Практикум · урок 9 из 15

Практикум: теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R02 · GEOM8-021

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники» (15 ч), урок 9/15, единица R02.1. Тип урока — П (практикум). Теория была на уроке GEOM8-013; сегодня — короткая сводка и решение задач.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Ход: цели 1 мин · разминка 3 · сводка теорем и доказательство 4,5 · план 1,5 · образцы 1–3 по 2,5 · построение (показ 2,5 + сами 3) · практическая задача 2,5 · алгоритм 1,5 · ошибки 3,5 · линия 19 — 1 · самопроверка 5,5 · ОГЭ 15 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Нужны: циркуль, линейка, угольник (слайды 10–11).

R02.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать

на чертеже угол и параллельные прямые, к которым применима теорема (ПР-3, REQ-6.3)

Решать

задачи четырёх типов теоремой Фалеса и теоремой о пропорциональных отрезках (ПР-3, EL-6.4)

Строить

деление отрезка в данном отношении циркулем и линейкой (вид деятельности ФРП)

Применять

теорему в практической задаче (ПР-3: «применять их для решения практических задач»)

повторение: GEOM8-013

Разминка · устно

Шесть быстрых вопросов

① Синие прямые параллельны. Чему равен «?» $3$

② $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 1 : 2$ . $BN : NC$ ? $BN : BC$ ? $1 : 2$ ; $1 : 3$

③ Прямые не параллельны. Работает теорема Фалеса? нет

④ $\frac{3}{5} = \frac{x}{20}$ , $x =$ ? $12$

⑤ Отрезок $12$ делим в отношении $1 : 3$ . Части? $3$ и $9$

⑥ $BM : M A = 2 : 3$ . Чему равно $BM : B A$ ? $2 : 5$

3 мин · практика
Устно, по одному ответу; ответы открываются по клику.
① $3$ : равные отрезки на одной стороне угла и параллельные прямые ⇒ равные отрезки на другой (теорема Фалеса). ② $BN : NC = 1 : 2$ , $BN : BC = 1 : 3$ . ③ Нет: без параллельности равенство отрезков не гарантировано (на чертеже отрезки на второй стороне разные).
④ $5 x = 60$ , $x = 12$ . ⑤ $12 : 4 = 3$ ; части $3$ и $9$ . ⑥ $B A = 2 + 3 = 5$ частей ⇒ $BM : B A = 2 : 5$ .
Главная ошибка в ② и ⑥ — путать «часть : часть» и «часть : целое». Это повод сегодняшнего практикума.

R02.1

Сводка · две теоремы

Параллельные прямые режут стороны угла пропорционально

Теорема Фалеса

Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то на другой стороне отложатся равные отрезки.

О пропорциональных отрезках

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки:

\frac{O A _{1}}{A _{1} A _{2}} = \frac{O B _{1}}{B _{1} B _{2}}

\frac{O A _{1}}{O A _{2}} = \frac{O B _{1}}{O B _{2}}

2.5 мин · теория
Сводка теории урока GEOM8-013 (R02.1): обе формулировки дословно, ученики повторяют вслух.
Левая пропорция — «часть : часть», правая — «часть : целое»; обе следуют из теоремы. На чертеже: $O A_{1} : A_{1} A_{2} = 190 : 230$ , отрезки на стороне $b$ в том же отношении (координаты рассчитаны).
Вопрос: какую из двух пропорций удобнее, если в условии дан целый отрезок $O A_{2}$ ? (Правую — «часть : целое».)
Теорема верна и для двух любых прямых (не обязательно сторон угла), пересечённых параллельными прямыми, — это понадобится для трапеции.

R02.1

Вспомним доказательство · теорема Фалеса

Почему отрезки на второй прямой равны

2 мин · теория
Доказательство из урока GEOM8-013 — напоминание по шагам: учитель открывает шаг, ученики называют обоснование до того, как оно появится.
Шаг 4 подробно: $E B_{2} = B_{2} F$ (шаг 3); $∠ E B_{2} B_{1} = ∠ F B_{2} B_{3}$ — вертикальные; $∠ B_{1} E B_{2} = ∠ B_{3} F B_{2}$ — накрест лежащие при параллельных $A_{1} B_{1}$ и $A_{3} B_{3}$ и секущей $EF$ ⇒ треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам.
Чертёж точный: прямые $A_{i} B_{i}$ параллельны и проведены через равные промежутки, $EF ∥ a$ ; точка $E$ лежит на прямой $A_{1} B_{1}$ , $F$ — на прямой $A_{3} B_{3}$ .
Вопрос: где в доказательстве используется параллельность прямых $A_{i} B_{i}$ ? (Шаг 2 — параллелограммы, шаг 4 — накрест лежащие углы.)

R02.1

План практикума

Четыре типа задач

1. Равные части

теорема Фалеса

2. Треугольник

часть : целое

3. Трапеция

три параллельные прямые

4. Построение

деление в отношении

Общее у всех: параллельные прямые пересекают две прямые и отсекают на них пропорциональные отрезки.

R02.1

Образец → сам · тип 1 · теорема Фалеса

Равные части на одной стороне — равные на другой

Образец: $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = A_{3} A_{4}$ , $A_{i} B_{i}$ параллельны, $O B_{4} = 18$ . Найдите $B_{1} B_{3}$

$O B_{1} = B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3} = B_{3} B_{4}$ теорема Фалеса: равные отрезки на $O A$ и параллельные прямые
одна часть: $18 : 4 = 4, 5$ $O B_{4}$ состоит из 4 равных частей
$B_{1} B_{3} = 2 \cdot 4, 5 = 9$ $B_{1} B_{3}$ — две части

Сам: тот же чертёж

$B_{1} B_{3} = 7$ . Найдите $O B_{4}$ .
$14$
$O B_{3} = 12$ . Найдите $O B_{2}$ .
$8$
$B_{2} B_{4} = 5$ . Найдите $O B_{3}$ .
$7, 5$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин, шаги по клику): по теореме Фалеса $O B_{4}$ разбит на 4 равные части по $4, 5$ ; $B_{1} B_{3}$ — 2 части, $9$ . Чертёж точный: $A_{i} B_{i}$ параллельны, $O A_{1} = A_{1} A_{2} = \dots$
Сам (1,5 мин): 1) $B_{1} B_{3} = 2$ части ⇒ часть $3, 5$ , $O B_{4} = 4 \cdot 3, 5 = 14$ . 2) $O B_{3} = 3$ части ⇒ часть $4$ , $O B_{2} = 8$ . 3) $B_{2} B_{4} = 2$ части ⇒ часть $2, 5$ , $O B_{3} = 3 \cdot 2, 5 = 7, 5$ .
Вопрос: зависит ли ответ от угла между сторонами? (Нет — важны только равенство отрезков на $O A$ и параллельность.)
Ошибка: считать $B_{1} B_{3}$ «третьей частью» отрезка $O B_{4}$ (а это 2 части из 4).

R02.1

Образец → сам · тип 2 · часть к целому

В треугольнике: $MN ∥ A C$

Образец: $BM = 6$ , $M A = 9$ , $BC = 20$ . Найдите $BN$

$\frac{BN}{BC} = \frac{BM}{B A}$ дана целая $BC$ ⇒ «часть : целое» (теорема о пропорциональных отрезках)
$B A = 6 + 9 = 15$ $M$ лежит на $B A$
$BN = \frac{20 \cdot 6}{15} = 8$ основное свойство пропорции

Сам: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$

$BN = 10$ , $NC = 15$ , $A B = 30$ . Найдите $A M$ .
$18$
$BM : M A = 2 : 3$ , $BC = 25$ . Найдите $NC$ .
$15$
$A B = 12$ , $BC = 18$ , $NC = 6$ . Найдите $A M$ .
$4$

R02.1

Образец → сам · тип 3 · трапеция

Три параллельные прямые: $BC ∥ MN ∥ A D$

Образец: $BM = 4$ , $M A = 6$ , $CN = 5$ . Найдите $N D$

$BC$ , $MN$ , $A D$ пересекают прямые $A B$ и $C D$ три параллельные прямые и две секущие
$\frac{BM}{M A} = \frac{CN}{N D}$ теорема о пропорциональных отрезках
$N D = \frac{6 \cdot 5}{4} = 7, 5$ основное свойство пропорции

Сам: трапеция $A BC D$ , $MN ∥ A D$

$A B = 15$ , $BM = 6$ , $C D = 20$ . Найдите $CN$ .
$8$
$A M : MB = 1 : 2$ , $C D = 9$ . Найдите $D N$ .
$3$
$BM = 3$ , $M A = 5$ , $N D = 10$ . Найдите $C D$ .
$16$

R02.1

Тип 4 · построение циркулем и линейкой

Делим отрезок в отношении $2 : 3$

2,5 мин · теория
Это продолжение построения «деление на n равных частей» (GEOM8-013): чтобы получить отношение $m : n$ , откладываем на луче $m + n$ равных отрезков и проводим одну параллельную прямую через $P_{m}$ .
Учитель строит на доске параллельно с открытием шагов; ученики пока только смотрят. Практика в тетради — на следующем слайде.
Ошибки: отложить на луче 2 или 3 отрезка вместо 5; провести прямую не через $P_{2}$ , а через $P_{3}$ (получится $3 : 2$ ); провести её «на глаз», не параллельно $P_{5} B$ .

R02.1

Образец → сам · тип 4 · деление отрезка

Делим отрезок в отношении $m : n$ — в тетради

Образец: разделите отрезок $A B = 7$ см в отношении $3 : 4$

на луче $A X$ — $3 + 4 = 7$ равных отрезковвсего частей $m + n$
соединяем $P_{7}$ с $B$ ; через $P_{3}$ — прямая $∥ P_{7} B$ , она пересекает $A B$ в точке $K$ построение параллельной прямой
$A K : K B = A P_{3} : P_{3} P_{7} = 3 : 4$ , $A K = 3$ см, $K B = 4$ смтеорема о пропорциональных отрезках; проверяем линейкой

Сам: в тетради

Разделите отрезок $10$ см в отношении $1 : 4$ . Части?
$2$ см и $8$ см
Разделите отрезок $9$ см в отношении $2 : 1$ . Части?
$6$ см и $3$ см
Сколько отрезков отложить и через какую точку провести прямую для $5 : 2$ ?
$7$ , через $P_{5}$

3 мин · практика
Образец (1 мин): 7 равных отрезков на луче, прямая $P_{7} B$ , параллельная ей через $P_{3}$ . На чертеже $K$ рассчитана как пересечение: $A K = \frac{3}{7} A B$ .
Сам (2 мин, циркуль и линейка): 1) 5 отрезков, прямая через $P_{1}$ ⇒ $2$ см и $8$ см. 2) 3 отрезка, прямая через $P_{2}$ ⇒ $6$ см и $3$ см. 3) $5 + 2 = 7$ отрезков, через $P_{5}$ (параллельно $P_{7} B$ ). Проверка линейкой у соседа.
Ошибки: отложить на луче $m$ или $n$ отрезков вместо $m + n$ ; провести прямую не через $P_{m}$ , а через $P_{n}$ (получится $n : m$ ); проводить её «на глаз», не параллельно $P_{m + n} B$ .
Это вид деятельности ФРП строки R02: «проводить построения с помощью циркуля и линейки с использованием теоремы Фалеса и теоремы о пропорциональных отрезках».

R02.1

Образец → сам · задача из жизни

Где крепить стойку на стропиле?

Образец: стропило $7, 2$ м; 4 стойки стоят на балке через равные промежутки, последняя — под коньком. Где вторая стойка?

стойки $⊥$ балке ⇒ стойки параллельныдве прямые, перпендикулярные третьей, параллельны
стропило делится на 4 равные части: $7, 2 : 4 = 1, 8$ мтеорема Фалеса
до второй стойки 2 части: $2 \cdot 1, 8 = 3, 6$ мсчитаем от нижнего конца

Сам: модель «угол + параллельные»

Стропило $6$ м, 3 стойки через равные промежутки (последняя под коньком). Где первая?
$2$ м
Промежутки на балке $1$ , $2$ , $1$ , $2$ м, стропило $9$ м. Где вторая стойка?
$4, 5$ м
Пандус $5$ м, опоры через каждый метр по горизонтали, всего $4$ м. Шаг опор вдоль пандуса?
$1, 25$ м

2,5 мин · практика
Образец: стойки перпендикулярны балке ⇒ параллельны; по теореме Фалеса стропило делится на 4 равные части по $1, 8$ м; до второй стойки — $3, 6$ м. Чертёж: стойки через 120 px, точки на стропиле — по уравнению прямой.
Сам: 1) $6 : 3 = 2$ м. 2) Части стропила пропорциональны $1 : 2 : 1 : 2$ (теорема о пропорциональных отрезках), на $1$ м балки — $9 : 6 = 1, 5$ м стропила; вторая стойка на $3$ м балки ⇒ $4, 5$ м. 3) $5 : 4 = 1, 25$ м.
Модель: балка и стропило — стороны угла, стойки (опоры) — параллельные прямые. Это ПР-3: «применять их для решения практических задач».

R02.1

Алгоритм

Как решать любую задачу этого урока

\frac{a}{b} = \frac{c}{x} \Rightarrow x = \frac{b \cdot c}{a}

Нет параллельных прямых — нет пропорции. Сначала найдите их!

R02.1

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

✗ основания в пропорции

\frac{BM}{M A} = \frac{MN}{A C}

$MN$ и $A C$ не лежат на сторонах угла

✓ $\frac{MN}{A C} = \frac{BM}{B A}$ — через подобие

✗ прямые не параллельны

\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}

теорема работает только при $MN ∥ A C$

✓ сначала доказать параллельность

✗ часть и целое вперемешку

\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{BC}

слева часть : часть, справа часть : целое

✓ $\frac{BM}{B A} = \frac{BN}{BC}$

R02.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Трапеция $A BC D$ , $MN ∥ A D$ , $A M = 6$ , $MB = 4$ , $C D = 15$ . Найти $CN$ .

Ученик: $\frac{A M}{MB} = \frac{CN}{C D}$ , $\frac{6}{4} = \frac{CN}{15}$ , $CN = 22, 5$

Ошибки: «крест-накрест» и часть : целое вперемешку; $CN > C D$ — абсурд

Верно: $\frac{CN}{C D} = \frac{BM}{B A} = \frac{4}{10}$ , $CN = 6$

б) $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ , $A_{i} B_{i}$ параллельны, $O B_{3} = 15$ . Найти $B_{1} B_{2}$ .

Ученик: $B_{1} B_{2} = 15 : 2 = 7, 5$

Ошибка: $O B_{3}$ состоит из трёх равных частей, а не из двух

Верно: $B_{1} B_{2} = 15 : 3 = 5$

Проверка здравым смыслом: часть не может быть больше целого.

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибки, затем открывать исправления.
а) Две ошибки: пропорцию начали от разных оснований ( $A M$ — от нижнего основания, $CN$ — от верхнего) и смешали часть : часть с часть : целое. Верно: $\frac{CN}{C D} = \frac{BM}{B A} = \frac{4}{10}$ ⇒ $CN = 6$ (или $\frac{CN}{N D} = \frac{BM}{M A} = \frac{4}{6}$ : $CN = 15 \cdot \frac{4}{10} = 6$ , $N D = 9$ ).
б) По теореме Фалеса $O B_{1} = B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3}$ , их три ⇒ $B_{1} B_{2} = 5$ .
Вывод для класса: ответ больше целого отрезка — сигнал проверить пропорцию.

R02.1

Формат ОГЭ · линия 19

Верно или неверно?

1	Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то на другой стороне получатся равные отрезки.	верно
2	Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах угла равные отрезки.	неверно
3	Чтобы разделить отрезок в отношении $2 : 5$ , на вспомогательном луче откладывают 7 равных отрезков.	верно
4	Если $MN ∥ A C$ в $△ A BC$ , то $BM : M A = BN : BC$ .	неверно

R02.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте по клику

Везде: $M \in A B$ , $N \in BC$ (в трапеции $N \in C D$ ); прямые, о которых сказано «параллельны», параллельны.

базаНа стороне угла $O$ : $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ , $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2} ∥ A_{3} B_{3}$ , $B_{1} B_{2} = 2, 5$ . Найдите $O B_{3}$ . $7, 5$
база $MN ∥ A C$ , $BM = 4$ , $M A = 6$ , $BN = 6$ . Найдите $NC$ . $9$
база $MN ∥ A C$ , $BM : M A = 3 : 5$ , $BC = 24$ . Найдите $BN$ . $9$
базаТрапеция $A BC D$ , $MN ∥ A D$ , $BM = 2$ , $M A = 3$ , $C D = 15$ . Найдите $CN$ . $6$
базаДелим отрезок в отношении $4 : 3$ . Сколько отрезков отложить на луче, через какую точку провести прямую? $7$ , через $P_{4}$

R02.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Сначала найдите недостающий отрезок

повыш. $MN ∥ A C$ ( $M \in A B$ , $N \in BC$ ), $A B = 24$ , $A M = 9$ , $BC = 16$ . Найдите $BN$ . $10$
повыш.Трапеция $A BC D$ ( $A D ∥ BC$ ), $MN ∥ A D$ , $M \in A B$ , $N \in C D$ , $A M : MB = 3 : 1$ , $C D = 12$ . Найдите $D N$ . $9$
повыш. $MN ∥ A C$ , $BM = 10$ , $M A = 6$ , отрезок $BN$ на $4$ больше $NC$ . Найдите $BC$ . $16$
повыш.На одной стороне угла $O$ : $O A_{1} = 2$ , $A_{1} A_{2} = 3$ ; $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}$ , $O B_{2} = 10$ . Найдите $B_{1} B_{2}$ . $6$

R02.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 15

Ответ — одно число

1. Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает стороны $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, $BM = 18$ , $A M = 12$ , $BN = 21$ . Найдите $CN$ . $14$

Та же конструкция: $MN ∥ A C$

$BM = 6$ , $A M = 4$ , $BC = 15$ . Найдите $BN$ . $9$
$A B = 20$ , $A M = 5$ , $CN = 3$ . Найдите $BN$ . $9$

В бланк — только число: 14, без «

CN =

».

R02.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

В задачах 1: $O A_{1} = A_{1} A_{2} = \dots$ , $A_{i} B_{i}$ параллельны. В задачах 2–3: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ . В задачах 4: трапеция $A BC D$ , $MN ∥ A D$ , $N \in C D$ .

Вариант 1

Точки $A_{1}, \dots, A_{4}$ ; $O B_{4} = 20$ . Найдите $B_{1} B_{3}$ . $10$
$BM = 5$ , $M A = 10$ , $BN = 4$ . Найдите $NC$ . $8$
$A B = 18$ , $BM = 12$ , $BC = 27$ . Найдите $BN$ . $18$
$BM = 3$ , $M A = 6$ , $C D = 18$ . Найдите $CN$ . $6$

Вариант 2

Точки $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ ; $O B_{3} = 15$ . Найдите $O B_{2}$ . $10$
$BM = 3$ , $M A = 6$ , $NC = 10$ . Найдите $BN$ . $5$
$A B = 20$ , $A M = 5$ , $BC = 16$ . Найдите $BN$ . $12$
$BM = 4$ , $M A = 8$ , $C D = 21$ . Найдите $N D$ . $14$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какой тип задач был самым трудным?
Когда пишем «часть : целое»?
Как разделить отрезок в отношении $3 : 4$ ?

Главное: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Пропорцию пишем одного вида: часть : часть или часть : целое.

Домашнее задание

$MN ∥ A C$ , $BM : M A = 2 : 5$ , $BC = 21$ . Найдите $BN$ и $NC$ .
Трапеция $A BC D$ , $MN ∥ A D$ , $A B = 18$ , $BM = 6$ , $CN = 4$ . Найдите $C D$ .
Разделите отрезок 8 см в отношении $3 : 5$ построением.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_podobnye_treugolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-021 · Практикум: Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники», 15 ч · урок 9/15 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R02.1 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках» → 2, 4–21 · повторение (GEOM8-013) → 3, 4–5
Результаты	ПР-3 / REQ-6.3 (пользоваться теоремой Фалеса и теоремой о пропорциональных отрезках, применять их для решения практических задач) → 7–9, 11–12, 16–20 · EL-6.4 → 4–5, 7–11 · виды деятельности: построения циркулем и линейкой → 10–11
Вне урока	средняя линия треугольника — R02.2 (GEOM8-022); средняя линия трапеции — R02.3 (GEOM8-023); подобие и отношение $MN : A C$ — R02.6–R02.7 (упомянуто на сл. 14 и в заметках сл. 19)
ОГЭ	линия 15 (треугольник) → сл. 19; формат линии 19 → сл. 16
Формат 30/70	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %); образцов «Образец → сам» — 5; разбор ошибок — сл. 14–15
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках

Сегодня вы научитесь

Узнавать

Решать

Строить

Применять

Шесть быстрых вопросов

Параллельные прямые режут стороны угла пропорционально

Теорема Фалеса

О пропорциональных отрезках

Почему отрезки на второй прямой равны

Четыре типа задач

1. Равные части

2. Треугольник

3. Трапеция

4. Построение

Равные части на одной стороне — равные на другой

Образец: OA1​=A1​A2​=A2​A3​=A3​A4​, Ai​Bi​ параллельны, OB4​=18. Найдите B1​B3​

Сам: тот же чертёж

В треугольнике: MN∥AC

Образец: BM=6, MA=9, BC=20. Найдите BN

Сам: MN∥AC, M∈AB, N∈BC

Три параллельные прямые: BC∥MN∥AD

Образец: BM=4, MA=6, CN=5. Найдите ND

Сам: трапеция ABCD, MN∥AD

Делим отрезок в отношении 2:3

Делим отрезок в отношении m:n — в тетради

Образец: разделите отрезок AB=7 см в отношении 3:4

Сам: в тетради

Где крепить стойку на стропиле?

Образец: стропило 7,2 м; 4 стойки стоят на балке через равные промежутки, последняя — под коньком. Где вторая стойка?

Сам: модель «угол + параллельные»

Как решать любую задачу этого урока

Так нельзя

Где ошибся ученик?

а) Трапеция ABCD, MN∥AD, AM=6, MB=4, CD=15. Найти CN.

б) OA1​=A1​A2​=A2​A3​, Ai​Bi​ параллельны, OB3​=15. Найти B1​B2​.

Верно или неверно?

Решите и проверьте по клику

Сначала найдите недостающий отрезок

Ответ — одно число

Та же конструкция: MN∥AC

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8-021 · Практикум: Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках

Образец: $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = A_{3} A_{4}$ , $A_{i} B_{i}$ параллельны, $O B_{4} = 18$ . Найдите $B_{1} B_{3}$

В треугольнике: $MN ∥ A C$

Образец: $BM = 6$ , $M A = 9$ , $BC = 20$ . Найдите $BN$

Сам: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$

Три параллельные прямые: $BC ∥ MN ∥ A D$

Образец: $BM = 4$ , $M A = 6$ , $CN = 5$ . Найдите $N D$

Сам: трапеция $A BC D$ , $MN ∥ A D$

Делим отрезок в отношении $2 : 3$

Делим отрезок в отношении $m : n$ — в тетради

Образец: разделите отрезок $A B = 7$ см в отношении $3 : 4$

Образец: стропило $7, 2$ м; 4 стойки стоят на балке через равные промежутки, последняя — под коньком. Где вторая стойка?

а) Трапеция $A BC D$ , $MN ∥ A D$ , $A M = 6$ , $MB = 4$ , $C D = 15$ . Найти $CN$ .

б) $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ , $A_{i} B_{i}$ параллельны, $O B_{3} = 15$ . Найти $B_{1} B_{2}$ .

Та же конструкция: $MN ∥ A C$