Подобие и пропорциональные отрезки · урок 15 из 15 · обобщение

Фалес, средние линии, подобие: собираем тему

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R02 · GEOM8-027

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники» (15 ч), урок 15/15, тип О (обобщение и систематизация). Единицы R02.1–R02.8 — вся строка.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 карта темы 1,5 · 5 Фалес и пропорциональные отрезки 1,5 · 7 построение 1,5 · 8 средние линии 1 · 10 центр масс 1 · 12 подобие 1 · 13 признаки 1,5 · 14 где искать подобие 1. Все теоретические слайды — сводкой-повторением, полностью.
Практика (33): 3 разминка 2 · 6 образец «Фалес» 2,5 · 9 образец «средние линии» 2,5 · 11 образец «центр масс» 2 · 15 образец «трапеция» 2,5 · 16 образец «доказательство» 2,5 · 17 образец «по тени» 2 · 18 верно/неверно 1,5 · 19 ошибки 1,5 · 20 найди ошибку 2 · 21 база 2,5 · 22 повышенный 2,5 · 23 ОГЭ 2 · 24 самостоятельная 4 · 25 итог 1.
Урок-обобщение: теорию не излагать заново, а вызывать вопросами («что вы помните о…?»), формулы открывать по клику после ответа класса.
Если не успеваете: сл. 7 (построение) показать кратко, задания 2–3 сл. 22 — в ДЗ; теорию не выбрасывать.

R02.1–R02.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Пропорциональные отрезки

применять теорему Фалеса и теорему о пропорциональных отрезках (ПР-3, REQ-6.3)

Средние линии и центр масс

использовать их свойства в задачах (ПР-3, ПР-2, REQ-6.2)

Признаки подобия

находить подобные треугольники на чертеже и доказывать подобие (ПР-4, REQ-6.4)

Практические задачи

строить модель с подобием и решать задачу ОГЭ (ПР-10, REQ-6.10)

1 мин · теория
ПР-2 (ФРП): «Применять свойства точки пересечения медиан треугольника (центра масс) в решении задач» = REQ-6.2.
ПР-3: «Владеть понятием средней линии треугольника и трапеции, применять их свойства… Пользоваться теоремой Фалеса и теоремой о пропорциональных отрезках, применять их для решения практических задач» = REQ-6.3.
ПР-4: «Применять признаки подобия треугольников в решении геометрических задач» = REQ-6.4. ПР-10 = REQ-6.10 — в части «строить математические модели… с применением подобия». Элементы: EL-6.4, EL-6.5, EL-6.6.

повторение: R02.2–R02.7

Разминка · устно

Отношения и отрезки — в уме

Сторона треугольника $14$ . Средняя линия, параллельная ей? $7$
Основания трапеции $4$ и $10$ . Средняя линия? $7$
Медиана $9$ . На какие части её делит точка пересечения медиан? $6$ и $3$
$\frac{x}{4} = \frac{9}{6}$ $x = 6$

$k = 3$ , сторона $5$ . Сходственная сторона? $15$
Отрезок $20$ разделили в отношении $2 : 3$ . Части? $8$ и $12$
Два угла треугольника $5 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ . Третий? $7 0^{\circ}$
Подобны ли треугольники со сторонами $2, 3, 4$ и $4, 6, 8$ ? да, $k = 2$

2 мин · практика
Ответы (по клику): 1) 14 : 2 = 7; 2) (4 + 10) : 2 = 7; 3) 9 · 2/3 = 6 и 9 · 1/3 = 3, считая от вершины; 4) x = 4 · 9 : 6 = 6; 5) 5 · 3 = 15; 6) 20 : 5 = 4, части 2 · 4 = 8 и 3 · 4 = 12; 7) 180° − 50° − 60° = 70°; 8) 4/2 = 6/3 = 8/4 = 2 — подобны (III признак).
Темп 10–15 секунд на задание. Каждое — приём урока: 1–2 средние линии, 3 центр масс, 4 и 6 пропорции (Фалес, трапеция), 5, 7, 8 — подобие и признаки.
Ошибка в 3: «пополам» или «3 и 6» (отношение от середины стороны). Сразу поправить: 2 : 1 считая от вершины.

R02.1–R02.8

Карта темы

Три линии одной темы

1,5 мин · теория
Открывать по колонкам; перед каждой спросить: «какие теоремы этой линии вы помните?».
Пунктирные стрелки — связи: теорема Фалеса доказывает свойство средней линии; прямая, параллельная стороне (как средняя линия), отсекает подобный треугольник. Теорема о пропорциональных отрезках нужна в доказательстве признаков подобия, средняя линия — в доказательстве свойства медиан 2 : 1.
Исторический штрих (вид деятельности ФРП «знакомиться с историей геометрии»): Фалес Милетский (VI в. до н. э.) по легенде измерил высоту пирамиды по её тени — к этой задаче вернёмся на сл. 17.

R02.1 · R02.4

Линия 1 · параллельные прямые на сторонах угла

Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках

A B = BC \Rightarrow A_{1} B_{1} = B_{1} C_{1}

теорема Фалеса

\frac{A B}{BC} = \frac{A _{1} B _{1}}{B _{1} C _{1}}

о пропорциональных отрезках

R02.1 · R02.4

Образец → сам · пропорциональные отрезки

Параллельные прямые на сторонах угла

Образец: $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $O A = 4$ , $A B = 6$ , $O A_{1} = 5$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ .

$\frac{O A}{A B} = \frac{O A _{1}}{A _{1} B _{1}}$ теорема о пропорциональных отрезках: $A A_{1} ∥ B B_{1}$
$\frac{4}{6} = \frac{5}{x}$ , $x = \frac{6 \cdot 5}{4} = 7, 5$ основное свойство пропорции

Сам: та же конструкция

$O A = 3$ , $A B = 6$ , $A_{1} B_{1} = 8$ . Найдите $O A_{1}$ . $4$
$A A_{1} ∥ B B_{1} ∥ C C_{1}$ , $A B : BC = 2 : 3$ , $A_{1} C_{1} = 20$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ . $8$
$O A_{1} = 6$ , $A_{1} B_{1} = 9$ , $OB = 20$ . Найдите $O A$ . $8$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин, шаги по клику): OA : AB = OA₁ : A₁B₁ ⇒ 4/6 = 5/x ⇒ x = 30 : 4 = 7,5. Проверка: 4 : 6 = 5 : 7,5 = 2/3 ✓. Чертёж в масштабе: OA = 4, OB = 10, OA₁ = 5, OB₁ = 12,5, AA₁ ∥ BB₁ (отношение 5 : 4 на обеих прямых).
Сам (1,5 мин): 1) OA/AB = OA₁/A₁B₁: 3/6 = OA₁/8 ⇒ OA₁ = 4. 2) A₁B₁ : B₁C₁ = 2 : 3, A₁C₁ — 5 частей по 4 ⇒ A₁B₁ = 8. 3) OB₁ = 6 + 9 = 15; OA/OB = OA₁/OB₁ = 6/15 ⇒ OA = 20 · 6/15 = 8.
Ошибка: составить отношение «отрезок одной стороны к отрезку другой» в перепутанном порядке (4/6 = x/5). Правило: часть к части на одной стороне = соответствующая часть к части на другой.

R02.1 · R02.4

Построение циркулем и линейкой

Четвёртый пропорциональный отрезок

\frac{a}{b} = \frac{c}{x}

даны

a

,

b

,

c

; построить

x

$O A = a$ , $A B = b$ на одной стороне угла
$OC = c$ , провести $A C$ на другой стороне
$B D ∥ A C$ через точку $B$
$C D = x$ по теореме о пропорциональных отрезках

1,5 мин · теория
Вид деятельности ФРП: «строить четвёртый пропорциональный отрезок». Параллельную прямую через B строим как на GEOM8-021 (равные соответственные углы).
На чертеже a : b = 180 : 240 = 3 : 4, c = 150 ⇒ x = 150 · 4 : 3 = 200 (в пикселях чертежа CD = 350 − 150 = 200).
Спросить: как этим же приёмом разделить отрезок на 5 равных частей? (отложить 5 равных отрезков на второй стороне и провести параллельные — теорема Фалеса).
Можно пропустить у слабого класса, оставив только формулу $x = \frac{b c}{a}$ .

R02.2 · R02.3

Линия 2 · середины сторон

Средняя линия: параллельна и «половинная»

MN ∥ A C, MN = \frac{1}{2} A C

средняя линия треугольника

m = \frac{a + b}{2}

средняя линия трапеции,

MN ∥ A D

1 мин · теория
Средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции). Спросить: сколько средних линий у треугольника? (три; они делят его на 4 равных треугольника).
Связь с линией 1: через середину M проводим прямую ∥ AC — по теореме Фалеса она проходит через середину N.
Ошибки: средняя линия трапеции = полуразность оснований (путают с отрезком между серединами диагоналей); «средняя линия равна половине любой стороны».

R02.2 · R02.3

Образец → сам · средние линии

Диагональ делит среднюю линию трапеции

Образец: $BC ∥ A D$ , $BC = 6$ , $A D = 14$ , $MN$ — средняя линия. Найдите $M K$ и $K N$ .

$M K ∥ BC$ , $M$ — середина $A B$ ⇒ $M K$ — средняя линия $△ A BC$ $MN ∥ BC$ ; по теореме Фалеса $K$ — середина $A C$
$M K = \frac{6}{2} = 3$ , $K N = \frac{14}{2} = 7$ $K N$ — средняя линия $△ A C D$ ; проверка: $3 + 7 = \frac{6 + 14}{2}$

Сам

Стороны треугольника $6$ , $8$ , $12$ . Периметр треугольника из его средних линий? $13$
Средняя линия трапеции $9$ , одно основание $5$ . Другое основание? $13$
Основания трапеции $4$ и $10$ . Диагональ делит среднюю линию на отрезки… $2$ и $5$

2,5 мин · практика
Образец: MN ∥ BC ∥ AD (средняя линия трапеции). В △ABC: M — середина AB, MK ∥ BC ⇒ K — середина AC (теорема Фалеса) ⇒ MK — средняя линия, MK = BC/2 = 3. В △ACD: K и N — середины AC и CD ⇒ KN = AD/2 = 7. MN = 3 + 7 = 10 = (6 + 14)/2 ✓. Чертёж в масштабе: A(0; 0), D(14; 0), B(3; 5), C(9; 5), K(4,5; 2,5) лежит на AC.
Сам: 1) средние линии 3, 4, 6 ⇒ P = 13 (половина периметра 26). 2) 2 · 9 − 5 = 13. 3) отрезки равны половинам оснований: 4/2 = 2 и 10/2 = 5 (сумма 7 = (4 + 10)/2 ✓).
Ошибка: считать, что диагональ делит среднюю линию пополам.

R02.5

Линия 2 · центр масс

Медианы пересекаются в одной точке

BO : OM = 2 : 1

считая от вершины

BO = \frac{2}{3} BM, OM = \frac{1}{3} BM

Точка

O

— центр масс: треугольник из тонкого листа уравновешивается на острие в точке

O

.

R02.5

Образец → сам · центр масс

Две медианы — отношение $2 : 1$

Образец: медианы $A A_{1}$ и $B B_{1}$ пересекаются в $O$ , $A A_{1} = 15$ , $BO = 8$ . Найдите $A O$ , $O A_{1}$ , $B B_{1}$ .

$A O = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ , $O A_{1} = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5$ медианы делятся $2 : 1$ , считая от вершины
$O B_{1} = \frac{8}{2} = 4$ , $B B_{1} = 8 + 4 = 12$ $BO$ — это 2 части из 3

Сам: $O$ — точка пересечения медиан

Медиана $CM = 18$ . Найдите $CO$ и $OM$ . $12$ и $6$
$OM = 4$ , $M$ — середина стороны. Найдите медиану. $12$
$A O = 10$ . Найдите медиану $A A_{1}$ . $15$

R02.6

Линия 3 · подобие

Подобные треугольники: та же форма, другой масштаб

∠ A = ∠ A_{1}, ∠ B = ∠ B_{1}, ∠ C = ∠ C_{1}

\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{B _{1} C _{1}}{BC} = \frac{A _{1} C _{1}}{A C} = k

k = \frac{6}{4} = 1, 5, \frac{P _{1}}{P} = k

1 мин · теория
Определение: треугольники подобны, если углы соответственно равны и сходственные стороны пропорциональны. Запись: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Сходственные стороны лежат против равных углов. Проверка на чертеже: 6/4 = 7,5/5 = 9/6 = 1,5. Периметры: 15 и 22,5, отношение тоже 1,5.
Ошибка: порядок букв в записи подобия не совпадает с соответствием вершин — тогда «сходственные» стороны выбираются неверно.
Отношение площадей подобных фигур (k²) — строка R03, сегодня не трогаем.

R02.7

Линия 3 · признаки · как доказать подобие

Треугольники подобны, если…

I · по двум углам

∠ A = ∠ A_{1}

∠ C = ∠ C_{1}

II · две стороны и угол

\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{A _{1} C _{1}}{A C} ∠ A = ∠ A_{1}

III · по трём сторонам

\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{B _{1} C _{1}}{BC} = \frac{A _{1} C _{1}}{A C}

R02.6 · R02.7

Схема-конспект · готовые чертежи

Где прячутся подобные треугольники

Прямая $∥$ стороне

$MN ∥ A C \Rightarrow$
$△ MBN \sim △ A BC$

угол $B$ общий, соответственные углы

Диагонали трапеции

$△ BOC \sim △ D O A$

вертикальные и накрест лежащие углы, $k = \frac{BC}{A D}$

Высота к гипотенузе

$△ A C H \sim △ A BC$
$\sim △ CB H$

прямой угол и общий острый угол

1 мин · теория
Это вид деятельности ФРП «находить подобные треугольники на готовых чертежах с указанием признаков». К каждой карточке ученики называют признак (во всех трёх — по двум углам).
Трапеция: ∠BCO = ∠DAO и ∠CBO = ∠ADO (накрест лежащие при BC ∥ AD), ∠BOC = ∠DOA (вертикальные). «Бабочка» — частая конфигурация ОГЭ.
Высота к гипотенузе: ∠A общий для △ACH и △ABC, ∠B общий для △CBH и △ABC. Ошибка: неверный порядок вершин (△ACH ∼ △ABC, а не △AHC ∼ △ABC).

R02.3 · R02.7

Образец → сам · трапеция

Диагонали трапеции: «бабочка»

Образец: $BC ∥ A D$ , $BC = 6$ , $A D = 10$ , $A C = 12$ . Найдите $A O$ и $OC$ .

$∠ BCO = ∠ D A O$ , $∠ BOC = ∠ D O A$ накрест лежащие при $BC ∥ A D$ ; вертикальные
$△ BOC \sim △ D O A$ , $k = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ по двум углам
$OC : A O = 3 : 5$ , $OC = \frac{3}{8} \cdot 12 = 4, 5$ $A C$ — это 8 равных частей
$A O = 12 - 4, 5 = 7, 5$

Сам: $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции, $BC ∥ A D$

$BC = 4$ , $A D = 12$ , $A C = 20$ . Найдите $OC$ . $5$
$BC = 6$ , $A D = 8$ , $BO = 9$ . Найдите $O D$ . $12$
$A O = 9$ , $OC = 6$ , $BC = 8$ . Найдите $A D$ . $12$

2,5 мин · практика
Перед шагом 1 спросить: какие треугольники на чертеже подобны? (сл. 14, «бабочка»). Шаги образца — по клику; подсветка треугольников на чертеже открывается вместе с шагами.
Образец: AO = 7,5; OC = 4,5. Проверка: 4,5 : 7,5 = 3 : 5 = 6 : 10 ✓; сумма 12 ✓. Чертёж в масштабе 40 px = 1: AC = 480 px.
Сам: 1) OC : AO = 4 : 12, AC — 16 частей, OC = 20 · 4/16 = 5. 2) OD : BO = AD : BC = 8 : 6, OD = 9 · 8/6 = 12. 3) AD : BC = AO : OC = 9 : 6 = 1,5, AD = 8 · 1,5 = 12.
Ошибка: OC : AO = 6 : 10, но OC берут как 6/10 от AC (= 7,2). Нужно делить AC в отношении 3 : 5, т. е. на 8 частей.

R02.7

Образец → сам · доказательство

Общий угол + равные углы → подобие

Образец: $D \in A B$ , $∠ A C D = ∠ A BC$ , $A D = 4$ , $A B = 9$ . Найдите $A C$ .

$∠ A$ — общий, $∠ A C D = ∠ A BC$ ⇒ $△ A C D \sim △ A BC$ I признак; $A \leftrightarrow A$ , $C \leftrightarrow B$ , $D \leftrightarrow C$
$\frac{A C}{A B} = \frac{A D}{A C}$ ⇒ $A C^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ , $A C = 6$ сходственные стороны пропорциональны

Сам: та же конструкция

$A D = 2$ , $A B = 8$ . Найдите $A C$ . $4$
$A C = 10$ , $A B = 20$ . Найдите $A D$ . $5$
$D \in A B$ , $E \in A C$ , $∠ A E D = ∠ A BC$ . Докажите: $A D \cdot A B = A E \cdot A C$ .
$△ A E D \sim △ A BC$ (I) ⇒ $\frac{A E}{A B} = \frac{A D}{A C}$

2,5 мин · практика
Образец: ∠A общий, ∠ACD = ∠ABC (одинаковые дуги) ⇒ △ACD ∼ △ABC по I признаку. Соответствие: A ↔ A, C ↔ B, D ↔ C. Сходственные: AC ↔ AB, AD ↔ AC ⇒ AC/AB = AD/AC ⇒ AC² = 36, AC = 6. Чертёж в масштабе: AC = 6, AB = 9, ∠A = 60°, AD = 4, тогда ∠ACD = ∠ABC ≈ 40.9° (проверено вычислением).
Сам: 1) AC² = 2 · 8 = 16, AC = 4. 2) AD = AC² : AB = 100 : 20 = 5. 3) ∠A общий, ∠AED = ∠ABC ⇒ △AED ∼ △ABC (I; A ↔ A, E ↔ B, D ↔ C) ⇒ AE/AB = AD/AC ⇒ AD · AB = AE · AC.
Требование к записи: соответствие вершин — по равным углам; каждый шаг с обоснованием, а не «на рисунке видно». Ошибка: записать △ACD ∼ △ABC как AC/AB = CD/AC — составить пропорцию не из сходственных сторон.

R02.8

Образец → сам · задача из жизни

Модель «по тени»: высота дерева

Образец: рост человека $1, 8$ м, его тень $2, 4$ м. Тень дерева $12$ м. Высота дерева?

Лучи солнца параллельныуглы падения лучей равны; дерево и человек ⊥ земле
Два прямоугольных △ подобныпо двум углам
$\frac{h}{1 , 8} = \frac{12}{2 , 4} = 5$ высота к высоте, тень к тени
$h = 1, 8 \cdot 5 = 9 м$

Сам: постройте модель

Шест $2$ м даёт тень $1, 5$ м, столб — $6$ м. Высота столба? $8$ м
Рост $1, 6$ м, тень $2$ м. Тень дерева $15$ м. Высота дерева? $12$ м
Фонарь на высоте $4, 8$ м, рост человека $1, 6$ м, тень $2$ м. Как далеко человек от столба? $4$ м

2 мин · практика
Модель: реальная ситуация → два треугольника → пропорция (ПР-10). Так, по легенде, Фалес измерил высоту пирамиды.
Образец: 9 м. Проверка: 9 : 12 = 0,75 = 1,8 : 2,4 ✓. Чертёж в масштабе 30 px = 1 м.
Сам: 1) h/2 = 6/1,5 = 4 ⇒ h = 8 м. 2) h/1,6 = 15/2 ⇒ h = 12 м. 3) Фонарь даёт не параллельные лучи: подобны треугольник «человек — его тень» и «столб — тень от основания столба». 1,6/4,8 = 2/(x + 2) ⇒ x + 2 = 6, x = 4 м. Каждый ученик рисует чертёж сам.
Ошибка: делят «рост на тень дерева» (несходственные стороны). Правило: высота к высоте, тень к тени. В задаче 3 — забыть, что тень от столба равна x + 2.

R02.2 · R02.3 · R02.5 · R02.7

Проверь себя · устно

Верно или неверно?

1

Средняя линия треугольника равна половине любой его стороны.

Неверно

2

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

Верно

3

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Верно

4

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.

Верно

5

Любые два равнобедренных треугольника подобны.

Неверно

6

Любые два равносторонних треугольника подобны.

Верно

R02.2 · R02.3 · R02.5 · R02.8

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Центр масс «от стороны»

Медиана $A M = 12$ ⇒ $A O = 4$

$2 : 1$ считают от вершины, а не от середины стороны.

Верно: $A O = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ , $OM = 4$

Полуразность вместо полусуммы

Основания $6$ и $10$ ⇒ $m = \frac{10 - 6}{2} = 2$

Средняя линия трапеции — полусумма оснований.

Верно: $m = \frac{6 + 10}{2} = 8$

Несходственные стороны

$\frac{h}{12} = \frac{2 , 4}{1 , 8}$ — «рост к тени дерева»

В пропорции — стороны против равных углов.

Верно: $\frac{h}{1 , 8} = \frac{12}{2 , 4}$ , $h = 9$ м

1,5 мин · практика
Каждую карточку — вопросом «Что здесь не так?»; исправление — по клику.
1) Точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины: AO = 8, OM = 4. Проверка «на здравый смысл»: точка O ближе к стороне, чем к вершине.
2) Полуразность оснований — это отрезок средней линии между диагоналями (здесь 5 − 3 = 2), а не сама средняя линия. Верно: (6 + 10)/2 = 8.
3) Из h/12 = 2,4/1,8 получилось бы h = 16 м — дерево выше в 16 : 1,8 ≈ 8,9 раза, а тень длиннее только в 5 раз. Верно: h = 9 м (сл. 17).

R02.1 · R02.3 · R02.7

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $O A = 4$ , $A B = 6$ , $O A_{1} = 6$ . Найти $A_{1} B_{1}$ .

$\frac{4}{6} = \frac{A _{1} B _{1}}{6}$ ⇒ $A_{1} B_{1} = 4$

Пропорция: $\frac{O A}{A B} = \frac{O A _{1}}{A _{1} B _{1}}$

$\frac{4}{6} = \frac{6}{x}$ ⇒ $A_{1} B_{1} = 9$

б) Трапеция: $BC = 4$ , $A D = 12$ , $A C = 20$ , $O$ — пересечение диагоналей. Найти $OC$ .

$OC = 20 \cdot \frac{4}{12} \approx 6, 7$

$OC : O A = 4 : 12$ — $A C$ из $16$ частей

$OC = 20 \cdot \frac{4}{16} = 5$

в) $\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}}$ , $∠ B = ∠ B_{1}$

⇒ подобны по II признаку

Между $A B$ и $A C$ — угол $A$ , а не $B$

вывод сделать нельзя

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Отношение составлено «крест-накрест»: OA/AB слева, а справа A₁B₁/OA₁. Верно: 4/6 = 6/x ⇒ x = 9. Проверка: 4 : 6 = 6 : 9 = 2/3 ✓.
б) OC : OA = BC : AD = 1 : 3 — значит OC = 1/4 диагонали, а не 1/3. OC = 5, OA = 15 (5 : 15 = 4 : 12 ✓).
в) Во II признаке угол должен лежать между пропорциональными сторонами. Нужно ∠A = ∠A₁ или BC/B₁C₁ = AB/A₁B₁ (тогда III признак).

R02.1–R02.7

Задания с самопроверкой · база

По всей теме: найдите

Стороны треугольника $8$ , $10$ и $12$ . Найдите периметр треугольника, вершины которого — середины сторон. $15$
Основания трапеции $7$ и $13$ . Найдите её среднюю линию. $10$
Медиана $A M = 12$ , $O$ — точка пересечения медиан. Найдите $A O$ . $8$

$MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ , $BM = 4$ , $B A = 10$ , $A C = 15$ . Найдите $MN$ . $6$
Стороны $3, 5, 6$ и $9, 15, 18$ . Подобны? да, $k = 3$
$A A_{1} ∥ B B_{1} ∥ C C_{1}$ на сторонах угла, $A B = BC$ , $A_{1} B_{1} = 7$ . Найдите $B_{1} C_{1}$ . $7$

R02.2 · R02.3 · R02.5 · R02.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A D = 4$ , $A B = 12$ , $A E = 6$ , $A C = 8$ , $BC = 10$ . Докажите, что $△ A D E \sim △ A CB$ , и найдите $D E$ . II признак, $D E = 5$
повыш.Медианы $A A_{1}$ и $B B_{1}$ треугольника $A BC$ пересекаются в $O$ , $A_{1} B_{1} = 7$ . Докажите, что $△ A OB \sim △ A_{1} O B_{1}$ , и найдите $A B$ . $k = 2$ , $A B = 14$
повыш.Основания трапеции $3$ и $9$ . Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите её отрезок внутри трапеции. $4, 5$

к заданию 1

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задание 3 при нехватке времени — в ДЗ.
1) AD/AC = 4/8 = 1/2, AE/AB = 6/12 = 1/2, ∠A общий ⇒ △ADE ∼ △ACB (признак II), k = 1/2; DE = BC · 1/2 = 5. Ошибка: сопоставляют AD с AB (тогда 4/12 ≠ 6/8 — «не подобны»). На чертеже в масштабе 25 px = 1 DE ≈ 125 px.
2) A₁B₁ — средняя линия △ABC: A₁B₁ ∥ AB, A₁B₁ = AB/2 ⇒ AB = 14. ∠AOB = ∠A₁OB₁ (вертикальные), ∠OAB = ∠OA₁B₁ (накрест лежащие при A₁B₁ ∥ AB) ⇒ △AOB ∼ △A₁OB₁ (I), k = 2 — отсюда ещё раз AO : OA₁ = 2 : 1.
3) Пусть прямая пересекает AB в P, CD в Q, BC = 3, AD = 9. △BOC ∼ △DOA, AO : OC = 9 : 3 = 3 : 1, т. е. AO/AC = 3/4. В △ABC: PO ∥ BC, PO/BC = AO/AC = 3/4 ⇒ PO = 2,25. Аналогично OQ = 2,25. PQ = 4,5 (формула 2ab/(a + b) = 54/12 = 4,5).

R02.2 · R02.5 · R02.7 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 15

Ответ — одно число

15 Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает стороны $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, $A B = 20$ , $A C = 15$ , $MN = 6$ . Найдите $A M$ . $12$

Подсказка:

△ MBN \sim △ A BC

— найдите сначала

BM

.

Медианы треугольника пересекаются в $O$ , медиана $BM = 18$ . Найдите $BO$ . $12$
Средняя линия треугольника, параллельная $A C$ , равна $9$ . Найдите $A C$ . $18$

R02.1–R02.7

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

В задачах 2: $O$ — точка пересечения медиан. В задачах 3: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ . В задачах 4: $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $A, B$ — на одной стороне угла $O$ , $A_{1}, B_{1}$ — на другой.

Вариант 1

Основания трапеции $5$ и $11$ . Средняя линия? $8$
Медиана $A M = 21$ . Найдите $A O$ . $14$
$BM = 3$ , $M A = 6$ , $A C = 12$ . Найдите $MN$ . $4$
$O A = 6$ , $A B = 4$ , $O A_{1} = 9$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ . $6$

Вариант 2

Основания трапеции $9$ и $15$ . Средняя линия? $12$
Медиана $A M = 27$ . Найдите $A O$ . $18$
$BM = 2$ , $M A = 8$ , $A C = 15$ . Найдите $MN$ . $3$
$O A = 4$ , $A B = 10$ , $O A_{1} = 6$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ . $15$

R02.1–R02.8

Итог урока

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Какой признак подобия встречается чаще всего?
Как найти подобные треугольники на чертеже?
В каком отношении медианы делятся точкой пересечения?

Дома

Трапеция $A BC D$ : $BC = 3$ , $A D = 7$ , диагональ $B D = 15$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите $BO$ и $O D$ .
Измерьте высоту дома или дерева по тени (рост и тень — свои).
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_podobnye_treugolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-027 · Обобщение и систематизация по теме «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники», 15 ч · урок 15/15 · тип О (обобщение)
Единицы → слайды	R02.1 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках» → 4–7, 20, 21, 24 · R02.2 «Средняя линия треугольника» → 3, 8, 9, 18, 21–23 · R02.3 «Трапеция, ее средняя линия» → 8, 9, 15, 19, 20, 22, 24 · R02.4 «Пропорциональные отрезки» → 5–7, 24 · R02.5 «Центр масс в треугольнике» → 10, 11, 18, 19, 21–24 · R02.6 «Подобные треугольники» → 12, 14 · R02.7 «Три признака подобия треугольников» → 13–16, 18, 20–23 · R02.8 «Применение подобия при решении практических задач» → 17, 19
Результаты	ПР-2 = REQ-6.2 (центр масс) → 10, 11, 21–24 · ПР-3 = REQ-6.3 (средние линии, Фалес, пропорциональные отрезки) → 5–9, 21, 24 · ПР-4 = REQ-6.4 (признаки подобия) → 13–16, 20–23 · ПР-10 = REQ-6.10 (модели с подобием) → 17 · EL-6.4 → 5–7 · EL-6.5 → 8–11 · EL-6.6 → 12–17
Виды деятельности	«Строить четвёртый пропорциональный отрезок» → 7 · «Находить подобные треугольники на готовых чертежах с указанием признаков» → 14, 15 · «Проводить доказательства с использованием признаков подобия» → 16, 22 · «Применять знания при решении практических задач» → 17 · история геометрии (Фалес) → 4, 17
ОГЭ	линия 15 (треугольники) → 23; подготовка к линии 19 (верные утверждения) → 18; линия 17 (трапеция) → 15
Вне урока	отношение площадей подобных фигур (EL-6.8) — R03 (следующий урок GEOM8-028); тригонометрия и подобие в прямоугольном треугольнике — R04; четырёхугольники — R01
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Фалес, средние линии, подобие: собираем тему

Сегодня вы научитесь

Пропорциональные отрезки

Средние линии и центр масс

Признаки подобия

Практические задачи

Отношения и отрезки — в уме

Три линии одной темы

Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые на сторонах угла

Образец: AA1​∥BB1​, OA=4, AB=6, OA1​=5. Найдите A1​B1​.

Сам: та же конструкция

Четвёртый пропорциональный отрезок

Средняя линия: параллельна и «половинная»

Диагональ делит среднюю линию трапеции

Образец: BC∥AD, BC=6, AD=14, MN — средняя линия. Найдите MK и KN.

Сам

Медианы пересекаются в одной точке

Две медианы — отношение 2:1

Образец: медианы AA1​ и BB1​ пересекаются в O, AA1​=15, BO=8. Найдите AO, OA1​, BB1​.

Сам: O — точка пересечения медиан

Подобные треугольники: та же форма, другой масштаб

Треугольники подобны, если…

I · по двум углам

II · две стороны и угол

III · по трём сторонам

Где прячутся подобные треугольники

Прямая ∥ стороне

Диагонали трапеции

Высота к гипотенузе

Диагонали трапеции: «бабочка»

Образец: BC∥AD, BC=6, AD=10, AC=12. Найдите AO и OC.

Сам: O — точка пересечения диагоналей трапеции, BC∥AD

Общий угол + равные углы → подобие

Образец: D∈AB, ∠ACD=∠ABC, AD=4, AB=9. Найдите AC.

Сам: та же конструкция

Модель «по тени»: высота дерева

Образец: рост человека 1,8 м, его тень 2,4 м. Тень дерева 12 м. Высота дерева?

Сам: постройте модель

Верно или неверно?

Так нельзя

Центр масс «от стороны»

Полуразность вместо полусуммы

Несходственные стороны

Где ошибся ученик?

а) AA1​∥BB1​, OA=4, AB=6, OA1​=6. Найти A1​B1​.

б) Трапеция: BC=4, AD=12, AC=20, O — пересечение диагоналей. Найти OC.

в) A1​B1​AB​=A1​C1​AC​, ∠B=∠B1​

По всей теме: найдите

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Дома

GEOM8-027 · Обобщение и систематизация по теме «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники»

Образец: $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $O A = 4$ , $A B = 6$ , $O A_{1} = 5$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ .

Образец: $BC ∥ A D$ , $BC = 6$ , $A D = 14$ , $MN$ — средняя линия. Найдите $M K$ и $K N$ .

Две медианы — отношение $2 : 1$

Образец: медианы $A A_{1}$ и $B B_{1}$ пересекаются в $O$ , $A A_{1} = 15$ , $BO = 8$ . Найдите $A O$ , $O A_{1}$ , $B B_{1}$ .

Сам: $O$ — точка пересечения медиан

Прямая $∥$ стороне

Образец: $BC ∥ A D$ , $BC = 6$ , $A D = 10$ , $A C = 12$ . Найдите $A O$ и $OC$ .

Сам: $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции, $BC ∥ A D$

Образец: $D \in A B$ , $∠ A C D = ∠ A BC$ , $A D = 4$ , $A B = 9$ . Найдите $A C$ .

Образец: рост человека $1, 8$ м, его тень $2, 4$ м. Тень дерева $12$ м. Высота дерева?

а) $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , $O A = 4$ , $A B = 6$ , $O A_{1} = 6$ . Найти $A_{1} B_{1}$ .

б) Трапеция: $BC = 4$ , $A D = 12$ , $A C = 20$ , $O$ — пересечение диагоналей. Найти $OC$ .

в) $\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}}$ , $∠ B = ∠ B_{1}$