Теорема Фалеса, подобные треугольники · урок 4 из 15

Пропорциональные отрезки

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R02 · GEOM8-016

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники» (15 ч), урок 4/15, единица R02.4 «Пропорциональные отрезки». Тип урока — Н.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 5 отношение отрезков 1,5 · 6 определение 1,5 · 8 четвёртый пропорциональный 1,5 · 10 теорема 1,5 · 12 построение четвёртого пропорционального 2 · 13 деление отрезка 1,5 · 15 «Дополнительно» (биссектриса) 1,5. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32): 3 разминка 2 · 4 «Вспомним» 1,5 · 7 образец «отношение» 2,5 · 9 образец «четвёртый пропорциональный» 2,5 · 11 образец «теорема» 2,5 · 14 образец «линии тетради» 2,5 · 16 образец «комбинированная» 2,5 · 17 ошибки 1,5 · 18 найди ошибку 2 · 19 база 3 · 20 повышенный 2,5 · 21 ОГЭ 2 · 22 самостоятельная 4 · 23 итог 1.
Слайд 15 («Дополнительно», свойство биссектрисы) — только для сильного класса или при запасе времени; иначе пропустить, а 1,5 мин отдать на задания сл. 19–20.
Нужны: циркуль, линейка, угольник (для параллельных прямых) у доски и у учеников; тетради в линейку или клетку (сл. 14).

R02.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить отношение

двух отрезков и проверять, пропорциональны ли отрезки (EL-6.4)

Пользоваться теоремой

о пропорциональных отрезках в задачах (ПР-3, REQ-6.3)

Строить

четвёртый пропорциональный отрезок и делить отрезок в данном отношении (ФРП: виды деятельности)

Решать задачу ОГЭ

линии 15 «Треугольники» (ПР-3)

повторение: 6 класс, R02.2, R02.3

Разминка · устно

Отношения и пропорции — в уме

$12 : 8$ $1, 5$
$\frac{3}{4} = \frac{x}{12}$ $x = 9$
Верно ли: $2 : 5 = 6 : 15$ ? да
Отношение $30$ см к $1$ м $3 : 10$

$20$ разделили в отношении $1 : 3$ $5$ и $15$
$2 \cdot x = 3 \cdot 8$ $x = 12$
Средняя линия треугольника, сторона $14$ $7$
Средняя линия трапеции, основания $4$ и $10$ $7$

повторение: R02.1, R02.2

Вспомним

Теорема Фалеса

O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}

,

A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2} ∥ A_{3} B_{3}

$O B_{1} = 4$ . Найдите $O B_{3}$ . $12$
$A_{2} B_{2} = 10$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ . $5$

А если отрезки на стороне не равны?

1,5 мин · практика (фронтальный опрос)
устно. Теорема Фалеса (GEOM8-013): если на одной стороне угла отложены равные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые, то и на другой стороне получаются равные отрезки.
Ответ 1: $O B_{1} = B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3} = 4$ ⇒ $O B_{3} = 12$ (на рисунке — розовые чёрточки, первый шаг чертежа; затем ответ).
Ответ 2: $A_{1}$ и $B_{1}$ — середины $O A_{2}$ и $O B_{2}$ , значит $A_{1} B_{1}$ — средняя линия $△ O A_{2} B_{2}$ (GEOM8-014): $A_{1} B_{1} = 5$ .
Последний вопрос — проблема урока: отрезки 2 и 3 «перенесутся» на другую сторону в том же отношении.

R02.4

Новое · отношение отрезков

Во сколько раз $A B$ длиннее $C D$ ?

\frac{A B}{C D} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1, 5

отношение не зависит от выбора единицы измерения

R02.4

Новое · определение

Пропорциональные отрезки

\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{C D}{C _{1} D _{1}}

A B

и

C D

пропорциональны отрезкам

A_{1} B_{1}

и

C_{1} D_{1}

Отрезки

3

и

5

пропорциональны отрезкам

6

и

9

?

R02.4

Образец → сам · пропорциональны ли?

Сравниваем два отношения

Образец: пропорциональны ли $A B = 4$ см и $C D = 6$ см отрезкам $A_{1} B_{1} = 10$ см и $C_{1} D_{1} = 15$ см?

$\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{4}{10} = 0, 4$ длины в одной единице — сантиметрах
$\frac{C D}{C _{1} D _{1}} = \frac{6}{15} = 0, 4$ второе отношение — в том же порядке
Отношения равны ⇒ пропорциональныопределение пропорциональных отрезков

Сам

$3$ и $7$ пропорциональны $9$ и $21$ ? да, $\frac{1}{3}$
$A B = 2$ см, $C D = 30$ мм; $A_{1} B_{1} = 4$ см, $C_{1} D_{1} = 6$ см. Пропорциональны? да, $0, 5$
$A B : C D = 3 : 5$ , $A B = 12$ . Найдите $C D$ . $20$

R02.4

Новое · вычисляем неизвестный отрезок

Четвёртый пропорциональный отрезок

\frac{a}{b} = \frac{c}{x}

a \cdot x = b \cdot c

основное свойство пропорции

x = \frac{b c}{a} = \frac{6 \cdot 10}{4} = 15

R02.4

Образец → сам · четвёртый пропорциональный

Неизвестный член пропорции

Образец: найдите $x$ , если $6 : 9 = 8 : x$

$\frac{6}{9} = \frac{8}{x}$ записали отношение дробями
$6 \cdot x = 9 \cdot 8 = 72$ основное свойство пропорции
$x = 72 : 6 = 12$ проверка: $9 : 6 = 12 : 8 = 1, 5$

Сам: найдите $x$

$5 : 4 = 10 : x$ $8$
$3 : x = 4 : 10$ $7, 5$
$x$ — четвёртый пропорциональный к отрезкам $a = 2$ , $b = 7$ , $c = 6$ ( $a : b = c : x$ ) $21$

R02.4 · R02.1

Главная теорема урока

Теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки

\frac{A B}{BC} = \frac{A _{1} B _{1}}{B _{1} C _{1}}

\frac{O A}{OB} = \frac{O A _{1}}{O B _{1}}

R02.4

Образец → сам · теорема о пропорциональных отрезках

$MN ∥ A C$ : составляем пропорцию

Образец: $BM = 4$ , $M A = 6$ , $BN = 6$ . Найдите $NC$ .

Угол $B$ пересечён прямыми $MN ∥ A C$ значит, работает теорема
$\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}$
$\frac{4}{6} = \frac{6}{NC}$
$NC = \frac{6 \cdot 6}{4} = 9$

Сам: в $△ A BC$ прямая $MN ∥ A C$

база $BM : M A = 2 : 3$ , $BC = 20$ . Найдите $BN$ . $8$
база $BM = 5$ , $A B = 15$ , $NC = 12$ . Найдите $BN$ . $6$
повыш. $BN = 6$ , $NC = 9$ , $A B = 20$ . Найдите $A M$ . $12$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин) — шаги открывать по одному, перед каждым — вопрос «почему?». Ответ: $NC = 9$ . Проверка: $BM : M A = 4 : 6 = 2 : 3$ и $BN : NC = 6 : 9 = 2 : 3$ . Тогда $BC = 15$ . Чертёж в масштабе.
Ошибка: пишут $\frac{BM}{M A} = \frac{NC}{BN}$ — соответствующие отрезки перепутаны (синий против розового).
Сам (1,5 мин, затем проверка по клику): 1) $BN : NC = 2 : 3$ , $BC$ = 5 частей по 4 ⇒ $BN = 8$ . 2) $M A = 15 - 5 = 10$ ; $\frac{5}{10} = \frac{BN}{12}$ ⇒ $BN = 6$ . 3) $\frac{A M}{A B} = \frac{CN}{CB}$ (теорема для угла $B$ , отношение части к стороне): $\frac{A M}{20} = \frac{9}{15}$ ⇒ $A M = 12$ . Проверка: $BM = 8$ , $8 : 12 = 6 : 9$ .
Ошибка в № 2: подставляют $A B = 15$ вместо $M A$ .

R02.4

Построение циркулем и линейкой

Дано $a$ , $b$ , $c$ . Построим $x$ : $a : b = c : x$

Строим любой угол $O$ .
На одной стороне: $O A = a$ , $A B = b$ .
На другой стороне: $OC = c$ .
Проводим прямую $A C$ .
Через $B$ — прямую $∥ A C$ , получаем $D$ .
$C D = x$ , так как $\frac{O A}{A B} = \frac{OC}{C D}$

R02.4

Построение · деление отрезка

Разделим $A B$ в отношении $2 : 3$

A P : PB = 2 : 3

луч, 5 равных частей, прямая 5–B, параллельная через 2

1,5 мин · теория
Шаги: 1) из A проводим луч и откладываем 2 + 3 = 5 равных отрезков; 2) соединяем точку 5 с B; 3) через точку 2 проводим прямую, параллельную, до пересечения с AB в точке P.
Обоснование: теорема о пропорциональных отрезках (для угла A): $A P : PB = 2 : 3$ .
Вопрос: как разделить отрезок на 5 равных частей? (провести параллельные через все точки — теорема Фалеса).
Практика: так делят доску или полосу бумаги на равные части по линейкам тетради.

R02.4

Образец → сам · деление по линиям тетради

Линии тетради — готовые параллельные прямые

Образец: разделите отрезок $A B$ в отношении $2 : 3$ без делений линейки

$2 + 3 = 5$ частей: $A$ — на линии 0, $B$ — на линии 5поворачиваем отрезок (полоску) между линиями
Линии параллельны и идут через равные промежуткипо теореме Фалеса $A B$ делится на 5 равных частей
$P$ на линии 2: $A P : PB = 2 : 3$ теорема о пропорциональных отрезках

Сам

Концы отрезка на линиях 0 и 7. В каком отношении его делит линия 3? $3 : 4$
$A B = 12$ см, концы на линиях 0 и 4. Найдите $A P$ до линии 1. $3$ см
Постройте циркулем и линейкой $x$ : $2 : 5 = 3 : x$ (в см). Измерьте. $7, 5$ см

2,5 мин · практика
Образец (1 мин): практическое применение теорем Фалеса и о пропорциональных отрезках. Линии тетради (или доски паркета, полосы на асфальте) — параллельные прямые с равными промежутками. Чертёж точный: на отрезке AB пять равных частей, P — на линии 2.
Сам: 1) 3 части и 7 − 3 = 4 части ⇒ 3 : 4. 2) 12 : 4 = 3 см. 3) Построение как на сл. 12: на одной стороне угла OA = 2, AB = 5, на другой OC = 3, через B — прямая ∥ AC; x = 5 · 3 : 2 = 7,5 см.
Так столяры делят доску на равные полосы: кладут рулетку наискосок, чтобы на ней поместилось «круглое» число делений.

R02.4 · дополнительно

Дополнительно · применение теоремы

Биссектриса делит сторону пропорционально

\frac{A D}{D C} = \frac{A B}{BC}

$CE ∥ B D$ дополнительное построение
$∠ BEC = ∠ BCE$ соответственные и накрест лежащие углы равны половинам $∠ B$
$BE = BC$ $△ BCE$ равнобедренный
$\frac{A D}{D C} = \frac{A B}{BE} = \frac{A B}{BC}$

R02.4

Образец → сам · комбинированная задача

Два угла — две пропорции

Образец: $D F ∥ BC$ , $D E ∥ A B$ , $A D : D C = 2 : 3$ , $A B = 10$ , $BC = 15$ . Найдите периметр $BF D E$ .

$\frac{A F}{FB} = \frac{A D}{D C} = \frac{2}{3}$ ⇒ $FB = 6$ теорема для угла $A$ , $F D ∥ BC$
$\frac{CE}{EB} = \frac{C D}{D A} = \frac{3}{2}$ ⇒ $EB = 6$ теорема для угла $C$ , $D E ∥ A B$
$BF D E$ — параллелограмм: $P = 2 (6 + 6) = 24$ противоположные стороны попарно параллельны

Сам

Тот же чертёж: $A D : D C = 1 : 4$ , $A B = 10$ , $BC = 20$ . Найдите $FB$ , $EB$ и периметр $BF D E$ . $8$ , $4$ , $24$
$MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ . Докажите: $\frac{A M}{A B} = \frac{CN}{CB}$ .
теорема для угла $B$ , к обеим частям прибавить $1$ : $\frac{A B}{A M} = \frac{CB}{CN}$

2,5 мин · практика
Образец: угол A пересечён параллельными FD и BC ⇒ AF : FB = AD : DC = 2 : 3, FB = 10 · 3/5 = 6. Угол C пересечён параллельными DE и AB ⇒ CE : EB = CD : DA = 3 : 2, EB = 15 · 2/5 = 6. BFDE — параллелограмм (FD ∥ BE, DE ∥ BF), FD = BE = 6, DE = BF = 6 (здесь даже ромб) ⇒ P = 24. Чертёж в масштабе: AB = 10, BC = 15, AC = 14.
Сам: 1) FB = 10 · 4/5 = 8, EB = 20 · 1/5 = 4, P = 2(8 + 4) = 24. 2) План доказательства: теорема для угла B; к обеим частям пропорции прибавить 1: (BM + MA)/MA = (BN + NC)/NC, т. е. AB/AM = CB/CN; перевернуть дроби.
Ошибка: в шаге 2 снова взять отношение 2 : 3 — для угла C отрезки считаем от вершины C: CD : DA = 3 : 2.

R02.4

Осторожно · типичные ошибки

Где ошибка?

✗ $\frac{BM}{M A} = \frac{NC}{BN}$

✓ $\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}$

отрезки — в одном порядке

✗ $\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}$

✓ нет $MN ∥ A C$ —
теорема не работает

✗ $\frac{MN}{A C} = \frac{BM}{M A}$

✓ $MN$ и $A C$ — не на сторонах угла

R02.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $MN ∥ A C$ , $BM = 6$ , $M A = 4$ , $BN = 9$ . Найти $NC$ .

$\frac{6}{4} = \frac{NC}{9}$ , $NC = 13, 5$

$\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}$ : $\frac{6}{4} = \frac{9}{NC}$

$NC = 6$

б) $4 : 6 = 10 : x$ . Найти $x$ .

$x = \frac{4 \cdot 10}{6} = 6 \frac{2}{3}$

$4 \cdot x = 6 \cdot 10$

$x = 15$

в) Разделить $A B$ в отношении $2 : 3$

5 равных частей на луче, прямая 5– $B$ , параллельная — через точку 3

так $A P : PB = 3 : 2$

параллельная — через точку 2

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Нарушен порядок: слева «верхний к нижнему» (BM : MA), справа «нижний к верхнему». Верно 6/4 = 9/NC ⇒ NC = 9 · 4 : 6 = 6. Проверка: 6 : 4 = 9 : 6 = 1,5.
б) Перемножены не те члены. По основному свойству пропорции произведение крайних равно произведению средних: 4x = 60, x = 15. Прикидка: 6 больше 4 в 1,5 раза ⇒ x больше 10.
в) Через точку 3 получается AP = 3 части, PB = 2 части. Для 2 : 3 параллельную проводят через точку 2 (сл. 13).

R02.4

Задания с самопроверкой · база

Отношения, пропорции, теорема

Пропорциональны ли отрезки $6$ и $9$ отрезкам $4$ и $6$ ? да
Отрезки $4$ и $10$ пропорциональны отрезкам $6$ и $x$ . Найдите $x$ . $15$
$A A_{1} ∥ B B_{1} ∥ C C_{1}$ , $A B = 3$ , $BC = 5$ , $A_{1} B_{1} = 4, 5$ . Найдите $B_{1} C_{1}$ . $7, 5$

$MN ∥ A C$ в $△ A BC$ , $BM = 3$ , $M A = 6$ , $BC = 12$ . Найдите $BN$ . $4$
$A B : C D = 2 : 7$ , $C D = 21$ . Найдите $A B$ . $6$
Отрезок $15$ см разделён в отношении $2 : 3$ . Найдите части. $6$ и $9$ см

R02.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Точка $D$ на $A C$ : $A D : D C = 3 : 4$ . Прямая через $D$ , параллельная $A B$ , пересекает $BC$ в точке $E$ ; $BC = 21$ . Найдите $CE$ . $12$
повыш.На одной стороне угла $O$ : $O A = 4$ , $A B = 6$ ; на другой: $OC = 5$ , точка $D$ ; $A C ∥ B D$ . Найдите $O D$ . $12, 5$
практикаПостройте $x$ : $3 : 5 = 4 : x$ (в см). Измерьте и сравните с расчётом. $\frac{20}{3} \approx 6, 7$ см
из жизниСкат крыши — $6$ м. Две вертикальные стойки делят горизонтальную балку под ним в отношении $1 : 2 : 3$ , считая от края крыши. На каком расстоянии по скату от края стоят стойки? $1$ м и $3$ м

R02.4 · ОГЭ 15

Формат ОГЭ · линия 15

Ответ — одно число

1. Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает стороны $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно; $A B = 18$ , $A M = 6$ , $BN = 8$ . Найдите $BC$ . $12$

Та же конструкция: $MN ∥ A C$

$A B = 25$ , $A M = 10$ , $BC = 30$ . Найдите $BN$ . $18$
$BM : M A = 3 : 4$ , $NC = 12$ . Найдите $BC$ . $21$

Подсказка к 1: сначала найдите

BM

. В бланк — только число.

R02.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

В задачах 3–4: в $△ A BC$ прямая $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ .

Вариант 1

Пропорциональны ли отрезки $2$ и $5$ отрезкам $6$ и $15$ ? да
$3 : 7 = 6 : x$ . Найдите $x$ . $14$
$BM = 4$ , $M A = 8$ , $BN = 5$ . Найдите $NC$ . $10$
$A B = 16$ , $A M = 4$ , $BC = 20$ . Найдите $BN$ . $15$

Вариант 2

Пропорциональны ли отрезки $3$ и $4$ отрезкам $9$ и $15$ ? нет
$5 : 2 = x : 6$ . Найдите $x$ . $15$
$BN = 6$ , $NC = 9$ , $BM = 4$ . Найдите $M A$ . $6$
$BC = 18$ , $CN = 6$ , $A B = 27$ . Найдите $BM$ . $18$

R02.4

Итог урока

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Что такое пропорциональные отрезки?
Какое условие нужно для теоремы?
Как построить четвёртый пропорциональный отрезок?

Дома

В $△ A BC$ прямая $MN ∥ A C$ , $A M = 5$ , $MB = 10$ , $BC = 24$ . Найдите $BN$ и $NC$ .
Разделите отрезок $10$ см в отношении $2 : 3$ циркулем и линейкой.
Тренажёр по теме:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_podobnye_treugolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-016 · Пропорциональные отрезки

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники», 15 ч · урок 4/15 · тип Н
Единицы → слайды	R02.4 «Пропорциональные отрезки» → 2, 5–23; повторение R02.1–R02.3 → 3, 4, 10
Результаты	ПР-3 = REQ-6.3 (пользоваться теоремой о пропорциональных отрезках, применять для практических задач) → 2, 10–11, 14, 16–22 · EL-6.4 → 5–10 · вид деятельности «проводить построения… строить четвертый пропорциональный отрезок» → 8–9, 12–14, 20 (№ 3)
ОГЭ	линия 15 (треугольники) → 21
Дополнительно	свойство биссектрисы треугольника → 15 (один слайд, по выбору учителя)
Вне урока	доказательство теоремы — GEOM8-013; центр масс — GEOM8-017; подобие и отношение MN : AC — GEOM8-018 и далее
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %) · образцов «Образец → сам» — 5
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Пропорциональные отрезки

Сегодня вы научитесь

Находить отношение

Пользоваться теоремой

Строить

Решать задачу ОГЭ

Отношения и пропорции — в уме

Теорема Фалеса

Во сколько раз AB длиннее CD?

Пропорциональные отрезки

Сравниваем два отношения

Образец: пропорциональны ли AB=4 см и CD=6 см отрезкам A1​B1​=10 см и C1​D1​=15 см?

Сам

Четвёртый пропорциональный отрезок

Неизвестный член пропорции

Образец: найдите x, если 6:9=8:x

Сам: найдите x

Теорема о пропорциональных отрезках

MN∥AC: составляем пропорцию

Образец: BM=4, MA=6, BN=6. Найдите NC.

Сам: в △ABC прямая MN∥AC

Дано a, b, c. Построим x: a:b=c:x

Разделим AB в отношении 2:3

Линии тетради — готовые параллельные прямые

Образец: разделите отрезок AB в отношении 2:3 без делений линейки

Сам

Биссектриса делит сторону пропорционально

Два угла — две пропорции

Образец: DF∥BC, DE∥AB, AD:DC=2:3, AB=10, BC=15. Найдите периметр BFDE.

Сам

Где ошибка?

Где ошибся ученик?

а) MN∥AC, BM=6, MA=4, BN=9. Найти NC.

б) 4:6=10:x. Найти x.

в) Разделить AB в отношении 2:3

Отношения, пропорции, теорема

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Та же конструкция: MN∥AC

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Дома

GEOM8-016 · Пропорциональные отрезки

Во сколько раз $A B$ длиннее $C D$ ?

Образец: пропорциональны ли $A B = 4$ см и $C D = 6$ см отрезкам $A_{1} B_{1} = 10$ см и $C_{1} D_{1} = 15$ см?

Образец: найдите $x$ , если $6 : 9 = 8 : x$

Сам: найдите $x$

$MN ∥ A C$ : составляем пропорцию

Образец: $BM = 4$ , $M A = 6$ , $BN = 6$ . Найдите $NC$ .

Сам: в $△ A BC$ прямая $MN ∥ A C$

Дано $a$ , $b$ , $c$ . Построим $x$ : $a : b = c : x$

Разделим $A B$ в отношении $2 : 3$

Образец: разделите отрезок $A B$ в отношении $2 : 3$ без делений линейки

Образец: $D F ∥ BC$ , $D E ∥ A B$ , $A D : D C = 2 : 3$ , $A B = 10$ , $BC = 15$ . Найдите периметр $BF D E$ .

а) $MN ∥ A C$ , $BM = 6$ , $M A = 4$ , $BN = 9$ . Найти $NC$ .

б) $4 : 6 = 10 : x$ . Найти $x$ .

в) Разделить $A B$ в отношении $2 : 3$

Та же конструкция: $MN ∥ A C$