Подобие и пропорциональные отрезки · урок 13 из 15 · практикум

Практикум: центр масс в треугольнике

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R02 · GEOM8-025

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники» (15 ч), урок 13/15, единица R02.5 «Центр масс в треугольнике». Тип — П (практикум). Новый материал был на уроке GEOM8-017.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 сводка «теорема о медианах» 2,5 · 5 ключевые приёмы 2,5 · 6 особые треугольники 1,5 · 7 карта практикума 1 · 13 демонстрация (учитель решает) 1,5 · 14 план доказательства 1,5.
Практика (32,5): 3 разминка 2 · 8 тип 1 — 2 · 9 тип 2а — 1,5 · 10 тип 2б — 2 · 11 тип 3 — 2,5 · 12 тип 4 — 2,5 · 15 тип 5 — 2,5 · 16 задача из жизни 2 · 17 ошибки 1,5 · 18 найди ошибку 2 · 19 база 2,5 · 20 повышенный 2,5 · 21 ОГЭ 2 · 22 самостоятельная 4 · 23 итог 1.
Опора: теорема о медианах (2 : 1, GEOM8-017), теорема о пропорциональных отрезках (GEOM8-016, 024), подобие и признаки подобия (GEOM8-018, 019), признаки равенства треугольников (7 класс).
Если не успеваете: задания 3–4 повышенного уровня (сл. 20) — в ДЗ; теоретические слайды не пропускать, можно сократить разговор на сл. 7.

R02.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь решать задачи пяти типов

Считать части медианы

в том числе через уравнение: $A O = 2 \cdot O A_{1}$ (ПР-2, REQ-6.2)

Узнавать особые случаи

равносторонний и прямоугольный треугольник (ПР-2, EL-6.5)

Связывать с другими теоремами

прямая через центр масс $∥$ стороне, клетки (ПР-2, ПР-3, ПР-4)

Доказывать и применять

доказательство (линия 24), задача ОГЭ линии 15 (ПР-2, REQ-6.2)

R02.5 · повторение GEOM8-017

Разминка · устно

Медиана — три равные части. Заполните пропуски

Дано	$A O$	$O A_{1}$	$A A_{1}$
$A A_{1} = 24$	$16$	$8$	—
$A O = 14$	—	$7$	$21$
$O A_{1} = 2, 5$	$5$	—	$7, 5$
$A O = 3, 6$	—	$1, 8$	$5, 4$
$A O - O A_{1} = 6$	$12$	$6$	$18$

R02.5 · R02.6

Сводка · теорема о медианах

Почему медиана делится в отношении $2 : 1$

Медианы треугольника пересекаются в одной точке

O

и делятся ею в отношении

2 : 1

, считая от вершины.

$A_{1} B_{1} ∥ A B$ , $A_{1} B_{1} = \frac{1}{2} A B$ $A_{1} B_{1}$ — средняя линия $△ A BC$
$△ A OB \sim △ A_{1} O B_{1}$ по двум углам: накрест лежащие при $A_{1} B_{1} ∥ A B$
$k = 2$ ⇒ $A O = 2 \cdot O A_{1}$ , $BO = 2 \cdot O B_{1}$ третья медиана — так же, точка та же

A O = \frac{2}{3} A A_{1}, O A_{1} = \frac{1}{3} A A_{1}

2,5 мин · теория
Повторение теоремы GEOM8-017 новым способом — через подобие (признаки подобия — GEOM8-019). На уроке 17 доказывали через средние линии и параллелограмм; сегодня тот же факт за три шага.
Шаг 1: A₁, B₁ — середины BC и AC, отрезок A₁B₁ — средняя линия (R02.2). Шаг 2: ∠OAB = ∠OA₁B₁ и ∠OBA = ∠OB₁A₁ — накрест лежащие при параллельных A₁B₁ и AB (секущие AA₁ и BB₁); на чертеже — одна и две дуги. Шаг 3: k = AB : A₁B₁ = 2, значит, AO : OA₁ = BO : OB₁ = 2 : 1.
Почему третья медиана проходит через O: медианы AA₁ и CC₁ по той же причине пересекаются в точке, которая делит AA₁ в отношении 2 : 1 от A, — это та же точка O.
Вопрос классу: почему O называют центром масс? (Картонный треугольник уравновешивается на острие карандаша в точке O — опыт был на уроке 17.)

R02.5 · R02.4 · R02.6

Ключевые приёмы · следствия теоремы

Прямая через $O$ и расстояние от $O$ до стороны

Прямая $PQ ∥ A C$ через $O$

\frac{BP}{B A} = \frac{BQ}{BC} = \frac{PQ}{A C} = \frac{2}{3}

$BO : B B_{1} = 2 : 3$ → теорема о пропорциональных отрезках и $△ PBQ \sim △ A BC$

Расстояние от $O$ до $A C$

O K = \frac{1}{3} B H

$O K ∥ B H$ (оба $⊥ A C$ ), $B_{1} O : B_{1} B = 1 : 3$ → пропорциональные отрезки

2,5 мин · теория
Два следствия, которые решают половину задач практикума. Слева: параллельные прямые PQ и AC отсекают на сторонах угла B пропорциональные отрезки; BO составляет 2/3 медианы BB₁, значит, BP = 2/3 BA, BQ = 2/3 BC; △PBQ ∼ △ABC (общий угол B, соответственные углы при PQ ∥ AC), k = 2/3, PQ = 2/3 AC.
Справа: перпендикуляры BH и OK к прямой AC параллельны; в угле с вершиной B₁ прямые OK ∥ BH отсекают пропорциональные отрезки: OK : BH = B₁O : B₁B = 1 : 3.
Сравнить со средней линией: она отсекает 1/2, а прямая через O — 2/3 (средняя линия выше центра масс).

R02.5

Сводка · особые треугольники

Где медиана — ещё и высота или половина гипотенузы

Равносторонний

медиана $=$ высота $=$ биссектриса, все три равны

BO = \frac{2}{3} h, O H = \frac{1}{3} h

Прямоугольный, $∠ C = 9 0^{\circ}$

медиана к гипотенузе $=$ половина гипотенузы

CM = \frac{1}{2} A B, CO = \frac{1}{3} A B

R02.5

Карта практикума

Пять типов задач на центр масс

Тип 1. Части медианы

уравнение $A O = 2 \cdot O A_{1}$

Тип 2. Особые треугольники

равносторонний, прямоугольный

Тип 3. Прямая через $O$

параллельно стороне: $2/3$

Тип 4. Клетки

расстояние до стороны: $h /3$

Тип 5. Доказательство

равенство треугольников

Практика

пластина в равновесии

R02.5

Образец → сам · тип 1 · части медианы

Части медианы через уравнение

Образец: $A O = 3 x - 1$ , $O A_{1} = x + 2$ . Найдите $A A_{1}$

$A O = 2 \cdot O A_{1}$ свойство медиан, $2 : 1$ от вершины
$3 x - 1 = 2 (x + 2)$ , $x = 5$ составили и решили уравнение
$A O = 14$ , $O A_{1} = 7$ , $A A_{1} = 21$ проверка: $14 : 7 = 2 : 1$

Сам: найдите медиану

$BO = 5 x - 4$ , $O B_{1} = 2 x + 1$ . Найдите $B B_{1}$ . $39$
$CO = x + 7$ , $O C_{1} = x - 1$ . Найдите $C C_{1}$ . $24$
$A A_{1} = 6 x$ , $O A_{1} = x + 3$ . Найдите $A A_{1}$ . $18$

R02.5

Образец → сам · тип 2 · равносторонний треугольник

Центр масс лежит на высоте

Образец: $△ A BC$ равносторонний, $BO = 10$ . Найдите $O H$ и $B H$

$B H$ — медиана и высотав равностороннем треугольнике медиана — высота
$O H = \frac{BO}{2} = 5$ , $B H = 15$ $BO : O H = 2 : 1$

Сам: треугольник равносторонний

Высота $27$ . Найдите $BO$ и $O H$ . $18$ и $9$
От $O$ до стороны — $4$ . Найдите высоту. $12$
$BO = 7, 2$ . Найдите высоту. $10, 8$

R02.5

Образец → сам · тип 2 · прямоугольный треугольник

Медиана к гипотенузе + центр масс

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $CO = 6$ . Найдите гипотенузу $A B$

$CM = \frac{3}{2} \cdot CO = 9$ $CO$ — две части медианы $CM$
$A B = 2 \cdot CM = 18$ медиана к гипотенузе равна её половине

Сам: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $CM$ — медиана

$A B = 27$ . Найдите $CO$ . $9$
$A B = 24$ . Найдите $OM$ . $4$
$CO = 5$ . Найдите $A B$ . $15$

R02.5 · R02.4 · R02.6

Образец → сам · тип 3 · прямая через центр масс

$PQ ∥ A C$ через $O$ : отсекает $\frac{2}{3}$

Образец: $A B = 12$ , $A C = 15$ . Найдите $BP$ и $PQ$

$\frac{BP}{B A} = \frac{BO}{B B _{1}} = \frac{2}{3}$ , $BP = 8$ пропорциональные отрезки, $PO ∥ A B_{1}$
$△ BPQ \sim △ B A C$ , $k = \frac{2}{3}$ : $PQ = 10$ по двум углам (соответственные при $PQ ∥ A C$ )

Сам: $PQ ∥ A C$ через $O$

$BC = 21$ . Найдите $BQ$ и $QC$ . $14$ и $7$
$PQ = 8$ . Найдите $A C$ . $12$
$A P = 5$ . Найдите $A B$ . $15$

R02.5 · R02.4

Образец → сам · тип 4 · клетчатая бумага (ОГЭ, линия 18)

Клетка $1 \times 1$ . Расстояние от центра масс до $A C$

Образец: вершины в узлах сетки

$B H = 6$ высота по клеткам
$O K = \frac{1}{3} B H = 2$ $O K ∥ B H$ , $B_{1} O : B_{1} B = 1 : 3$

Сам: расстояние от $O$ до $A C$

по рисунку $3$
высота $7, 5$ $2, 5$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин): A(0; 6), B(3; 0), C(9; 6) в клетках (ось вниз). B₁ — середина AC (4,5 клетки от A); на медиане BB₁ точка O — 2/3 от B, это узел (4; 4). Высота BH — 6 клеток; OK и BH перпендикулярны AC, значит, параллельны; OK : BH = B₁O : B₁B = 1 : 3, OK = 2. Проверка по клеткам — 2 клетки.
Сам: 1) A(0; 9), B(2; 0), C(7; 9): высота 9 клеток, расстояние 9 : 3 = 3 (центр масс — узел (3; 6)). 2) 7,5 : 3 = 2,5.
Правило на память: центр масс находится от каждой стороны на трети высоты, проведённой к этой стороне.

R02.5 · R02.6

Демонстрация · учитель решает

Комбинированная задача: два приёма в одной

∠ C = 9 0^{\circ}

,

A B = 18

,

O

— центр масс. Через

O

проведена

PQ ∥ A B

. Найдите

CO

и

PQ

.

$CM = \frac{1}{2} A B = 9$ медиана к гипотенузе
$CO = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ свойство медиан
$△ CPQ \sim △ C A B$ , $k = \frac{CO}{CM} = \frac{2}{3}$ : $PQ = 12$ по двум углам, $PQ ∥ A B$

R02.5

Сводка · план доказательства (ОГЭ, линия 24)

Как доказывать с медианами

1

Отметить $O$ и части $2 : 1$ чёрточками

свойство медиан

2

Найти два треугольника с искомыми отрезками

общий или вертикальный угол

3

Признак равенства (или подобия)

назвать признак полностью

4

Вывод: сторона — две половины

медиана идёт в середину стороны

R02.5

Образец → сам · тип 5 · доказательство (ОГЭ, линия 24)

Медианы $A A_{1}$ и $B B_{1}$ равны. Докажите, что $A C = BC$

$A O = \frac{2}{3} A A_{1} = \frac{2}{3} B B_{1} = BO$ , $O B_{1} = O A_{1}$ свойство медиан, $A A_{1} = B B_{1}$
$∠ A O B_{1} = ∠ BO A_{1}$ вертикальные углы
$△ A O B_{1} = △ BO A_{1}$ по двум сторонам и углу между ними
$A B_{1} = B A_{1} \Rightarrow A C = 2 A B_{1} = 2 B A_{1} = BC$ $B_{1}$ , $A_{1}$ — середины сторон

Сам: докажите обратное — если

A C = BC

, то

A A_{1} = B B_{1}

.

△ A B A_{1} = △ B A B_{1}

:

A B

— общая,

∠ A = ∠ B

,

B A_{1} = A B_{1}

2,5 мин · практика
Образец (1,5 мин) по плану сл. 14: чертёж в тетрадь с отметками — две чёрточки на равных «больших» частях, одна — на «малых». Вопрос перед шагом 3: какие два треугольника содержат искомые отрезки AB₁ и BA₁? (△AOB₁ и △BOA₁).
Вывод: треугольник с двумя равными медианами — равнобедренный (AC = BC).
Сам (1 мин, план вслух): AC = BC ⇒ ∠A = ∠B (углы при основании равнобедренного); AB₁ = AC/2 = BC/2 = BA₁; AB — общая ⇒ △ABA₁ = △BAB₁ по двум сторонам и углу между ними ⇒ AA₁ = BB₁.
Ошибка: ссылаться на «равенство по рисунку» или забыть, что равны углы между сторонами (вертикальные).

R02.5 · R02.8

Образец → сам · задача из жизни

Рейка через центр масс: какой она длины и на какой высоте?

Образец. Треугольный щит:

A C = 60

см, высота

45

см. Чтобы он висел ровно, рейку

PQ ∥ A C

крепят через центр масс.

PQ = \frac{2}{3} \cdot 60 = 40

см

\frac{1}{3} \cdot 45 = 15

смот

A C

до рейки

Сам:

A C = 90

см, высота

60

см.

60

см;

20

см

R02.5

Осторожно · типичные ошибки

Где ловушка?

Не средняя линия

«Прямая через $O$ — это $\frac{1}{2} A C$ »

Верно: $PQ = \frac{2}{3} A C$

Двойка не там

« $2 \cdot A O = O A_{1}$ »

Верно: $A O = 2 \cdot O A_{1}$

Не половина высоты

«От $O$ до стороны — $\frac{1}{2} h$ »

Верно: $\frac{1}{3} h$

R02.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A O = 12$ . Найдите медиану $A A_{1}$ .

$O A_{1} = 2 \cdot 12 = 24$ , $A A_{1} = 36$

$A O$ — две части: $O A_{1} = 6$

$A A_{1} = 18$

б) Треугольник равносторонний, высота $18$ . Найдите $BO$ .

$O$ — середина высоты: $BO = 9$

$BO = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12$

$O H = 6$

в) Через $O$ проведена $PQ ∥ A C$ , $A C = 18$ . Найдите $PQ$ .

$PQ$ — средняя линия: $PQ = 9$

$PQ$ не проходит через середины

$PQ = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12$

R02.5

Задания с самопроверкой · база

$O$ — точка пересечения медиан $△ A BC$

$B B_{1} = 27$ . Найдите $BO$ . $18$
$O C_{1} = 4, 5$ . Найдите $C C_{1}$ . $13, 5$
$A O - O A_{1} = 7$ . Найдите $A A_{1}$ . $21$

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 36$ . Найдите $CO$ . $12$
Треугольник равносторонний, $BO = 16$ . Найдите высоту. $24$
$PQ ∥ A C$ через $O$ , $P \in A B$ , $A B = 21$ . Найдите $BP$ и $A P$ . $14$ и $7$

R02.5 · R02.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A O = 2 x + 6$ , $A A_{1} = 4 x + 3$ . Найдите $A A_{1}$ . $27$
повыш. $PQ ∥ A C$ через $O$ , $PQ = 14$ . Найдите $A C$ и среднюю линию, параллельную $A C$ . $21$ и $10, 5$
повыш. $PQ ∥ A C$ через $O$ , периметр $△ PBQ$ равен $24$ . Найдите периметр $△ A BC$ . $36$
из жизниТреугольная пластина висит на нити, закреплённой в центре масс. От точки крепления до вершины по медиане $20$ см. Найдите длину этой медианы. $30$ см

R02.5

Формат ОГЭ · линия 15

Ответ — одно число

ОГЭ · линия 15

1. Медианы треугольника $A BC$ пересекаются в точке $O$ . Найдите длину медианы, проведённой к стороне $BC$ , если $A O = 16$ . $24$

2. Медианы треугольника $A BC$ пересекаются в точке $O$ . Медиана, проведённая к стороне $A B$ , равна $27$ . Найдите $CO$ . $18$

R02.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

$O$ — точка пересечения медиан, $PQ ∥ A C$ через $O$

Вариант 1

$C C_{1} = 33$ . Найдите $CO$ . $22$
Равносторонний, высота $21$ . Найдите $BO$ . $14$
$A O = 4 x + 2$ , $O A_{1} = x + 5$ . Найдите $A A_{1}$ . $27$
$A C = 24$ , $A B = 18$ . Найдите $PQ$ и $A P$ . $16$ и $6$

Вариант 2

$A A_{1} = 39$ . Найдите $O A_{1}$ . $13$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 30$ . Найдите $CO$ . $10$
$BO = 3 x + 1$ , $O B_{1} = x + 3$ . Найдите $B B_{1}$ . $24$
$A C = 27$ , $BC = 15$ . Найдите $PQ$ и $QC$ . $18$ и $5$

R02.5

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Главное

A O = \frac{2}{3} A A_{1}

PQ = \frac{2}{3} A C

O K = \frac{1}{3} h

Верно или нет?

Центр масс — середина медианы. нет
Прямая через $O ∥ A C$ длиннее средней линии. да
В равностороннем треугольнике $O$ лежит на высоте. да

Дома

$BO = 3 x + 4$ , $O B_{1} = x + 4$ . Найдите $B B_{1}$ .
$PQ ∥ A C$ через $O$ , $PQ = 12$ . Найдите $A C$ .
Докажите: в равнобедренном треугольнике медианы к боковым сторонам равны.
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_primenenie_podobiya_02.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-025 · Практикум: Центр масс в треугольнике

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники», 15 ч · урок 13/15 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R02.5 «Центр масс в треугольнике» → 2–23 · опора на R02.4 «Пропорциональные отрезки» → 5, 11, 12, 16 · R02.6 «Подобные треугольники» → 4, 5, 11, 13, 20 · R02.8 «Применение подобия при решении практических задач» → 16, 20
Результаты	ПР-2 = REQ-6.2 (свойства точки пересечения медиан, центр масс) → 2–23 · ПР-3 = REQ-6.3 (теорема о пропорциональных отрезках) → 5, 11, 12, 16 · ПР-4 = REQ-6.4 (подобие) → 4, 11, 13 · EL-6.5 «Средние линии… Центр масс треугольника» → 3–23 · виды деятельности ФРП: отношение, в котором медианы делятся точкой пересечения; связь с центром масс → 3–16
Хронометраж	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %) · разобранных примеров «Образец → сам» — 7
ОГЭ	линия 15 (треугольники) → 8–11, 19–22 · линия 18 (клетки) → 12 · линия 24 (доказательство) → 14, 15
Дополнительно (сверх ФРП)	нет
Вне урока	доказательство теоремы о медианах через параллелограмм и опыт с пластиной — GEOM8-017; признаки подобия — GEOM8-019; площади частей, на которые медианы делят треугольник, — R03; теорема Пифагора — R04
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: центр масс в треугольнике

Сегодня вы научитесь решать задачи пяти типов

Считать части медианы

Узнавать особые случаи

Связывать с другими теоремами

Доказывать и применять

Медиана — три равные части. Заполните пропуски

Почему медиана делится в отношении 2:1

Прямая через O и расстояние от O до стороны

Прямая PQ∥AC через O

Расстояние от O до AC

Где медиана — ещё и высота или половина гипотенузы

Равносторонний

Прямоугольный, ∠C=90∘

Пять типов задач на центр масс

Тип 1. Части медианы

Тип 2. Особые треугольники

Тип 3. Прямая через O

Тип 4. Клетки

Тип 5. Доказательство

Практика

Части медианы через уравнение

Образец: AO=3x−1, OA1​=x+2. Найдите AA1​

Сам: найдите медиану

Центр масс лежит на высоте

Образец: △ABC равносторонний, BO=10. Найдите OH и BH

Сам: треугольник равносторонний

Медиана к гипотенузе + центр масс

Образец: ∠C=90∘, CO=6. Найдите гипотенузу AB

Сам: ∠C=90∘, CM — медиана

PQ∥AC через O: отсекает 32​

Образец: AB=12, AC=15. Найдите BP и PQ

Сам: PQ∥AC через O

Клетка 1×1. Расстояние от центра масс до AC

Образец: вершины в узлах сетки

Сам: расстояние от O до AC

Комбинированная задача: два приёма в одной

Как доказывать с медианами

Медианы AA1​ и BB1​ равны. Докажите, что AC=BC

Рейка через центр масс: какой она длины и на какой высоте?

Где ловушка?

Не средняя линия

Двойка не там

Не половина высоты

Где ошибся ученик?

а) AO=12. Найдите медиану AA1​.

б) Треугольник равносторонний, высота 18. Найдите BO.

в) Через O проведена PQ∥AC, AC=18. Найдите PQ.

O — точка пересечения медиан △ABC

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Главное

Верно или нет?

Дома

GEOM8-025 · Практикум: Центр масс в треугольнике

Почему медиана делится в отношении $2 : 1$

Прямая через $O$ и расстояние от $O$ до стороны

Прямая $PQ ∥ A C$ через $O$

Расстояние от $O$ до $A C$

Прямоугольный, $∠ C = 9 0^{\circ}$

Тип 3. Прямая через $O$

Образец: $A O = 3 x - 1$ , $O A_{1} = x + 2$ . Найдите $A A_{1}$

Образец: $△ A BC$ равносторонний, $BO = 10$ . Найдите $O H$ и $B H$

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $CO = 6$ . Найдите гипотенузу $A B$

Сам: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $CM$ — медиана

$PQ ∥ A C$ через $O$ : отсекает $\frac{2}{3}$

Образец: $A B = 12$ , $A C = 15$ . Найдите $BP$ и $PQ$

Сам: $PQ ∥ A C$ через $O$

Клетка $1 \times 1$ . Расстояние от центра масс до $A C$

Сам: расстояние от $O$ до $A C$

Медианы $A A_{1}$ и $B B_{1}$ равны. Докажите, что $A C = BC$

а) $A O = 12$ . Найдите медиану $A A_{1}$ .

б) Треугольник равносторонний, высота $18$ . Найдите $BO$ .

в) Через $O$ проведена $PQ ∥ A C$ , $A C = 18$ . Найдите $PQ$ .

$O$ — точка пересечения медиан $△ A BC$