Подобие и пропорциональные отрезки · урок 6 из 15 · новый материал

Подобные треугольники

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R02 · GEOM8-018

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники» (15 ч), урок 6/15, единица R02.6. Тип — Н (новый материал).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 5 проблема 1,5 · 6 определение 2 · 7 сходственные стороны 1,5 · 8 запись подобия 1 · 9 коэффициент 1 · 12 теорема о периметрах 2 · 14 лемма о прямой, параллельной стороне 2. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32): 3 разминка 2 · 4 «Вспомним» 1,5 · 10 образец «k и стороны» 3 · 11 образец «повёрнутый треугольник» 3 · 13 образец «периметры» 2,5 · 15 образец «параллельная прямая» 3 · 16 ошибки 1,5 · 17 найди ошибку 2 · 18 база 2,5 · 19 повышенный 2,5 · 20 ОГЭ 2 · 21 задача из жизни 1,5 · 22 самостоятельная 4 · 23 итог 1.
Опора — пропорциональные отрезки и теорема о пропорциональных отрезках (GEOM8-013, GEOM8-016). Признаки подобия — следующий урок (GEOM8-019); сегодня подобие только по определению, а лемма (сл. 14) понадобится там для доказательства признаков.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 19 и задачу 2 сл. 21 — в ДЗ; теорию не выбрасывать.

R02.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать

подобные треугольники и их сходственные стороны (ПР-4, REQ-6.4, EL-6.6)

Находить

коэффициент подобия и неизвестные стороны (ПР-4, EL-6.6)

Доказывать

что отношение периметров равно коэффициенту подобия (ПР-4, REQ-6.4)

Применять

подобие в задаче с планом и в заданиях ОГЭ (ПР-10, REQ-6.10)

1 мин · теория
ПР-4 = REQ-6.4 (ФРП дословно): «Применять признаки подобия треугольников в решении геометрических задач» — сегодня фундамент: определение подобия и коэффициент.
ПР-10 = REQ-6.10: «…строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия…». EL-6.6 «Подобие треугольников, коэффициент подобия…».
Вопрос классу: где в жизни встречаются «одинаковые по форме, но разные по размеру» фигуры? (фото и его увеличение, карта, модель).

повторение: 7 класс, R02.4

Разминка · устно

Отношения и углы — в уме

$12 : 8$ $1, 5$
$\frac{x}{9} = \frac{2}{3}$ $x = 6$
Верно ли: $\frac{4}{6} = \frac{6}{9}$ ? да
Стороны $3, 5, 7$ — в 2 раза больше $6, 10, 14$

$0, 5 \cdot 14$ $7$
Третий угол, если два — $5 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ $7 0^{\circ}$
Против какой стороны $△ A BC$ лежит $∠ C$ ? $A B$
Периметр треугольника со сторонами $4, 5, 6$ $15$

R02.6 · повторение GEOM8-016

Вспомним

Отношение, пропорция, соответственные элементы

Пропорциональные отрезки

\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{C D}{C _{1} D _{1}} = 2

Пропорция

\frac{x}{6} = \frac{4}{3}

x = \frac{6 \cdot 4}{3} = 8

Произведение крайних = произведению средних.

Равные треугольники

Против равных углов — равные стороны.

R02.6

Проблема

Чем похожи эти треугольники?

Углы попарно равны (проверьте транспортиром).

\frac{A _{1} C _{1}}{A C} = \frac{8}{4} = 2

\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{B _{1} C _{1}}{BC} = 2

Форма та же, размер — в 2 раза больше.

R02.6

Определение

Подобные: углы равны, стороны пропорциональны

∠ A_{1} = ∠ A

∠ B_{1} = ∠ B

∠ C_{1} = ∠ C

\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{B _{1} C _{1}}{BC} = \frac{C _{1} A _{1}}{C A} = k

△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC

2 мин · теория
Записать определение в тетрадь: два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого.
Знак ∼ читается «подобен». Число k — коэффициент подобия; на рисунке k = 1,5.
В учебнике Атанасяна отношение записано «наоборот»: AB/A₁B₁ = … = k, т. е. △ABC ∼ △A₁B₁C₁. Смысл один: в числителе — стороны того треугольника, который записан первым.
Вопрос: нужно ли проверять и углы, и стороны? По определению — да (признаки, позволяющие проверять меньше, — на следующем уроке).

R02.6

Главное умение

Сходственные стороны

Сходственные стороны лежат против равных углов.

△ A BC \sim △ K L M

\frac{K L}{A B} = \frac{L M}{BC} = \frac{K M}{A C}

R02.6

Схема · запись подобия

Порядок букв подсказывает пары

R02.6

Коэффициент подобия

Что показывает $k$

$k > 1$ — увеличение

A_{1} B_{1} = 2 \cdot A B

$k = 1$ — равные

A_{1} B_{1} = A B

$k < 1$ — уменьшение

A_{1} B_{1} = 0, 5 \cdot A B

R02.6

Образец → сам · коэффициент и стороны

Нашли $k$ — умножаем каждую сторону

Образец: $△ K L M \sim △ A BC$ . Найдите $L M$ и $K M$

$k = \frac{K L}{A B} = \frac{6}{4} = 1, 5$ $K L$ и $A B$ — сходственные (1-я и 2-я буквы)
$L M = 1, 5 \cdot 6 = 9$ , $K M = 1, 5 \cdot 8 = 12$ каждую сторону $△ A BC$ умножаем на $k$

Сам: $△ K L M \sim △ A BC$

$A B = 5$ , $BC = 7$ , $K L = 15$ . Найдите $L M$ . $21$
$A B = 12$ , $A C = 9$ , $K L = 8$ . Найдите $K M$ . $6$
$K L = 10$ , $L M = 14$ , $BC = 21$ . Найдите $A B$ . $15$

3 мин · практика
Образец (1 мин, шаги по клику): шаг 0 — найти пару сходственных сторон с известными длинами: KL и AB (вершины с одной и двумя дугами). k = 6 : 4 = 1,5; LM = 1,5 · 6 = 9; KM = 1,5 · 8 = 12. Чертёж в масштабе: стороны 4, 6, 8 и 6, 9, 12.
Сам (2 мин, ответы по клику): 1) k = 15 : 5 = 3, LM = 3 · 7 = 21. 2) k = 8 : 12 = 2/3, KM = 9 · 2/3 = 6. 3) обратная задача: k = LM : BC = 14 : 21 = 2/3, AB = KL : k = 10 · 3/2 = 15.
Ошибка: k = 6 − 4 = 2 (разность вместо отношения) → LM = 8. Проверка отношением: 8/6 ≠ 6/4. В задаче 3 — умножить 10 на 2/3 вместо деления.

R02.6

Образец → сам · треугольник повёрнут

Пары сторон — через равные углы

Образец: треугольники подобны. Найдите $x$ и $y$

$∠ D = ∠ A, ∠ E = ∠ B, ∠ F = ∠ C$ ⇒ $△ D EF \sim △ A BC$ по числу дуг
$k = \frac{D F}{A C} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ $D F$ и $A C$ — против $∠ E$ и $∠ B$
$x = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ , $y = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ $D E \leftrightarrow A B$ , $EF \leftrightarrow BC$

Сам: следите за порядком букв

$△ A BC \sim △ PQR$ , $A B = 4$ , $A C = 6$ , $QR = 10$ , $BC = 5$ . Найдите $PQ$ и $PR$ . $8; 12$
$△ A BC \sim △ NM K$ , $∠ A = 4 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $∠ K$ . $8 0^{\circ}$
$△ A BC \sim △ E D F$ , $A B = 9$ , $BC = 6$ , $D E = 6$ . Найдите $D F$ . $4$

R02.6

Теорема и доказательство

Отношение периметров равно $k$

$A_{1} B_{1} = k c, B_{1} C_{1} = ka, C_{1} A_{1} = kb$ определение подобия
$P_{1} = ka + kb + k c$ периметр — сумма сторон
$P_{1} = k (a + b + c) = k \cdot P$ вынесли общий множитель $k$

\frac{P _{1}}{P} = k

R02.6

Образец → сам · периметры

Периметр — тоже умножается на $k$

Образец: стороны треугольника $5$ , $7$ и $8$ . Периметр подобного ему треугольника $60$ . Найдите его стороны.

$P = 5 + 7 + 8 = 20$ периметр — сумма сторон
$k = \frac{P _{1}}{P} = \frac{60}{20} = 3$ отношение периметров равно коэффициенту подобия
$5 \cdot 3 = 15, 7 \cdot 3 = 21, 8 \cdot 3 = 24$ каждую сторону умножаем на $k$
Проверка: $15 + 21 + 24 = 60$ ✓сумма сторон равна данному периметру

Сам

Периметры подобных треугольников $18$ и $54$ , сторона меньшего $5$ . Найдите сходственную сторону большего. $15$
Стороны треугольника $3$ , $4$ и $6$ , периметр подобного ему $39$ . Найдите его стороны. $9, 12, 18$
$△ A BC \sim △ K L M$ , $A B = 8$ , $K L = 6$ , $P_{A BC} = 36$ . Найдите $P_{K L M}$ . $27$

R02.6

Лемма о подобных треугольниках

Параллельная прямая отсекает подобный треугольник

MN ∥ A C

,

M \in A B

,

N \in BC

⇒

△ MBN \sim △ A BC

$∠ B$ — общий, $∠ BMN = ∠ A$ , $∠ BNM = ∠ C$ соответственные углы при $MN ∥ A C$
$\frac{BM}{B A} = \frac{BN}{BC}$ теорема о пропорциональных отрезках (стороны угла $B$ )
$N K ∥ A B$ ⇒ $A MN K$ — параллелограмм,
$MN = A K$ , $\frac{BN}{BC} = \frac{A K}{A C} = \frac{MN}{A C}$ та же теорема для угла $C$
Углы равны, стороны пропорциональны ⇒ $△ MBN \sim △ A BC$ определение подобных треугольников

2 мин · теория
Лемма — следствие определения и теоремы о пропорциональных отрезках (GEOM8-016). На следующем уроке через неё доказываются признаки подобия.
Шаг 3 подробно: через N проведём NK ∥ AB (K ∈ AC). AMNK — параллелограмм (противоположные стороны параллельны), поэтому MN = AK. Для угла C и параллельных NK и BA: CN/CB = CK/CA, откуда BN/BC = AK/AC.
Чертёж в масштабе: BM : BA = 0,4, MN = 0,4 · AC, K — вершина параллелограмма AMNK.
Вопрос: какая вершина △MBN соответствует вершине A? (M; запись △MBN ∼ △ABC).

R02.6

Образец → сам · параллельная прямая

Отсечённый треугольник: $k = \frac{BM}{B A}$

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM = 4$ , $M A = 6$ , $A C = 15$ . Найдите $MN$

$△ MBN \sim △ A BC$ лемма: $MN ∥ A C$
$B A = 4 + 6 = 10$ , $k = \frac{BM}{B A} = \frac{4}{10} = 0, 4$ $BM \leftrightarrow B A$ — сходственные
$MN = 0, 4 \cdot 15 = 6$ $MN \leftrightarrow A C$

Сам: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$

$BM = 3$ , $B A = 12$ , $A C = 20$ . Найдите $MN$ . $5$
$BM = 5$ , $M A = 10$ , $MN = 4$ . Найдите $A C$ . $12$
$BN = 6$ , $NC = 3$ , $MN = 8$ . Найдите $A C$ . $12$

R02.6

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

Пары «по картинке»

Нижние стороны взяли как сходственные.

Верно: пары — против равных углов.

Разность вместо отношения

$k = 6 - 4 = 2$

Верно: $k = \frac{6}{4} = 1, 5$ — стороны умножаются на $k$ .

Прибавили к сторонам

$+ 2$ к каждой стороне — «подобны».

Верно: $\frac{5}{3} \neq = \frac{6}{4}$ — не подобны.

R02.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $△ A BC \sim △ D EF$ , $A B = 6$ , $BC = 8$ , $D E = 9$ . Найти $EF$ .

$k = \frac{9}{6} = 1, 5$ , $EF = 8 : 1, 5 = 5 \frac{1}{3}$

$△ D EF$ больше: умножаем

$EF = 8 \cdot 1, 5 = 12$

б) $△ A BC \sim △ MN K$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найти $∠ K$ .

$∠ K = ∠ A = 5 0^{\circ}$

$K$ — 3-я буква, как $C$

$∠ K = ∠ C = 7 0^{\circ}$

в) Периметр треугольника $18$ , $k = 3$ . Найти периметр подобного.

$P_{1} = 18 \cdot 3^{2} = 162$

$\frac{P _{1}}{P} = k$ , а не $k^{2}$

$P_{1} = 18 \cdot 3 = 54$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) k = DE : AB = 1,5 найден верно, но △DEF — больший, его стороны получаются умножением: EF = 1,5 · BC = 12. Деление дало сторону меньше BC — противоречие с k > 1.
б) В записи △ABC ∼ △MNK вершина K стоит на 3-м месте, как C: ∠K = ∠C = 180° − 50° − 60° = 70°. Равен ∠A угол M.
в) Отношение периметров равно k (теорема со сл. 12): P₁ = 54. Квадрат k — отношение площадей (раздел R03).

R02.6

Задания с самопроверкой · база

$△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$

$A B = 3$ , $BC = 5$ , $A_{1} B_{1} = 12$ . Найдите $B_{1} C_{1}$ . $20$
$∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B_{1} = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C_{1}$ . $6 0^{\circ}$
$A B = 6$ , $A_{1} B_{1} = 9$ , $B_{1} C_{1} = 12$ . Найдите $BC$ . $8$
$A C = 10$ , $A_{1} C_{1} = 4$ . Найдите $k$ . $0, 4$
$P_{A BC} = 15$ , $k = 2$ . Найдите $P_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ . $30$

2,5 мин · практика
Самостоятельно в тетради; ответ к каждому — по клику, класс сверяет. Чертёж в масштабе, k = 1,5 (для задач числа свои).
Ответы: 1) k = 12/3 = 4, B₁C₁ = 4·5 = 20. 2) ∠A₁ = ∠A = 50°, ∠C₁ = 180° − 50° − 70° = 60°. 3) k = 9 : 6 = 1,5, BC = 12 : 1,5 = 8. 4) k = A₁C₁ : AC = 4 : 10 = 0,4 (первым записан △A₁B₁C₁ — его стороны в числителе). 5) P₁ = 2 · 15 = 30.
Ошибка во 2): ищут ∠C₁ «по сторонам». Углы подобных треугольников равны — работаем как с одним треугольником. В 4): k = 2,5 — перевёрнутое отношение.

R02.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стороны $△ A BC$ равны $4$ , $5$ и $7$ , $△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ , $P_{A_{1} B_{1} C_{1}} = 48$ . Найдите стороны $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ . $12, 15, 21$
повыш. $△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$ , $A B = 8$ , $A_{1} B_{1} = 12$ , $P_{A_{1} B_{1} C_{1}} = 45$ . Найдите $P_{A BC}$ . $30$
повыш.Стороны треугольника относятся как $2 : 3 : 4$ . Наименьшая сторона подобного ему треугольника $10$ . Найдите его периметр. $45$
повыш.Докажите, что любые два равносторонних треугольника подобны.
углы по $6 0^{\circ}$ ; стороны $a$ и $b$ : $\frac{b}{a} = \frac{b}{a} = \frac{b}{a} = k$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задание 4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) P = 16, k = 48/16 = 3; стороны 12, 15, 21 (проверка: 12 + 15 + 21 = 48). 2) k = 12/8 = 1,5; P_ABC = 45 : 1,5 = 30 (ошибка: 45 · 1,5 = 67,5 — меньший треугольник имеет меньший периметр).
3) Стороны 2x, 3x, 4x; у подобного наименьшая 10 ⇒ стороны 10, 15, 20, периметр 45.
4) Все углы равностороннего треугольника по 60° — углы соответственно равны; стороны a, a, a и b, b, b: все три отношения равны b/a ⇒ подобны по определению, k = b/a.

R02.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 15 и 19

Ответ — число или номера утверждений

Линия 15

Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает стороны $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, $A B = 20$ , $A C = 30$ , $MN = 18$ . Найдите $A M$ . $8$

Линия 19

Какие из утверждений верны?

Если два треугольника подобны, то их соответствующие углы равны.
Любые два прямоугольных треугольника подобны.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

В ответ запишите номера верных утверждений без пробелов. $13$

R02.6 · ПР-10

Задача из жизни · масштаб

План и местность — подобные треугольники

практикаУчасток на плане — треугольник со сторонами $3$ , $4$ и $5$ см, масштаб $1 : 2000$ . Сколько метров сетки нужно на забор? $240$ м
практикаТреугольный фронтон дома на чертеже: стороны $12$ , $12$ и $18$ см, масштаб $1 : 50$ . Найдите длину боковой стороны фронтона. $6$ м

R02.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

В задачах 1–2: $△ A BC \sim △ K L M$ . В задачах 4: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ .

Вариант 1

$A B = 4$ , $BC = 7$ , $K L = 12$ . Найдите $L M$ . $21$
$∠ A = 4 0^{\circ}$ , $∠ B = 7 5^{\circ}$ . Найдите $∠ M$ . $6 5^{\circ}$
Стороны треугольника $3$ , $5$ , $6$ ; периметр подобного ему $42$ . Найдите его наибольшую сторону. $18$
$BM = 6$ , $M A = 3$ , $A C = 12$ . Найдите $MN$ . $8$

Вариант 2

$A B = 6$ , $BC = 9$ , $K L = 4$ . Найдите $L M$ . $6$
$∠ B = 5 5^{\circ}$ , $∠ C = 8 0^{\circ}$ . Найдите $∠ K$ . $4 5^{\circ}$
Стороны треугольника $4$ , $5$ , $7$ ; периметр подобного ему $48$ . Найдите его наименьшую сторону. $12$
$BM = 4$ , $M A = 6$ , $MN = 6$ . Найдите $A C$ . $15$

R02.6

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Главное

\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{B _{1} C _{1}}{BC} = \frac{C _{1} A _{1}}{C A} = k

\frac{P _{1}}{P} = k

Проверь себя

Нахожу сходственные стороны по равным углам.
Вычисляю $k$ и неизвестную сторону.
Знаю, чему равно отношение периметров.
Вижу подобие при $MN ∥ A C$ .

Дома

$△ K L M \sim △ A BC$ , $A B = 10$ , $BC = 14$ , $A C = 16$ , $K L = 5$ . Найдите $L M$ и $K M$ .
Периметры подобных треугольников $20$ и $50$ , сторона меньшего $6$ . Найдите сходственную сторону большего.
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_podobnye_treugolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-018 · Подобные треугольники

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники», 15 ч · урок 6/15 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R02.6 «Подобные треугольники» → 2–23 · опора на R02.4 «Пропорциональные отрезки» → 3, 4, 14
Результаты	ПР-4 = REQ-6.4 (подобие треугольников в задачах) → 2, 5–20, 22 · ПР-10 = REQ-6.10 (практические задачи с подобием) → 21 · EL-6.6 (подобие, коэффициент подобия) → 5–20
ОГЭ	линии 15 (треугольники) и 19 (верные утверждения) → 20; подготовка к линиям 15, 23 → 10, 11, 15, 18
Вне урока	признаки подобия — GEOM8-019; применение подобия в практических задачах (высота по тени) — GEOM8-020; отношение площадей подобных фигур (EL-6.8) — R03
Формат 30/70	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %); 4 «Образец → сам» (сл. 10, 11, 13, 15); разбор ошибок — сл. 16, 17
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Подобные треугольники

Сегодня вы научитесь

Узнавать

Находить

Доказывать

Применять

Отношения и углы — в уме

Отношение, пропорция, соответственные элементы

Пропорциональные отрезки

Пропорция

Равные треугольники

Чем похожи эти треугольники?

Подобные: углы равны, стороны пропорциональны

Сходственные стороны

Порядок букв подсказывает пары

Что показывает k

k>1 — увеличение

k=1 — равные

k<1 — уменьшение

Нашли k — умножаем каждую сторону

Образец: △KLM∼△ABC. Найдите LM и KM

Сам: △KLM∼△ABC

Пары сторон — через равные углы

Образец: треугольники подобны. Найдите x и y

Сам: следите за порядком букв

Отношение периметров равно k

Периметр — тоже умножается на k

Образец: стороны треугольника 5, 7 и 8. Периметр подобного ему треугольника 60. Найдите его стороны.

Сам

Параллельная прямая отсекает подобный треугольник

Отсечённый треугольник: k=BABM​

Образец: MN∥AC, BM=4, MA=6, AC=15. Найдите MN

Сам: MN∥AC, M∈AB, N∈BC

Так нельзя

Пары «по картинке»

Разность вместо отношения

Прибавили к сторонам

Где ошибся ученик?

а) △ABC∼△DEF, AB=6, BC=8, DE=9. Найти EF.

б) △ABC∼△MNK, ∠A=50∘, ∠B=60∘. Найти ∠K.

в) Периметр треугольника 18, k=3. Найти периметр подобного.

△A1​B1​C1​∼△ABC

Подумайте и решите

Ответ — число или номера утверждений

План и местность — подобные треугольники

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Главное

Проверь себя

Дома

GEOM8-018 · Подобные треугольники

Что показывает $k$

$k > 1$ — увеличение

$k = 1$ — равные

$k < 1$ — уменьшение

Нашли $k$ — умножаем каждую сторону

Образец: $△ K L M \sim △ A BC$ . Найдите $L M$ и $K M$

Сам: $△ K L M \sim △ A BC$

Образец: треугольники подобны. Найдите $x$ и $y$

Отношение периметров равно $k$

Периметр — тоже умножается на $k$

Образец: стороны треугольника $5$ , $7$ и $8$ . Периметр подобного ему треугольника $60$ . Найдите его стороны.

Отсечённый треугольник: $k = \frac{BM}{B A}$

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM = 4$ , $M A = 6$ , $A C = 15$ . Найдите $MN$

Сам: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$

а) $△ A BC \sim △ D EF$ , $A B = 6$ , $BC = 8$ , $D E = 9$ . Найти $EF$ .

б) $△ A BC \sim △ MN K$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найти $∠ K$ .

в) Периметр треугольника $18$ , $k = 3$ . Найти периметр подобного.

$△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC$