Практикум · урок 10 из 15

Практикум: средняя линия треугольника

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R02 · GEOM8-022

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники» (15 ч), урок 10/15, единица R02.2. Тип урока — П (практикум). Теорема о средней линии доказана на уроке GEOM8-014; сегодня — короткая сводка, второе доказательство через подобие (GEOM8-019) и пять типов задач.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 сводка правил 3 · 5 доказательство через подобие 2,5 · 6 карта практикума 1,5 · 9 доказательство о середине сторон четырёхугольника 3.
Практика (33): 3 разминка 3 · 7 образец «длины» 3 · 8 образец «углы» 2,5 · 10 образец «четырёхугольник» 2,5 · 11 образец «клетки» 2,5 · 12 образец «из жизни» 2,5 · 13 ошибки 1,5 · 14 найди ошибку 2 · 15 база 3 · 16 повышенный 2,5 · 17 ОГЭ 2 · 18 самостоятельная 5 · 19 итог 1.
Если не успеваете: задания 3–4 повышенного уровня (сл. 16) — в ДЗ; доказательство на сл. 9 провести фронтально; теорию не выбрасывать.

R02.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь решать задачи пяти типов

Длины и периметры

находить стороны и средние линии, в том числе через отношение сторон (ПР-3, REQ-6.3)

Углы

переносить углы с помощью параллельности средней линии (ПР-3, REQ-6.3)

Доказательства

применять теорему о средней линии в четырёхугольнике (REQ-6.3, EL-6.5)

Клетки и практика

находить длины на клетчатой бумаге и в задачах из жизни (ПР-3, REQ-6.3)

1 мин · теория
ПР-3 (предметный результат 8 класса, ФРП) = REQ-6.3: «Владеть понятием средней линии треугольника и трапеции, применять их свойства при решении геометрических задач. Пользоваться теоремой Фалеса и теоремой о пропорциональных отрезках, применять их для решения практических задач».
EL-6.5 кодификатора: «Средние линии треугольника и трапеции. Центр масс треугольника». Сегодня — средняя линия треугольника; трапеция — следующий практикум (GEOM8-023).

повторение: R02.2

Разминка · устно

Найдите за 10 секунд

1

MN

— средняя линия.

x = ?

8

2

MN

— средняя линия.

x = ?

14

3

∠ A = 5 0^{\circ}

.

∠ BMN = ?

5 0^{\circ}

4

A M = MB

,

MN ∥ A C

.

x = ?

6

5. Периметр треугольника

30

. Периметр треугольника из его средних линий?

15

6. Средние линии треугольника

3

,

4

,

5

. Его стороны?

6, 8, 10

R02.2

Сводка правил · средняя линия треугольника

Что нужно помнить для всех задач урока

Определение

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Теорема

$MN ∥ A C, MN = \frac{1}{2} A C$

Следствия

три средние линии делят треугольник на 4 равных: $P_{MN K} = \frac{1}{2} P_{A BC}$
прямая через середину стороны, $∥$ другой стороне, проходит через середину третьей

3 мин · теория
Сводка ведётся фронтально: учитель задаёт вопрос, класс отвечает, затем открывается карточка. Чертёж точный: $A (0; 0)$ , $C (10; 0)$ , $B (3, 5; 6, 5)$ ; $M$ , $N$ , $K$ — середины сторон, $MN = 5 = \frac{1}{2} A C$ .
Вопросы: сколько средних линий у треугольника? (три); каким сторонам они параллельны? (каждая — «своей», третьей стороне); почему четыре маленьких треугольника равны? (по трём сторонам: каждая сторона — половина стороны $△ A BC$ ).
Второе следствие — по теореме Фалеса: его используем в задачах, где отмечена только одна середина и дана параллельность (разминка, № 4).

R02.2 · R02.7

Доказательство · через подобие

Теорема о средней линии — вторым способом

2,5 мин · теория
На уроке GEOM8-014 теорему доказали через теорему Фалеса и параллелограмм. Теперь класс знает признаки подобия (GEOM8-019), и доказательство занимает пять строк.
Шаги (по клику подсвечиваются на чертеже): 1) $∠ B$ общий; 2) $BM : B A = BN : BC = 1 : 2$ ; 3) II признак подобия: две стороны пропорциональны и угол между ними равен ⇒ $△ MBN \sim △ A BC$ , $k = \frac{1}{2}$ ; 4) $MN$ и $A C$ — сходственные (лежат против общего угла $B$ ) ⇒ $MN = \frac{1}{2} A C$ ; 5) $∠ BMN = ∠ B A C$ — соответственные при прямых $MN$ , $A C$ и секущей $A B$ ⇒ $MN ∥ A C$ .
Чертёж точный: $A (0; 0)$ , $C (12; 0)$ , $B (4; 7, 5)$ . Вопрос: почему нельзя взять I признак? (Пока равен только один угол.)

R02.2

Карта практикума

Четыре типа задач на среднюю линию

Тип 1длины

MN = \frac{A C}{2} P_{MN K} = \frac{P}{2}

Тип 2углы

MN ∥ A C

∠ BMN = ∠ A

Тип 3четырёхугольник

K L = \frac{A C}{2}

K L ∥ A C

Тип 4клетки

считаем клетки
стороны

∥

линиям сетки

R02.2

Образец → сам · длины и периметры

Стороны относятся как $3 : 4 : 6$ , $P = 52$ . Найдите наибольшую среднюю линию

①

3 k + 4 k + 6 k = 52

,

k = 4

периметр — сумма сторон

② наибольшая сторона

A C = 6 k = 24

③

MN ∥ A C

:

MN = \frac{24}{2} = 12

теорема о средней линии

Сам

Средние линии треугольника $5$ , $6$ и $8$ . Найдите его периметр. $38$
Стороны относятся как $2 : 3 : 4$ , $P = 45$ . Найдите наименьшую среднюю линию. $5$
Периметр треугольника из средних линий $21$ , стороны $△ A BC$ — $2 : 2 : 3$ . Найдите основание. $18$

R02.2

Образец → сам · углы

$A B = BC$ , $∠ B = 4 0^{\circ}$ , $M$ и $N$ — середины $A B$ и $BC$ . Найдите $∠ A MN$

①

∠ A = ∠ C = \frac{18 0 ^{\circ} - 4 0 ^{\circ}}{2} = 7 0^{\circ}

равнобедренный

②

MN ∥ A C \Rightarrow ∠ BMN = ∠ A = 7 0^{\circ}

соответственные

③

∠ A MN = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}

смежные

Сам ( $M$ , $N$ — середины сторон)

$∠ A = 6 4^{\circ}$ , $∠ B = 5 6^{\circ}$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ . Найдите $∠ MNC$ . $12 0^{\circ}$
$∠ B = 4 8^{\circ}$ , $∠ C = 7 2^{\circ}$ , $M \in A B$ , $N \in A C$ . Найдите $∠ BMN$ . $13 2^{\circ}$
$△ A BC$ равносторонний, $M \in A B$ , $N \in BC$ . Найдите $∠ A MN$ . $12 0^{\circ}$

R02.2

Тип 3 · доказательство (как в ОГЭ, линия 24)

Середины сторон любого четырёхугольника — вершины параллелограмма

3 мин · теория (учитель доказывает у доски, класс записывает план)
Шаги 2–3: в каждом из треугольников $A BC$ и $A D C$ отрезок, соединяющий середины двух сторон, — средняя линия; по теореме он параллелен третьей стороне $A C$ и равен её половине.
Шаг 4: две прямые, параллельные третьей ( $A C$ ), параллельны между собой. Признак параллелограмма (R01): две противоположные стороны равны и параллельны.
Вопрос: что изменится, если провести диагональ $B D$ ? (Получим $K N ∥ L M$ , $K N = L M = \frac{1}{2} B D$ — второй способ.)
Ошибка: « $K L MN$ — параллелограмм, потому что так видно». Требуйте назвать оба треугольника и признак.

R02.2

Образец → сам · четырёхугольник из середин сторон

Диагонали $A BC D$ равны $10$ и $14$ . Найдите периметр $K L MN$

①

K L = NM = \frac{A C}{2} = 5

средние линии

△ A BC

,

△ A D C

②

L M = K N = \frac{B D}{2} = 7

средние линии

△ BC D

,

△ B A D

③

P_{K L MN} = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 24 = A C + B D

Сам ( $K, L, M, N$ — середины сторон $A BC D$ )

Диагональ прямоугольника $12$ . Какая фигура $K L MN$ ? Её периметр? ромб, $24$
Диагонали ромба $6$ и $8$ . Какая фигура $K L MN$ ? Её периметр? прямоугольник, $14$
$P_{K L MN} = 30$ , диагональ $A C = 13$ . Найдите $B D$ . $17$

2,5 мин · практика
Образец: $2 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 24$ . Вывод-правило: периметр четырёхугольника из середин сторон равен сумме диагоналей. Чертёж точный: $A C = 270$ , $B D = 378$ пикселей ( $10 : 14$ ).
Сам: 1) диагонали прямоугольника равны ⇒ все стороны $K L MN$ равны $12 : 2 = 6$ ⇒ ромб, $P = 24$ ; 2) стороны $K L MN$ параллельны диагоналям, диагонали ромба перпендикулярны ⇒ прямоугольник $3 \times 4$ , $P = 6 + 8 = 14$ ; 3) $A C + B D = 30$ , $B D = 30 - 13 = 17$ .
Ошибка: считать периметр $K L MN$ половиной периметра $A BC D$ — он зависит от диагоналей, а не от сторон.

R02.2 · ОГЭ 18

Образец → сам · клетчатая бумага

Клетка $1 \times 1$ . Найдите среднюю линию, параллельную $A C$

Образец:

A C = 10

клеток ⇒

MN = 10 : 2 = 5

Справа: средняя линия $△ D EF$ , параллельная $D E$ . $3$
Средняя линия, параллельная горизонтальной стороне, — $4, 5$ клетки. Сколько клеток сторона? $9$

R02.2

Образец → сам · задача из жизни

Верёвка стремянки соединяет середины ног. Как далеко стоят ноги?

①

T A

,

TB

и пол

A B

—

△ A TB

②

M

,

N

— середины

T A

,

TB

⇒

MN

— средняя линия

③

A B = 2 \cdot 0, 7 = 1, 4

м

Сам

Ноги стремянки на расстоянии $1, 5$ м. Длина верёвки? $0, 75$ м
Ширина дома $8$ м, балка соединяет середины стропил двускатной крыши. Длина балки? $4$ м
Деревья $A$ и $B$ — по разные стороны оврага. Выбрали точку $C$ , отметили середины $C A$ и $CB$ : между ними $23$ м. Найдите $A B$ . $46$ м

R02.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

$PQ ∥ A C \Rightarrow PQ = \frac{A C}{2}$

$P$ , $Q$ — не середины сторон

Половина — только если концы — середины

$∠ A MN = ∠ A$

равны соответственные $∠ BMN$ и $∠ A$

$∠ A MN = 18 0^{\circ} - ∠ A$

$P_{K L MN} = \frac{1}{2} P_{A BC D}$

стороны $K L MN$ — половины диагоналей

$P_{K L MN} = A C + B D$

R02.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $M$ , $N$ — середины $A B$ и $BC$ , $∠ A = 7 0^{\circ}$ , $∠ C = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ BNM$ .

Ученик

$MN ∥ A C \Rightarrow ∠ BNM = ∠ A = 7 0^{\circ}$

$∠ BNM$ и $∠ C$ — соответственные (секущая $BC$ )

$∠ BNM = ∠ C = 5 0^{\circ}$

б) Докажите: середины сторон ромба — вершины прямоугольника.

Ученик

$K L ∥ A C$ , $L M ∥ B D$ — $K L MN$ параллелограмм. Диагонали ромба равны ⇒ прямоугольник.

Диагонали ромба перпендикулярны (не равны)

$A C ⊥ B D \Rightarrow K L ⊥ L M$ ⇒ прямоугольник

в) Стороны $3 : 5 : 6$ , средняя линия, параллельная наибольшей стороне, $9$ . Найдите $P$ .

Ученик

$6 k = 9$ , $k = 1, 5$ , $P = 14 k = 21$

$9$ — средняя линия: сторона $= 18$

$6 k = 18$ , $k = 3$ , $P = 42$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Соответственные углы при $MN ∥ A C$ : с секущей $A B$ — $∠ BMN = ∠ A = 7 0^{\circ}$ ; с секущей $BC$ — $∠ BNM = ∠ C = 5 0^{\circ}$ . Ученик взял не ту секущую. Ответ $5 0^{\circ}$ .
б) Признак перепутан со свойством: равные диагонали — у прямоугольника, у ромба диагонали перпендикулярны. $K L ∥ A C$ , $L M ∥ B D$ , $A C ⊥ B D$ ⇒ $K L ⊥ L M$ ⇒ параллелограмм $K L MN$ с прямым углом — прямоугольник. (Если бы диагонали были равны, получился бы ромб.)
в) $9$ — средняя линия, наибольшая сторона $2 \cdot 9 = 18 = 6 k$ , $k = 3$ , стороны 9, 15, 18, $P = 42$ .

R02.2

Задания с самопроверкой · база

Найдите

Стороны треугольника $7$ , $9$ , $12$ . Найдите его средние линии. $3, 5; 4, 5; 6$
Периметр треугольника $46$ . Найдите периметр треугольника из его средних линий. $23$
$M$ , $N$ — середины $A B$ и $BC$ , $∠ BMN = 6 3^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ . $6 3^{\circ}$

Средняя линия $MN ∥ A C$ , $MN = 8, 5$ . Найдите $A C$ . $17$
Диагонали четырёхугольника $9$ и $11$ . Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах его сторон. $20$
Сторона равностороннего треугольника $18$ . Найдите периметр треугольника из средних линий. $27$

R02.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Средние линии треугольника относятся как $4 : 5 : 6$ , его периметр $60$ . Найдите стороны. $16, 20, 24$
повыш. $M$ , $N$ , $K$ — середины $A B$ , $BC$ , $A C$ ; $A B = 10$ , $BC = 12$ , $A C = 14$ . Найдите периметр $A MN K$ . $24$
повыш.Докажите: середины сторон прямоугольника — вершины ромба.
стороны $K L MN$ — половины диагоналей, диагонали равны ⇒ все стороны равны
повыш.Диагонали четырёхугольника перпендикулярны и равны $10$ . Какая фигура — четырёхугольник из середин сторон? Его периметр? квадрат, $20$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ. Чертежи строят сами.
1) Каждая сторона вдвое больше «своей» средней линии ⇒ стороны тоже $4 : 5 : 6$ ; $15 k = 60$ , $k = 4$ ⇒ 16, 20, 24.
2) $A M = 5$ , $MN = \frac{1}{2} A C = 7$ , $N K = \frac{1}{2} A B = 5$ , $K A = 7$ ⇒ $P = 24$ ( $A MN K$ — параллелограмм).
3) $K L = MN = \frac{1}{2} A C$ , $L M = K N = \frac{1}{2} B D$ (средние линии), $A C = B D$ (диагонали прямоугольника) ⇒ все стороны $K L MN$ равны ⇒ ромб.
4) Стороны — по $5$ , параллельны диагоналям ⇒ соседние стороны перпендикулярны ⇒ ромб с прямым углом — квадрат, $P = 20$ .

R02.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 15

Ответ — одно число

1. Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $A B$ и $BC$ треугольника $A BC$ , сторона $A B$ равна $66$ , сторона $BC$ равна $37$ , сторона $A C$ равна $74$ . Найдите $MN$ . $37$

Та же конструкция

$M$ , $N$ — середины $A B$ и $BC$ , $MN = 19$ , $A B = 30$ , $BC = 32$ . Найдите $A C$ . $38$
Периметр треугольника из средних линий $△ A BC$ равен $29$ . Найдите периметр $△ A BC$ . $58$

Лишние данные — ловушка: нужна только сторона, параллельная

MN

.

R02.2

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

В задачах 2: $M$ , $N$ — середины $A B$ и $BC$ $△ A BC$ . В задачах 3: четырёхугольник с вершинами в серединах сторон.

Вариант 1

Стороны $6$ , $10$ , $12$ . Наибольшая средняя линия? $6$
$∠ C = 5 4^{\circ}$ . Найдите $∠ MNC$ . $12 6^{\circ}$
Диагонали четырёхугольника $7$ и $9$ . Периметр? $16$
Знак — равносторонний треугольник со стороной $90$ см, середины сторон соединены лентой. Длина ленты? $135$ см

Вариант 2

Стороны $8$ , $14$ , $16$ . Наименьшая средняя линия? $4$
$∠ A = 4 8^{\circ}$ . Найдите $∠ A MN$ . $13 2^{\circ}$
Диагональ прямоугольника $10$ . Вид и периметр? ромб, $20$
Ноги стремянки на расстоянии $1, 2$ м, верёвка — между серединами ног. Длина верёвки? $0, 6$ м

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Запомнить

$MN ∥ A C$ , $MN = \frac{1}{2} A C$
$P_{из ср . линий} = \frac{1}{2} P$
середины сторон четырёхугольника — параллелограмм, $P = d_{1} + d_{2}$

Проверь себя

Какой тип задач был самым трудным?
Как найти угол с помощью средней линии?
Какой вид у $K L MN$ , если диагонали равны? перпендикулярны?

Дома

Средние линии треугольника $4$ , $7$ и $9$ . Найдите его периметр.
$∠ A = 5 2^{\circ}$ , $∠ B = 7 8^{\circ}$ ; $M$ , $N$ — середины $A B$ , $BC$ . Найдите $∠ BNM$ .
Докажите: середины сторон равнобокой трапеции — вершины ромба.
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_podobnye_treugolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-022 · Практикум: средняя линия треугольника

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники», 15 ч · урок 10/15 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R02.2 «Средняя линия треугольника» → 2–19 · R02.7 (признаки подобия, повторение) → 5 · R01 (признак параллелограмма, повторение) → 9, 10
Результаты	ПР-3 / REQ-6.3 (свойства средней линии треугольника в геометрических и практических задачах) → 3, 7–19 · EL-6.5 (средние линии треугольника) → 4–6, 9
ОГЭ	линия 15 → 17; линия 18 (клетчатая бумага) → 11; линия 24 (доказательство) → 9, 14, 16
Вне урока	средняя линия трапеции — R02.3 (GEOM8-023); пропорциональные отрезки — R02.4; центр масс — R02.5
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %); образцов «Образец → сам» — 5
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: средняя линия треугольника

Сегодня вы научитесь решать задачи пяти типов

Длины и периметры

Углы

Доказательства

Клетки и практика

Найдите за 10 секунд

Что нужно помнить для всех задач урока

Определение

Теорема

Следствия

Теорема о средней линии — вторым способом

Четыре типа задач на среднюю линию

Тип 1длины

Тип 2углы

Тип 3четырёхугольник

Тип 4клетки

Стороны относятся как 3:4:6, P=52. Найдите наибольшую среднюю линию

Сам

AB=BC, ∠B=40∘, M и N — середины AB и BC. Найдите ∠AMN

Сам (M, N — середины сторон)

Середины сторон любого четырёхугольника — вершины параллелограмма

Диагонали ABCD равны 10 и 14. Найдите периметр KLMN

Сам (K,L,M,N — середины сторон ABCD)

Клетка 1×1. Найдите среднюю линию, параллельную AC

Верёвка стремянки соединяет середины ног. Как далеко стоят ноги?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) M, N — середины AB и BC, ∠A=70∘, ∠C=50∘. Найдите ∠BNM.

б) Докажите: середины сторон ромба — вершины прямоугольника.

в) Стороны 3:5:6, средняя линия, параллельная наибольшей стороне, 9. Найдите P.

Найдите

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Та же конструкция

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Запомнить

Проверь себя

Дома

GEOM8-022 · Практикум: средняя линия треугольника

Стороны относятся как $3 : 4 : 6$ , $P = 52$ . Найдите наибольшую среднюю линию

$A B = BC$ , $∠ B = 4 0^{\circ}$ , $M$ и $N$ — середины $A B$ и $BC$ . Найдите $∠ A MN$

Сам ( $M$ , $N$ — середины сторон)

Диагонали $A BC D$ равны $10$ и $14$ . Найдите периметр $K L MN$

Сам ( $K, L, M, N$ — середины сторон $A BC D$ )

Клетка $1 \times 1$ . Найдите среднюю линию, параллельную $A C$

а) $M$ , $N$ — середины $A B$ и $BC$ , $∠ A = 7 0^{\circ}$ , $∠ C = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ BNM$ .

в) Стороны $3 : 5 : 6$ , средняя линия, параллельная наибольшей стороне, $9$ . Найдите $P$ .