Четырёхугольники · урок 11 из 12 · практикум

Метод удвоения медианы: решаем задачи

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R01 · GEOM8-011

1 мин · теория
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин. Тип урока — П (практикум): теория — только сводка и одна опорная задача, остальное решают ученики.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (12 ч), урок 11/12, единица R01.5. Метод введён на уроке GEOM8-005 (оценка медианы, медиана к гипотенузе, медиана-биссектриса); сегодня — новые типы задач: углы и периметры в достроенной фигуре, равенство по двум сторонам и медиане, медиана ⊥ стороне, медиана к гипотенузе и обратное утверждение, равнобедренный треугольник с углом 120°.
План: цели и разминка 5,5 мин (сл. 2–3) · сводка метода 4,5 мин (сл. 4–5) · образец A и опорная задача 7 мин (сл. 6–8) · образцы типов 2–5 10 мин (сл. 9–12) · ошибки 3,5 мин (сл. 13–14) · самопроверка и ОГЭ 6,5 мин (сл. 15–17) · самостоятельная 4 мин (сл. 18) · итог 1 мин (сл. 19).
Слабый класс: сл. 8 № 2 и сл. 16 — в ДЗ; сильный — повышенный уровень сл. 16 целиком.

R01.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Применять метод

удвоения медианы треугольника в задачах на доказательство и вычисление (ФРП: виды деятельности, EL-6.4)

Видеть параллелограмм

и пользоваться его свойствами в достроенной фигуре (ПР-1, REQ-6.1)

Доказывать равенство

треугольников по двум сторонам и медиане (ФРП: виды деятельности)

Решать задачу ОГЭ

линии 15 «Треугольники» с медианой к гипотенузе (ПР-1)

R01.5

Разминка · устно

Медиану $A M$ удвоили: $M D = A M$

$A B = 8$ , $A C = 12$ , $A M = 7$ . Периметр $△ A B D$ ?

$8 + 12 + 14 = 34$

$A B = 6$ , $A C = 14$ . Оцените медиану $A M$ .

$4 < A M < 10$

$∠ B A C = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A B D$ .

$18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$

Диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам. Это…

параллелограмм

Катет против угла $3 0^{\circ}$ равен $6$ . Гипотенуза?

$12$

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , гипотенуза $A B = 14$ . Найдите медиану $CM$ .

$7$

3 мин · практика
Устно, по 20–30 с на задание; ответ открывать после 2–3 ответов класса.
1) BD = AC = 12, AD = 2·7 = 14 ⇒ P = 8 + 12 + 14 = 34.
2) В △ABD: стороны 6, 14 и AD = 2·AM. 14 − 6 < 2AM < 14 + 6 ⇒ 4 < AM < 10. Ошибка: забывают делить на 2 (пишут 8 < AM < 20).
3) ABDC — параллелограмм, ∠BAC и ∠ABD — соседние углы ⇒ сумма 180°, ∠ABD = 110°.
4) Признак параллелограмма по диагоналям (GEOM8-001) — на нём держится весь метод.
5) Гипотенуза = 2 · 6 = 12 (теорема 7 класса; понадобится в типе 2).
6) Медиана к гипотенузе равна её половине: 14 : 2 = 7 (GEOM8-005; понадобится в типе 3).

R01.5 · повторение GEOM8-005

Вспомним

Удвоение медианы за три кадра

Диагонали

A D

и

BC

делятся точкой

M

пополам

\Rightarrow

A B D C

— параллелограмм:

B D = A C

,

C D = A B

.

R01.5

Сегодня три типа задач

Сигнал в условии → что даёт удвоение

	Сигнал в условии	После удвоения	Чем решаем
Тип 1	две стороны и медиана, доказать равенство	$△ A B D$ со сторонами $c, b, 2 m$	признак равенства по трём сторонам
Тип 2	медиана $⊥$ стороне, угол $12 0^{\circ}$	прямоугольный $△$ с углом $3 0^{\circ}$	катет против угла $3 0^{\circ}$
Тип 3	прямой угол и медиана к гипотенузе	прямоугольник: $CM = \frac{A B}{2}$	равнобедренные треугольники

R01.5

Образец → сам · углы и стороны после удвоения

Переносим стороны и углы в $△ A B D$

Образец: $M D = A M$ , $∠ B A M = 2 5^{\circ}$ , $∠ C A M = 4 0^{\circ}$ , $A C = 7$ . Найдите углы $△ A B D$ и $B D$ .

$B D = A C = 7$ $A B D C$ — параллелограмм (диагонали делятся пополам)
$∠ B A D = ∠ B A M = 2 5^{\circ}$ $D$ лежит на луче $A M$
$∠ B D A = ∠ C A D = 4 0^{\circ}$ накрест лежащие, $B D ∥ A C$
$∠ A B D = 18 0^{\circ} - 2 5^{\circ} - 4 0^{\circ} = 11 5^{\circ}$ сумма углов треугольника

Сам

$A B = 9$ , $A C = 11$ , $A M = 6$ . Периметр $△ A B D$ ? $32$
$A B = 6$ , $A C = 10$ , $P_{△ A B D} = 30$ . Найдите $A M$ . $7$
$∠ B A C = 7 2^{\circ}$ , $∠ B A M = 3 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A D B$ . $4 2^{\circ}$

R01.5

Тип 1 · опорная задача · доказательство

$A B = A_{1} B_{1}$ , $A C = A_{1} C_{1}$ , медианы $A M = A_{1} M_{1}$ . Докажите: $△ A BC = △ A_{1} B_{1} C_{1}$

Удвоим медианы: $M D = A M$ , $M_{1} D_{1} = A_{1} M_{1}$ $B D = A C$ , $B_{1} D_{1} = A_{1} C_{1}$ (параллелограммы)
$△ A B D = △ A_{1} B_{1} D_{1}$ по трём сторонам: $c$ , $b$ , $2 m$
$∠ B A D = ∠ B_{1} A_{1} D_{1}$ , $∠ B D A = ∠ B_{1} D_{1} A_{1}$ а $∠ B D A = ∠ C A D$ (накрест лежащие)
$∠ B A C = ∠ B_{1} A_{1} C_{1}$ $\Rightarrow$ $△ A BC = △ A_{1} B_{1} C_{1}$ по двум сторонам и углу между ними

R01.5

Тип 1 · реши сам

$A M$ — медиана $△ A BC$ , $M D = A M$

базаДокажите, что $∠ A B D + ∠ B A C = 18 0^{\circ}$ . односторонние при $B D ∥ A C$
повыш. $A B > A C$ . Докажите, что $∠ B A M < ∠ C A M$ .

Подсказка к № 2: в

△ A B D

против большей стороны лежит больший угол.

№ 2:

B D = A C < A B

\Rightarrow

∠ B A D < ∠ B D A = ∠ C A M

R01.5

Образец → сам · тип 2 · медиана ⊥ стороне

Медиана перпендикулярна стороне

Образец: $A M ⊥ A B$ , $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ , $A B = 5$ . Найдите $A C$ .

$∠ M A C = 12 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ $∠ B A M = 9 0^{\circ}$
Удвоим: $B D = A C$ , $B D ∥ A C$ $A B D C$ — параллелограмм
$∠ B D A = ∠ C A D = 3 0^{\circ}$ накрест лежащие
$△ A B D$ : $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $A B = \frac{B D}{2}$ катет против угла $3 0^{\circ}$
$A C = B D = 2 \cdot 5 = 10$

Сам

$A M ⊥ A B$ , $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ , $A C = 18$ . Найдите $A B$ . $9$
$A M ⊥ A C$ , $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ , $A C = 7$ . Найдите $A B$ . $14$
$A M ⊥ A B$ , $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ , $A B = 4, 5$ . Найдите $A C$ . $9$

2,5 мин · практика
Образец (1,5 мин): ключ — прямой угол уже есть при вершине A, а угол 30° «переезжает» к точке D. Ошибка: AB считают гипотенузой; гипотенуза — против прямого угла, это BD.
Чертёж точный: A(0; 0), B(5; 0), C(−5; 5√3), M(0; 2,5√3) — AM ⊥ AB, AC = 10; BD = √(5² + 75) = 10.
Сам (1 мин): 1) как в образце: BD = AC = 18, AB — катет против 30° ⇒ AB = 9.
2) Зеркальный случай: ∠BAM = 120° − 90° = 30°; удобнее CD = AB, CD ∥ AB ⇒ ∠CDA = ∠BAD = 30°; в △ACD ∠CAD = 90°, AC — катет против 30° ⇒ CD = 2·7 = 14 ⇒ AB = 14.
3) AC = BD = 2 · 4,5 = 9.

R01.5 · R01.2

Образец → сам · тип 3 · медиана к гипотенузе

Медиана к гипотенузе и углы

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $CM$ — медиана, $∠ BMC = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ .

Удвоим $CM$ : $A CB D$ — прямоугольникпараллелограмм с прямым углом $C$
$C D = A B$ $\Rightarrow$ $CM = MB = M A$ диагонали прямоугольника равны
$∠ B = ∠ MCB = \frac{18 0 ^{\circ} - 7 0 ^{\circ}}{2} = 5 5^{\circ}$ $△ CMB$ равнобедренный
$∠ A = 9 0^{\circ} - 5 5^{\circ} = 3 5^{\circ}$

Сам

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A CM = 2 5^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $6 5^{\circ}$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A B = 18$ . Найдите $CM$ и $BC$ . Вид $△ CMB$ ? $9$ , $9$ , равносторонний

R01.5 · R01.2

Образец → сам · обратная задача

Медиана равна половине стороны — что это даёт?

Образец: в $△ A BC$ медиана $CM = \frac{A B}{2}$ , $∠ A = 2 8^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ .

Удвоим: $M D = CM$ , $A CB D$ — параллелограммдиагонали делятся точкой $M$ пополам
$C D = 2 CM = A B$ условие $CM = \frac{A B}{2}$
$A CB D$ — прямоугольник, $∠ C = 9 0^{\circ}$ параллелограмм с равными диагоналями
$∠ B = 9 0^{\circ} - 2 8^{\circ} = 6 2^{\circ}$

Сам

$CM = \frac{A B}{2}$ , $∠ A = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $5 0^{\circ}$
$A B = 16$ , $CM = 8$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $8$
$A B = 10$ , $CM = 5$ , $∠ A CM = 2 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $7 0^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин): это утверждение, обратное свойству медианы к гипотенузе. Вопрос: почему ACBD — прямоугольник? (признак прямоугольника R01.2: параллелограмм с равными диагоналями).
Чертёж точный: C(0; 0), A(10·cos 28°; 0), B(0; 10·sin 28°), M — середина AB, D = A + B − C.
Сам (1,5 мин): 1) ∠C = 90° ⇒ ∠B = 50°. 2) CM = AB/2 ⇒ ∠C = 90°, ∠A = 30° ⇒ BC = AB/2 = 8 (или △CMB равносторонний: MB = MC = 8, ∠B = 60°). 3) CM = 5 = AB/2 ⇒ ∠C = 90°; MA = MC ⇒ ∠A = ∠ACM = 20° ⇒ ∠B = 70°.
Ошибка: «∠C неизвестен, задача не решается» — сначала доказать, что ∠C прямой.

R01.5

Образец → сам · комбинированная задача

Равнобедренный треугольник с углом $12 0^{\circ}$

Образец: $A B = A C = 10$ , $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ , $A M$ — медиана. Найдите $A M$ .

Удвоим: $B D = A C = 10 = A B$ $A B D C$ — параллелограмм
$∠ A B D = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ односторонние, $B D ∥ A C$
$△ A B D$ — равносторонний, $A D = 10$ равнобедренный с углом $6 0^{\circ}$
$A M = \frac{A D}{2} = 5$

Сам

$A B = A C = 14$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ . Найдите медиану $A M$ . $7$
$A B = A C$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ , $A M = 3, 5$ . Найдите $A B$ . $7$
$A B = A C$ , $∠ A = 12 0^{\circ}$ , $A M = 5$ . Найдите периметр $A B D C$ . $40$

R01.5

Осторожно · типичные ошибки

Где ошибаются после удвоения

Не тот угол

$∠ B D A = ∠ B A M$

$∠ B D A = ∠ C A M$

$B D ∥ A C$ , а не $A B$

Не та гипотенуза

$B D = \frac{A B}{2}$

$A B = \frac{B D}{2}$

против $3 0^{\circ}$ — катет, гипотенуза — против $9 0^{\circ}$

Нет прямого угла

всегда $CM = \frac{A B}{2}$

только при $∠ C = 9 0^{\circ}$

в остальных треугольниках неверно

R01.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A M ⊥ A B$ , $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ , $A B = 6$ . Найти $A C$ .

$∠ B D A = 3 0^{\circ}$ , $A B$ — гипотенуза $\Rightarrow$ $B D = 3$ , $A C = 3$

гипотенуза — $B D$ (против $∠ B A D = 9 0^{\circ}$ )

$A C = B D = 2 \cdot 6 = 12$

б) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $CM$ — медиана, $∠ A MC = 10 0^{\circ}$ . Найти $∠ A$ .

$∠ A = 10 0^{\circ} : 2 = 5 0^{\circ}$

$M A = MC$ : $△ A MC$ равнобедренный

$∠ A = \frac{18 0 ^{\circ} - 10 0 ^{\circ}}{2} = 4 0^{\circ}$

в) $A B = 4$ , $A C = 10$ . Оценить медиану $A M$ .

в $△ A B D$ : $10 - 4 < A M < 10 + 4$ , $6 < A M < 14$

сторона $△ A B D$ — это $A D = 2 A M$

$6 < 2 A M < 14$ $\Rightarrow$ $3 < A M < 7$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Перепутаны катет и гипотенуза: в △ABD прямой угол при A, гипотенуза BD; AB — катет против ∠BDA = 30° ⇒ BD = 2AB = 12 ⇒ AC = BD = 12.
б) 100° — угол при вершине равнобедренного △AMC (MA = MC = AB/2), а не удвоенный угол A: ∠A = ∠ACM = (180° − 100°) : 2 = 40°. (Верно было бы ∠A = ∠BMC : 2 = 80° : 2 = 40° — внешний угол.)
в) В △ABD стороны AB = 4, BD = AC = 10 и AD = 2AM; неравенство треугольника — для AD: 6 < 2AM < 14 ⇒ 3 < AM < 7.

R01.5

Задания с самопроверкой · база

Во всех задачах $A M$ или $CM$ — медиана $△ A BC$

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , медиана $CM = 7, 5$ . Найдите гипотенузу $A B$ . $15$
$M D = A M$ , $∠ B A C = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ A C D$ . $11 6^{\circ}$
$M D = A M$ , $A B = 7$ , $A C = 9$ , $A M = 5$ . Периметр $△ A C D$ ? $26$

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $CM$ — медиана, $∠ A = 3 6^{\circ}$ . Найдите $∠ BMC$ . $7 2^{\circ}$
$A M ⊥ A C$ , $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ , $A C = 5$ . Найдите $A B$ . $10$
$A B = A C = 12$ , $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ . Найдите медиану $A M$ . $6$

R01.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $A M ⊥ A B$ , $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ , $A C = 22$ . Найдите $A B$ (рисунок). $11$
повыш.Медиана $A M$ образует с $A B$ угол $9 0^{\circ}$ , с $A C$ — угол $3 0^{\circ}$ . Докажите: $A C = 2 A B$ . $B D = A C$ , $A B$ — катет против $3 0^{\circ}$
повыш. $A B = 8$ , $A C = 12$ , медиана $A M$ — целое число. Сколько значений она может принимать? $7$
из жизниКак одной рулеткой проверить, что угол $C$ треугольного участка прямой? $CM = \frac{A B}{2}$ , $M$ — середина $A B$

R01.5 · ОГЭ 15

Формат ОГЭ · линия 15

Задача из банка: короткий ответ

15 В треугольнике $A BC$ угол $C$ равен $9 0^{\circ}$ , $CM$ — медиана, угол $BCM$ равен $5 8^{\circ}$ . Найдите угол $A$ . Ответ дайте в градусах.

Ответ: ________

Подсказка:

CM = MB

— какой треугольник равнобедренный?

Ответ: 32

R01.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Во всех задачах $A M$ или $CM$ — медиана $△ A BC$ ; $D$ — точка на продолжении медианы $A M$ , $M D = A M$ .

Вариант 1

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A B = 13$ . Найдите $CM$ . $6, 5$
$A B = 5$ , $A C = 8$ , $A M = 6$ . Периметр $△ A B D$ ? $25$
$A M ⊥ A B$ , $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ , $A C = 16$ . Найдите $A B$ . $8$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ BMC = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ . $3 2^{\circ}$

Вариант 2

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $CM = 9$ . Найдите $A B$ . $18$
$A B = 6$ , $A C = 9$ , $A M = 4$ . Периметр $△ A C D$ ? $23$
$A M ⊥ A C$ , $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ , $A C = 9$ . Найдите $A B$ . $18$
$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ A = 2 7^{\circ}$ . Найдите $∠ BMC$ . $5 4^{\circ}$

4 мин · практика
3,5 мин на решение, затем обмен тетрадями и проверка по ответам (по клику). Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3».
Вариант 1: 1) CM = 13 : 2 = 6,5. 2) BD = AC = 8, AD = 12 ⇒ P = 5 + 8 + 12 = 25. 3) BD = AC = 16, AB — катет против ∠BDA = 30° ⇒ AB = 8. 4) MC = MB ⇒ ∠B = (180° − 64°) : 2 = 58° ⇒ ∠A = 32°.
Вариант 2: 1) AB = 2 · 9 = 18. 2) CD = AB = 6, AD = 8 ⇒ P = 9 + 6 + 8 = 23. 3) CD = AB, ∠CDA = ∠BAM = 30°, AC — катет против 30° ⇒ AB = CD = 18. 4) MA = MC ⇒ ∠ACM = 27°, ∠BMC = 2 · 27° = 54° (внешний угол △AMC).
Данные согласованы: треугольники со сторонами 5, 8, 12 и 6, 9, 8 существуют (длины BC ≈ 5,83 и ≈ 13,04).

R01.5

Итог урока

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

По какому сигналу в условии вы удвоите медиану?
Почему $∠ B D A = ∠ C A M$ ?
Какой тип задач был труднее?

Дома

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $CM$ — медиана, $∠ BMC = 8 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ и $∠ B$ .
$A M ⊥ A C$ , $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ , $A C = 6$ . Найдите $A B$
Тренажёр по теме:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-011 · Практикум: метод удвоения медианы

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 12 ч · урок 11/12 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R01.5 «Метод удвоения медианы» → 2–19 (R01.2 — признак и свойства прямоугольника → 10–11)
Результаты	вид деятельности ФРП «Применять метод удвоения медианы треугольника» → 3–19 · ПР-1 = REQ-6.1 (пользоваться свойствами четырёхугольников: параллелограмм, прямоугольник, ромб) → 3–6, 9–12 · EL-6.4 → 4–5
ОГЭ	линия 15 (треугольники) → 17; линия 24 (доказательство) — по типу сл. 7–8, 16 № 2
Вне урока	оценка медианы, медиана-биссектриса, введение метода — GEOM8-005; центральная симметрия — GEOM8-006; теорема Пифагора — R04; тригонометрия — R04
Формат	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %); образцов «Образец → сам» — 5; разбор ошибок — сл. 13–14
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Метод удвоения медианы: решаем задачи

Сегодня вы научитесь

Применять метод

Видеть параллелограмм

Доказывать равенство

Решать задачу ОГЭ

Медиану AM удвоили: MD=AM

Удвоение медианы за три кадра

Сигнал в условии → что даёт удвоение

Переносим стороны и углы в △ABD

Образец: MD=AM, ∠BAM=25∘, ∠CAM=40∘, AC=7. Найдите углы △ABD и BD.

Сам

AB=A1​B1​, AC=A1​C1​, медианы AM=A1​M1​. Докажите: △ABC=△A1​B1​C1​

AM — медиана △ABC, MD=AM

Медиана перпендикулярна стороне

Образец: AM⊥AB, ∠BAC=120∘, AB=5. Найдите AC.

Сам

Медиана к гипотенузе и углы

Образец: ∠C=90∘, CM — медиана, ∠BMC=70∘. Найдите ∠A.

Сам

Медиана равна половине стороны — что это даёт?

Образец: в △ABC медиана CM=2AB​, ∠A=28∘. Найдите ∠B.

Сам

Равнобедренный треугольник с углом 120∘

Образец: AB=AC=10, ∠BAC=120∘, AM — медиана. Найдите AM.

Сам

Где ошибаются после удвоения

Не тот угол

Не та гипотенуза

Нет прямого угла

Где ошибся ученик?

а) AM⊥AB, ∠BAC=120∘, AB=6. Найти AC.

б) ∠C=90∘, CM — медиана, ∠AMC=100∘. Найти ∠A.

в) AB=4, AC=10. Оценить медиану AM.

Во всех задачах AM или CM — медиана △ABC

Подумайте и решите

Задача из банка: короткий ответ

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Рефлексия и домашнее задание

Проверь себя

Дома

GEOM8-011 · Практикум: метод удвоения медианы

Медиану $A M$ удвоили: $M D = A M$

Переносим стороны и углы в $△ A B D$

Образец: $M D = A M$ , $∠ B A M = 2 5^{\circ}$ , $∠ C A M = 4 0^{\circ}$ , $A C = 7$ . Найдите углы $△ A B D$ и $B D$ .

$A B = A_{1} B_{1}$ , $A C = A_{1} C_{1}$ , медианы $A M = A_{1} M_{1}$ . Докажите: $△ A BC = △ A_{1} B_{1} C_{1}$

$A M$ — медиана $△ A BC$ , $M D = A M$

Образец: $A M ⊥ A B$ , $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ , $A B = 5$ . Найдите $A C$ .

Образец: $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $CM$ — медиана, $∠ BMC = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ .

Образец: в $△ A BC$ медиана $CM = \frac{A B}{2}$ , $∠ A = 2 8^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ .

Равнобедренный треугольник с углом $12 0^{\circ}$

Образец: $A B = A C = 10$ , $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ , $A M$ — медиана. Найдите $A M$ .

а) $A M ⊥ A B$ , $∠ B A C = 12 0^{\circ}$ , $A B = 6$ . Найти $A C$ .

б) $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $CM$ — медиана, $∠ A MC = 10 0^{\circ}$ . Найти $∠ A$ .

в) $A B = 4$ , $A C = 10$ . Оценить медиану $A M$ .

Во всех задачах $A M$ или $CM$ — медиана $△ A BC$