Четырёхугольники · урок 12 из 12 · обобщение

Четырёхугольники: собираем тему целиком

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R01 · GEOM8-012

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (12 ч), урок 12/12, тип О (обобщение и систематизация). Единицы R01.1–R01.6 — вся строка.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 карта темы 1,5 · 5 таблица свойств 1,5 · 6 признаки 1,5 · 10 трапеция 1,5 · 12 удвоение медианы 1,5 · 14 центральная симметрия 1,5 · 16 схема-конспект 1,5. Теория — короткой сводкой (урок обобщения), все слайды показываются полностью.
Практика (32,5): 3 разминка 2 · 7 верно/неверно 2 · 8, 9, 11, 13, 15 «образец → сам» по 2,5 · 17 ошибки 1,5 · 18 найди ошибку 2 · 19 база 3 · 20 повышенный 2,5 · 21 ОГЭ 2 · 22 самостоятельная 4 · 23 итог 1.
Если класс сильный — сл. 4–6 пройти быстро устно, освободившееся время отдать сл. 20. Если не успеваете — задания 3–4 сл. 20 перенести в ДЗ; теорию не выбрасывать.

R01.1–R01.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Систематизировать

виды четырёхугольников и связи между ними (ПР-1, REQ-6.1)

Выбирать свойство или признак

для решения задачи (ФРП: виды деятельности)

Применять приёмы

удвоение медианы и центральную симметрию (EL-6.4)

Решать задачу ОГЭ

линии 17 «Четырёхугольники» (ПР-1)

1 мин · теория
ПР-1 (дословно ФРП): «Распознавать основные виды четырехугольников, их элементы, пользоваться их свойствами при решении геометрических задач» = REQ-6.1.
Коды элементов: EL-6.1 (параллелограмм), EL-6.2 (прямоугольник, ромб, квадрат), EL-6.3 (трапеция), EL-6.4 (метод удвоения медианы, центральная симметрия).
Вид деятельности ФРП: «Доказывать и использовать при решении задач признаки и свойства…». Спросить: чем признак отличается от свойства? (свойство: «если фигура — ромб, то…»; признак: «если…, то фигура — ромб»).

R01.1–R01.6 · повторение

Разминка · устно

Восемь вопросов — в уме

Сумма углов четырёхугольника $36 0^{\circ}$
Параллелограмм: $∠ A = 6 5^{\circ}$ . Чему равен $∠ B$ ? $11 5^{\circ}$
Прямоугольник: $A C = 12$ . Найдите $BO$ . $6$
Периметр ромба со стороной $5$ $20$

Равнобокая трапеция: $∠ A = 7 0^{\circ}$ . Чему равен $∠ C$ ? $11 0^{\circ}$
Медиану $BM = 4$ продлили на её длину до $D$ . $B D =$ ? $8$
$O$ — середина $A A_{1}$ , $O A = 3$ . Найдите $A A_{1}$ . $6$
Угол между диагональю и стороной квадрата $4 5^{\circ}$

2 мин · практика
Ответы (по клику): 1) 360°; 2) 180° − 65° = 115° (углы, прилежащие к стороне); 3) диагонали прямоугольника равны и делятся пополам: BO = 12 : 2 = 6; 4) 4 · 5 = 20; 5) ∠B = 180° − 70° = 110°, у равнобокой ∠C = ∠B = 110°; 6) BD = 2 · BM = 8; 7) AA₁ = 2 · OA = 6; 8) диагональ квадрата — биссектриса прямого угла: 45°.
Темп — 10–15 секунд на вопрос. Каждый вопрос — опора урока: 2–5 — свойства фигур, 6 — удвоение медианы (GEOM8-011), 7 — центральная симметрия, 8 — квадрат как ромб и прямоугольник.

R01.1–R01.6

Карта темы

Семейство четырёхугольников

1,5 мин · теория
Карту строить вместе с классом: перед каждым щелчком спросить «что добавить к определению, чтобы получить следующую фигуру?».
Определения (ФРП): параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны; трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Важно: трапеция НЕ параллелограмм (ровно одна пара параллельных сторон). Квадрат — одновременно прямоугольник и ромб.
Ошибка: «ромб — это квадрат, поставленный на угол». Спросить: обязательно ли углы ромба прямые? (нет).

R01.1 · R01.2 · R01.4 · R01.6

Сводная таблица · свойства

Что умеет каждая фигура

Свойство	Параллелограмм	Прямоугольник	Ромб	Квадрат	Равнобокая трапеция
Противоположные стороны параллельны и равны	+	+	+	+	—
Противоположные углы равны	+	+	+	+	—
Углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме 180°	+	+	+	+	+
Диагонали делятся точкой пересечения пополам	+	+	+	+	—
Диагонали равны	—	+	—	+	+
Диагонали перпендикулярны	—	—	+	+	—
Диагонали — биссектрисы углов	—	—	+	+	—
Есть центр симметрии	+	+	+	+	—

1,5 мин · теория
Таблицу можно раздать пустой и заполнять с классом: учитель называет свойство — класс поднимает руки за каждую фигуру.
Строка 3: у параллелограмма любая сторона «боковая» (сумма соседних углов 180°), у трапеции — только боковые стороны (односторонние углы при основаниях).
Фиолетовая отметка — «как у прямоугольника», розовая — «как у ромба»; у квадрата есть всё.
Ошибка: «диагонали любой трапеции равны» — только у равнобокой; «у трапеции есть центр симметрии» — нет (сл. 14).

R01.1 · R01.2 · R01.4

Признаки · как доказать вид

Четырёхугольник — параллелограмм, если…

$BC ∥ A D$ и $BC = A D$

$A B = C D$ и $BC = A D$

$A O = OC$ и $BO = O D$

Прямоугольник

параллелограмм и $∠ A = 9 0^{\circ}$ или $A C = B D$

Ромб

параллелограмм и $A B = A D$ или $A C ⊥ B D$

Равнобокая трапеция

трапеция и $∠ A = ∠ D$ или $A C = B D$

R01.1–R01.6

Проверь себя · устно

Верно или неверно?

1

Диагонали параллелограмма равны.

Неверно

2

Диагонали ромба перпендикулярны.

Верно

3

Если диагонали параллелограмма равны, то он — прямоугольник.

Верно

4

Диагонали любой трапеции равны.

Неверно

5

У трапеции есть центр симметрии.

Неверно

6

Любой квадрат является ромбом.

Верно

R01.1

Образец → сам · биссектриса угла параллелограмма

Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник

Образец: $A K$ — биссектриса $∠ A$ , $B K = 5$ , $K C = 3$ . Найдите периметр $A BC D$ .

$∠ B K A = ∠ K A D$ накрест лежащие: $BC ∥ A D$ , секущая $A K$
$∠ B A K = ∠ K A D = ∠ B K A$ ⇒ $A B = B K = 5$ $A K$ — биссектриса; $△ A B K$ равнобедренный
$BC = 5 + 3 = 8$ , $P = 2 (5 + 8) = 26$ противоположные стороны параллелограмма равны

Сам: $A BC D$ — параллелограмм, биссектриса $∠ A$ пересекает $BC$ в точке $K$

$B K = 7$ , $K C = 2$ . Найдите периметр. $32$
$A B = 6$ , периметр $34$ . Найдите $K C$ . $5$
$∠ A = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ A K B$ . $3 2^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин, шаги по клику): ∠BKA = ∠KAD (накрест лежащие при BC ∥ AD); ∠BAK = ∠KAD (биссектриса) ⇒ ∠BAK = ∠BKA ⇒ △ABK равнобедренный, AB = BK = 5; BC = BK + KC = 8; P = 2 · (5 + 8) = 26. Чертёж в масштабе: ∠A = 60°, AK наклонена к AD под 30°.
Сам (1,5 мин, ответы по клику): 1) AB = BK = 7, BC = 9, P = 2 · 16 = 32. 2) BC = 34 : 2 − 6 = 11, BK = AB = 6, KC = 11 − 6 = 5. 3) ∠KAD = 32°, ∠AKB = ∠KAD = 32° (накрест лежащие).
Ошибка: считать AB = KC (путают, какой отрезок отсекает биссектриса). Равна стороне AB часть BK — у вершины B.

R01.2

Образец → сам · ромб и прямоугольник

Угол $6 0^{\circ}$ — ищи равносторонний треугольник

Образец: ромб $A BC D$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $B D = 7$ . Найдите периметр.

$A B = A D$ ⇒ $△ A B D$ равнобедренныйвсе стороны ромба равны
$∠ A B D = ∠ A D B = \frac{18 0 ^{\circ} - 6 0 ^{\circ}}{2} = 6 0^{\circ}$ углы при основании равнобедренного треугольника
$A B = B D = 7$ , $P = 4 \cdot 7 = 28$ $△ A B D$ равносторонний

Сам: $O$ — точка пересечения диагоналей

Ромб: $∠ A = 6 0^{\circ}$ , периметр $40$ . Найдите $B D$ . $10$
Прямоугольник: $A C = 14$ , $A B = 7$ . Найдите $∠ A OB$ . $6 0^{\circ}$
Прямоугольник: $∠ A OB = 6 0^{\circ}$ , $A B = 5$ . Найдите $A C$ . $10$

R01.3 · R01.4

Трапеция · главное

Две высоты — и трапеция «распадается»

∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}

любая трапеция

A H = KD = \frac{a - b}{2}

равнобокая,

a = A D

,

b = BC

Равнобокая:

∠ A = ∠ D

,

A C = B D

Прямоугольная: боковая сторона

⊥

основаниям и равна высоте

R01.4

Образец → сам · равнобокая трапеция

Две высоты — два равных треугольника

Образец: равнобокая трапеция, $A D = 13$ , $BC = 5$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите высоту.

Проведём высоты $B H$ и $C K$ $H BC K$ — прямоугольник, $HK = BC = 5$
$A H = \frac{13 - 5}{2} = 4$ трапеция равнобокая: $A H = KD$
$∠ A B H = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ}$ ⇒ $B H = A H = 4$ $△ A B H$ — прямоугольный и равнобедренный

Сам: трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$

Равнобокая: $A D = 20$ , $BC = 8$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите высоту. $6$
Равнобокая: $A D = 15$ , $BC = 9$ , высота $3$ . Найдите $∠ A$ . $4 5^{\circ}$
Прямоугольная: $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ , $A D = 12$ , $BC = 7$ . Найдите $A B$ . $5$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин). Перед шагом 1 спросить: какое дополнительное построение напрашивается? (две высоты, сл. 10). Ответ: 4. Проверка по чертежу: масштаб 36 px на единицу, AH = 144 px = 4 ед., BH = 144 px.
Сам: 1) AH = (20 − 8) : 2 = 6, △ABH равнобедренный ⇒ h = 6. 2) AH = (15 − 9) : 2 = 3 = BH ⇒ △ABH прямоугольный равнобедренный, ∠A = 45° (обратная задача). 3) Высота CH: AH = BC = 7, HD = 12 − 7 = 5, ∠D = 45° ⇒ CH = HD = 5, AB = CH = 5 (прямоугольная трапеция).
Ошибка: AH = 13 − 5 = 8 (не делят на 2) — тогда высота 8, проверка «HK + 2·AH = 13» не сходится.

R01.5

Приём · метод удвоения медианы

Дана медиана — продли её на свою длину

$M D = BM$ продлили медиану $BM$ за точку $M$
$A BC D$ — параллелограммдиагонали $A C$ и $B D$ делятся точкой $M$ пополам
$△ A B D$ : стороны $c$ , $a$ , $2 m$ $A D = BC = a$ — сторона «переехала»

2 m < a + c \Rightarrow m < \frac{a + c}{2}

R01.5

Образец → сам · удвоение медианы

Медиана меньше полусуммы сторон

Образец: $A B = 6$ , $BC = 10$ . Может ли медиана $BM$ быть равна $9$ ?

$M D = BM = m$ , $A BC D$ — параллелограммдиагонали делятся точкой $M$ пополам
$A D = BC = 10$ противоположные стороны параллелограмма
$△ A B D$ : $2 m < 6 + 10$ неравенство треугольника
$m < 8$ — значит, $BM = 9$ невозможно

Сам: в $△ A BC$ проведена медиана $BM$

$A B = 5$ , $BC = 7$ . Оцените: $BM < ?$ $6$
$A B = 3$ , $BC = 11$ . Оцените: $BM < ?$ $7$
$A B = 8$ , $BC = 12$ . Может ли $BM = 10$ ? нет

2,5 мин · практика
Образец (1,5 мин). Перед решением спросить: что мешает сразу сравнить BM со сторонами? (три отрезка не образуют треугольник — их надо «собрать», сл. 12). Ответ: нет, не может, потому что BM < 8. (Чертёж: AC = 12, BM = ½·√(2·36 + 2·100 − 144) ≈ 5,7 — меньше 8.)
Сам: 1) 2·BM < 5 + 7 ⇒ BM < 6. 2) 2·BM < 3 + 11 ⇒ BM < 7. 3) BM < (8 + 12) : 2 = 10 — строго меньше, поэтому BM = 10 невозможно.
Ошибка: сравнивают 9 с 6 + 10 = 16 и делают вывод «может» — забывают, что в треугольнике ABD сторона BD = 2m = 18 > 16.

R01.6

Приём · центральная симметрия

Поворот на 180° вокруг точки O

OP = O P_{1}

O

— середина отрезка

P P_{1}

Центр симметрии есть

параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат — в точке пересечения диагоналей

Центра симметрии нет

у трапеции

A \to C

,

B \to D

\Rightarrow

A B = C D

,

∠ A = ∠ C

R01.6 · R01.1

Образец → сам · центральная симметрия

Отрезок через центр делится им пополам

Образец: прямая через центр $O$ параллелограмма пересекает $BC$ в $M$ , $A D$ в $N$ . Докажите: $OM = ON$ .

$BO = O D$ диагонали параллелограмма делятся пополам
$∠ OBM = ∠ O D N$ , $∠ BOM = ∠ D ON$ накрест лежащие при $BC ∥ A D$ ; вертикальные
$△ BOM = △ D ON$ ⇒ $OM = ON$ по стороне и двум прилежащим углам

Сам: та же конструкция

$BM = 3$ , $BC = 10$ . Найдите $A N$ . $7$
$P \in A B$ , $A P = 2$ , $A B = 9$ ; $P_{1}$ симметрична $P$ относительно $O$ . Найдите $D P_{1}$ . $7$
У каких фигур есть центр симметрии: ромб, трапеция, прямоугольник, треугольник? ромб, прямоугольник

2,5 мин · практика
Образец (1 мин, доказательство по шагам — чертёж подсвечивается). Другой способ: при симметрии относительно O прямая BC переходит в AD, прямая MN — в себя, значит, M переходит в N и OM = ON. Чертёж в масштабе: A(0; 0), B(2; 4), D(6; 0), M(6,5; 4), N(1,5; 0).
Сам: 1) Из образца DN = BM = 3 (△BOM = △DON), AN = AD − DN = 10 − 3 = 7. 2) A → C, B → D, отрезок AB → CD; P₁ ∈ CD, CP₁ = AP = 2, DP₁ = 9 − 2 = 7. 3) Ромб и прямоугольник (центр — точка пересечения диагоналей); у трапеции и треугольника центра симметрии нет.
Ошибка во 2): DP₁ = 2 — путают, в какую вершину переходит A (в C, а не в D).

R01.1–R01.5

Схема-конспект · ключевые соотношения

Шесть опор для задач

Параллелограмм

α + β = 18 0^{\circ}

Биссектриса угла

A B = B K

Прямоугольник

O A = OB = OC = O D

Ромб

A C ⊥ B D

Равнобокая трапеция

A H = \frac{a - b}{2}

Удвоение медианы

B D = 2 BM

R01.1–R01.4

Осторожно · типичные ошибки

Так нельзя

«Диагонали $⊥$ — значит, ромб»

У этого четырёхугольника $A C ⊥ B D$ , но он не ромб.

Верно: параллелограмм и $A C ⊥ B D$ .

« $A H = a - b$ »

Разность оснований делится на два равных отрезка.

Верно: $A H = \frac{a - b}{2}$ .

∠ A OB = 14 6^{\circ}

ответ:

146

Тупой угол между диагоналями

Угол между прямыми — не больше $9 0^{\circ}$ .

Верно: $18 0^{\circ} - 14 6^{\circ} = 3 4^{\circ}$ .

1,5 мин · практика
Каждую карточку — вопросом «Что здесь не так?»
1) Признак «диагонали перпендикулярны» работает только для параллелограмма. На рисунке — дельтоид (AB = AD, CB = CD), диагонали перпендикулярны, но стороны AB и BC не равны.
2) В равнобокой трапеции высоты BH и CK отсекают равные отрезки AH = KD, а HK = BC; AD = AH + HK + KD ⇒ AH = (a − b) : 2.
3) Угол между пересекающимися прямыми — меньший из образовавшихся углов. Если найден тупой угол 146°, в ответ ОГЭ идёт 180° − 146° = 34°.

R01.1 · R01.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Параллелограмм $A BC D$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ . Найти $∠ B$ и $∠ C$ .

$∠ B = 5 0^{\circ}$ , $∠ C = 13 0^{\circ}$

$∠ B = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}$
(соседние углы)

$∠ C = ∠ A = 5 0^{\circ}$
(противоположные)

б) $A K$ — биссектриса $∠ A$ параллелограмма, $K \in BC$ , $A B = 6$ , $BC = 10$ . Найти $K C$ .

$K C = A B = 6$

Равнобедренный — $△ A B K$ : $B K = A B = 6$

$K C = 10 - 6 = 4$

в) «У четырёхугольника $A BC D$ диагонали равны, значит, это прямоугольник».

вывод сделан по одному условию

Сначала доказать: $A BC D$ — параллелограмм

контрпример — равнобокая трапеция

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Перепутаны соседние и противоположные углы: ∠A + ∠B = 180° ⇒ ∠B = 130°; ∠C = ∠A = 50°.
б) Биссектриса отсекает равнобедренный △ABK (∠BAK = ∠KAD = ∠BKA), поэтому BK = AB = 6, а KC = BC − BK = 4.
в) Признак прямоугольника «диагонали равны» верен только для параллелограмма. У равнобокой трапеции диагонали тоже равны, но это не прямоугольник.

R01.1–R01.4

Задания с самопроверкой · база

Найдите

Параллелограмм: $∠ A$ на $4 0^{\circ}$ меньше $∠ B$ . Найдите $∠ A$ . $7 0^{\circ}$
Ромб $A BC D$ : $∠ A B D = 3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ . $11 0^{\circ}$
Прямоугольник $A BC D$ : $∠ C A D = 2 5^{\circ}$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите $∠ A OB$ . $5 0^{\circ}$

Равнобокая трапеция: основания $4$ и $10$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите высоту. $3$
Параллелограмм: периметр $30$ , $A B = 6$ . Найдите $BC$ . $9$
Трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$ : $∠ A = 4 0^{\circ}$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ и $∠ C$ . $14 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$

R01.1–R01.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Параллелограмм $A BC D$ : биссектрисы углов $A$ и $D$ пересекают $BC$ в точках $K$ и $L$ ; $A B = 5$ , $BC = 12$ . Найдите $K L$ . $2$
повыш.Равнобокая трапеция: основания $6$ и $14$ , боковая сторона $8$ . Найдите углы трапеции. $6 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$
повыш.Докажите: если диагональ параллелограмма — биссектриса его угла, то он ромб.
$∠ B A C = ∠ BC A$ ⇒ $A B = BC$ ⇒ ромб
из жизниКак столяру проверить одной рулеткой, что рама — прямоугольник?
противоположные стороны равны и диагонали равны

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Биссектриса угла A отсекает равнобедренный △ABK: BK = AB = 5; биссектриса угла D — △DCL: CL = CD = 5. KL = 12 − 5 − 5 = 2.
2) AH = (14 − 6) : 2 = 4 — половина боковой стороны 8 ⇒ в прямоугольном △ABH ∠ABH = 30°, ∠A = 60°. Углы: 60°, 60°, 120°, 120°.
3) Пусть AC — биссектриса ∠A: ∠BAC = ∠CAD. ∠CAD = ∠BCA (накрест лежащие при BC ∥ AD) ⇒ ∠BAC = ∠BCA ⇒ △ABC равнобедренный, AB = BC ⇒ параллелограмм с равными смежными сторонами — ромб.
4) Противоположные стороны попарно равны ⇒ параллелограмм (признак); диагонали равны ⇒ прямоугольник. Одних равных диагоналей мало (сл. 18, в).

R01.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 17

Ответ — одно число

17 Диагональ $A C$ параллелограмма $A BC D$ в два раза больше стороны $A B$ , $∠ A C D = 11 2^{\circ}$ . Найдите угол между диагоналями. Ответ дайте в градусах. $34$

Ещё два — в том же формате

$A C = 2 A B$ , $∠ A C D = 10 4^{\circ}$ . Найдите угол между диагоналями. $38$
Ромб $A BC D$ : $∠ A BC = 12 4^{\circ}$ . Найдите $∠ A C D$ . $28$

Подсказка к 1–2: сравните

A O

и

A B

.

2 мин · практика
В тетради, ответ — только число (как в бланке ОГЭ). Первый щелчок открывает на чертеже равные отрезки и угол, второй — ответ.
1) AO = AC : 2 = AB ⇒ △ABO равнобедренный. ∠BAC = ∠ACD = 112° (накрест лежащие при AB ∥ CD). ∠AOB = (180° − 112°) : 2 = 34°. Угол между диагоналями — острый, 34°. Ответ: 34.
2) Так же: ∠BAC = 104°, ∠AOB = (180° − 104°) : 2 = 38°. 3) ∠BCD = 180° − 124° = 56°, диагональ ромба — биссектриса: ∠ACD = 28°.
Ошибки: дают ответ 112 или 146 (= 180° − 34°, тупой угол между диагоналями — по определению угол между прямыми не больше 90°).

R01.1–R01.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Параллелограмм: $∠ A = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ и $∠ D$ . $7 0^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$
Прямоугольник: $A C = 10$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите $BO$ . $5$
Равнобокая трапеция: основания $5$ и $13$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите высоту. $4$
$△ A BC$ : $A B = 4$ , $BC = 8$ , $BM$ — медиана. $BM < ?$ $6$

Вариант 2

Параллелограмм: $∠ B = 12 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ и $∠ D$ . $5 5^{\circ}$ , $12 5^{\circ}$
Ромб: $∠ A = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A B D$ . $6 5^{\circ}$
Равнобокая трапеция: основания $3$ и $11$ , высота $4$ . Найдите $∠ A$ . $4 5^{\circ}$
$△ A BC$ : $A B = 5$ , $BC = 9$ , $BM$ — медиана. $BM < ?$ $7$

4 мин · практика
Вариант 1: 1) ∠C = ∠A = 70°, ∠D = 180° − 70° = 110°. 2) Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам: BO = 10 : 2 = 5. 3) AH = (13 − 5) : 2 = 4, △ABH равнобедренный ⇒ h = 4. 4) 2·BM < 4 + 8 ⇒ BM < 6.
Вариант 2: 1) ∠A = 180° − 125° = 55° (соседние углы), ∠D = ∠B = 125° (противоположные). 2) ∠ABC = 180° − 50° = 130°, диагональ BD — биссектриса: ∠ABD = 65°. 3) AH = (11 − 3) : 2 = 4 = h ⇒ △ABH равнобедренный, ∠A = 45°. 4) 2·BM < 5 + 9 ⇒ BM < 7.
3,5 мин на решение, затем обмен тетрадями и проверка по ответам (по клику). Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3».

R01.1–R01.6

Итог урока

Рефлексия и домашнее задание

Главное

Свойство: «фигура — ромб ⇒ …»; признак: «… ⇒ фигура — ромб».
Трапеция: две высоты.
Медиана: удвоить.

Проверь себя

Я различаю свойства и признаки.
Нахожу равнобедренный треугольник у биссектрисы.
Знаю, когда удвоить медиану.

Дома

Параллелограмм $A BC D$ : биссектриса $∠ B$ пересекает $A D$ в $E$ , $A E = 4$ , $E D = 3$ . Найдите периметр.
Карта темы по памяти: к каждой фигуре — 2 свойства и 1 признак.
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-012 · Обобщение и систематизация по теме «Четырехугольники»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 12 ч · урок 12/12 · тип О (обобщение)
Единицы → слайды	R01.1 «Параллелограмм, его признаки и свойства» → 3–8, 15–22 · R01.2 «Частные случаи параллелограммов…» → 3–7, 9, 16–19, 22 · R01.3 «Трапеция» → 4, 10, 19 · R01.4 «Равнобокая и прямоугольная трапеции» → 4–6, 10–11, 16–17, 19–20, 22 · R01.5 «Метод удвоения медианы» → 3, 12–13, 16, 22 · R01.6 «Центральная симметрия» → 3, 5, 7, 14–15
Результаты	ПР-1 = REQ-6.1 (распознавать виды четырёхугольников, пользоваться свойствами) → 2–23 · EL-6.1 → 5–8, 15, 21 · EL-6.2 → 5–7, 9 · EL-6.3 → 10–11, 17 · EL-6.4 → 12–15 · вид деятельности «доказывать и использовать признаки и свойства» → 6, 15, 18, 20; «применять метод удвоения медианы» → 12–13, 22
ОГЭ	линия 17 (четырёхугольники) → 21; подготовка к линии 19 (верные утверждения) → 7
Вне урока	средняя линия трапеции, теорема Фалеса — R02 (GEOM8-013, 014); площади — R03; теорема Пифагора — R04; вписанные и описанные четырёхугольники — R05
Формат	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %); 5 слайдов «Образец → сам» (8, 9, 11, 13, 15); разбор ошибок — 17, 18
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Четырёхугольники: собираем тему целиком

Сегодня вы научитесь

Систематизировать

Выбирать свойство или признак

Применять приёмы

Решать задачу ОГЭ

Восемь вопросов — в уме

Семейство четырёхугольников

Что умеет каждая фигура

Четырёхугольник — параллелограмм, если…

Прямоугольник

Ромб

Равнобокая трапеция

Верно или неверно?

Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник

Образец: AK — биссектриса ∠A, BK=5, KC=3. Найдите периметр ABCD.

Сам: ABCD — параллелограмм, биссектриса ∠A пересекает BC в точке K

Угол 60∘ — ищи равносторонний треугольник

Образец: ромб ABCD, ∠A=60∘, BD=7. Найдите периметр.

Сам: O — точка пересечения диагоналей

Две высоты — и трапеция «распадается»

Две высоты — два равных треугольника

Образец: равнобокая трапеция, AD=13, BC=5, ∠A=45∘. Найдите высоту.

Сам: трапеция ABCD, AD∥BC

Дана медиана — продли её на свою длину

Медиана меньше полусуммы сторон

Образец: AB=6, BC=10. Может ли медиана BM быть равна 9?

Сам: в △ABC проведена медиана BM

Поворот на 180° вокруг точки O

Центр симметрии есть

Центра симметрии нет

Отрезок через центр делится им пополам

Образец: прямая через центр O параллелограмма пересекает BC в M, AD в N. Докажите: OM=ON.

Сам: та же конструкция

Шесть опор для задач

Параллелограмм

Биссектриса угла

Прямоугольник

Ромб

Равнобокая трапеция

Удвоение медианы

Так нельзя

«Диагонали ⊥ — значит, ромб»

«AH=a−b»

Тупой угол между диагоналями

Где ошибся ученик?

а) Параллелограмм ABCD, ∠A=50∘. Найти ∠B и ∠C.

б) AK — биссектриса ∠A параллелограмма, K∈BC, AB=6, BC=10. Найти KC.

в) «У четырёхугольника ABCD диагонали равны, значит, это прямоугольник».

Найдите

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Ещё два — в том же формате

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Рефлексия и домашнее задание

Главное

Проверь себя

Дома

GEOM8-012 · Обобщение и систематизация по теме «Четырехугольники»

Образец: $A K$ — биссектриса $∠ A$ , $B K = 5$ , $K C = 3$ . Найдите периметр $A BC D$ .

Сам: $A BC D$ — параллелограмм, биссектриса $∠ A$ пересекает $BC$ в точке $K$

Угол $6 0^{\circ}$ — ищи равносторонний треугольник

Образец: ромб $A BC D$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $B D = 7$ . Найдите периметр.

Сам: $O$ — точка пересечения диагоналей

Образец: равнобокая трапеция, $A D = 13$ , $BC = 5$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите высоту.

Сам: трапеция $A BC D$ , $A D ∥ BC$

Образец: $A B = 6$ , $BC = 10$ . Может ли медиана $BM$ быть равна $9$ ?

Сам: в $△ A BC$ проведена медиана $BM$

Образец: прямая через центр $O$ параллелограмма пересекает $BC$ в $M$ , $A D$ в $N$ . Докажите: $OM = ON$ .

«Диагонали $⊥$ — значит, ромб»

« $A H = a - b$ »

а) Параллелограмм $A BC D$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ . Найти $∠ B$ и $∠ C$ .

б) $A K$ — биссектриса $∠ A$ параллелограмма, $K \in BC$ , $A B = 6$ , $BC = 10$ . Найти $K C$ .

в) «У четырёхугольника $A BC D$ диагонали равны, значит, это прямоугольник».