Теорема Фалеса, подобные треугольники · урок 1 из 15 · новый материал

Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R02 · GEOM8-013

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники» (15 ч), урок 1/15, единица R02.1. Тип урока — Н (новый материал).
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), итого 45 мин.
Теория (14): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 5 проблема 1 · 6 теорема Фалеса 1,5 · 7 доказательство 2,5 · 9 деление отрезка 1,5 · 11 теорема о пропорциональных отрезках 2 · 12 главный случай 1 · 15 четвёртый пропорциональный 1,5 · 16 из истории 1. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (31): 3 разминка 2 · 4 «Вспомним» 1,5 · 8 образец Фалес 2 · 10 образец деление 2,5 · 13 образец «часть к части» 2 · 14 образец «часть к целому» 2,5 · 17 образец доказательство 2,5 · 18 ошибки 1,5 · 19 найди ошибку 2 · 20 база 3 · 21 повышенный 2,5 · 22 ОГЭ 2 · 23 самостоятельная 4 · 24 итог 1.
Нужны: циркуль, линейка, угольник, тетрадь в линейку или клетку (сл. 5, 9, 10, 15).
Если не успеваете: «Из истории» (сл. 16) — рассказ на 30 с, задания 3–4 сл. 21 — в ДЗ; теорию не выбрасывать.

R02.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать

теорему Фалеса: равные отрезки на одной стороне угла дают равные на другой (ПР-3, REQ-6.3, EL-6.4)

Применять

теорему о пропорциональных отрезках при решении задач (ПР-3, REQ-6.3)

Делить отрезок

на n равных частей циркулем и линейкой (вид деятельности ФРП)

Строить

четвёртый пропорциональный отрезок (вид деятельности ФРП)

1 мин · теория
ПР-3 (предметный результат 8 класса, ФРП) = REQ-6.3: «…Пользоваться теоремой Фалеса и теоремой о пропорциональных отрезках, применять их для решения практических задач». Средняя линия из того же результата — следующие уроки.
EL-6.4 кодификатора: «…Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках».
Виды деятельности строки R02: «Проводить построения с помощью циркуля и линейки с использованием теоремы Фалеса и теоремы о пропорциональных отрезках, строить четвертый пропорциональный отрезок».

повторение: 6–7 класс

Разминка · устно

Пропорции и параллельные — в уме

$\frac{x}{4} = \frac{6}{8}$ $x = 3$
$\frac{3}{x} = \frac{9}{12}$ $x = 4$
Сократите отношение $6 : 9$ $2 : 3$
Верно ли: $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$ ? да

$A B = 10$ , $A M : MB = 2 : 3$ . $A M = ?$ $4$
$12$ см — на $3$ равные части. Одна часть? $4$ см
Сумма односторонних углов при $a ∥ b$ $18 0^{\circ}$
Противоположные стороны параллелограмма … равны

повторение: 7 класс, R01

Вспомним

Параллельные прямые и параллелограмм

$a ∥ b$ , $∠1 = 6 5^{\circ}$ . Найдите $∠2$ . $6 5^{\circ}$
$A BC D$ — параллелограмм. Найдите $C D$ . $7$
Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам.

R02.1

Проблема

Как разделить отрезок на равные части без вычислений?

Гипотеза: равные расстояния между параллельными ⇒ равные отрезки на любой секущей.

R02.1

Теорема Фалеса

Равные отрезки на одной стороне — равные на другой

На стороне угла — равные отрезки, через их концы — параллельные прямые.

A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}

A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2} ∥ A_{3} B_{3}

\Rightarrow B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3}

1,5 мин · теория
Формулировка (учебник): если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.
Вместо сторон угла можно взять любые две прямые — и пересекающиеся, и параллельные (тогда это просто параллелограммы).
Вопрос: что будет, если прямые A₁B₁, A₂B₂ не параллельны? (Теорема неверна — нарисуйте контрпример «веером».)

R02.1

Доказательство

Доказываем через параллелограммы и равные треугольники

R02.1

Образец → сам · теорема Фалеса

Равные части на одной стороне → на другой

Образец: $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ , $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2} ∥ A_{3} B_{3}$ , $O B_{3} = 15$ . Найдите $O B_{2}$

$O B_{1} = B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3}$ теорема Фалеса: равные отрезки на $O A_{3}$ , через концы — параллельные
$O B_{1} = 15 : 3 = 5$ $O B_{3}$ состоит из трёх равных частей
$O B_{2} = 2 \cdot 5 = 10$ две части

Сам: та же конструкция

$O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ , $O B_{3} = 12$ . Найдите $B_{2} B_{3}$ . $4$
$B_{1} B_{2} = 3, 5$ . Найдите $O B_{3}$ . $10, 5$
Обратно: $O B_{1} = B_{1} B_{2}$ , $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}$ , $O A_{2} = 10$ . Найдите $O A_{1}$ . $5$

2 мин · практика
Образец (шаги по клику): по теореме Фалеса OB₁ = B₁B₂ = B₂B₃; OB₃ = 3·OB₁ ⇒ OB₁ = 5; OB₂ = 10. Чертёж точный: OA₁ = A₁A₂ = A₂A₃, параллельные прямые проведены под одним углом, отрезки на второй стороне равны.
Сам: 1) 12 : 3 = 4; 2) 3 · 3,5 = 10,5; 3) теорему Фалеса можно применить «в обратную сторону»: равные отрезки OB₁ = B₁B₂ на второй стороне и параллельные A₁B₁ ∥ A₂B₂ (через O — сама вершина) ⇒ OA₁ = A₁A₂ = 10 : 2 = 5.
Ошибка: в задаче 1 считать, что B₂B₃ = 12 : 2 (не заметить, что частей три).

R02.1

Построение циркулем и линейкой

Делим отрезок на n равных частей

1,5 мин · теория
Решение проблемы сл. 5: отрезок 7 см делится на 3 части без вычислений. Длина отрезков $A P_{k}$ на луче любая — удобно взять 2–3 см.
Параллельные прямые строим с помощью угольника и линейки (сдвигаем угольник по линейке) или циркулем — через равные соответственные углы.
Ошибка: соединить $P_{3}$ не с $B$ , а с другой точкой; или проводить прямые через $P_{1}$ , $P_{2}$ «на глаз» не параллельно $P_{3} B$ .
Для n частей: на луче откладываем n равных отрезков. Попросить класс сразу разделить в тетради отрезок 7 см на 3 части (2 мин).

R02.1

Образец → сам · деление отрезка

Чертёж строим сами: делим в отношении $2 : 3$

Образец: разделите отрезок $A B$ в отношении $2 : 3$

$2 + 3 = 5$ : на луче $A X$ — 5 равных отрезков до $P_{5}$ циркулем, раствор любой
Соединяем $P_{5}$ и $B$ , через $P_{2}$ — прямую $∥ P_{5} B$ до точки $M$ угольник и линейка
$A M : MB = A P_{2} : P_{2} P_{5} = 2 : 3$ теорема о пропорциональных отрезках (параллельные $P_{2} M$ и $P_{5} B$ )

Сам: в тетради, циркулем и линейкой

Разделите отрезок $10$ см на $3$ равные части. по $\approx 3, 3$ см
Разделите отрезок $7$ см в отношении $1 : 2$ . $\approx 2, 3$ и $4, 7$ см
Сколько равных отрезков отложить на луче, чтобы разделить $A B$ в отношении $3 : 4$ ? $7$

2,5 мин · практика
Образец — продолжение построения сл. 9: там делили на равные части, здесь в отношении. На чертеже AB = 10 условных единиц, AM = 4, MB = 6 (4 : 6 = 2 : 3) — построено точно.
Сам: 1) 10 : 3 ≈ 3,3 см — проверка линейкой; 2) 7 : 3 ≈ 2,3 см и 2 · 7 : 3 ≈ 4,7 см (откладываем 3 отрезка, прямая через P₁); 3) 3 + 4 = 7 отрезков, параллельная — через P₃.
Ошибка: проводить прямую через P₂ «на глаз»; соединять с B не последнюю точку P₅. Пусть соседи по парте сверят измерения.

R02.1

Теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки

Делим

O A_{2}

на равные части и проводим через точки деления параллельные (Фалес).

\frac{O B _{1}}{B _{1} B _{2}} = \frac{O A _{1}}{A _{1} A _{2}} = \frac{2}{3}

\frac{O B _{1}}{O B _{2}} = \frac{O A _{1}}{O A _{2}}

2 мин · теория
Формулировка: параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.
Идея доказательства: если $O A_{1}$ и $A_{1} A_{2}$ содержат общую меру (2 и 3 части), то по теореме Фалеса на $O B_{2}$ получаются тоже 2 и 3 равные части. Общий случай в базовом курсе не доказываем.
Вопрос: какие ещё отношения равны? ( $\frac{A _{1} A _{2}}{O A _{2}} = \frac{B _{1} B _{2}}{O B _{2}}$ и т. д. — «часть к части» или «часть к целому» на обеих сторонах одинаково.)

R02.1

Главный случай для задач

Прямая, параллельная стороне треугольника

MN ∥ A C

— угол

B

и две параллельные прямые

\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}

\frac{BM}{B A} = \frac{BN}{BC}

R02.1

Образец → сам · прямая, параллельная стороне

Пропорция «часть к части»

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM = 8$ , $M A = 4$ , $NC = 5$ . Найдите $BN$

$\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}$ угол $B$ , $MN ∥ A C$ — теорема о пропорциональных отрезках
$\frac{8}{4} = \frac{BN}{5}$ , $BN = \frac{8 \cdot 5}{4} = 10$ основное свойство пропорции

Сам: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$

$BM = 6$ , $M A = 9$ , $BN = 4$ . Найдите $NC$ . $6$
$BM = 3$ , $M A = 5$ , $NC = 10$ . Найдите $BN$ . $6$
$BN : NC = 3 : 4$ , $BM = 9$ . Найдите $M A$ . $12$

R02.1

Образец → сам · часть к целому

Дана вся сторона — пропорция «часть к целому»

Образец: $MN ∥ A C$ , $A B = 18$ , $BM = 6$ , $BC = 21$ . Найдите $BN$ и $NC$

$\frac{BM}{B A} = \frac{BN}{BC}$ теорема о пропорциональных отрезках: «верх ко всей стороне»
$\frac{6}{18} = \frac{BN}{21}$ ⇒ $BN = 7$ основное свойство пропорции
$NC = 21 - 7 = 14$ $N$ лежит на $BC$

Сам: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$

$A B = 12$ , $A M = 3$ , $BC = 16$ . Найдите $BN$ . $12$
$BM : M A = 1 : 3$ , $BC = 24$ . Найдите $NC$ . $18$
$BN = 10$ , $NC = 5$ , $A B = 12$ . Найдите $A M$ . $4$

R02.1

Построение циркулем и линейкой

Четвёртый пропорциональный отрезок

R02.1 · история геометрии

Из истории

Фалес Милетский (VI в. до н. э.) и высота пирамиды

Тень палки равна палке ⇒ тень пирамиды (от центра основания) равна её высоте.

1 мин · теория
Легенда: Фалес дождался момента, когда длина тени человека (палки) равна его росту, и в тот же момент измерил тень пирамиды — от её центра основания до конца тени.
Лучи Солнца параллельны, поэтому оба прямоугольных треугольника «высота — тень» равнобедренные. Строгое обоснование — подобие (следующие уроки строки R02).
Вид деятельности ФРП «Знакомиться с историей развития геометрии». Слайд можно пропустить при нехватке времени.

R02.1

Образец → сам · доказательство

План доказательства с обоснованиями

Образец: $M$ — середина $A B$ , $MN ∥ A C$ , $N \in BC$ . Докажите: $N$ — середина $BC$

Через $B$ проведём прямую $l ∥ A C$ через точку вне прямой — единственная параллельная (аксиома)
$l ∥ MN ∥ A C$ , на $B A$ отрезки $BM = M A$ условие: $M$ — середина $A B$
$BN = NC$ — $N$ середина $BC$ теорема Фалеса для прямых $B A$ и $BC$

Сам: составьте план и обоснуйте

Трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$ ; через середину $M$ стороны $A B$ проведена $MN ∥ A D$ , $N \in C D$ . Докажите: $CN = N D$ .
$BC ∥ MN ∥ A D$ , $BM = M A$ ⇒ Фалес
$D, E$ делят $A B$ на три равные части, $DK ∥ E L ∥ BC$ , $K, L \in A C$ . Докажите: $A K = K L = L C$ .
прямая через $A$ $∥ BC$ + Фалес

2,5 мин · практика
Образец: доказательство — 3 шага; каждый шаг вслух с обоснованием. Этот факт — первый шаг к средней линии треугольника (следующий урок GEOM8-014).
Сам: 1) Прямые BC, MN, AD параллельны и пересекают прямые AB и DC; на AB отложены равные отрезки BM = MA ⇒ по теореме Фалеса CN = ND. 2) Проведём через A прямую a ∥ BC; прямые a, DK, EL, BC параллельны, на AB AD = DE = EB ⇒ по теореме Фалеса AK = KL = LC.
Ошибка: «на рисунке видно, что N — середина» — вместо ссылки на теорему; забыть, что параллельные должны проходить через все концы равных отрезков (отсюда прямая l через B).

R02.1

Осторожно · типичные ошибки

Что можно и чего нельзя писать при $MN ∥ A C$

Неверно	Почему	Верно
$\frac{BM}{M A} = \frac{NC}{BN}$	перепутан порядок	$\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}$
$\frac{BM}{M A} = \frac{MN}{A C}$	$MN$ и $A C$ не на сторонах угла	$\frac{BM}{B A} = \frac{BN}{BC}$
Прямые не параллельны — пишут пропорцию	теорема требует параллельности	Прямые параллельны — теорема работает

Пропорция — только для отрезков на сторонах угла, отсечённых параллельными прямыми.

R02.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $MN ∥ A C$ , $BM = 4$ , $M A = 6$ , $BN = 5$ . Найти $NC$ .

$\frac{4}{6} = \frac{NC}{5}$ , $NC = \frac{10}{3}$

$\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}$ : $\frac{4}{6} = \frac{5}{NC}$

$NC = 7, 5$

б) $MN ∥ A C$ , $A B = 15$ , $BM = 6$ , $BC = 20$ . Найти $NC$ .

$\frac{6}{15} = \frac{NC}{20}$ , $NC = 8$

$\frac{6}{15} = \frac{BN}{20}$ , $BN = 8$

$NC = 20 - 8 = 12$

в) Делим $A B$ на 4 части: на луче $A X$ — 4 равных отрезка, $P_{4}$ соединили с $B$ .

Через $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ — прямые $⊥ A B$

Нужны прямые $∥ P_{4} B$

тогда — теорема Фалеса

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Отрезки в пропорции стоят не на своих местах: верхнему BM должен соответствовать верхний BN. 4/6 = 5/NC ⇒ NC = 5·6 : 4 = 7,5.
б) 6/15 — это «часть к целому», значит справа тоже «часть к целому»: BN/BC. BN = 8, NC = 12. Проверка: BM : MA = 6 : 9 = 2 : 3 = 8 : 12 ✓.
в) Теорема Фалеса требует прямых, параллельных друг другу, — то есть параллельных P₄B. Перпендикуляры к AB параллельны друг другу, но не P₄B — части не равны.

R02.1

Задания с самопроверкой · база

Решите

В задачах 2–3: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ .

На стороне угла $O$ : $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ , $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2} ∥ A_{3} B_{3}$ , $O B_{3} = 12$ . Найдите $O B_{1}$ . $4$
$BM = 5$ , $M A = 10$ , $BN = 4$ . Найдите $NC$ . $8$
$A B = 20$ , $BM = 8$ , $BC = 15$ . Найдите $BN$ . $6$

Параллельные прямые отсекают на сторонах угла $O A_{1} = 3$ , $A_{1} A_{2} = 6$ , $O B_{1} = 4$ . Найдите $B_{1} B_{2}$ . $8$
$a = 4$ , $b = 6$ , $c = 5$ . Найдите четвёртый пропорциональный $x$ : $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$ . $7, 5$
Отрезок $24$ см разделили в отношении $1 : 3$ . Найдите меньшую часть. $6$ см

R02.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Трапеция $A BC D$ , $MN ∥ A D$ , $M \in A B$ , $N \in C D$ , $A M : MB = 2 : 3$ , $C D = 15$ . Найдите $CN$ . $9$
повыш. $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ , $BM = M A + 2$ , $BN = 9$ , $NC = 6$ . Найдите $A B$ . $10$
повыш.Боковую сторону трапеции разделили на 4 равные части и провели через точки деления прямые, параллельные основаниям. Другая боковая сторона — $18$ . Найдите её части. по $4, 5$
практикаКак разделить доску шириной 23 см на 4 равные полосы линейкой с делениями, не вычисляя? линейку наклонно: 0 и 24 см — на краях, метки 6, 12, 18

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задание 4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) $BC ∥ MN ∥ A D$ отсекают на $A B$ и $D C$ пропорциональные отрезки: $\frac{CN}{N D} = \frac{BM}{M A} = \frac{3}{2}$ ⇒ $CN = 15 \cdot \frac{3}{5} = 9$ . Стороны AB и DC трапеции не пересекаются внутри — теорема Фалеса (и о пропорциональных отрезках) верна для любых двух прямых, пересечённых параллельными.
2) BM/MA = BN/NC = 9/6 = 3/2; BM = MA + 2 ⇒ 2(MA + 2) = 3MA ⇒ MA = 4, BM = 6, AB = 10.
3) По теореме Фалеса другая боковая сторона тоже делится на 4 равные части: 18 : 4 = 4,5.
4) Положить линейку наклонно так, чтобы 0 и 24 см пришлись на края доски, отметить 6, 12, 18 см и провести через метки линии, параллельные краю (Фалес).

R02.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 15

Ответ — одно число

1. Прямая, параллельная стороне $A C$ треугольника $A BC$ , пересекает стороны $A B$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно; $BM = 14$ , $M A = 21$ , $BN = 12$ . Найдите $NC$ . $18$

Та же конструкция: $MN ∥ A C$

$BM = 9$ , $A B = 15$ , $BC = 25$ . Найдите $BN$ . $15$
$BN = 8$ , $NC = 12$ , $A B = 30$ . Найдите $A M$ . $18$

В бланк — только число: 18, без «

NC =

».

R02.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

В задачах 1: $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ на стороне угла $O$ , $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2} ∥ A_{3} B_{3}$ . В задачах 2–3: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$ . В задачах 4: $a : b = c : x$ .

Вариант 1

$O B_{3} = 18$ . Найдите $B_{1} B_{2}$ . $6$
$BM = 6$ , $M A = 4$ , $BN = 9$ . Найдите $NC$ . $6$
$A B = 15$ , $BM = 10$ , $BC = 12$ . Найдите $NC$ . $4$
$a = 3$ , $b = 5$ , $c = 6$ . Найдите $x$ . $10$

Вариант 2

$O B_{3} = 21$ . Найдите $B_{2} B_{3}$ . $7$
$BM = 8$ , $M A = 6$ , $NC = 9$ . Найдите $BN$ . $12$
$A B = 20$ , $A M = 5$ , $BC = 24$ . Найдите $NC$ . $6$
$a = 4$ , $b = 6$ , $c = 10$ . Найдите $x$ . $15$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что утверждает теорема Фалеса?
Какую пропорцию даёт $MN ∥ A C$ в $△ A BC$ ?
Как разделить отрезок на 5 равных частей?

Главное

Фалес: равные отрезки на одной стороне угла → равные на другой.

$\frac{BM}{M A} = \frac{BN}{NC}$ , $\frac{BM}{B A} = \frac{BN}{BC}$

Домашнее задание

Разделите отрезок 7 см на 3 равные части построением.
$MN ∥ A C$ , $BN = 6$ , $NC = 9$ , $A B = 20$ . Найдите $BM$ .
Постройте четвёртый пропорциональный для $a = 2$ , $b = 3$ , $c = 4$ см; измерьте $x$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_podobnye_treugolniki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-013 · Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R02 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках, подобные треугольники», 15 ч · урок 1/15 · тип Н
Единицы → слайды	R02.1 «Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках» → 2, 5–24 · повторение (пропорции, параллельные прямые, параллелограмм R01) → 3–4
Результаты	ПР-3 / REQ-6.3 (пользоваться теоремой Фалеса и теоремой о пропорциональных отрезках, применять их для решения практических задач) → 6–24 · EL-6.4 → 6–7, 11–12 · виды деятельности: построения циркулем и линейкой, четвёртый пропорциональный отрезок → 9, 10, 15; доказательства → 7, 17; история геометрии → 16 · формат ОГЭ, линия 15 → 22
Вне урока	средняя линия треугольника — R02.2 (GEOM8-014); средняя линия трапеции — R02.3; центр масс — R02.5; подобие треугольников и отношение $MN : A C$ — R02.6–R02.8
Проверки	формат 30/70: теория 14 мин, практика 31 мин (69 %); образцов «Образец → сам» — 5 · методист: pending

Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках

Сегодня вы научитесь

Доказывать

Применять

Делить отрезок

Строить

Пропорции и параллельные — в уме

Параллельные прямые и параллелограмм

Как разделить отрезок на равные части без вычислений?

Равные отрезки на одной стороне — равные на другой

Доказываем через параллелограммы и равные треугольники

Равные части на одной стороне → на другой

Образец: OA1​=A1​A2​=A2​A3​, A1​B1​∥A2​B2​∥A3​B3​, OB3​=15. Найдите OB2​

Сам: та же конструкция

Делим отрезок на n равных частей

Чертёж строим сами: делим в отношении 2:3

Образец: разделите отрезок AB в отношении 2:3

Сам: в тетради, циркулем и линейкой

Параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки

Прямая, параллельная стороне треугольника

Пропорция «часть к части»

Образец: MN∥AC, BM=8, MA=4, NC=5. Найдите BN

Сам: MN∥AC, M∈AB, N∈BC

Дана вся сторона — пропорция «часть к целому»

Образец: MN∥AC, AB=18, BM=6, BC=21. Найдите BN и NC

Сам: MN∥AC, M∈AB, N∈BC

Четвёртый пропорциональный отрезок

Фалес Милетский (VI в. до н. э.) и высота пирамиды

План доказательства с обоснованиями

Образец: M — середина AB, MN∥AC, N∈BC. Докажите: N — середина BC

Сам: составьте план и обоснуйте

Что можно и чего нельзя писать при MN∥AC

Где ошибся ученик?

а) MN∥AC, BM=4, MA=6, BN=5. Найти NC.

б) MN∥AC, AB=15, BM=6, BC=20. Найти NC.

в) Делим AB на 4 части: на луче AX — 4 равных отрезка, P4​ соединили с B.

Решите

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Та же конструкция: MN∥AC

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Главное

Домашнее задание

GEOM8-013 · Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках

Образец: $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ , $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2} ∥ A_{3} B_{3}$ , $O B_{3} = 15$ . Найдите $O B_{2}$

Чертёж строим сами: делим в отношении $2 : 3$

Образец: разделите отрезок $A B$ в отношении $2 : 3$

Образец: $MN ∥ A C$ , $BM = 8$ , $M A = 4$ , $NC = 5$ . Найдите $BN$

Сам: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$

Образец: $MN ∥ A C$ , $A B = 18$ , $BM = 6$ , $BC = 21$ . Найдите $BN$ и $NC$

Сам: $MN ∥ A C$ , $M \in A B$ , $N \in BC$

Образец: $M$ — середина $A B$ , $MN ∥ A C$ , $N \in BC$ . Докажите: $N$ — середина $BC$

Что можно и чего нельзя писать при $MN ∥ A C$

а) $MN ∥ A C$ , $BM = 4$ , $M A = 6$ , $BN = 5$ . Найти $NC$ .

б) $MN ∥ A C$ , $A B = 15$ , $BM = 6$ , $BC = 20$ . Найти $NC$ .

в) Делим $A B$ на 4 части: на луче $A X$ — 4 равных отрезка, $P_{4}$ соединили с $B$ .

Та же конструкция: $MN ∥ A C$