$
Периметр фигуры $B$ $18$
$1 м = 10 дм$ . А $1 м^{2} = ? дм^{2}$ $100$

R03.1

Проблема

Одинаковый забор — одинаковый огород?

Длина забора одинакова, а места внутри — разное. Это «место» измеряет площадь.

R03.1

Новый материал · понятие

Площадь и единицы площади

Площадь

S

— положительное число: сколько раз единичный квадрат и его части укладываются в фигуре.

1 дм²	= 100 см²
1 м²	= 100 дм² = 10 000 см²
1 а («сотка»)	= 100 м² (10 м × 10 м)
1 га	= 100 а = 10 000 м²
1 км²	= 100 га = 1 000 000 м²

R03.1

Образец → сам · единицы площади

Длину переводим множителем, площадь — его квадратом

Образец: переведите $3, 5 м^{2}$ в $см^{2}$

$1 м = 100 см$ единицы длины
$1 м^{2} = 100 \cdot 100 = 10000 см^{2}$ квадрат $1 \times 1$ м — это $100 \times 100$ квадратов по $1 см^{2}$
$3, 5 м^{2} = 3, 5 \cdot 10000 = 35000 см^{2}$ умножили на число единиц в $1 м^{2}$

Сам

$2 дм^{2} = ? см^{2}$ $200$
$750 см^{2} = ? дм^{2}$ $7, 5$
$45000 м^{2} = ? га$ $4, 5$
Участок $20 \times 30$ м — сколько соток? $6$

R03.1

Свойство 1

Равные многоугольники имеют равные площади

△ A BC = △ A_{1} B_{1} C_{1} \Rightarrow S_{A BC} = S_{A_{1} B_{1} C_{1}}

R03.1

Свойство 2

Фигура из частей: площадь равна сумме площадей частей

Разбиение

S = S_{1} + S_{2} + S_{3}

Достраивание

S = S_{большого} - S_{выреза}

R03.1

Свойство 3

Площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^{2}$

R03.1

Теорема · доказательство

Площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $b$

Достроим до квадрата со стороной $a + b$ рисунок: квадраты $a^{2}$ , $b^{2}$ и ещё один прямоугольник $a \times b$
$(a + b)^{2} = S + S + a^{2} + b^{2}$ свойства 3 и 2; прямоугольники равны — свойство 1
$a^{2} + 2 ab + b^{2} = 2 S + a^{2} + b^{2}$ раскрыли скобки (алгебра 7 класса)
$2 ab = 2 S$ вычли $a^{2} + b^{2}$ из обеих частей

S = ab

R03.1

Образец → сам · площадь прямоугольника

$S = ab$ : прямая и обратная задача

Образец: $P = 26$ см, одна сторона $8$ см. Найдите $S$ .

$8 + b = 26 : 2 = 13$ , $b = 5$ см $P = 2 (a + b)$
$S = 8 \cdot 5 = 40 см^{2}$ теорема: $S = ab$ ; единицы — квадратные

Сам

Стороны $7$ см и $12$ см. Найдите $S$ . $84 см^{2}$
Периметр квадрата $36$ . Найдите $S$ . $81$
$S = 48 см^{2}$ , одна сторона $6$ см. Найдите $P$ . $28$ см

R03.1

Равновеликие фигуры

Площади равны — а фигуры разные

Равновеликие — фигуры с равными площадями.

Равные ⇒ равновеликие. Обратное неверно!

R03.1

Схема-конспект

Свойства площади → формула → способы

1. Равные фигуры

имеют равные площади

2. Сумма частей

$S = S_{1} + S_{2}$

3. Квадрат

$S = a^{2}$

Теорема ⇒

S_{прям .} = ab

Способы ⇒

разбиение на части · достраивание

R03.1

Образец → сам · разбиение и достраивание

Одна фигура — два способа, один ответ

Образец: из прямоугольника $10 \times 7$ вырезан угол $4 \times 3$

Разбиение: $6 \cdot 7 + 4 \cdot 4 = 42 + 16 = 58$ свойство 2; $6 = 10 - 4$ , $4 = 7 - 3$
Достраивание: $10 \cdot 7 - 4 \cdot 3 = 70 - 12 = 58$ $S = S_{большого} - S_{выреза}$
Ответ: $58$ ответы совпали — это проверка

Сам

Найдите площадь фигуры на рисунке. $42$
Из квадрата $10 \times 10$ в каждом углу вырезали квадрат $2 \times 2$ . Найдите $S$ . $84$

R03.1 · подготовка к R03.4

Образец → сам · клетчатая бумага

Прямоугольный треугольник — половина прямоугольника

Образец: найдите площадь треугольника (клетка $1 \times 1$ )

Достроим до прямоугольника $6 \times 4$ : $S = 24$ теорема $S = ab$
Диагональ делит его на два равных треугольникапо трём сторонам; свойство 1
$S = 24 : 2 = 12$ свойство 2

Сам: найдите площади (клетка $1 \times 1$ )

а) $5$ б) $15$ в) $20$

2,5 мин · практика
Образец: катеты 6 и 4 клетки. Прямоугольник 6 × 4 = 24; диагональ делит его на два равных треугольника (стороны 6, 4 и общая диагональ — равенство по трём сторонам), их площади равны (свойство 1), в сумме 24 (свойство 2) ⇒ 12.
Сам: а) катеты 2 и 5: 2 · 5 : 2 = 5. б) прямоугольник 4 × 3 = 12 и треугольник с катетами 2 и 3: 3; итого 15. в) квадрат 4 × 4 = 16 и «крыша» из двух треугольников с катетами 2 и 2: 2 + 2 = 4; итого 20.
Это мостик к уроку R03.4 «Площади фигур на клетчатой бумаге» и к формуле площади треугольника (GEOM8-029).

R03.1 · R03.6

Образец → сам · задача из жизни

Ремонт: сколько купить материала

Образец: в упаковке ламината $2, 2 м^{2}$ . Сколько упаковок?

$S = 6 \cdot 5 - 2 \cdot 2 = 26 м^{2}$ достраивание
$26 : 2, 2 \approx 11, 8$ сколько упаковок «помещается»
Купить $12$ упаковококругляем вверх: 11 не хватит

Сам

Сколько плиток $20 \times 20$ см нужно для пола $3 \times 4$ м? $300$
Стена $4 \times 2, 5$ м, окно $1, 5 \times 1, 2$ м. Банки краски хватает на $5 м^{2}$ . Сколько банок? $2$
Участок $20 \times 25$ м, дом $8 \times 10$ м, остальное — газон. Сколько соток газона? $4, 2$

R03.1

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

«1 м² = 100 см²»

Площадь перевели как длину.

Верно: $100 \cdot 100 = 10000 см^{2}$ .

Части перекрылись

Общий кусок посчитан дважды.

Верно: разбивать без наложений.

«Равновеликие ⇒ равны»

Квадрат $4 \times 4$ и прямоугольник $8 \times 2$ .

Верно: равные ⇒ равновеликие, не наоборот.

1,5 мин · практика
Каждую карточку — вопросом «что здесь не так?», ученики объясняют сами, затем открыть «верно».
1) 1 м = 100 см, но 1 м² = 100 · 100 = 10 000 см². 2) Если части перекрываются, общая часть входит в сумму дважды — свойство 2 требует частей без общих внутренних точек. 3) У квадрата 4 × 4 и прямоугольника 8 × 2 площади по 16, но фигуры не равны.
Ещё одна частая ошибка — «периметры равны ⇒ площади равны» (см. сл. 4: 7 × 1 и 4 × 4). Самопроверка ответа: единицы — квадратные; площадь фигуры не больше площади описанного прямоугольника.

R03.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Периметр квадрата $20$ . Найдите $S$ .

$S = 20 : 4 = 5$

$5$ — это сторона $a$

$S = 5^{2} = 25$

б) Найдите площадь фигуры

$S = 6 \cdot 2 + 2 \cdot 5 = 22$

квадрат $2 \times 2$ посчитан дважды

$S = 6 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 18$

в) Сторону квадрата увеличили в $3$ раза

площадь увеличилась в $3$ раза

$(3 a)^{2} = 9 a^{2}$

в $9$ раз

R03.1

Задания с самопроверкой · база

Площадь квадрата и прямоугольника

Прямоугольник $9 \times 4$ . Найдите $S$ . $36$
Квадрат со стороной $0, 5$ . Найдите $S$ . $0, 25$
$S = 72$ , одна сторона $8$ . Найдите другую. $9$

Периметр квадрата $24$ . Найдите $S$ . $36$
$5 м^{2} = ? дм^{2}$ $500$
Квадрат и прямоугольник $8 \times 2$ равновелики. Сторона квадрата? $4$

R03.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Периметр прямоугольника $20$ , одна сторона на $4$ больше другой. Найдите $S$ . $21$
повыш.Каждую сторону прямоугольника $6 \times 8$ увеличили на $2$ . На сколько увеличилась площадь? на $32$
повыш.Диагональ делит прямоугольник $6 \times 4$ на два треугольника. Найдите площадь каждого и обоснуйте. $12$ : свойства 1 и 2
из жизниУчасток-квадрат площадью $9$ соток. Сколько метров сетки нужно на забор? $120$ м

R03.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 18

Фигура на клетчатой бумаге: ответ — одно число

1. На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена фигура. Найдите её площадь. $18$

То же для фигур 2 и 3

2) $20$ 3) $17$

В бланк — только число: 18, без «

S =

» и единиц.

2 мин · практика
1) Авторское задание в формате банка ФИПИ. Верхняя полоса 6 × 2 = 12, «ножка» 2 × 3 = 6; S = 18. Проверка достраиванием: 6 × 5 − 2 · (2 × 3) = 30 − 12 = 18.
2) «Крест» из пяти квадратов 2 × 2: 5 · 4 = 20 (или 6 × 6 − 4 · (2 × 2) = 36 − 16 = 20). 3) прямоугольник 5 × 4 = 20 без угла — прямоугольного треугольника с катетами 2 и 3 (его площадь 2 · 3 : 2 = 3): 20 − 3 = 17.
Типичная потеря балла: считать клетки «ножки» вместе с полосой (2 × 5 = 10) и ещё раз всю полосу — получить 22.

R03.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Стороны прямоугольника $6$ см и $9$ см. Найдите $S$ . $54 см^{2}$
Периметр квадрата $32$ . Найдите $S$ . $64$
$3 м^{2} = ? дм^{2}$ $300$
Из прямоугольника $8 \times 6$ вырезали квадрат $2 \times 2$ . Найдите $S$ . $44$

Вариант 2

Стороны прямоугольника $7$ см и $8$ см. Найдите $S$ . $56 см^{2}$
Периметр квадрата $44$ . Найдите $S$ . $121$
$4 дм^{2} = ? см^{2}$ $400$
Из прямоугольника $10 \times 5$ вырезали квадрат $3 \times 3$ . Найдите $S$ . $41$

R03.1

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Главное

S_{кв .} = a^{2}

S_{прям .} = ab

S = S_{1} + S_{2}

Проверь себя

Называю три свойства площади.
Перевожу м² в см².
Нахожу площадь разбиением и достраиванием.

Дома

Из прямоугольника $12 \times 8$ вырезали квадрат $3 \times 3$ . Найдите площадь.
Площадь квадрата $49 см^{2}$ . Найдите его периметр.
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_ploshchad_mnogougolnika.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-028 · Свойства площадей геометрических фигур

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R03 «Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур», 14 ч · урок 1/14 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R03.1 «Свойства площадей геометрических фигур» → 2–23 · опора на 5–6 кл. → 3; подготовка к R03.4 (клетчатая бумага) → 15, R03.6 (практические задачи) → 16
Результаты	ПР-7 = REQ-6.7 (вычислять площади многоугольных фигур, практические задачи) → 2, 6, 10–11, 14–16, 19–23 · EL-6.8 (свойства площадей) → 2, 4–10, 12–13, 17–18
Виды деятельности	«Формулировать свойства площади, выяснять их наглядный смысл» → 4–9, 12–13 · «Выводить формулу площади прямоугольника (квадрата)» → 9–10 · «Находить площади фигур на клетчатой бумаге, разбиение и достраивание» → 14–15, 21
ОГЭ	линия 18 (фигуры на клетчатой бумаге) → 21
Вне урока	формулы площади треугольника, параллелограмма, трапеции — GEOM8-029 (R03.2); сложные фигуры — R03.3; клетчатая бумага — R03.4; площади подобных фигур — R03.5; метод вспомогательной площади — R03.7
Время	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Свойства площадей геометрических фигур

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое площадь

Формулировать свойства площади

Выводить формулу площади прямоугольника

Вычислять площади фигур

Считаем клетки

Одинаковый забор — одинаковый огород?

Площадь и единицы площади

Длину переводим множителем, площадь — его квадратом

Образец: переведите 3,5 м2 в см2

Сам

Равные многоугольники имеют равные площади

Фигура из частей: площадь равна сумме площадей частей

Разбиение

Достраивание

Площадь квадрата со стороной a равна a2

Площадь прямоугольника со сторонами a и b

S=ab: прямая и обратная задача

Образец: P=26 см, одна сторона 8 см. Найдите S.

Сам

Площади равны — а фигуры разные

Свойства площади → формула → способы

1. Равные фигуры

2. Сумма частей

3. Квадрат

Теорема ⇒

Способы ⇒

Одна фигура — два способа, один ответ

Образец: из прямоугольника 10×7 вырезан угол 4×3

Сам

Прямоугольный треугольник — половина прямоугольника

Образец: найдите площадь треугольника (клетка 1×1)

Сам: найдите площади (клетка 1×1)

Ремонт: сколько купить материала

Образец: в упаковке ламината 2,2 м2. Сколько упаковок?

Сам

Так нельзя

«1 м² = 100 см²»

Части перекрылись

«Равновеликие ⇒ равны»

Где ошибся ученик?

а) Периметр квадрата 20. Найдите S.

б) Найдите площадь фигуры

в) Сторону квадрата увеличили в 3 раза

Площадь квадрата и прямоугольника

Подумайте и решите

Фигура на клетчатой бумаге: ответ — одно число

То же для фигур 2 и 3

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Главное

Проверь себя

Дома

GEOM8-028 · Свойства площадей геометрических фигур

Образец: переведите $3, 5 м^{2}$ в $см^{2}$

Площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^{2}$

Площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $b$

$S = ab$ : прямая и обратная задача

Образец: $P = 26$ см, одна сторона $8$ см. Найдите $S$ .

Образец: из прямоугольника $10 \times 7$ вырезан угол $4 \times 3$

Образец: найдите площадь треугольника (клетка $1 \times 1$ )

Сам: найдите площади (клетка $1 \times 1$ )

Образец: в упаковке ламината $2, 2 м^{2}$ . Сколько упаковок?

а) Периметр квадрата $20$ . Найдите $S$ .

в) Сторону квадрата увеличили в $3$ раза