Теорема Фалеса, подобие · урок 2 из 15

Средняя линия треугольника

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R02 · GEOM8-014

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники» (15 ч), урок 2/15, единица R02.2. Тип урока — Н (новый материал).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 5 определение 1,5 · 6 теорема 1,5 · 7 доказательство, часть 1 — 2,5 · 8 доказательство, часть 2 — 2,5 · 11 следствие 1,5 · 12 схема-конспект 1,5. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32): 3 разминка 2 · 4 «Вспомним» 1,5 · 9 образец «периметр» 2,5 · 10 образец «углы» 2,5 · 13 образец «доказательство» 3 · 14 образец «пруд» 2,5 · 15 образец «клетчатая бумага» 2 · 16 ошибки 1,5 · 17 найди ошибку 2 · 18 база 3 · 19 повышенный 2,5 · 20 ОГЭ 2 · 21 самостоятельная 4 · 22 итог 1.
Опора урока — теорема Фалеса (прошлый урок GEOM8-013): доказательство теоремы о средней линии строим на ней, подобие ещё не изучено.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 19 и «сам» в) сл. 13 — в ДЗ; теорию не выбрасывать.

R02.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать

среднюю линию треугольника на чертеже и отличать её от медианы (ПР-3, REQ-6.3)

Доказывать

теорему о средней линии с помощью теоремы Фалеса (EL-6.5, REQ-6.3)

Вычислять

длины, периметры и углы, применяя свойства средней линии (ПР-3)

Решать практические задачи

например, находить расстояние через препятствие (ПР-3, REQ-6.3)

1 мин · теория
ПР-3 (предметный результат 8 класса, ФРП) = REQ-6.3: «Владеть понятием средней линии треугольника и трапеции, применять их свойства при решении геометрических задач. Пользоваться теоремой Фалеса и теоремой о пропорциональных отрезках, применять их для решения практических задач».
EL-6.5 кодификатора: «Средние линии треугольника и трапеции. Центр масс треугольника». Сегодня — только средняя линия треугольника; трапеция — следующий урок.

повторение: 7 класс, R01.1, R02.1

Разминка · устно

Половины, удвоения, параллельные — в уме

Половина от $18$ $9$
$2 \cdot 7, 5$ $15$
Периметр треугольника со сторонами $5, 7, 8$ $20$
$M$ — середина $A B$ , $A B = 14$ . Найдите $A M$ . $7$

Соответственные углы при параллельных прямых… равны
Сумма односторонних углов при $a ∥ b$ $18 0^{\circ}$
Медиана соединяет вершину с… серединой противоп. стороны
Противоположные стороны параллелограмма… равны

повторение: R02.1

Вспомним

Теорема Фалеса: параллельные прямые переносят равенство отрезков

Сформулируйте теорему Фалеса.
$B_{1} B_{2} = 4$ см. Найдите $B_{2} B_{3}$ и $O B_{3}$ .
Отрезков два: $O A_{1} = A_{1} A_{2}$ . Где прямая через $A_{1}$ , параллельная $A_{2} B_{2}$ , пересечёт $O B_{2}$ ?

R02.2

Определение

Средняя линия соединяет середины двух сторон

A M = MB

,

BN = NC

\Rightarrow MN

— средняя линия

△ A BC

У треугольника три средние линии:

MN

,

M K

,

N K

Средняя линия не выходит из вершины — это не медиана

R02.2

Теорема о средней линии

Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине

MN ∥ A C

MN = \frac{1}{2} A C

Пример: $A C = 12 \Rightarrow MN = 6$

R02.2

Доказательство · часть 1

Почему $MN ∥ A C$ : помогает теорема Фалеса

2,5 мин · теория
Шаг 2: теорема Фалеса для угла B — на стороне BA отложены равные отрезки BM и MA, через их концы M и A проведены параллельные прямые a и AC; значит, они отсекут на BC равные отрезки, то есть a пройдёт через середину BC.
Шаг 3: у отрезка BC одна середина — точка N; через две точки M и N проходит только одна прямая, поэтому прямая MN совпадает с a.
Вопрос: какую аксиому мы использовали в шаге 4? (Через две точки проходит единственная прямая.)

R02.2

Доказательство · часть 2

Почему $MN = \frac{1}{2} A C$ : строим параллелограмм

R02.2

Образец → сам · прямое применение

Средняя линия — половина «своей» стороны

Образец: стороны $△ A BC$ — $10, 12, 14$ . Найдите $P_{MN K}$

$MN = \frac{A C}{2} = 7$ $MN ∥ A C$ — половина «своей» стороны
$N K = 5$ , $M K = 6$ так же: половины $A B$ и $BC$
$P_{MN K} = 7 + 5 + 6 = 18$ проверка: $P_{A BC} = 36$ , половина — $18$

Сам: $M, N, K$ — середины сторон

Стороны $△ A BC$ : $6, 8, 11$ . Найдите $P_{MN K}$ . $12, 5$
$△ A BC$ равносторонний, сторона $9$ . Найдите $MN$ . $4, 5$
Обратная: $MN = 5$ , $N K = 6$ , $M K = 7$ . Найдите $P_{A BC}$ . $36$

R02.2

Образец → сам · углы при средней линии

$MN ∥ A C$ — значит, углы «переносятся»

Образец: $∠ A = 4 8^{\circ}$ , $∠ C = 7 2^{\circ}$ . Найдите $∠ BMN$ и $∠ MNC$

$MN ∥ A C$ теорема о средней линии
$∠ BMN = ∠ A = 4 8^{\circ}$ соответственные при $MN ∥ A C$ , секущая $A B$
$∠ MNC = 18 0^{\circ} - 7 2^{\circ} = 10 8^{\circ}$ односторонние с $∠ C$ при секущей $BC$

Сам: $M, N$ — середины $A B$ и $BC$

$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $∠ B = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ BNM$ . $7 0^{\circ}$
$A B = BC$ , $∠ B = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A MN$ . $11 0^{\circ}$
Через середину $M$ стороны $A B$ провели прямую $∥ A C$ , она пересекла $BC$ в $N$ ; $BC = 14$ . Найдите $BN$ . $7$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин, шаги по клику): MN — средняя линия ⇒ MN ∥ AC; ∠BMN = ∠BAC = 48° (соответственные, секущая AB); ∠MNC и ∠C — односторонние при MN ∥ AC и секущей BC ⇒ ∠MNC = 180° − 72° = 108°. Чертёж в масштабе: ∠B = 60°.
Сам (1,5 мин): 1) ∠C = 180° − 60° − 50° = 70°, ∠BNM = ∠C = 70° (соответственные). 2) ∠A = ∠C = (180° − 40°) : 2 = 70°, ∠BMN = 70°, ∠AMN = 180° − 70° = 110° (смежные). 3) По теореме Фалеса (карточка «Обратно» схемы): прямая через середину AB, параллельная AC, делит BC пополам, BN = 7.
Ошибка: ∠BNM = ∠A — угол при N соответствует углу при C (секущая BC).

R02.2

Следствие

Три средние линии делят треугольник на 4 равных треугольника

MN = \frac{1}{2} A C

N K = \frac{1}{2} A B

M K = \frac{1}{2} BC

P_{MN K} = \frac{1}{2} P_{A BC}

Стороны всех четырёх треугольников — половины сторон

△ A BC

⇒ они равны (по трём сторонам)

R02.2

Схема-конспект

Что даёт средняя линия в задачах

Параллельность

∠ BMN = ∠ A

∠ BNM = ∠ C

соответственные углы

Половина

MN = \frac{A C}{2}

A C = 2 MN

Три линии

4 равных

△

P_{MN K} = \frac{P}{2}

Обратно (Фалес)

M

— середина

A B

,

MN ∥ A C

⇒

N

— середина

BC

1,5 мин · теория
Таблицу-схему оставить на экране во время закрепления (или перенести в тетрадь).
Четвёртая карточка — прямое применение теоремы Фалеса: прямая через середину одной стороны, параллельная второй, проходит через середину третьей стороны, а её отрезок внутри треугольника — средняя линия.
Вопрос: на какие углы равнобедренного треугольника «переносятся» углы при основании средней линией, параллельной основанию? (Средняя линия отсекает тоже равнобедренный треугольник.)

R02.2

Образец → сам · доказательство

Середины сторон — вершины параллелограмма

Образец: $K, L, M, N$ — середины сторон $A BC D$ . Докажите: $K L MN$ — параллелограмм

$K L ∥ A C$ , $K L = \frac{A C}{2}$ диагональ $A C$ ; средняя линия $△ A BC$
$NM ∥ A C$ , $NM = \frac{A C}{2}$ средняя линия $△ A D C$
$K L ∥ NM$ , $K L = NM$ ⇒ $K L MN$ — параллелограммпризнак: две противоположные стороны параллельны и равны

Сам: та же конструкция

Диагонали $A BC D$ равны $10$ и $14$ . Найдите $P_{K L MN}$ . $24$
Докажите: если диагонали $A BC D$ равны, то $K L MN$ — ромб.
$K L = L M = \frac{A C}{2} = \frac{B D}{2}$
$K, L, M, N$ — середины сторон ромба. Какая фигура $K L MN$ ? прямоугольник

3 мин · практика
Образец (1,5 мин, план + обоснования по клику): диагональ AC делит ABCD на два треугольника; KL — средняя линия △ABC, NM — средняя линия △ADC; обе параллельны AC и равны AC/2 ⇒ KL ∥ NM и KL = NM ⇒ KLMN — параллелограмм (признак параллелограмма из R01.1). Диагональ можно взять любую.
Сам (1,5 мин): 1) KL = NM = 14 : 2 = 7, LM = KN = 10 : 2 = 5 (или наоборот), P = 2 · (7 + 5) = 24 — периметр равен сумме диагоналей. 2) KL = AC/2, LM = BD/2 (средние линии △ABC и △BCD), AC = BD ⇒ соседние стороны параллелограмма KLMN равны ⇒ ромб. 3) KL ∥ AC, LM ∥ BD, диагонали ромба перпендикулярны ⇒ KL ⊥ LM ⇒ параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.
Ошибка: «KLMN — параллелограмм, потому что на рисунке видно». Требовать ссылку на теорему о средней линии и на признак параллелограмма.

R02.2

Образец → сам · задача из жизни

Как измерить ширину пруда, не заходя в воду

Образец: найдите $A B$

Выберем точку $C$ , от которой можно дойти до $A$ и $B$
Отметим середины: $M$ на $C A$ , $N$ на $CB$
Измерим: $MN = 42$ м $MN$ — средняя линия $△ A CB$
$A B = 2 \cdot MN = 84$ м

Сам

Затяжку крыши крепят к серединам двух стропил; ширина дома $9$ м. Длина затяжки? $4, 5$ м
Озеро: $C A = 120$ м, $CB = 90$ м, между серединами $C A$ и $CB$ — $65$ м. Найдите $A B$ . $130$ м
Ножки стремянки внизу разведены на $1, 2$ м, верёвка — между их серединами. Длина верёвки? $0, 6$ м

2,5 мин · практика
Образец (1 мин): MN соединяет середины сторон CA и CB треугольника ACB ⇒ MN — средняя линия, MN ∥ AB, AB = 2 · 42 = 84 м. Вопрос: зачем выбирать точку C так, чтобы до A и B можно было дойти по суше? (Нужно измерить CA и CB, чтобы найти их середины.)
Сам (1,5 мин): 1) стропила и линия между их нижними концами — треугольник; затяжка — средняя линия, 9 : 2 = 4,5 м. 2) CA и CB — лишние данные (они нужны только чтобы найти середины): AB = 2 · 65 = 130 м. 3) 1,2 : 2 = 0,6 м.
Можно предложить измерить так же длину школьного здания или ширину клумбы на перемене.

R02.2 · ОГЭ 18

Образец → сам · клетчатая бумага

Средняя линия на клетках: размер клетки $1 \times 1$

Образец: найдите длину средней линии $MN$

$A C = 8$ лежит на линии сетки — считаем клетки
$MN ∥ A C$ $M, N$ — середины $A B, BC$
$MN = \frac{8}{2} = 4$

Сам: найдите длину розового отрезка

Треугольник 1 $3$
Треугольник 2 $2$
Средняя линия — $5$ клеток. Длина параллельной стороны? $10$

2 мин · практика
Образец (40 с): A(1; 1), B(3; 6), C(9; 1) в клетках; AC = 9 − 1 = 8 по линии сетки; M(2; 3,5), N(6; 3,5) — середины ⇒ MN = 4 (проверка подсчётом: 6 − 2 = 4).
Сам: 1) вершины (1; 1), (2; 6), (7; 1); отрезок соединяет середины боковых сторон, параллелен основанию длиной 6 ⇒ 3. 2) вершины (9; 1), (9; 5), (13; 6); отрезок соединяет середины сторон, выходящих из (13; 6), параллелен вертикальной стороне длиной 4 ⇒ 2. 3) 2 · 5 = 10.
Приём ОГЭ (линия 18): сначала найти сторону, которая лежит на линии сетки, — её длину считаем по клеткам, потом делим пополам.

R02.2

Осторожно · типичные ошибки

Не путайте

Неверно	Верно
$MN ∥ BC$	$MN ∥ A C$ — стороне, которую $MN$ не пересекает
$MN = 2 A C$	$MN = \frac{A C}{2}$
$B K$ — средняя линия	$B K$ — медиана (из вершины)
$MN ∥ A C$ ⇒ средняя линия	нужно ещё: $M$ — середина $A B$

R02.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $M, N$ — середины $A B, BC$ ; $A B = 8$ , $BC = 10$ , $A C = 12$ . Найдите $MN$ .

$MN = \frac{A B}{2} = 4$

$MN ∥ A C$ , поэтому
$MN = \frac{A C}{2} = 6$

б) Средняя линия $MN ∥ A C$ , $MN = 9$ . Найдите $A C$ .

$A C = \frac{MN}{2} = 4, 5$

средняя линия — половина стороны:
$A C = 2 \cdot MN = 18$

в) $∠ A = 5 0^{\circ}$ , $∠ C = 7 0^{\circ}$ ; $M, N$ — середины $A B, BC$ . Найдите $∠ BNM$ .

$∠ BNM = ∠ A = 5 0^{\circ}$

соответственный углу $C$ (секущая $BC$ ): $7 0^{\circ}$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Разделили пополам не ту сторону. MN соединяет середины AB и BC, значит, параллельна третьей стороне AC и равна AC/2 = 6. Данные AB и BC — лишние.
б) Перепутали направление: средняя линия вдвое меньше стороны, а не сторона вдвое меньше средней линии. AC = 18.
в) При MN ∥ AC и секущей BC углы BNM и BCA — соответственные: ∠BNM = ∠C = 70°. Угол A соответствует углу BMN (секущая AB).

R02.2

Задания с самопроверкой · база

Найдите

база $MN$ — средняя линия $△ A BC$ , $MN ∥ A C$ , $A C = 18$ . Найдите $MN$ . $9$
базаСтороны треугольника $8, 10, 12$ . Найдите периметр треугольника из его средних линий. $15$
базаСредняя линия, параллельная стороне $A B$ , равна $7$ . Найдите $A B$ . $14$

базаПериметр треугольника $46$ . Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах его сторон. $23$
базаРавносторонний треугольник, сторона $12$ . Найдите периметр треугольника из средних линий. $18$
база $M, N$ — середины $A B$ и $BC$ , $∠ BMN = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 8 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $5 5^{\circ}$

R02.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Средние линии треугольника относятся как $3 : 4 : 5$ , периметр треугольника $48$ . Найдите его стороны. $12, 16, 20$
повыш. $P_{A BC} = 60$ ; $M, N$ — середины $A B$ и $BC$ . Найдите периметр $△ MBN$ . $30$
повыш.Равнобедренный треугольник: средняя линия, параллельная основанию, равна $6$ , боковая сторона $10$ . Найдите периметр. $32$
повыш.Докажите: средние линии делят треугольник на четыре равных треугольника.
у каждого стороны $\frac{A B}{2}, \frac{BC}{2}, \frac{A C}{2}$ — равны по трём сторонам

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Стороны вдвое больше средних линий, значит, относятся так же, 3 : 4 : 5; 3x + 4x + 5x = 48, x = 4 ⇒ 12, 16, 20.
2) BM = AB/2, BN = BC/2, MN = AC/2 ⇒ P = 60 : 2 = 30.
3) Основание 2 · 6 = 12, P = 10 + 10 + 12 = 32.
4) Следствие со сл. 11 — проговорить доказательство: для △AMK: AM = AB/2, AK = AC/2, MK = BC/2 (средняя линия); так же для △MBN, △KNC и △NKM (его стороны — три средние линии) ⇒ все четыре равны по трём сторонам.

R02.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 15

Ответ — одно число

1. Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $A B$ и $BC$ треугольника $A BC$ , сторона $A B$ равна $50$ , сторона $BC$ равна $36$ , сторона $A C$ равна $62$ . Найдите $MN$ . $31$

Та же конструкция

$MN = 17$ . Найдите $A C$ . $34$
$P_{A BC} = 64$ ; $M, N, K$ — середины сторон. Найдите $P_{MN K}$ . $32$

Лишние данные — ловушка: нужна только сторона, параллельная

MN

.

R02.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Везде $M, N$ — середины сторон $A B$ и $BC$ треугольника $A BC$ (в задаче 2 — все три средние линии).

Вариант 1

$A C = 16$ . Найдите $MN$ . $8$
Стороны $7, 9, 12$ . Периметр треугольника из средних линий? $14$
$MN = 5, 5$ . Найдите $A C$ . $11$
$∠ A = 6 4^{\circ}$ , $∠ B = 5 6^{\circ}$ . Найдите $∠ BNM$ . $6 0^{\circ}$

Вариант 2

$A C = 22$ . Найдите $MN$ . $11$
Стороны $6, 11, 13$ . Периметр треугольника из средних линий? $15$
$MN = 8, 5$ . Найдите $A C$ . $17$
$∠ A = 5 2^{\circ}$ , $∠ C = 7 4^{\circ}$ . Найдите $∠ BMN$ . $5 2^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома