Четырёхугольники · урок 8 из 12 · практикум

Прямоугольник, ромб, квадрат: решаем задачи

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R01 · GEOM8-008

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (12 ч), урок 8/12, единица R01.2. Тип урока — П (практикум). Теория была на уроке GEOM8-002; сегодня — короткая сводка с доказательствами и типы задач.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 «Вспомним» 1 · 5 таблица свойств 1,5 · 6 диагонали прямоугольника 2 · 9 диагонали ромба 2 · 11 признаки 1,5 · 12 доказательство признака 2.
Практика (33): 3 разминка 2 · 7 образец «диагонали» 3 · 8 образец «биссектриса» 3 · 10 образец «ромб» 3 · 13 образец «доказательство» 3 · 14 определи вид 1 · 15 клетчатая бумага 2,5 · 16 ошибки 1,5 · 17 найди ошибку 2 · 18 база 2,5 · 19 повышенный 2,5 · 20 ОГЭ 2 · 21 самостоятельная 4 · 22 итог 1.
Если класс слабый: задания 4–5 сл. 19 — в ДЗ, сл. 15 — фронтально; теорию не выбрасывать.

R01.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать

прямоугольник, ромб, квадрат и их элементы на чертеже и на клетчатой бумаге (ПР-1, REQ-6.1)

Пользоваться свойствами

диагоналей и углов при решении задач (ПР-1, EL-6.2)

Доказывать по признакам

что параллелограмм — прямоугольник, ромб или квадрат (ФРП: виды деятельности)

Решать задачу ОГЭ

линии 17 «Четырёхугольники» (ПР-1)

повторение: 7 класс, GEOM8-001, 007

Разминка · устно

Углы и отрезки — в уме

Угол параллелограмма $7 0^{\circ}$ . Остальные углы? $11 0^{\circ}, 7 0^{\circ}, 11 0^{\circ}$
Угол при основании равнобедренного треугольника $5 0^{\circ}$ . Угол при вершине? $8 0^{\circ}$
Равнобедренный треугольник с углом $6 0^{\circ}$ — какой он? равносторонний
Острый угол прямоугольного треугольника $3 5^{\circ}$ . Другой острый? $5 5^{\circ}$

Гипотенуза $14$ , острый угол $3 0^{\circ}$ . Катет против него? $7$
$a ∥ b$ , секущая; один из накрест лежащих углов $4 0^{\circ}$ . Другой? $4 0^{\circ}$
Параллелограмм $A BC D$ , $A C = 10$ , $O$ — точка пересечения диагоналей. $A O$ ? $5$
Углы треугольника $3 0^{\circ}$ и $4 5^{\circ}$ . Внешний угол при третьей вершине? $7 5^{\circ}$

2 мин · практика
Ответы (по клику): 1) соседний 180° − 70° = 110°, противоположные равны: 110°, 70°, 110°; 2) 180° − 2·50° = 80°; 3) равносторонний (углы при основании (180° − 60°) : 2 = 60°); 4) 90° − 35° = 55°; 5) 14 : 2 = 7; 6) 40° (накрест лежащие равны); 7) 10 : 2 = 5; 8) 30° + 45° = 75°.
Каждое задание — приём урока: 1, 7 — свойства параллелограмма; 2, 3 — равнобедренные треугольники при диагоналях; 4, 5 — треугольники, которые отсекают диагонали; 6 — биссектриса и накрест лежащие углы; 8 — угол между диагоналями.

R01.2 · повторение GEOM8-001, 002

Вспомним

Как связаны прямоугольник, ромб и квадрат

Квадрат — и прямоугольник, и ромб: у него все их свойства.

R01.2

Опора для задач

Свойства: что «наследуется», что добавляется

Свойство	Параллелограмм	Прямоугольник	Ромб	Квадрат
Противоположные стороны равны и параллельны	+	+	+	+
Диагонали делятся точкой пересечения пополам	+	+	+	+
Все углы прямые	—	+	—	+
Диагонали равны	—	+	—	+
Все стороны равны	—	—	+	+
Диагонали перпендикулярны	—	—	+	+
Диагонали — биссектрисы углов	—	—	+	+

R01.2

Свойство прямоугольника · доказательство

Диагонали прямоугольника равны

$A B = D C$ , $A D$ — общая, $∠ B A D = ∠ C D A = 9 0^{\circ}$ противоположные стороны параллелограмма; углы прямоугольника
$△ B A D = △ C D A$ ⇒ $B D = A C$ равенство по двум катетам
$O A = OB = OC = O D = \frac{A C}{2}$ диагонали равны и делятся точкой $O$ пополам
Ключ к задачам: $△ A OB$ , $△ BOC$ , $△ CO D$ , $△ D O A$ — равнобедренные

R01.2

Образец → сам · диагонали прямоугольника

Равнобедренный треугольник с вершиной $O$

Образец: $A BC D$ — прямоугольник, $A C = 12$ , $∠ A OB = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

$A O = BO = \frac{A C}{2} = 6$ диагонали равны и делятся пополам
$△ A OB$ — равнобедренныйбоковые стороны $A O = BO$
$∠ O A B = ∠ OB A = \frac{18 0 ^{\circ} - 6 0 ^{\circ}}{2} = 6 0^{\circ}$ значит, $△ A OB$ равносторонний
$A B = A O = 6$

Сам: прямоугольник $A BC D$ , $O$ — точка пересечения диагоналей

$∠ C A D = 3 2^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ . $6 4^{\circ}$
$∠ A OB = 6 0^{\circ}$ , $A B = 4, 5$ . Найдите $B D$ . $9$
$∠ A O D = 13 0^{\circ}$ . Найдите $∠ O A D$ . $2 5^{\circ}$

3 мин · практика
Образец (1 мин, шаги по клику, перед каждым — вопрос «почему?»). Ключевая идея типа: в прямоугольнике точка O равноудалена от всех вершин ⇒ четыре равнобедренных треугольника. Ответ: 6. Проверка: BC = 6√3 ≈ 10,4; по чертежу ∠AOB = 2·arctg(6/10,4) = 60° (чертёж в масштабе).
Сам (2 мин): 1) OA = OD ⇒ ∠ODA = ∠OAD = 32°; ∠AOB — внешний угол △AOD: 32° + 32° = 64°. 2) △AOB равносторонний ⇒ AO = 4,5, BD = AC = 9. 3) OA = OD ⇒ ∠OAD = (180° − 130°) : 2 = 25°.
Ошибки: берут AO = 12 (забывают, что O — середина диагонали); путают ∠AOB и ∠AOD — уточнить по чертежу, какой угол ищем.

R01.2

Образец → сам · биссектриса угла прямоугольника

Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник

Образец: $A K$ — биссектриса $∠ A$ , $B K = 5$ , $K C = 3$ . Найдите периметр $A BC D$ .

$∠ B A K = ∠ K A D = 4 5^{\circ}$ биссектриса делит $9 0^{\circ}$ пополам
$∠ B K A = ∠ K A D = 4 5^{\circ}$ накрест лежащие при $BC ∥ A D$
$△ A B K$ равнобедренный: $A B = B K = 5$
$P = 2 (5 + 8) = 26$ $BC = 5 + 3 = 8$

Сам: $A K$ — биссектриса $∠ A$ , $K \in BC$

$B K = 6$ , $P_{A BC D} = 34$ . Найдите $K C$ . $5$
$B K = 4$ , $K C = 9$ . Найдите $P_{A BC D}$ . $34$
повыш.Найдите $∠ A K C$ . $13 5^{\circ}$

3 мин · практика
Образец (1 мин). Это «ключевая конструкция»: биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник (было на GEOM8-007); в прямоугольнике треугольник ещё и прямоугольный с углами 45°. Ответ: 26. Чертёж в масштабе 8 × 5.
Сам (2 мин): 1) AB = BK = 6; AB + BC = 17 ⇒ BC = 11; KC = 11 − 6 = 5. 2) AB = 4, BC = 13, P = 2(4 + 13) = 34. 3) ∠AKC = 180° − ∠AKB = 180° − 45° = 135° (смежные углы).
Ошибка: берут AB = KC = 3 (путают, какой отрезок прилегает к вершине B). Спросить: какой отрезок — сторона треугольника ABK?

R01.2

Свойство ромба · доказательство

Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы пополам

$A B = A D$ ⇒ $△ A B D$ — равнобедренныйопределение ромба
$BO = O D$ ⇒ $A O$ — медиана $△ A B D$ диагонали параллелограмма делятся пополам
$A O$ — высота и биссектриса: $A C ⊥ B D$ , $∠ B A O = ∠ D A O$ свойство медианы равнобедренного треугольника
Ключ к задачам: четыре равных прямоугольных треугольника, углы ромба делятся пополам

R01.2

Образец → сам · углы и диагонали ромба

Диагональ ромба — биссектриса угла

Образец: ромб $A BC D$ , $∠ A BC = 12 0^{\circ}$ , $B D = 7$ . Найдите периметр.

$∠ A B D = \frac{12 0 ^{\circ}}{2} = 6 0^{\circ}$ диагональ ромба — биссектриса угла
$A B = A D \Rightarrow ∠ A D B = 6 0^{\circ}$ $△ A B D$ равносторонний
$A B = B D = 7$
$P = 4 \cdot 7 = 28$

Сам: ромб $A BC D$ , $O$ — точка пересечения диагоналей

$∠ B A C = 3 5^{\circ}$ . Найдите углы ромба. $7 0^{\circ}, 11 0^{\circ}, 7 0^{\circ}, 11 0^{\circ}$
$P = 36$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите меньшую диагональ. $9$
повыш.Найдите $∠ A BO$ в задаче 1. $5 5^{\circ}$

3 мин · практика
Образец (1 мин). Вопрос перед шагом 1: какое свойство ромба связывает диагональ и угол? Ответ: 28. Вывод для запоминания: если угол ромба 60° (или 120°), меньшая диагональ равна стороне. Чертёж в масштабе (AC = 7√3 ≈ 12,1).
Сам (2 мин): 1) ∠A = ∠C = 2·35° = 70°, ∠B = ∠D = 180° − 70° = 110°. 2) Сторона 36 : 4 = 9; △ABD равнобедренный с углом 60° ⇒ равносторонний, BD = 9. 3) △AOB прямоугольный (диагонали ⊥), ∠ABO = 90° − 35° = 55° (= 110° : 2 — проверка).
Ошибка: делят 120° пополам и считают ∠A = 60° «из-за биссектрисы» — на самом деле ∠A = 180° − 120° = 60° по свойству соседних углов параллелограмма; совпадение, а не правило.

R01.2

Признаки: как доказать вид

Параллелограмм является…

прямоугольником, если

один угол прямой
диагонали равны

ромбом, если

смежные стороны равны
диагонали ⊥
диагональ — биссектриса угла

квадратом, если

он прямоугольник и ромб одновременно

Признак начинается словами «Если параллелограмм…»

R01.2

Признак прямоугольника · доказательство

Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник

$A B = D C$ , $A D$ — общая, $B D = A C$ свойство параллелограмма; условие
$△ B A D = △ C D A$ ⇒ $∠ A = ∠ D$ равенство по трём сторонам
$∠ A + ∠ D = 18 0^{\circ}$ односторонние углы при $A B ∥ D C$ и секущей $A D$
$∠ A = ∠ D = 9 0^{\circ}$ ⇒ $A BC D$ — прямоугольникпараллелограмм с прямым углом

R01.2

Образец → сам · доказательство вида

Докажите по признаку — шаг и обоснование

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $∠ A B D = ∠ CB D$ . Докажите, что $A BC D$ — ромб.

$∠ CB D = ∠ A D B$ накрест лежащие при $BC ∥ A D$ , секущая $B D$
$∠ A B D = ∠ A D B$ оба равны $∠ CB D$
$△ A B D$ равнобедренный: $A B = A D$ признак равнобедренного треугольника
$A BC D$ — ромбпараллелограмм с равными смежными сторонами

Сам: составьте план доказательства

Параллелограмм $A BC D$ , $∠ O A B = ∠ OB A$ ( $O$ — точка пересечения диагоналей). Докажите: прямоугольник.
$O A = OB$ ⇒ $A C = B D$
Прямоугольник $A BC D$ , $A C ⊥ B D$ . Докажите: квадрат.
ромб (признак) и прямоугольник
повыш.Параллелограмм $A BC D$ : $B H ⊥ A D$ , $B K ⊥ C D$ , $B H = B K$ . Докажите: ромб.
$△ A B H = △ CB K$ ⇒ $A B = CB$

3 мин · практика
Образец (1 мин): каждый шаг — с обоснованием, «на рисунке видно» не принимается. Равные углы ∠ABD и ∠CBD — одинаковые оранжевые дуги, ∠ADB — розовая; стрелки — BC ∥ AD. Чертёж в масштабе: AB = AD = 5.
Сам (2 мин, в парах — план устно): 1) равные углы при стороне AB ⇒ △AOB равнобедренный, OA = OB; диагонали делятся пополам ⇒ AC = 2·OA = 2·OB = BD ⇒ параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник. 2) Прямоугольник — параллелограмм; диагонали ⊥ ⇒ ромб (признак); он и ромб, и прямоугольник ⇒ квадрат. 3) △ABH и △CBK прямоугольные, BH = BK, ∠A = ∠C (противоположные углы параллелограмма) ⇒ равны по катету и противолежащему острому углу ⇒ AB = CB ⇒ ромб.

R01.2

Определи вид · устно

Определите вид четырёхугольника ABCD

Параллелограмм,
$∠ A = 9 0^{\circ}$

→ прямоугольник

Параллелограмм,
$A C ⊥ B D$

→ ромб

Ромб,
$A C = B D$

→ квадрат

Четырёхугольник,
$A C ⊥ B D$

→ не обязательно ромб!

1 мин · практика
устно, ответы открывать по одному после голосования класса.
а) признак прямоугольника (один прямой угол); б) признак ромба (диагонали ⊥); в) ромб с равными диагоналями — это прямоугольник (признак), т. е. квадрат; г) ловушка: признак применим только к параллелограмму — контрпример — на слайде «Осторожно · типичные ошибки» (дельтоид).
Можно попросить обосновать в) иначе: в ромбе диагонали — биссектрисы, при равных диагоналях все четыре треугольника равнобедренные прямоугольные ⇒ углы ромба по 90°.

R01.2 · ОГЭ 18

Образец → сам · клетчатая бумага

Вид четырёхугольника — по клеткам

Образец: докажите, что $A BC D$ — квадрат.

Каждая сторона — гипотенуза треугольника с катетами $1$ и $3$ клеткитреугольники равны по двум катетам
$A B = BC = C D = D A$ ⇒ $A BC D$ — ромбпротивоположные стороны равны — параллелограмм; смежные равны
$α + β = 9 0^{\circ}$ ⇒ $∠ A = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ острые углы равных треугольников; развёрнутый угол
Ромб с прямым углом — квадрат

Сам: какой это четырёхугольник?

1) прямоугольник

2) ромб

3) параллелограмм

2,5 мин · практика
Образец (1 мин): A(1; 0), B(4; 1), C(3; 4), D(0; 3) в клетках. Четыре прямоугольных треугольника с катетами 1 и 3 равны ⇒ все стороны равны. В вершине A: розовый угол α (треугольник под AB) и бирюзовый β (треугольник под AD) — острые углы равных прямоугольных треугольников, α + β = 90°; вместе с ∠A они составляют развёрнутый угол ⇒ ∠A = 90°.
Сам (1,5 мин): 1) (0; 1), (1; 0), (4; 3), (3; 4): стороны — диагонали 1×1 и 3×3 клеток, наклонены под 45° в разные стороны ⇒ прямой угол, противоположные стороны равны — прямоугольник (не квадрат: стороны разные). 2) (0; 2), (3; 0), (6; 2), (3; 4): диагонали 6 и 4 по линиям сетки, ⊥ и делятся пополам ⇒ ромб (не квадрат: диагонали не равны). 3) (0; 0), (3; 0), (4; 2), (1; 2): стороны 3 по линии сетки и наклонные 1×2 — параллелограмм, не ромб и не прямоугольник.
Это подготовка к линии ОГЭ 18 «Фигуры на клетчатой бумаге».

R01.2

Осторожно · типичные ошибки

Признак работает только для параллелограмма

« $A C ⊥ B D$ ⇒ ромб»

Дельтоид: диагонали ⊥, но $A B \neq = BC$ — не параллелограмм.

Верно: параллелограмм с $A C ⊥ B D$ — ромб.

« $A C = B D$ ⇒ прямоугольник»

Равнобокая трапеция: диагонали равны, углы не прямые.

Верно: параллелограмм с $A C = B D$ — прямоугольник.

«диагонали ромба равны», «диагонали прямоугольника ⊥»

Перепутаны свойства.

Равны — у прямоугольника, ⊥ — у ромба, оба сразу — у квадрата.

1,5 мин · практика
Каждую карточку — вопросом «Что здесь не так?», исправление — по клику.
1) Дельтоид: диагонали перпендикулярны, но это не ромб (и не параллелограмм). 2) Равнобокая трапеция: диагонали равны, но это не прямоугольник (трапеции — следующий урок GEOM8-009). Чертежи в масштабе.
3) Две частые путаницы свойств: равенство диагоналей — свойство прямоугольника, перпендикулярность — свойство ромба; оба сразу — только у квадрата.
Вопрос: какой одной фразы не хватает в «признаке» слева? («если четырёхугольник — параллелограмм…»).

R01.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Ромб $A BC D$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A B D$ .

« $B D$ — биссектриса, $∠ A B D = 5 0^{\circ} : 2 = 2 5^{\circ}$ »

$B D$ делит пополам $∠ B = 13 0^{\circ}$ , а не $∠ A$

$∠ A B D = 6 5^{\circ}$

б) Прямоугольник $A BC D$ , $A C = 8$ , $∠ B A C = 3 0^{\circ}$ . Найдите меньшую сторону.

« $A B$ — катет против $3 0^{\circ}$ , $A B = 4$ »

Против $∠ B A C$ в $△ A BC$ лежит $BC$

$BC = 4$

в) Параллелограмм $A BC D$ : $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $A C ⊥ B D$ . Какой это вид?

« $∠ A = 9 0^{\circ}$ — прямоугольник; диагонали ⊥ — ромб. Ответ: ромб»

И прямоугольник, и ромб одновременно

Ответ: квадрат

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Диагональ BD — биссектриса углов B и D, а не A. ∠B = 180° − 50° = 130°, ∠ABD = 65°. (Проверка: △ABD равнобедренный, (180° − 50°) : 2 = 65°.)
б) В △ABC прямой угол B, гипотенуза AC = 8; против ∠BAC = 30° лежит катет BC = 4. Он и меньшая сторона (AB = 4√3 ≈ 6,9). Ошибка — «не та сторона».
в) Оба признака выполнены ⇒ параллелограмм — и прямоугольник, и ромб ⇒ квадрат. Ошибка — вывод сделан только по последнему признаку.

R01.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

Во всех задачах $O$ — точка пересечения диагоналей.

Прямоугольник $A BC D$ , $B D = 14$ . Найдите $A O$ . $7$
Ромб $A BC D$ , $∠ A = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ A B D$ . $5 8^{\circ}$
Квадрат $A BC D$ , $A C = 9$ . Найдите $B D$ и $∠ A OB$ . $9; 9 0^{\circ}$

Прямоугольник $A BC D$ , $∠ B A C = 2 8^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ . $12 4^{\circ}$
Ромб $A BC D$ , $∠ B A C = 2 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ . $13 0^{\circ}$
Прямоугольник $A BC D$ , $A B = 7$ , $A D = 4$ , биссектриса $∠ A$ пересекает $C D$ в точке $K$ . Найдите $K C$ . $3$

2,5 мин · практика
Самостоятельно в тетради; ответ к каждому — по клику, класс сверяет.
1) AO = AC : 2 = BD : 2 = 7. 2) ∠B = 180° − 64° = 116°, BD — биссектриса ⇒ ∠ABD = 58°. 3) BD = AC = 9; диагонали квадрата ⊥ ⇒ ∠AOB = 90°.
4) OA = OB ⇒ ∠ABO = ∠BAO = 28°, ∠AOB = 180° − 56° = 124°. 5) ∠BAD = 2·25° = 50°, ∠ADC = 180° − 50° = 130°. 6) ∠DAK = 45°, ∠D = 90° ⇒ △ADK равнобедренный прямоугольный, DK = AD = 4, KC = CD − DK = 7 − 4 = 3.
Ошибка в 6): отмерять AD на стороне BC (биссектриса здесь пересекает CD, так как AD < AB) — пусть нарисуют чертёж сами.

R01.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Прямоугольник $A BC D$ , $A C = 16$ , $∠ C A D = 3 0^{\circ}$ . Найдите периметр $△ A OB$ . $24$
повыш.Высота ромба $6$ , острый угол $3 0^{\circ}$ . Найдите периметр ромба. $48$
повыш.Высота ромба из вершины тупого угла делит сторону пополам (рисунок). Найдите углы ромба. $6 0^{\circ}, 12 0^{\circ}$
из жизниКак с одной рулеткой проверить, что оконная рама — прямоугольник?
противоположные стороны равны, затем диагонали равны

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) ∠BAC = 90° − 30° = 60°, OA = OB = 8 ⇒ △AOB равнобедренный с углом 60° — равносторонний, AB = 8, P = 24.
2) Высота BH к стороне AD: в △ABH ∠A = 30°, катет BH = 6 лежит против него ⇒ AB = 12, P = 48. Чертёж строят сами.
3) BH ⊥ AD, AH = HD ⇒ BH — медиана и высота △ABD ⇒ BA = BD; AB = AD (ромб) ⇒ △ABD равносторонний ⇒ ∠A = 60°, ∠B = 120°. Чертёж в масштабе.
4) Измерить противоположные стороны (равны попарно ⇒ параллелограмм), затем две диагонали (равны ⇒ прямоугольник по признаку).

R01.2 · ОГЭ 17

Формат ОГЭ · линия 17

Ответ — одно число

17 1. В ромбе $A BC D$ угол $A BC$ равен $13 4^{\circ}$ . Найдите угол $A C D$ . Ответ дайте в градусах. $23$

Ещё два из банка того же типа

В ромбе $A BC D$ угол $A BC$ равен $10 8^{\circ}$ . Найдите угол $A C D$ . $36$
Диагонали $A C$ и $B D$ прямоугольника $A BC D$ пересекаются в точке $O$ , $BO = 13$ , $A B = 24$ . Найдите $A C$ . $26$

В бланк — только число: 23, без «°».

R01.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

$O$ — точка пересечения диагоналей; в задачах 3: $A K$ — биссектриса $∠ A$ прямоугольника $A BC D$ , $K \in BC$ .

Вариант 1

Прямоугольник $A BC D$ , $A C = 18$ . Найдите $BO$ . $9$
Ромб $A BC D$ , $∠ A BC = 14 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B A C$ . $2 0^{\circ}$
$B K = 7$ , $K C = 2$ . Найдите $P_{A BC D}$ . $32$
Ромб, $∠ A = 6 0^{\circ}$ , $P = 40$ . Найдите $B D$ . $10$

Вариант 2

Прямоугольник $A BC D$ , $BO = 6, 5$ . Найдите $A C$ . $13$
Ромб $A BC D$ , $∠ BC D = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B D C$ . $5 5^{\circ}$
$B K = 5$ , $K C = 4$ . Найдите $P_{A BC D}$ . $28$
Ромб, $∠ B = 12 0^{\circ}$ , $P = 28$ . Найдите $B D$ . $7$

R01.2

Итог урока

Рефлексия и домашнее задание

Ключи к задачам

Прямоугольник: $O A = OB = OC = O D$ .
Ромб: диагонали ⊥ и делят углы пополам.
Биссектриса угла отсекает равнобедренный треугольник.

Проверь себя

Чем свойства ромба отличаются от свойств прямоугольника?
Почему в прямоугольнике $O A = OB$ ?
Какой тип задач был самым трудным?

Дома

Прямоугольник $A BC D$ , $∠ A BO = 3 6^{\circ}$ . Найдите $∠ A O D$ .
Сторона ромба $10$ , один угол $12 0^{\circ}$ . Найдите меньшую диагональ.
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_pryamougolnik_romb_kvadrat.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-008 · Практикум: прямоугольник, ромб, квадрат

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 12 ч · урок 8/12 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R01.2 «Частные случаи параллелограммов (прямоугольник, ромб, квадрат), их признаки и свойства» → 2, 4–22 · опора на 7 класс и GEOM8-001, 007 → 3
Результаты	ПР-1 = REQ-6.1 (распознавать виды четырёхугольников, пользоваться свойствами) → 2, 7–8, 10, 14–15, 18–21 · EL-6.2 → 4–6, 9, 11–12
Виды деятельности	«Доказывать и использовать признаки и свойства прямоугольника, ромба, квадрата» → 6, 9, 12, 13, 17 · «Изображать и находить на чертежах» → 14–15
ОГЭ	линия 17 (четырёхугольники) → 20; линия 18 (клетчатая бумага) → 15
Вне урока	параллелограмм — GEOM8-001, 007; трапеция — GEOM8-003, 009; равнобокая трапеция — GEOM8-004, 010; теорема Пифагора (диагонали ромба через стороны) — R04
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Прямоугольник, ромб, квадрат: решаем задачи

Сегодня вы научитесь

Распознавать

Пользоваться свойствами

Доказывать по признакам

Решать задачу ОГЭ

Углы и отрезки — в уме

Как связаны прямоугольник, ромб и квадрат

Свойства: что «наследуется», что добавляется

Диагонали прямоугольника равны

Равнобедренный треугольник с вершиной O

Образец: ABCD — прямоугольник, AC=12, ∠AOB=60∘. Найдите AB.

Сам: прямоугольник ABCD, O — точка пересечения диагоналей

Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник

Образец: AK — биссектриса ∠A, BK=5, KC=3. Найдите периметр ABCD.

Сам: AK — биссектриса ∠A, K∈BC

Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы пополам

Диагональ ромба — биссектриса угла

Образец: ромб ABCD, ∠ABC=120∘, BD=7. Найдите периметр.

Сам: ромб ABCD, O — точка пересечения диагоналей

Параллелограмм является…

прямоугольником, если

ромбом, если

квадратом, если

Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник

Докажите по признаку — шаг и обоснование

Образец: ABCD — параллелограмм, ∠ABD=∠CBD. Докажите, что ABCD — ромб.

Сам: составьте план доказательства

Определите вид четырёхугольника ABCD

Вид четырёхугольника — по клеткам

Образец: докажите, что ABCD — квадрат.

Сам: какой это четырёхугольник?

Признак работает только для параллелограмма

Где ошибся ученик?

а) Ромб ABCD, ∠A=50∘. Найдите ∠ABD.

б) Прямоугольник ABCD, AC=8, ∠BAC=30∘. Найдите меньшую сторону.

в) Параллелограмм ABCD: ∠A=90∘, AC⊥BD. Какой это вид?

Решите и сверьте ответ

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Ещё два из банка того же типа

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Рефлексия и домашнее задание

Ключи к задачам

Проверь себя

Дома

GEOM8-008 · Практикум: прямоугольник, ромб, квадрат

Равнобедренный треугольник с вершиной $O$

Образец: $A BC D$ — прямоугольник, $A C = 12$ , $∠ A OB = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

Сам: прямоугольник $A BC D$ , $O$ — точка пересечения диагоналей

Образец: $A K$ — биссектриса $∠ A$ , $B K = 5$ , $K C = 3$ . Найдите периметр $A BC D$ .

Сам: $A K$ — биссектриса $∠ A$ , $K \in BC$

Образец: ромб $A BC D$ , $∠ A BC = 12 0^{\circ}$ , $B D = 7$ . Найдите периметр.

Сам: ромб $A BC D$ , $O$ — точка пересечения диагоналей

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $∠ A B D = ∠ CB D$ . Докажите, что $A BC D$ — ромб.

Образец: докажите, что $A BC D$ — квадрат.

а) Ромб $A BC D$ , $∠ A = 5 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A B D$ .

б) Прямоугольник $A BC D$ , $A C = 8$ , $∠ B A C = 3 0^{\circ}$ . Найдите меньшую сторону.

в) Параллелограмм $A BC D$ : $∠ A = 9 0^{\circ}$ , $A C ⊥ B D$ . Какой это вид?