Подобие и пропорциональные отрезки · урок 14 из 15 · практикум

Практикум: подобные треугольники

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R02 · GEOM8-026

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники» (15 ч), урок 14/15, единица R02.6. Тип — П (практикум). Теория: GEOM8-018 (определение, k), GEOM8-019 (три признака), GEOM8-020 (практические задачи). Сегодня — типы задач.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 сводка 2,5 · 6 отношение периметров 2 · 7 план (пять типов) 1,5 · 13 схема-конспект 2,5 · 20 итог 1,5.
Практика (33): 3 разминка 2 · 5 признаки на чертеже 1,5 · 8–11 образцы типов 1–4 по 3 · 12 задача про тень 2,5 · 14 ошибки 1,5 · 15 найди ошибку 2 · 16 база 3 · 17 повышенный 2,5 · 18 ОГЭ 2 · 19 самостоятельная 4.
Слабый класс: тип 4 (сл. 11) разобрать фронтально, сл. 17 — в ДЗ. Сильный класс: тип 1 пройти устно, больше времени на сл. 17.

R02.6 · R02.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить подобные треугольники

на готовых чертежах и называть признак (ПР-4, REQ-6.4)

Записывать подобие верно

по порядку соответствующих вершин и находить $k$ (EL-6.6)

Находить отрезки

через пропорцию сходственных сторон (ПР-4, REQ-6.4)

Решать задачу ОГЭ и практическую

линия 15 «Треугольники»; задача про тень (ПР-10)

1 мин · теория
ПР-4 = REQ-6.4 (ФРП дословно): «Применять признаки подобия треугольников в решении геометрических задач».
ПР-10 = REQ-6.10: «Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия…». EL-6.6 «Подобие треугольников, коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников…».
Вопрос классу: что значит «треугольники подобны»? (углы соответственно равны, сходственные стороны пропорциональны).

повторение: R02.4, R02.6, 7 класс

Разминка · устно

Отношения и углы — в уме

$k = 3$ , сторона $5$ . Сходственная? $15$
$\frac{x}{4} = \frac{9}{6}$ $x = 6$
$BM = 2$ , $M A = 3$ . Чему равно $B A$ ? $5$
Два угла $3 5^{\circ}$ и $8 5^{\circ}$ . Третий? $6 0^{\circ}$

Сократите $12 : 18$ $2 : 3$
Накрест лежащие углы при $a ∥ b$ равны
$A B^{2} = 4 \cdot 9$ . Найдите $A B$ $6$
Угол, вертикальный к $7 0^{\circ}$ $7 0^{\circ}$

R02.6 · R02.7 · сводка

Сводка · подобные треугольники

Определение и три признака

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , если

∠ A = ∠ A_{1}, ∠ B = ∠ B_{1}, ∠ C = ∠ C_{1}

\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{B _{1} C _{1}}{BC} = \frac{A _{1} C _{1}}{A C} = k

Сходственные стороны лежат против равных углов.

Признаки подобия

I: два угла

II: две стороны и угол между ними

III: три стороны

R02.7 · повторение GEOM8-019

Вспомним · признаки на чертеже

Подобны ли треугольники? По какому признаку?

а) Углы

Третьи углы: $7 0^{\circ}$ и $5 0^{\circ}$ → подобны, I признак

б) Две стороны и угол

$\frac{2}{4} = \frac{3}{6}$ , угол $4 0^{\circ}$ → подобны, II признак

в) Три стороны

$\frac{4}{8} = \frac{3}{6} \neq = \frac{5}{9}$ → не подобны

1,5 мин · практика
Сначала ученики отвечают сами (мини-доски), потом по щелчку — ответ под каждой парой.
а) 180° − 50° − 60° = 70°; 180° − 60° − 70° = 50°. Углы обоих: 50°, 60°, 70° — подобны по двум углам.
б) 2 : 4 = 3 : 6 = 1 : 2, углы между этими сторонами равны (40°) — подобны по двум сторонам и углу между ними, k = 2.
в) Сравниваем стороны по возрастанию: 3/6 = 4/8 = 1/2, но 5/9 ≠ 1/2 — не подобны. Ошибка: «две пары пропорциональны — значит подобны» (это не признак без угла).

R02.6

Свойство подобных треугольников

Отношение периметров равно $k$

$A_{1} B_{1} = k A B$ , $B_{1} C_{1} = k BC$ ,
$A_{1} C_{1} = k A C$ определение подобия
$P_{1} = k (A B + BC + A C) = k P$ вынесли $k$ за скобки
$\frac{P _{1}}{P} = k$ ; на рисунке: $\frac{22 , 5}{15} = 1, 5$ $6 + 4 + 5 = 15$ , $9 + 6 + 7, 5 = 22, 5$

R02.6 · R02.7 · R02.8

План практикума

Пять типов задач

1. Прямая $∥$ стороне

Отсекает треугольник, подобный данному.

2. Диагонали трапеции

«Песочные часы»: $△ BOC \sim △ D O A$ .

3. Общий угол + равные углы

Треугольник «повёрнут» внутри другого.

4. Две стороны и угол

Признак II, стороны «накрест». 5. Задача из жизни.

R02.6 · R02.7

Образец → сам · тип 1

Прямая, параллельная стороне

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM = 4$ , $M A = 6$ , $MN = 6$ . Найдите $A C$ .

$△ MBN \sim △ A BC$ $∠ B$ — общий, $∠ BMN = ∠ B A C$ (соответственные при $MN ∥ A C$ )
$k = \frac{BM}{B A} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ берём всю сторону: $B A = 4 + 6 = 10$
$\frac{MN}{A C} = \frac{2}{5}$ , $A C = 6 \cdot \frac{5}{2} = 15$

Сам: $MN ∥ A C$

$BN = 3$ , $NC = 9$ , $A C = 20$ . Найдите $MN$ . $5$
$BM = 6$ , $M A = 3$ , $A C = 12$ . Найдите $MN$ . $8$
$A B = 16$ , $A C = 12$ , $MN = 9$ . Найдите $A M$ . $4$

3 мин · практика
Образец (1 мин, шаги по клику). Подсветка: сначала малый △MBN (розовый), затем большой △ABC (синий). Одинаковые дуги — равные углы. Чертёж в масштабе: BM : MA = 4 : 6, MN : AC = 6 : 15.
Ключ — шаг 2: в отношении стоит вся сторона BA = 10, а не отрезок MA = 6.
Сам (2 мин): 1) BC = 3 + 9 = 12, k = 3/12 = 1/4, MN = 20/4 = 5. 2) BA = 9, k = 6/9 = 2/3, MN = 12 · 2/3 = 8. 3) k = MN/AC = 9/12 = 3/4, BM = 16 · 3/4 = 12, AM = 16 − 12 = 4.
Ошибка: k = 4/6 ⇒ AC = 9 (сравнили части стороны, а не стороны треугольников); в задаче 3 — ответ 12 (нашли BM).

R02.6 · R02.7

Образец → сам · тип 2

Диагонали трапеции: «песочные часы»

Образец: трапеция, $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A C = 21$ . Найдите $A O$ .

$△ BOC \sim △ D O A$ $∠ CBO = ∠ A D O$ , $∠ BCO = ∠ D A O$ — накрест лежащие при $BC ∥ A D$
$\frac{OC}{O A} = \frac{BC}{D A} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ $C \leftrightarrow A$ , $B \leftrightarrow D$
$OC = 2 x$ , $A O = 5 x$ , $7 x = 21$ : $A O = 15$

Сам: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$

$BC = 6$ , $A D = 9$ , $B D = 20$ . Найдите $BO$ . $8$
$BC = 5$ , $A D = 15$ , $A O = 12$ . Найдите $OC$ . $4$
$BO = 4$ , $O D = 10$ , $A D = 15$ . Найдите $BC$ . $6$

R02.6 · R02.7

Образец → сам · тип 3

Общий угол и ещё одна пара равных углов

Образец: $∠ A B D = ∠ C$ , $A D = 4$ , $D C = 5$ . Найдите $A B$ .

$△ A B D \sim △ A CB$ $∠ A$ — общий, $∠ A B D = ∠ A CB$ ; порядок: $B \leftrightarrow C$ , $D \leftrightarrow B$
$\frac{A B}{A C} = \frac{A D}{A B}$ ,
т. е. $A B^{2} = A D \cdot A C$
$A B^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ , $A B = 6$ $A C = 4 + 5 = 9$

Сам: $D \in A C$ , $∠ A B D = ∠ C$

$A B = 8$ , $A D = 4$ . Найдите $D C$ . $12$
$A D = 1$ , $D C = 8$ . Найдите $A B$ . $3$
$A B = 10$ , $A C = 25$ . Найдите $A D$ . $4$

3 мин · практика
Образец (1 мин). Подсветка: △ABD (розовый) внутри △ABC (синий). Красные дуги — данные равные углы, две дуги — общий угол A. Чертёж в масштабе: AD = 4, DC = 5, AB = 6.
Главное — порядок букв: углу ABD (при B) малого треугольника соответствует угол C большого. Поэтому △ABD ∼ △ACB, а не △ABC.
Сам (2 мин): 1) AC = AB²/AD = 64/4 = 16, DC = 16 − 4 = 12. 2) AC = 9, AB² = 1 · 9 = 9, AB = 3. 3) AD = AB²/AC = 100/25 = 4.
Ошибка: AB² = AD · DC (взяли часть стороны вместо AC); или ответ AC = 16 вместо DC в задаче 1.

R02.6 · R02.7

Образец → сам · тип 4

Две стороны «накрест» и общий угол

Образец: $A D = 4$ , $D B = 6$ , $A E = 5$ , $EC = 3$ , $BC = 12$ . Найдите $D E$ .

$\frac{A D}{A C} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ , $\frac{A E}{A B} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ $A C = 5 + 3$ , $A B = 4 + 6$ ; сравниваем «накрест»
$△ A D E \sim △ A CB$ II признак: $∠ A$ — общий, стороны пропорциональны
$D E = \frac{1}{2} \cdot CB = 6$ ;
и $∠ A D E = ∠ C$

Сам: $D \in A B$ , $E \in A C$

$A D = 3$ , $A E = 2$ , $A B = 6$ , $A C = 9$ , $BC = 12$ . Найдите $D E$ . $4$
$A D = 5$ , $A E = 4$ , $A B = 8$ , $A C = 10$ , $D E = 3$ . Найдите $BC$ . $6$
$A D = 4$ , $A E = 6$ , $A B = 12$ , $A C = 8$ . Подобны ли $△ A D E$ и $△ A CB$ ? да, $k = \frac{1}{2}$

3 мин · практика
Образец (1 мин). Сначала спросить: подобны ли △ADE и △ABC «по порядку»? AD/AB = 4/10, AE/AC = 5/8 — нет! Поэтому пробуем другие пары. Чертёж в масштабе: AB = 10, AC = 8, BC = 12.
DE не параллельна BC: после доказательства подобия ∠ADE = ∠C — это следствие, а не условие.
Сам (2 мин): 1) AD/AC = 3/9 = 1/3, AE/AB = 2/6 = 1/3 ⇒ △ADE ∼ △ACB, DE = 12/3 = 4. 2) AD/AC = 5/10 = 1/2, AE/AB = 4/8 = 1/2 ⇒ △ADE ∼ △ACB, BC = 2 · DE = 6. 3) AD/AC = 4/8 = 1/2, AE/AB = 6/12 = 1/2, ∠A общий ⇒ да (II), k = 1/2; «по порядку» AD/AB = 1/3 ≠ AE/AC = 3/4.
Ошибка: DE ∥ BC «на глаз» и пропорция AD/AB = DE/BC ⇒ DE = 4,8.

R02.8 · R02.6

Образец → сам · задача из жизни

Тень от фонаря

Образец: фонарь на высоте $6$ м, человек ростом $1, 8$ м стоит в $7$ м от столба. Найдите длину тени $x$ .

Треугольники «столб — конец тени» и «человек — конец тени» подобныпрямые углы и общий острый угол — I признак
$\frac{1 , 8}{6} = \frac{x}{x + 7}$ отношение катетов
$6 x = 1, 8 x + 12, 6$ , $4, 2 x = 12, 6$ , $x = 3$ м

Сам: сделайте чертёж

Шест $2$ м даёт тень $3$ м, дерево — $12$ м. Высота дерева? $8$ м
Фонарь $4, 5$ м, человек $1, 5$ м, тень $2$ м. Расстояние до столба? $4$ м
Фонарь $4$ м, человек $1, 6$ м стоит в $6$ м от столба. Длина тени? $4$ м

2,5 мин · практика
Образец (1 мин, R02.8, ПР-10): треугольник «столб — конец тени» подобен треугольнику «человек — конец тени» (два прямых угла, общий острый угол). 1,8/6 = x/(x + 7) ⇒ 6x = 1,8x + 12,6 ⇒ 4,2x = 12,6 ⇒ x = 3 м. Проверка: 1,8/6 = 0,3 = 3/10 ✓. Чертёж в масштабе 40 пикселей на метр.
Сам (1,5 мин; чертёж строят сами — умение ФРП): 1) лучи солнца параллельны, треугольники подобны: h/12 = 2/3, h = 8 м. 2) 1,5/4,5 = 2/(d + 2) ⇒ d + 2 = 6, d = 4 м. 3) 1,6/4 = s/(s + 6) ⇒ 4s = 1,6s + 9,6 ⇒ 2,4s = 9,6, s = 4 м.
Ошибка: пропорция 1,8/6 = x/7 (в большом треугольнике катет — вся длина x + 7).

R02.6 · R02.7

Схема-конспект

Алгоритм: от чертежа к пропорции

Чертёж	Подобие	Пропорция
$MN ∥ A C$	$△ MBN \sim △ A BC$	$\frac{BM}{B A} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{A C}$
трапеция, диагонали	$△ BOC \sim △ D O A$	$\frac{BO}{D O} = \frac{CO}{A O} = \frac{BC}{D A}$
$∠ A B D = ∠ C$	$△ A B D \sim △ A CB$	$A B^{2} = A D \cdot A C$
$∠ A$ общий, $\frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B}$	$△ A D E \sim △ A CB$	$\frac{D E}{CB} = \frac{A D}{A C}$

R02.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

$k = \frac{BM}{M A}$

$M A$ — не сторона треугольника.

Верно: $k = \frac{BM}{B A}$

$A O : OC = BC : A D$

$A O$ лежит у большего основания.

Верно: $A O : OC = A D : BC$

$△ A B D \sim △ A BC$

Порядок букв — по равным углам: $B \leftrightarrow C$ .

Верно: $△ A B D \sim △ A CB$

R02.6 · R02.7

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Трапеция: $BC = 3$ , $A D = 9$ , $A C = 16$ . Найти $A O$ .

$\frac{A O}{OC} = \frac{3}{9}$ , $A O = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4$

$\frac{A O}{OC} = \frac{A D}{BC} = 3$

$A O = 16 \cdot \frac{3}{4} = 12$

б) $MN ∥ A C$ , $BM = 2$ , $M A = 4$ , $MN = 3$ . Найти $A C$ .

$k = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ , $A C = 6$

$k = \frac{BM}{B A} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$A C = 3 \cdot 3 = 9$

в) $∠ A B D = ∠ C$ , $A D = 4$ , $D C = 12$ . Найти $A B$ .

$A B^{2} = A D \cdot D C = 48$

$A B^{2} = A D \cdot A C = 4 \cdot 16$

$A B = 8$

R02.6 · R02.7

Задания с самопроверкой · база

Пять задач — четыре типа

1

2

3

5

$MN ∥ A C$ ( $M \in A B$ , $N \in BC$ ), $BM = 5$ , $B A = 15$ , $A C = 12$ . Найдите $MN$ . $4$
Трапеция $A BC D$ , $BC = 3$ , $A D = 7$ , $O$ — точка пересечения диагоналей, $OC = 6$ . Найдите $A O$ . $14$
$D \in A C$ , $∠ A B D = ∠ C$ , $A D = 2$ , $A C = 8$ . Найдите $A B$ . $4$
$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $A B = 6$ , $A_{1} B_{1} = 9$ , $P_{A BC} = 20$ . Найдите $P_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ . $30$
$D \in A B$ , $E \in A C$ , $A D = 6$ , $A E = 4$ , $A B = 8$ , $A C = 12$ , $BC = 10$ . Найдите $D E$ . $5$

R02.6 · R02.7

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Обратные задачи и доказательство

повыш.Трапеция $A BC D$ ( $BC ∥ A D$ ), диагонали пересекаются в $O$ , $BO = 3$ , $O D = 7$ , $A C = 20$ . Найдите $A O$ . $14$
повыш. $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $A B = 8$ , $A_{1} B_{1} = 12$ , периметр второго на $15$ больше. Найдите оба периметра. $30$ и $45$
повыш. $D \in A C$ , $∠ A B D = ∠ C$ , $A B = 6$ , $A C = 9$ , $B D = 4$ . Найдите $BC$ . $6$
повыш.Диагонали трапеции $A BC D$ ( $BC ∥ A D$ ) пересекаются в $O$ . Докажите: $O A \cdot OB = OC \cdot O D$ .
$△ BOC \sim △ D O A$ (I) ⇒ $\frac{OB}{O D} = \frac{OC}{O A}$ ⇒ $O A \cdot OB = OC \cdot O D$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задание 4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) △BOC ∼ △DOA, AO : OC = OD : OB = 7 : 3, AO = 20 · 7/10 = 14. 2) k = 12/8 = 1,5, P₁ = 1,5P, P₁ − P = 0,5P = 15 ⇒ P = 30, P₁ = 45.
3) △ABD ∼ △ACB (∠A общий, ∠ABD = ∠C; A ↔ A, B ↔ C, D ↔ B): AB/AC = BD/CB ⇒ 6/9 = 4/BC ⇒ BC = 6. Проверка: AD = AB²/AC = 4, треугольники 6, 4, 4 и 9, 6, 6 существуют.
4) ∠OBC = ∠ODA и ∠OCB = ∠OAD (накрест лежащие при BC ∥ AD) ⇒ △BOC ∼ △DOA (B ↔ D, C ↔ A) ⇒ OB/OD = OC/OA ⇒ OA · OB = OC · OD (основное свойство пропорции).

R02.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 15

Ответ — одно число

1. Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает стороны $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, $A B = 20$ , $A C = 15$ , $MN = 12$ . Найдите $A M$ . $4$

Та же конструкция: $MN ∥ A C$

$A B = 18$ , $A C = 12$ , $MN = 8$ . Найдите $A M$ . $6$
$BN = 9$ , $NC = 6$ , $A C = 25$ . Найдите $MN$ . $15$

В бланк — только число: 4.

R02.6 · R02.7

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

В задачах 1: $M \in A B$ , $N \in BC$ . В задачах 2: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. В задачах 3: $D \in A C$ .

Вариант 1

$MN ∥ A C$ , $BM = 3$ , $M A = 6$ , $A C = 12$ . Найдите $MN$ . $4$
$BC = 4$ , $A D = 8$ , $A C = 18$ . Найдите $A O$ . $12$
$∠ A B D = ∠ C$ , $A D = 2$ , $D C = 6$ . Найдите $A B$ . $4$
$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $A B = 5$ , $A_{1} B_{1} = 15$ , $P_{A BC} = 18$ . Найдите $P_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ . $54$

Вариант 2

$MN ∥ A C$ , $BM = 4$ , $M A = 2$ , $A C = 9$ . Найдите $MN$ . $6$
$BC = 3$ , $A D = 9$ , $B D = 16$ . Найдите $O D$ . $12$
$∠ A B D = ∠ C$ , $A D = 3$ , $D C = 9$ . Найдите $A B$ . $6$
$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $A B = 10$ , $A_{1} B_{1} = 4$ , $P_{A BC} = 35$ . Найдите $P_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ . $14$

R02.6

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Главное

△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}

\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{B _{1} C _{1}}{BC} = k

\frac{P _{1}}{P} = k

Проверь себя

Нахожу пары равных углов на чертеже.
Записываю подобие в верном порядке.
Решаю задачу ОГЭ линии 15.

Дома

Трапеция: $BC = 5$ , $A D = 15$ , $A C = 24$ . Найдите $A O$ .
$∠ A B D = ∠ C$ , $A D = 9$ , $D C = 16$ . Найдите $A B$ .
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_podobnye_treugolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-026 · Практикум: подобные треугольники

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники», 15 ч · урок 14/15 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R02.6 «Подобные треугольники» → 2–20 · опора на R02.7 «Три признака подобия треугольников» → 4–5, 8–11, 13 · R02.8 (практическая задача) → 12
Результаты	ПР-4 = REQ-6.4 (признаки подобия в задачах) → 2, 5, 8–11, 14–19 · ПР-10 = REQ-6.10 (практические задачи с подобием) → 12 · EL-6.6 → 4, 6, 7, 13, 20
ОГЭ	линия 15 (треугольники) → 8, 18; линия 17 (трапеция) → 9
Вне урока	доказательство признаков подобия — GEOM8-019; отношение площадей подобных фигур (EL-6.8) — R03; пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике — R04
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: подобные треугольники

Сегодня вы научитесь

Находить подобные треугольники

Записывать подобие верно

Находить отрезки

Решать задачу ОГЭ и практическую

Отношения и углы — в уме

Определение и три признака

△ABC∼△A1​B1​C1​, если

Признаки подобия

Подобны ли треугольники? По какому признаку?

а) Углы

б) Две стороны и угол

в) Три стороны

Отношение периметров равно k

Пять типов задач

1. Прямая ∥ стороне

2. Диагонали трапеции

3. Общий угол + равные углы

4. Две стороны и угол

Прямая, параллельная стороне

Образец: MN∥AC, BM=4, MA=6, MN=6. Найдите AC.

Сам: MN∥AC

Диагонали трапеции: «песочные часы»

Образец: трапеция, BC=4, AD=10, AC=21. Найдите AO.

Сам: ABCD — трапеция, BC∥AD

Общий угол и ещё одна пара равных углов

Образец: ∠ABD=∠C, AD=4, DC=5. Найдите AB.

Сам: D∈AC, ∠ABD=∠C

Две стороны «накрест» и общий угол

Образец: AD=4, DB=6, AE=5, EC=3, BC=12. Найдите DE.

Сам: D∈AB, E∈AC

Тень от фонаря

Образец: фонарь на высоте 6 м, человек ростом 1,8 м стоит в 7 м от столба. Найдите длину тени x.

Сам: сделайте чертёж

Алгоритм: от чертежа к пропорции

Неверно → почему → верно

k=MABM​

AO:OC=BC:AD

△ABD∼△ABC

Где ошибся ученик?

а) Трапеция: BC=3, AD=9, AC=16. Найти AO.

б) MN∥AC, BM=2, MA=4, MN=3. Найти AC.

в) ∠ABD=∠C, AD=4, DC=12. Найти AB.

Пять задач — четыре типа

Обратные задачи и доказательство

Ответ — одно число

Та же конструкция: MN∥AC

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Главное

Проверь себя

Дома

GEOM8-026 · Практикум: подобные треугольники

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , если

Отношение периметров равно $k$

1. Прямая $∥$ стороне

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM = 4$ , $M A = 6$ , $MN = 6$ . Найдите $A C$ .

Сам: $MN ∥ A C$

Образец: трапеция, $BC = 4$ , $A D = 10$ , $A C = 21$ . Найдите $A O$ .

Сам: $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$

Образец: $∠ A B D = ∠ C$ , $A D = 4$ , $D C = 5$ . Найдите $A B$ .

Сам: $D \in A C$ , $∠ A B D = ∠ C$

Образец: $A D = 4$ , $D B = 6$ , $A E = 5$ , $EC = 3$ , $BC = 12$ . Найдите $D E$ .

Сам: $D \in A B$ , $E \in A C$

Образец: фонарь на высоте $6$ м, человек ростом $1, 8$ м стоит в $7$ м от столба. Найдите длину тени $x$ .

$k = \frac{BM}{M A}$

$A O : OC = BC : A D$

$△ A B D \sim △ A BC$

а) Трапеция: $BC = 3$ , $A D = 9$ , $A C = 16$ . Найти $A O$ .

б) $MN ∥ A C$ , $BM = 2$ , $M A = 4$ , $MN = 3$ . Найти $A C$ .

в) $∠ A B D = ∠ C$ , $A D = 4$ , $D C = 12$ . Найти $A B$ .

Та же конструкция: $MN ∥ A C$