Четырёхугольники · урок 10 из 12 · практикум

Равнобокая и прямоугольная трапеции: решаем задачи

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8-010

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (12 ч), урок 10/12, единица R01.4. Тип урока — П (практикум). Теория была на уроке GEOM8-004; сегодня — короткая сводка и типы задач, от прямого применения к доказательству и задаче из жизни.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 «Вспомним» 2 · 5 схема-конспект 1,5 · 6 опорные факты 1,5 · 7 ключ к задачам 2,5 · 8 доказательство 2,5. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (33): 3 разминка 2,5 · 9–13 пять «Образец → сам» по 2,5 · 14 признаки устно 1,5 · 15 ошибки 1,5 · 16 найди ошибку 2 · 17 база 3 · 18 повышенный 2,5 · 19 ОГЭ 2,5 · 20 самостоятельная 4 · 21 итог 1.
Опора урока — свойство катета против угла 30° (7 класс) и равнобедренный прямоугольный треугольник (угол 45°). Теорему Пифагора не используем: она будет в R04.
Если класс слабый — сл. 18 (повышенный) перенести в ДЗ; теорию не выбрасывать.

R01.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать

равнобокую и прямоугольную трапеции и их элементы (ПР-1, REQ-6.1)

Пользоваться свойствами

углов, диагоналей и высот при решении задач (ПР-1, EL-6.3)

Доказывать по признакам

что трапеция равнобокая (ФРП: виды деятельности)

Решать задачу ОГЭ

линии 17 «Четырёхугольники» (ПР-1)

1 мин · теория
ПР-1 (дословно ФРП): «Распознавать основные виды четырехугольников, их элементы, пользоваться их свойствами при решении геометрических задач» = REQ-6.1; EL-6.3 «Трапеция, равнобокая трапеция, ее свойства и признаки. Прямоугольная трапеция».
Вид деятельности ФРП: «Доказывать и использовать при решении задач признаки и свойства… трапеции, равнобокой трапеции, прямоугольной трапеции».
Спросить: где встречается форма трапеции? (сечение канала, насыпь, крыша, пандус).

повторение: 7 класс, GEOM8-003, GEOM8-004

Разминка · устно

Углы и катеты — в уме

Трапеция $A BC D$ , $BC ∥ A D$ , $∠ A = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $11 0^{\circ}$
Катет против угла $3 0^{\circ}$ , гипотенуза $14$ $7$
Прямоугольный треугольник, острый угол $4 5^{\circ}$ , один катет $5$ . Второй катет? $5$
$(19 - 7) : 2$ $6$

Равнобокая трапеция, $∠ A = 6 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $11 5^{\circ}$
Катет против $3 0^{\circ}$ равен $4, 5$ . Гипотенуза? $9$
Острый угол прямоугольного треугольника $6 0^{\circ}$ . Другой острый? $3 0^{\circ}$
Сколько прямых углов у прямоугольной трапеции? два

R01.4 · повторение GEOM8-004

Вспомним

Что знаем о двух особых трапециях

Равнобокая: равные углы при основании и равные диагонали. Прямоугольная: боковая сторона

A B

— высота.

R01.4 · повторение GEOM8-004

Схема-конспект

Свойства и признаки — не путать

Трапеция	Свойства (дано → следует)	Признаки (трапеция + … → вид)
равнобокая $A B = C D$	$∠ A = ∠ D$ , $∠ B = ∠ C$ $A C = B D$ есть ось симметрии	$∠ A = ∠ D$ ⇒ равнобокая $A C = B D$ ⇒ равнобокая
прямоугольная $∠ A = 9 0^{\circ}$	$∠ B = 9 0^{\circ}$ тоже $A B ⊥ A D$ : $A B$ — высота	один угол прямой ⇒ прямоугольная

Признак работает, только если уже известно, что

A BC D

— трапеция.

повторение: 7 класс

Опорные факты

Два прямоугольных треугольника, которые решают всё

∠ A = 3 0^{\circ} \Rightarrow BC = \frac{A B}{2}

и обратно: катет $= \frac{1}{2}$ гипотенузы ⇒ против него $3 0^{\circ}$

∠ A = 4 5^{\circ} \Rightarrow A C = BC

треугольник равнобедренный прямоугольный

R01.4

Ключ к задачам

Проведи высоту — получишь прямоугольные треугольники

A H = KD = \frac{A D - BC}{2}

A H = BC, HD = A D - BC

R01.4

Доказательство · почему отрезки равны

Почему $A H = KD = \frac{A D - BC}{2}$

$H BC K$ — прямоугольник ⇒ $HK = BC$ $B H ∥ C K$ (обе $⊥ A D$ ), $BC ∥ HK$ , $∠ H = 9 0^{\circ}$
$△ A B H = △ D C K$ ⇒ $A H = KD$ по гипотенузе и острому углу: $A B = C D$ , $∠ A = ∠ D$
$A D = A H + HK + KD = 2 A H + BC$ точки $H$ и $K$ лежат на $A D$
$A H = \frac{A D - BC}{2}$ , $A K = \frac{A D + BC}{2}$ $A K = A H + HK$ — пригодится в ОГЭ

2,5 мин · теория
Учитель доказывает у доски; шаги открывать по одному, перед каждым — «почему?». Чертёж точный: AD = 14, BC = 6, AH = KD = 4.
1) BH ⊥ AD, CK ⊥ AD ⇒ BH ∥ CK; BC ∥ AD ⇒ HBCK — параллелограмм с прямым углом, т. е. прямоугольник; HK = BC, BH = CK.
2) △ABH и △DCK прямоугольные, гипотенузы AB = CD (трапеция равнобокая), ∠A = ∠D (свойство) ⇒ равны ⇒ AH = KD.
4) AK = AH + HK = (AD − BC)/2 + BC = (AD + BC)/2. Для прямоугольной трапеции аналогично: ABCH — прямоугольник, AH = BC, HD = AD − BC (сл. 7).

R01.4

Образец → сам · диагональ — биссектриса

Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник

Образец: равнобокая, $A C$ — биссектриса $∠ A$ , $BC = 6$ , $P = 30$ . Найдите $A D$ .

$∠ BC A = ∠ C A D = ∠ B A C$ накрест лежащие при $BC ∥ A D$ ; $A C$ — биссектриса
$A B = BC = 6$ , $C D = A B = 6$ $△ A BC$ равнобедренный; трапеция равнобокая
$A D = 30 - 3 \cdot 6 = 12$

Сам: равнобокая $A BC D$ , $A C$ — биссектриса $∠ A$

$∠ D = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A C D$ . $7 5^{\circ}$
$BC = 7$ , $A D = 11$ . Найдите периметр. $32$
повыш. $A D = 2 BC$ . Найдите углы трапеции.
$6 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 12 0^{\circ}, 12 0^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин, шаги по клику): ключевая идея — диагональ-биссектриса отсекает равнобедренный △ABC, боковая сторона равна меньшему основанию (как биссектриса в параллелограмме, GEOM8-007). Ответ 12. Чертёж точный: AH = (12 − 6) : 2 = 3 = AB : 2 ⇒ ∠A = 60°, AC делит его на 30° + 30°.
Сам (1,5 мин): 1) ∠A = ∠D = 70° ⇒ ∠CAD = 35°; в △ACD: ∠ACD = 180° − 70° − 35° = 75°. 2) AB = BC = CD = 7 ⇒ P = 7 · 3 + 11 = 32 (проверка: AH = 2 < 7). 3) AB = BC = a, AD = 2a ⇒ AH = (2a − a) : 2 = a/2 = AB/2 ⇒ ∠ABH = 30°, ∠A = 60°, ∠B = 120°.
Ошибка: считают, что биссектриса отсекает AB = AD (путают △ABC и △ACD); в задаче 1 — ∠ACD = 90° «на глаз».

R01.4

Образец → сам · высота равнобокой трапеции

Высота отсекает половину разности оснований

Образец: равнобокая, $BC = 7$ , $A D = 19$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $C H$ и $A H$ .

$HD = \frac{19 - 7}{2} = 6$ высоты отсекают равные отрезки (сл. 8)
$C H = HD = 6$ $∠ H C D = 4 5^{\circ}$ : $△ C HD$ равнобедренный прямоугольный
$A H = 19 - 6 = 13$ заметим: $13 = (19 + 7) : 2$

Сам: равнобокая $A BC D$ , $B H$ — высота

$∠ A = 6 0^{\circ}$ , $A B = 8$ , $BC = 5$ . Найдите $A D$ . $13$
$A D = 17$ , $BC = 9$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите $B H$ . $4$
Обратная: $B H = 5$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $A D = 16$ . Найдите $BC$ . $6$

R01.4

Образец → сам · прямоугольная трапеция

Высота из $C$ — и $A BC H$ прямоугольник

Образец: $∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ , $C D = 12$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $A D = 15$ . Найдите $BC$ .

$∠ H C D = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ $C H$ — высота, $△ C HD$ прямоугольный
$HD = \frac{C D}{2} = 6$ катет против угла $3 0^{\circ}$
$BC = A H = 15 - 6 = 9$ $A BC H$ — прямоугольник

Сам: $∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$

$∠ D = 3 0^{\circ}$ , $C D = 14$ . Найдите $A B$ . $7$
$BC = 2$ , $A D = 6$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ . Найдите $C D$ . $8$
повыш. $A C$ — биссектриса $∠ A$ , $BC = 5$ , $A D = 10$ . Найдите $∠ D$ . $4 5^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец: вопрос перед шагом 2 — какой катет лежит против угла 30°? (HD — напротив ∠HCD). Ответ 9. Высоту CH (= AB) без теоремы Пифагора здесь не найти — это задача урока R04. Чертёж в масштабе (h = 6√3 ≈ 10,4).
Сам: 1) в △CHD катет CH лежит против ∠D = 30° ⇒ CH = 14 : 2 = 7; AB = CH = 7. 2) HD = 6 − 2 = 4, ∠HCD = 30° ⇒ CD = 2 · HD = 8. 3) ∠BAC = 45° ⇒ △ABC равнобедренный прямоугольный, AB = BC = 5; CH = 5, HD = 10 − 5 = 5 ⇒ △CHD равнобедренный прямоугольный ⇒ ∠D = 45°.
Ошибка: CH = CD : 2 при ∠D = 60° (против 30° лежит HD, а не CH).

R01.4

Образец → сам · доказательство

План доказательства: признак → равные треугольники

Образец: трапеция $A BC D$ , $BC ∥ A D$ , $∠ A = ∠ D$ . Докажите: $A C = B D$ .

$A B = C D$ признак: углы при основании равны ⇒ трапеция равнобокая
$△ B A D = △ C D A$ $A B = D C$ , $A D$ — общая, $∠ B A D = ∠ C D A$ : по двум сторонам и углу между ними
$B D = C A$ соответственные стороны равных треугольников

Сам: докажите

В равнобокой трапеции $A BC D$ : $∠ C A D = ∠ B D A$ .
из $△ B A D = △ C D A$
Прямоугольная трапеция не может быть равнобокой.
иначе $∠ D = ∠ A = 9 0^{\circ}$ ⇒ $A B ∥ C D$
повыш.Диагонали трапеции пересекаются в $O$ , $O A = O D$ . Трапеция равнобокая.
$OB = OC$ ⇒ $A C = B D$ ⇒ признак

2,5 мин · практика
Образец: запись «утверждение → обоснование» в два столбика. Требование: каждый шаг с обоснованием, а не «на рисунке видно».
Сам: 1) △BAD = △CDA (как в образце) ⇒ ∠BDA = ∠CAD. 2) Пусть ∠A = 90°. Если трапеция равнобокая, то ∠D = ∠A = 90°, AB ⊥ AD и CD ⊥ AD ⇒ AB ∥ CD — тогда ABCD параллелограмм, а не трапеция. Противоречие. 3) OA = OD ⇒ ∠OAD = ∠ODA; ∠OCB = ∠OAD, ∠OBC = ∠ODA (накрест лежащие) ⇒ ∠OBC = ∠OCB ⇒ OB = OC ⇒ AC = OA + OC = OD + OB = BD ⇒ трапеция равнобокая (признак по диагоналям).

R01.4

Образец → сам · задача из жизни

Насыпь, пандус, жёлоб — это трапеции

Образец: насыпь в сечении — равнобокая трапеция: верх $8$ м, низ $14$ м, откосы под углом $4 5^{\circ}$ . Найдите высоту.

$A H = \frac{14 - 8}{2} = 3$ мвысота равнобокой трапеции отсекает $\frac{A D - BC}{2}$
$B H = A H = 3$ м $∠ A = 4 5^{\circ}$ : $△ A B H$ равнобедренный прямоугольный

Сам: сделайте чертёж-модель

Пандус — прямоугольная трапеция, наклонная сторона $6$ м под углом $3 0^{\circ}$ к земле. Высота пандуса? $3$ м
Насыпь высотой $2$ м, верх $6$ м, откосы под $4 5^{\circ}$ . Ширина низа? $10$ м
Жёлоб: дно $10$ см, стенки по $8$ см под углом $12 0^{\circ}$ к дну. Ширина по верху? $18$ см

2,5 мин · практика
Образец: модель — равнобокая трапеция ABCD, BC = 8, AD = 14, ∠A = ∠D = 45°. AH = 3, BH = AH = 3 м. Чертёж в масштабе.
Сам: 1) высота пандуса — катет против 30°: 6 : 2 = 3 м. 2) каждый откос «выходит» на 2 м (45°) ⇒ 6 + 2 + 2 = 10 м. 3) сечение — равнобокая трапеция, угол стенки с горизонталью у верхнего края 180° − 120° = 60°, в прямоугольном треугольнике у стенки угол 30° против горизонтального «выноса» ⇒ вынос 8 : 2 = 4 см; ширина 10 + 4 + 4 = 18 см.
Требование: сначала чертёж-модель с данными, потом вычисления. Ответ — с единицами.

R01.4

Признаки · устно

Можно ли утверждать, что трапеция равнобокая?

Трапеция,
$∠ A = ∠ D$

→ да, признак

Трапеция,
$A C = B D$

→ да, признак

$BC ∥ A D$ ,
$A B = C D$

→ нет: может быть параллелограмм

Трапеция,
$∠ A = 9 0^{\circ}$

→ нет, никогда

R01.4

Осторожно · типичные ошибки

Три ловушки

Отрезок от высоты

$A H = A D - BC$

$A H = \frac{A D - BC}{2}$

остаток делят два равных отрезка

Не та высота

высота $= C D$

высота $= A B$

$C D$ наклонная и длиннее $A B$

Не тот катет

$HD = \frac{C D}{2}$ при $∠ D = 3 0^{\circ}$

$C H = \frac{C D}{2}$

против $3 0^{\circ}$ лежит $C H$

R01.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Равнобокая: $BC = 5$ , $A D = 13$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $P$ .

1) $A H = 13 - 5 = 8$ ; 2) $A B = 2 A H = 16$ ; 3) $P = 5 + 13 + 16 + 16 = 50$

Шаг 1: $A H = \frac{13 - 5}{2} = 4$

$A B = 8$ , $P = 5 + 13 + 8 + 8 = 34$

б) $∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ , $∠ D = 3 0^{\circ}$ , $C D = 10$ , $BC = 4$ . Найдите $A B$ и $∠ C$ .

1) $A B = C D = 10$ — боковые стороны; 2) $∠ C = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 15 0^{\circ}$

Шаг 1: $A B = C H = \frac{C D}{2} = 5$

Шаг 2 верен: $∠ C = 15 0^{\circ}$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Ошибка в шаге 1: AH = (AD − BC) : 2 = 4. Шаг 2 по смыслу верен (∠ABH = 30°, AB = 2 · AH), но от неверного AH. Верно: AB = CD = 8, P = 34. Чертёж в масштабе.
б) Ошибка в шаге 1: боковые стороны прямоугольной трапеции не равны (сл. 15, ловушка 2). CH — высота, CH = AB; в △CHD катет CH против ∠D = 30° ⇒ CH = 5 ⇒ AB = 5. Шаг 2 верен: ∠C + ∠D = 180° (односторонние). Чертёж в масштабе: HD = 5√3 ≈ 8,7.

R01.4

Задания с самопроверкой · база

Проведи высоту — и считай

Основания равнобокой трапеции $6$ и $14$ , угол при основании $6 0^{\circ}$ . Боковая сторона и периметр? $8$ ; $36$
$∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ , $A B = 7$ , $BC = 3$ . Найдите $A D$ . $10$
Равнобокая, $∠ A = 4 8^{\circ}$ . Найдите остальные углы. $4 8^{\circ}, 13 2^{\circ}, 13 2^{\circ}$

Равнобокая, $BC = 4$ , $A D = 10$ , $B H$ — высота. На какие отрезки $H$ делит $A D$ ? $3$ и $7$
Прямоугольная, $∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ , $∠ D = 5 2^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $12 8^{\circ}$
Равнобокая, $BC = 5$ , $A D = 11$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите высоту. $3$

R01.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Равнобокая трапеция, $A C ⊥ C D$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $A D = 12$ . Найдите $BC$ . $6$
повыш.В равнобокой трапеции боковая сторона равна меньшему основанию, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы. $6 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 12 0^{\circ}, 12 0^{\circ}$
повыш.Диагональ равнобокой трапеции — биссектриса острого угла, периметр $42$ , большее основание $15$ . Найдите меньшее основание. $9$
повыш.Прямоугольная трапеция ( $∠ A = 9 0^{\circ}$ ), $A C$ — биссектриса $∠ A$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ , $A D = 12$ . Найдите $BC$ . $6$

R01.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 17

Ответ — одно число

17 1. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$ , делит основание $A D$ на отрезки длиной $4$ и $11$ . Найдите длину основания $BC$ . $7$

В равнобедренной трапеции большее основание $25$ , боковая сторона $10$ , угол между ними $6 0^{\circ}$ . Найдите меньшее основание. $15$
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $14 0^{\circ}$ . Найдите больший угол трапеции. $110$

2,5 мин · практика
Авторские задания в формате банка ФИПИ, ответ — только число (как в бланке ОГЭ). В ОГЭ трапецию называют «равнобедренной» — это то же, что равнобокая. Подсказку (высота BK) на чертеже открыть по клику, если класс застрял.
1) HD = 4 (меньший отрезок — у вершины D), AH = 11 ⇒ AD = 15; AK = HD = 4 ⇒ BC = KH = 15 − 4 − 4 = 7. Иначе: AH = (AD + BC)/2 ⇒ BC = 2 · 11 − 15 = 7. Ошибка: BC = 11 − 4 · 2 = 3 или BC = 15 − 4 = 11.
2) Угол 60° между большим основанием и боковой стороной; в △ABH ∠ABH = 30° ⇒ AH = 10 : 2 = 5 ⇒ BC = 25 − 5 − 5 = 15.
3) Два равных угла дают 140°, только если это острые углы при большем основании (тупые дали бы больше 180°, а острый с тупым — ровно 180°): 70° + 70° ⇒ больший угол 180° − 70° = 110°.

R01.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Везде $A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ , $BC$ — меньшее основание; в задачах 3: $∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ .

Вариант 1

Равнобокая, $∠ A = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $11 6^{\circ}$
Равнобокая, $BC = 6$ , $A D = 14$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите высоту. $4$
$∠ D = 3 0^{\circ}$ , $C D = 16$ . Найдите $A B$ . $8$
Равнобокая, $A C$ — биссектриса $∠ A$ , $BC = 5$ , $P = 26$ . Найдите $A D$ . $11$

Вариант 2

Равнобокая, $∠ B = 12 5^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $5 5^{\circ}$
Равнобокая, $BC = 3$ , $A D = 9$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ . Найдите $C D$ . $6$
$∠ D = 4 5^{\circ}$ , $A B = 5$ , $BC = 4$ . Найдите $A D$ . $9$
Равнобокая, $B D$ — биссектриса $∠ D$ , $BC = 7$ , $A D = 13$ . Найдите $P$ . $34$

R01.4

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Главное

Проведи высоту:
$A H = \frac{A D - BC}{2}$
$3 0^{\circ}$ — катет вдвое меньше гипотенузы
$4 5^{\circ}$ — катеты равны
Диагональ-биссектриса ⇒ $A B = BC$

Проверь себя

Зачем в трапеции проводят высоту?
Чему равна высота прямоугольной трапеции?
Какой тип задач был самым трудным?

Дома

$∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $BC = 4$ , $A D = 9$ . Найдите $C D$ .
Равнобокая: $BC = 3$ , $A D = 11$ . На какие отрезки высота $B H$ делит $A D$ ?
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-010 · Практикум: равнобокая и прямоугольная трапеции

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 12 ч · урок 10/12 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R01.4 «Равнобокая и прямоугольная трапеции» → 3–21
Результаты	ПР-1 = REQ-6.1 (распознавать виды четырёхугольников, пользоваться свойствами) → 2–4, 7–11, 13, 15–21 · EL-6.3 → 4–5, 8, 14 · вид деятельности «доказывать и использовать признаки» → 8, 12, 14
Хронометраж	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %); «Образец → сам» — 5 (сл. 9–13)
ОГЭ	линия 17 (четырёхугольники) → 19
Вне урока	трапеция в общем виде — GEOM8-003, 009; средняя линия трапеции — R02; площадь трапеции — R03; теорема Пифагора (высота через стороны) — R04; метод удвоения медианы — GEOM8-011
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Равнобокая и прямоугольная трапеции: решаем задачи

Сегодня вы научитесь

Распознавать

Пользоваться свойствами

Доказывать по признакам

Решать задачу ОГЭ

Углы и катеты — в уме

Что знаем о двух особых трапециях

Свойства и признаки — не путать

Два прямоугольных треугольника, которые решают всё

Проведи высоту — получишь прямоугольные треугольники

Почему AH=KD=2AD−BC​

Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник

Образец: равнобокая, AC — биссектриса ∠A, BC=6, P=30. Найдите AD.

Сам: равнобокая ABCD, AC — биссектриса ∠A

Высота отсекает половину разности оснований

Образец: равнобокая, BC=7, AD=19, ∠D=45∘. Найдите CH и AH.

Сам: равнобокая ABCD, BH — высота

Высота из C — и ABCH прямоугольник

Образец: ∠A=∠B=90∘, CD=12, ∠D=60∘, AD=15. Найдите BC.

Сам: ∠A=∠B=90∘

План доказательства: признак → равные треугольники

Образец: трапеция ABCD, BC∥AD, ∠A=∠D. Докажите: AC=BD.

Сам: докажите

Насыпь, пандус, жёлоб — это трапеции

Образец: насыпь в сечении — равнобокая трапеция: верх 8 м, низ 14 м, откосы под углом 45∘. Найдите высоту.

Сам: сделайте чертёж-модель

Можно ли утверждать, что трапеция равнобокая?

Три ловушки

Отрезок от высоты

Не та высота

Не тот катет

Где ошибся ученик?

а) Равнобокая: BC=5, AD=13, ∠A=60∘. Найдите P.

б) ∠A=∠B=90∘, ∠D=30∘, CD=10, BC=4. Найдите AB и ∠C.

Проведи высоту — и считай

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Главное

Проверь себя

Дома

GEOM8-010 · Практикум: равнобокая и прямоугольная трапеции

Почему $A H = KD = \frac{A D - BC}{2}$

Образец: равнобокая, $A C$ — биссектриса $∠ A$ , $BC = 6$ , $P = 30$ . Найдите $A D$ .

Сам: равнобокая $A BC D$ , $A C$ — биссектриса $∠ A$

Образец: равнобокая, $BC = 7$ , $A D = 19$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $C H$ и $A H$ .

Сам: равнобокая $A BC D$ , $B H$ — высота

Высота из $C$ — и $A BC H$ прямоугольник

Образец: $∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ , $C D = 12$ , $∠ D = 6 0^{\circ}$ , $A D = 15$ . Найдите $BC$ .

Сам: $∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$

Образец: трапеция $A BC D$ , $BC ∥ A D$ , $∠ A = ∠ D$ . Докажите: $A C = B D$ .

Образец: насыпь в сечении — равнобокая трапеция: верх $8$ м, низ $14$ м, откосы под углом $4 5^{\circ}$ . Найдите высоту.

а) Равнобокая: $BC = 5$ , $A D = 13$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $P$ .

б) $∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$ , $∠ D = 3 0^{\circ}$ , $C D = 10$ , $BC = 4$ . Найдите $A B$ и $∠ C$ .