Теорема Фалеса, подобные треугольники · урок 12 из 15 · практикум

Практикум: пропорциональные отрезки

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R02 · GEOM8-024

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники» (15 ч), урок 12/15, единица R02.4 «Пропорциональные отрезки». Тип урока — П (практикум). Продолжение GEOM8-016: те же факты, новые типы задач (уравнение, задача из жизни, построения).
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 сводка-теорема 2,5 · 5 четыре типа задач 1,5 · 10 построение «деление в отношении» 3,5 · 11 построение четвёртого пропорционального 3. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32,5): 3 разминка 2 · 6 образец тип 1 — 3 · 7 образец «уравнение» 2,5 · 8 образец тип 2 — 3 · 9 образец трапеция 3 · 12 образец из жизни 3 · 13 ошибки 2 · 14 найди ошибку 2 · 15 база 2,5 · 16 повышенный 2,5 · 17 ОГЭ 2 · 18 самостоятельная 4 · 19 итог 1.
Если не успеваете: задания «сам» на сл. 12 и задания 3–4 на сл. 16 — в ДЗ; теорию не выбрасывать.
Нужны: циркуль, линейка, угольник у доски и у учеников.

R02.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать тип задачи

треугольник, несколько параллельных, трапеция, построение (EL-6.4)

Составлять пропорцию

«часть к части» и «часть к целому» без ошибок (ПР-3, REQ-6.3)

Строить

деление отрезка в отношении и четвёртый пропорциональный отрезок (ФРП: виды деятельности)

Решать задачи

практические и в формате ОГЭ, линия 15 (ПР-3)

повторение: R02.4

Разминка · устно

$A A_{1} ∥ B B_{1}$ . Верно ли? Найдите

1	$\frac{O A}{A B} = \frac{O A _{1}}{A _{1} B _{1}}$	✓
2	$\frac{O A}{OB} = \frac{O A _{1}}{O B _{1}}$	✓
3	$\frac{O A}{A B} = \frac{A _{1} B _{1}}{O A _{1}}$	✗
4	$\frac{A B}{OB} = \frac{A _{1} B _{1}}{O B _{1}}$	✓
5	$O A = 4$ , $A B = 6$ , $O A_{1} = 6$ ; $A_{1} B_{1} = ?$	9
6	$O A_{1} : O B_{1} = 2 : 5$ , $OB = 15$ ; $O A = ?$	6

R02.4 · R02.1

Сводка · теорема о пропорциональных отрезках

Одна теорема на весь практикум

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

\frac{O A}{A B} = \frac{O A _{1}}{A _{1} B _{1}}

часть к части

\frac{O A}{OB} = \frac{O A _{1}}{O B _{1}}

часть к целому

Частный случай: $O A = A B$ ⇒ $O A_{1} = A_{1} B_{1}$ (теорема Фалеса).

2,5 мин · теория
Короткое напоминание теории GEOM8-013 и GEOM8-016 (доказательство там). Чертёж точный: $O A : A B = O A_{1} : A_{1} B_{1} = 3 : 2$ .
Две пропорции — два вида записи: «часть к части» (слагаемые одного отрезка) и «часть к целому». Обе верны; ошибка — смешать их в одной пропорции.
Вопрос классу: а если вершины угла на чертеже нет (две прямые не пересекаются в пределах чертежа)? — Теорема всё равно верна для отрезков между параллельными; если прямые параллельны — отрезки просто равны.

R02.4

План практикума · четыре типа задач

Четыре типа задач

1Треугольник

$MN ∥ A C$

2Две прямые

три и более параллельных

3Трапеция

$MN ∥ A D ∥ BC$

4Построение

циркуль и линейка

R02.4 · тип 1

Образец → сам · тип 1 · часть к целому

Треугольник: $MN ∥ A C$

Образец: $A B = 16$ , $BC = 20$ , $A M = 6$ . Найдите $BN$ .

$BM = 16 - 6 = 10$ дана сторона целиком — найдём часть
$\frac{BM}{B A} = \frac{BN}{BC}$ часть к целому — на обеих сторонах
$BN = \frac{20 \cdot 10}{16} = 12, 5$

Сам: $MN ∥ A C$

$BN = 9$ , $NC = 6$ , $A B = 20$ . Найдите $BM$ . $12$
$A M : MB = 1 : 3$ , $BC = 24$ . Найдите $BN$ и $NC$ . $18$ и $6$
$BM = 4$ , $B A = 10$ , $BC = 15$ . Найдите $BN$ . $6$

R02.4 · тип 1

Образец → сам · тип 1 · уравнение

Неизвестное в пропорции — составляем уравнение

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM = x$ , $M A = 4$ , $BN = x + 3$ , $NC = 7$ . Найдите $A B$ .

$\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}$ часть к части
$\frac{x}{4} = \frac{x + 3}{7}$ ,
$7 x = 4 x + 12$ основное свойство пропорции
$x = 4$ , $A B = 4 + 4 = 8$ $A B = BM + M A$

Сам: $MN ∥ A C$

$BM = x$ , $M A = 12$ , $BN = x - 2$ , $NC = 8$ . Найдите $A B$ . $18$
$BM = x$ , $M A = x + 2$ , $BN = 6$ , $NC = 9$ . Найдите $A B$ . $10$
$A M : MB = 2 : 3$ , $BN - NC = 4$ . Найдите $BC$ . $20$

R02.4 · тип 2

Образец → сам · тип 2 · параллельные прямые

Отношения переносятся вдоль параллельных

Образец: $A A_{1} ∥ B B_{1} ∥ C C_{1}$ , $A B = 4$ , $BC = 6$ , $A_{1} C_{1} = 15$

$A B : BC = 2 : 3$ отношение на прямой $a$
$A_{1} B_{1} : B_{1} C_{1} = 2 : 3$ теорема о пропорциональных отрезках
$15 : 5 = 3$ — одна часть
$A_{1} B_{1} = 6$ , $B_{1} C_{1} = 9$

Сам: $A A_{1} ∥ B B_{1} ∥ C C_{1} ∥ D D_{1}$

$A B : BC : C D = 1 : 2 : 3$ , $A_{1} D_{1} = 24$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ , $B_{1} C_{1}$ , $C_{1} D_{1}$ . $4, 8, 12$
$A B = 3$ , $BC = 5$ , $A_{1} B_{1} = 4, 5$ . Найдите $B_{1} C_{1}$ . $7, 5$
$A_{1} B_{1} = 6$ , $B_{1} C_{1} = 10$ , $A C = 12$ . Найдите $A B$ . $4, 5$

3 мин · практика
Образец: прямые $a$ и $b$ на чертеже не пересекаются — теорема всё равно работает (их продолжения пересекаются; или $a ∥ b$ — тогда отрезки просто равны). Способ «частями»: 2 + 3 = 5 частей, $15 : 5 = 3$ ⇒ $A_{1} B_{1} = 6$ , $B_{1} C_{1} = 9$ . Проверка: $6 : 9 = 4 : 6$ . Другой способ: $\frac{A _{1} B _{1}}{A _{1} C _{1}} = \frac{A B}{A C} = \frac{4}{10}$ ⇒ $A_{1} B_{1} = 6$ .
Сам: 1) 1 + 2 + 3 = 6 частей, $24 : 6 = 4$ ⇒ 4, 8, 12. 2) $\frac{3}{5} = \frac{4 , 5}{B _{1} C _{1}}$ ⇒ $B_{1} C_{1} = 7, 5$ . 3) $A_{1} B_{1} : A_{1} C_{1} = 6 : 16$ ⇒ $A B = 12 \cdot \frac{6}{16} = 4, 5$ (и $BC = 7, 5$ ).
Ошибка в 3): $A B = 12 \cdot \frac{6}{10}$ — взяли «часть к части» вместо «часть к целому».

R02.4 · R02.3 · тип 3

Образец → сам · тип 3 · трапеция

Основания и $MN$ — три параллельные прямые

Образец: $A BC D$ — трапеция, $MN ∥ A D$ , $A M = 4$ , $MB = 6$ , $C D = 15$

$A D ∥ MN ∥ BC$ три параллельные пересекают $A B$ и $C D$
$\frac{D N}{NC} = \frac{A M}{MB} = \frac{2}{3}$ от одного основания $A D$
$D N = 6$ , $NC = 9$ 5 частей по 3

Сам: трапеция, $MN ∥ A D ∥ BC$

$BM : M A = 1 : 2$ , $D N = 8$ . Найдите $C D$ . $12$
$A M = 5$ , $MB = 3$ , $C D = 16$ . Найдите $D N$ . $10$
$M$ — середина $A B$ , $C D = 11$ . Найдите $D N$ . $5, 5$

R02.4 · тип 4

Тип 4 · построение циркулем и линейкой

Разделим $A B$ на части в отношении $1 : 2 : 3$

A P : PQ : QB = 1 : 2 : 3

луч, 1 + 2 + 3 = 6 равных частей, прямая 6–B, параллельные через 1 и 3

R02.4 · тип 4

Тип 4 · четвёртый пропорциональный

Даны $a$ и $b$ . Постройте $x = \frac{a ^{2}}{b}$

b : a = a : x

$O A = b$ , $A B = a$ , $OC = a$
через $B$ — прямая $∥ A C$
$C D = x$ : $\frac{b}{a} = \frac{a}{x}$

Любой

x = \frac{ab}{c}

строится так же:

c : a = b : x

.

R02.4 · практика

Образец → сам · задача из жизни

Улицы, переулки, стремянка

Образец: две улицы сходятся под углом, три переулка параллельны. Найдите расстояние «?» вдоль второй улицы.

$120 + 180 = 300$ мцелое вдоль первой улицы
$\frac{x}{400} = \frac{120}{300}$ часть к целому
$x = 160$ м

Сам

По одной улице между переулками $60$ и $90$ м, по другой между крайними — $200$ м. Её части? $80$ и $120$ м
Ступенька стремянки $∥$ полу: по ножке $40$ см до ступеньки, $160$ см до верха. Вторая ножка $150$ см — сколько до ступеньки? $37, 5$ см
Разделите полоску $10$ см на 3 равные части построением. по $\approx 3, 3$ см

R02.4

Осторожно · типичные ошибки

Где ошибка?

✗ $\frac{BM}{B A} = \frac{BN}{NC}$

✓ $\frac{BM}{B A} = \frac{BN}{BC}$

целое — с целым

✗ $\frac{A M}{MB} = \frac{CN}{N D}$

✓ $\frac{A M}{MB} = \frac{D N}{NC}$

от одного основания

✗ $A P : PB = 2 : 3$ ?

✓ здесь $3 : 2$ — нужна точка 2

считаем части от $A$

R02.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Трапеция $A BC D$ , $MN ∥ A D$ , $A M = 3$ , $MB = 6$ , $C D = 12$ . Найти $CN$ .

$\frac{A M}{MB} = \frac{CN}{N D}$ ⇒ $CN = 4$

$\frac{A M}{MB} = \frac{D N}{NC}$
(от основания $A D$ )

$D N = 4$ , $CN = 8$

б) $A A_{1} ∥ B B_{1} ∥ C C_{1}$ , $A B = 4$ , $BC = 6$ , $A_{1} C_{1} = 15$ . Найти $A_{1} B_{1}$ .

$A_{1} B_{1} = \frac{15 \cdot 4}{6} = 10$

$\frac{A _{1} B _{1}}{A _{1} C _{1}} = \frac{A B}{A C} = \frac{4}{10}$

$A_{1} B_{1} = 6$

в) Разделить $A B$ в отношении $3 : 4$ .

Отложил 4 равные части, соединил точку 4 с $B$ , параллельная — через точку 3.

Нужно $3 + 4 = 7$ частей, соединить 7 с $B$

параллельная — через точку 3

R02.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

$MN ∥ A C$ , $BM = 5$ , $M A = 3$ , $BN = 10$ . Найдите $NC$ . $6$
$MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 3$ , $BC = 25$ . Найдите $BN$ . $10$
$A A_{1} ∥ B B_{1} ∥ C C_{1}$ , $A B = 6$ , $BC = 4$ , $A_{1} B_{1} = 9$ . Найдите $B_{1} C_{1}$ . $6$

$A A_{1} ∥ B B_{1} ∥ C C_{1}$ , $A B : BC = 3 : 5$ , $A_{1} C_{1} = 32$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ . $12$
Трапеция $A BC D$ , $MN ∥ A D$ , $A M = 2$ , $MB = 3$ , $C D = 10$ . Найдите $D N$ . $4$
Разделите отрезок $9$ см в отношении $2 : 1$ построением. $6$ и $3$ см

R02.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Точки $M$ и $N$ делят сторону $A B$ треугольника $A BC$ на три равные части; через них проведены прямые, параллельные $BC$ , до пересечения с $A C$ в точках $P$ и $Q$ . $A C = 15$ . Найдите $PQ$ . $5$
повыш.Трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$ , $MN ∥ A D$ , $M \in A B$ , $N \in C D$ , $A M : MB = 1 : 3$ , $CN - D N = 6$ . Найдите $C D$ . $12$
повыш.Стороны угла $O$ пересечены параллельными прямыми $A A_{1}$ и $B B_{1}$ ; $O A = 6$ , $A B = 9$ , $O B_{1} = 20$ . Найдите $O A_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ . $8$ и $12$
практика $a = 4$ см, $b = 6$ см. Постройте $x = \frac{a ^{2}}{b}$ , измерьте $x$ , сравните с расчётом. $x \approx 2, 7$ см

R02.4 · ОГЭ 15

Формат ОГЭ · линия 15

Ответ — одно число

15 Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает стороны $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно; $BM : M A = 3 : 4$ , $BC = 28$ . Найдите $NC$ . $16$

Та же конструкция

$BM : M A = 2 : 5$ , $BC = 21$ . Найдите $BN$ . $6$
$A B = 20$ , $A M = 5$ , $BC = 16$ . Найдите $NC$ . $4$

R02.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

В задачах 1 и 3: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ . В задачах 4: $A BC D$ — трапеция, $A D ∥ BC$ , $MN ∥ A D$ , $M \in A B$ , $N \in C D$ .

Вариант 1

$BM = 6$ , $M A = 4$ , $BN = 9$ . Найдите $NC$ . $6$
$A A_{1} ∥ B B_{1} ∥ C C_{1}$ , $A B = 5$ , $BC = 7$ , $A_{1} C_{1} = 18$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ и $B_{1} C_{1}$ . $7, 5$ и $10, 5$
$A B = 15$ , $A M = 5$ , $BC = 12$ . Найдите $NC$ . $4$
$A M : MB = 2 : 5$ , $C D = 21$ . Найдите $D N$ . $6$

Вариант 2

$BM = 8$ , $M A = 6$ , $BN = 12$ . Найдите $NC$ . $9$
$A A_{1} ∥ B B_{1} ∥ C C_{1}$ , $A B = 3$ , $BC = 9$ , $A_{1} C_{1} = 20$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ и $B_{1} C_{1}$ . $5$ и $15$
$A B = 20$ , $A M = 8$ , $BC = 15$ . Найдите $NC$ . $6$
$A M : MB = 3 : 4$ , $C D = 28$ . Найдите $D N$ . $12$

R02.4

Итог урока

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Какой тип задачи был труднее?
Чем «часть к части» отличается от «части к целому»?
Через какую точку проводить параллельную?

Дома

$MN ∥ A C$ , $BM : M A = 5 : 3$ , $BC = 32$ . Найдите $BN$ и $NC$ .
Трапеция, $MN ∥ A D$ , $A M = 3$ , $MB = 9$ , $C D = 16$ . Найдите $D N$ .
Постройте $x = \frac{a ^{2}}{b}$ при $a = 3$ см, $b = 5$ см.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_podobnye_treugolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-024 · Практикум: Пропорциональные отрезки

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники», 15 ч · урок 12/15 · тип П
Формат	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %); образцов «Образец → сам» — 5
Единицы → слайды	R02.4 «Пропорциональные отрезки» → 2–19; повторение R02.1 (теорема Фалеса) → 4, R02.3 (трапеция) → 9
Результаты	ПР-3 = REQ-6.3 (пользоваться теоремой о пропорциональных отрезках, практические задачи) → 2–9, 12–19 · EL-6.4 → 3–5 · вид деятельности «строить четвертый пропорциональный отрезок» → 10, 11, 15 (№ 6), 16 (№ 4)
ОГЭ	линия 15 (треугольники) → 17
Вне урока	введение понятий и теорема — GEOM8-013, GEOM8-016; центр масс — GEOM8-025; подобие (отношение MN : AC) — GEOM8-026
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: пропорциональные отрезки

Сегодня вы научитесь

Узнавать тип задачи

Составлять пропорцию

Строить

Решать задачи

AA1​∥BB1​. Верно ли? Найдите

Одна теорема на весь практикум

Четыре типа задач

1Треугольник

2Две прямые

3Трапеция

4Построение

Треугольник: MN∥AC

Образец: AB=16, BC=20, AM=6. Найдите BN.

Сам: MN∥AC

Неизвестное в пропорции — составляем уравнение

Образец: MN∥AC, BM=x, MA=4, BN=x+3, NC=7. Найдите AB.

Сам: MN∥AC

Отношения переносятся вдоль параллельных

Образец: AA1​∥BB1​∥CC1​, AB=4, BC=6, A1​C1​=15

Сам: AA1​∥BB1​∥CC1​∥DD1​

Основания и MN — три параллельные прямые

Образец: ABCD — трапеция, MN∥AD, AM=4, MB=6, CD=15

Сам: трапеция, MN∥AD∥BC

Разделим AB на части в отношении 1:2:3

Даны a и b. Постройте x=ba2​

Улицы, переулки, стремянка

Образец: две улицы сходятся под углом, три переулка параллельны. Найдите расстояние «?» вдоль второй улицы.

Сам

Где ошибка?

Где ошибся ученик?

а) Трапеция ABCD, MN∥AD, AM=3, MB=6, CD=12. Найти CN.

б) AA1​∥BB1​∥CC1​, AB=4, BC=6, A1​C1​=15. Найти A1​B1​.

в) Разделить AB в отношении 3:4.

Решите и сверьте ответ

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Та же конструкция

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Дома

GEOM8-024 · Практикум: Пропорциональные отрезки

$A A_{1} ∥ B B_{1}$ . Верно ли? Найдите

Треугольник: $MN ∥ A C$

Образец: $A B = 16$ , $BC = 20$ , $A M = 6$ . Найдите $BN$ .

Сам: $MN ∥ A C$

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM = x$ , $M A = 4$ , $BN = x + 3$ , $NC = 7$ . Найдите $A B$ .

Сам: $MN ∥ A C$

Образец: $A A_{1} ∥ B B_{1} ∥ C C_{1}$ , $A B = 4$ , $BC = 6$ , $A_{1} C_{1} = 15$

Сам: $A A_{1} ∥ B B_{1} ∥ C C_{1} ∥ D D_{1}$

Основания и $MN$ — три параллельные прямые

Образец: $A BC D$ — трапеция, $MN ∥ A D$ , $A M = 4$ , $MB = 6$ , $C D = 15$

Сам: трапеция, $MN ∥ A D ∥ BC$

Разделим $A B$ на части в отношении $1 : 2 : 3$

Даны $a$ и $b$ . Постройте $x = \frac{a ^{2}}{b}$

а) Трапеция $A BC D$ , $MN ∥ A D$ , $A M = 3$ , $MB = 6$ , $C D = 12$ . Найти $CN$ .

б) $A A_{1} ∥ B B_{1} ∥ C C_{1}$ , $A B = 4$ , $BC = 6$ , $A_{1} C_{1} = 15$ . Найти $A_{1} B_{1}$ .

в) Разделить $A B$ в отношении $3 : 4$ .