Четырёхугольники · урок 4 из 12 · новый материал

Равнобокая и прямоугольная трапеции

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · строка R01 · GEOM8-004

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (12 ч), урок 4/12, единица R01.4. Тип урока — Н (новый материал).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13): сл. 1 титул 1 · 2 цели 1 · 4 определения 1,5 · 5 доказательство свойства 1 — 2,5 · 7 доказательство свойства 2 — 2 · 9 признаки 1,5 · 10 высоты 1,5 · 12 прямоугольная трапеция 1 · 15 схема-конспект 1. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32): 3 разминка 2,5 · 6 образец «углы» 2,5 · 8 образец «диагонали» 2,5 · 11 образец «равнобокая» 3 · 13 образец «прямоугольная» 2,5 · 14 клетчатая бумага 2,5 · 16 ошибки 1,5 · 17 найди ошибку 2 · 18 база 3,5 · 19 повышенный 2,5 · 20 ОГЭ 2 · 21 самостоятельная 4 · 22 итог 1.
Термин: в учебниках встречаются оба названия — «равнобокая» и «равнобедренная» трапеция; в заданиях ОГЭ — «равнобедренная».
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 19 — в ДЗ; доказательства (сл. 5, 7) не сокращать.

R01.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать

равнобокую и прямоугольную трапеции и их элементы на чертеже (ПР-1, REQ-6.1)

Доказывать свойства

равнобокой трапеции: углы при основании и диагонали равны (EL-6.3)

Применять признаки

равнобокой трапеции: по углам при основании, по диагоналям (EL-6.3)

Решать задачи

с высотами трапеции: находить углы, стороны, отрезки основания (ПР-1, REQ-6.1)

повторение: R01.3, 7 класс

Разминка · устно

Трапеция и прямоугольный треугольник — в уме

Основания трапеции на рисунке? $BC$ и $A D$
$∠ A = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $11 0^{\circ}$
Бывает ли у трапеции два прямых угла? да
Сумма углов четырёхугольника? $36 0^{\circ}$
Равнобедренный $△$ : угол при основании $4 0^{\circ}$ . При вершине? $10 0^{\circ}$
Гипотенуза $12$ , угол $3 0^{\circ}$ . Катет против него? $6$
Прямоугольный $△$ : угол $4 5^{\circ}$ , катет $5$ . Второй катет? $5$
Прямоугольные $△$ равны по гипотенузе и …? катету, острому углу

2,5 мин · практика
Ответы (по клику): 1) параллельные стороны $BC$ и $A D$ ; 2) 180° − 70° = 110° (односторонние углы при BC ∥ AD и секущей AB); 3) да, если оба прилежат к одной боковой стороне — это прямоугольная трапеция (мостик к сл. 4); 4) 360°; 5) 180° − 2·40° = 100°; 6) 6 (катет против угла 30° равен половине гипотенузы); 7) 5 (второй острый угол тоже 45°, треугольник равнобедренный); 8) по гипотенузе и катету или по гипотенузе и острому углу.
Темп — 15 секунд на задание. Задания 5–8 — приёмы сегодняшних доказательств и задач с высотами.
Ошибка: «у трапеции два угла по 90° — значит, это прямоугольник». Нет: у прямоугольника параллельны обе пары сторон.

R01.4

Определения

Два особых вида трапеции

Боковые стороны равны — равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Одна боковая сторона перпендикулярна основаниям — прямоугольная.

R01.4

Теорема · свойство 1

В равнобокой трапеции углы при основании равны

R01.4

Образец → сам · углы

Один угол известен — найдём остальные

Образец: $A BC D$ — равнобокая трапеция, $∠ B = 11 2^{\circ}$ . Найдите остальные углы.

$∠ A = 18 0^{\circ} - 11 2^{\circ} = 6 8^{\circ}$ односторонние при $BC ∥ A D$ , секущая $A B$
$∠ D = ∠ A = 6 8^{\circ}$ свойство 1: углы при основании равны
$∠ C = ∠ B = 11 2^{\circ}$ $∠ C = 18 0^{\circ} - ∠ D$

Сам:

Равнобокая, $∠ D = 7 4^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $10 6^{\circ}$
Равнобокая; разность двух её углов $4 0^{\circ}$ . Найдите углы. по $7 0^{\circ}$ и $11 0^{\circ}$
Прямоугольная, тупой угол в $3$ раза больше острого. Найдите их. $4 5^{\circ}$ и $13 5^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец (1 мин, шаги по клику): ∠A = 180° − 112° = 68° (∠A и ∠B — односторонние при BC ∥ AD); ∠D = ∠A = 68° (свойство 1); ∠C = 180° − 68° = 112° = ∠B. Проверка: 68 + 112 + 112 + 68 = 360 ✓. Чертёж в масштабе: AD = 12, BC = 7, угол при основании 68°.
Сам: 1) ∠A = ∠D = 74°, ∠B = 180° − 74° = 106°. 2) Разность 40° дают острый и тупой углы: x + (x + 40°) = 180° ⇒ x = 70°; углы 70°, 70°, 110°, 110°. 3) Острый x и тупой 3x прилежат к наклонной боковой стороне: x + 3x = 180° ⇒ x = 45°, тупой 135° (ещё два угла — по 90°).
Ошибка в 2): «разность двух равных углов» — равные углы дают разность 0, значит, речь об остром и тупом.

R01.4

Теорема · свойство 2

Диагонали равнобокой трапеции равны

R01.4

Образец → сам · доказательство

Точка пересечения диагоналей

Образец: $A BC D$ — равнобокая трапеция, $O$ — точка пересечения диагоналей. Докажите: $O A = O D$ , $OB = OC$ .

$△ A B D = △ D C A$ как в свойстве 2: $A B = D C$ , $A D$ общая, $∠ A = ∠ D$
$∠ O D A = ∠ O A D$ соответственные углы равных треугольников
$△ A O D$ равнобедренный ⇒ $O A = O D$ признак равнобедренного треугольника
$OB = OC$ $OB = B D - O D = A C - O A$ : диагонали равны (свойство 2)

Сам: та же трапеция

$∠ C A D = 3 2^{\circ}$ . Найдите $∠ B D A$ . $3 2^{\circ}$
$A C = 15$ , $O D = 11$ . Найдите $OB$ . $4$
Докажите: $△ A BC = △ D CB$ .
$A B = D C$ , $BC$ общая, $∠ B = ∠ C$ → I признак

2,5 мин · практика
Образец: треугольники ABD и DCA равны по двум сторонам и углу между ними (доказано на сл. 7) ⇒ ∠BDA = ∠CAD, то есть в △AOD ∠ODA = ∠OAD ⇒ OA = OD. Так как AC = BD, то OB = BD − OD = AC − OA = OC. Чертёж в масштабе: AD = 12, BC = 6, h = 5.
Сам: 1) ∠BDA = ∠CAD = 32° (из равенства △ABD и △DCA). 2) OA = OD = 11 ⇒ OC = AC − OA = 15 − 11 = 4 = OB. 3) AB = DC (условие), BC — общая, ∠ABC = ∠DCB (следствие свойства 1: углы при меньшем основании равны) ⇒ равны по первому признаку.
Требование к записи: каждый шаг — с обоснованием, а не «на рисунке видно». Ошибка: «диагонали делятся пополам» — OA ≠ OC.

R01.4

Свойства и признаки

Верно и обратное: равные углы или диагонали ⇒ равнобокая

1,5 мин · теория
Признак 1: если углы при основании трапеции равны, она равнобокая. Доказательство: CE ∥ AB, тогда ∠CED = ∠A = ∠D, △ECD равнобедренный, CD = CE = AB.
Признак 2: если диагонали трапеции равны, она равнобокая. Идея: высоты BH и CK равны, △ACK = △DBH (по гипотенузе и катету) ⇒ ∠CAD = ∠BDA ⇒ △ACD = △DBA ⇒ CD = AB. Доказательство — для сильных учеников или ДЗ (задание 3).
Ось симметрии — прямая через середины оснований (перпендикулярна им). Это только свойство; у неравнобокой трапеции оси нет.

R01.4

Ключ к задачам

Высоты из B и C делят большее основание

A H = KD = \frac{A D - BC}{2}

HD = \frac{A D + BC}{2}

Пример: $A D = 15, BC = 7$
→ $A H = 4, HD = 11$

R01.4

Образец → сам · высота в равнобокой

Высота отсекает прямоугольный треугольник

Образец: равнобокая, $BC = 4$ , $A D = 10$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ и $P$ .

$A H = \frac{10 - 4}{2} = 3$ высота $B H$ : $A H = \frac{A D - BC}{2}$
$∠ A B H = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ в $△ A B H$ сумма острых углов $9 0^{\circ}$
$A B = 2 \cdot A H = 6$ катет против угла $3 0^{\circ}$
$P = 4 + 10 + 6 + 6 = 26$ $C D = A B$

Сам: равнобокая трапеция

$BC = 5$ , $A D = 13$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $8$
$BC = 3$ , $A B = 8$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A D$ . $11$
$BC = 6$ , $A D = 16$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $P$ . $42$

R01.4

Прямоугольная трапеция

Высота = меньшая боковая сторона

∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}

∠ C = 18 0^{\circ} - ∠ D

h = A B = C H

HD = A D - BC

R01.4

Образец → сам · прямоугольная трапеция

Угол $4 5^{\circ}$ — равные катеты

Образец: прямоугольная, $BC = 5$ , $A D = 9$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A B$ и $∠ C$ .

$HD = 9 - 5 = 4$ высота $C H$ ; $A BC H$ — прямоугольник, $A H = BC$
$C H = HD = 4$ $∠ H C D = 4 5^{\circ}$ ⇒ $△ C HD$ — прямоугольный равнобедренный
$A B = C H = 4$ противоположные стороны прямоугольника
$∠ C = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ односторонние при $BC ∥ A D$

Сам: прямоугольная, $A B ⊥ A D$

$BC = 3$ , $A D = 10$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $7$
$A B = 6$ , $BC = 4$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A D$ . $10$
$BC = 8$ , $A D = 12$ , $A B = 4$ . Найдите $∠ D$ . $4 5^{\circ}$

R01.4 · ОГЭ 18

Образец → сам · клетчатая бумага

Считаем клетки — и обосновываем

Образец: клетка $1 \times 1$ . Докажите, что трапеция равнобокая; найдите высоту и $A H$ .

$BC = 4$ , $A D = 8$ , $B H = 3$ по клеткам; высота $h = B H$ ; $BC ∥ A D$ — линии сетки
$A H = KD = 2$ ⇒ $△ A B H = △ D C K$ по двум катетам ⇒ $A B = C D$
$A H = \frac{8 - 4}{2} = 2$ ✓совпало с формулой

Сам: по рисунку

Вид трапеции? прямоугольная
Высота и $HD$ ? $3$ и $3$
Найдите $∠ D$ и $∠ C$ . $4 5^{\circ}$ и $13 5^{\circ}$

2,5 мин · практика
Образец: вершины A(1; 1), B(3; 4), C(7; 4), D(9; 1). BC и AD лежат на линиях сетки ⇒ параллельны; BC = 4, AD = 8, BH = CK = 3. AH = 2, KD = 2 ⇒ прямоугольные △ABH и △DCK равны по двум катетам ⇒ AB = CD — трапеция равнобокая. AH = (AD − BC)/2 = 2 ✓.
Сам: A(1; 1), B(1; 4), C(5; 4), D(8; 1). 1) AB ⊥ AD (вертикальная и горизонтальная линии сетки) — прямоугольная. 2) h = AB = CH = 3; HD = AD − BC = 7 − 4 = 3. 3) CH = HD ⇒ △CHD прямоугольный равнобедренный ⇒ ∠D = 45°, ∠C = 180° − 45° = 135°.
Ошибка: «на рисунке видно, что AB = CD» — равенство надо обосновать (равные треугольники по клеткам).

R01.4

Схема-конспект

Равнобокая или прямоугольная: что запомнить

	Равнобокая	Прямоугольная
Определение	$A B = C D$	$A B ⊥ A D$
Углы	$∠ A = ∠ D, ∠ B = ∠ C$	$∠ A = ∠ B = 9 0^{\circ}$
Диагонали	$A C = B D$	не равны
Высота	из вершины меньшего основания	$h = A B$
Отрезок основания	$A H = \frac{A D - BC}{2}$	$HD = A D - BC$

Ошибка: диагонали равнобокой трапеции не делятся пополам и не перпендикулярны.

R01.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Отрезок $A H$

$A H = A D - BC$

в равнобокой «ступенек» две: $A H$ и $KD$

$A H = \frac{A D - BC}{2}$

Диагонали

делятся точкой $O$ пополам

это свойство параллелограмма

$A C = B D$ , $O A = O D$ , $OB = OC$

Равные углы

$∠ A = ∠ B$

$∠ A$ и $∠ B$ прилежат к боковой стороне: их сумма $18 0^{\circ}$

$∠ A = ∠ D$ , $∠ B = ∠ C$

R01.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Равнобокая, $∠ A = 7 0^{\circ}$ . Найдите углы.

$∠ B = 7 0^{\circ}$ , $∠ C = ∠ D = 11 0^{\circ}$

$∠ D = ∠ A = 7 0^{\circ}$

$∠ B = ∠ C = 11 0^{\circ}$

б) Равнобокая, $BC = 6$ , $A D = 14$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

$A H = 14 - 6 = 8$ , $A B = 16$

$A H = (14 - 6) : 2 = 4$

$A B = 2 \cdot A H = 8$

в) Прямоугольная, $A B = 5$ , $BC = 4$ , $A D = 9$ . Найдите $∠ D$ .

$HD = (9 - 4) : 2 = 2, 5 \neq = C H$ ⇒ $∠ D \neq = 4 5^{\circ}$

$HD = A D - BC = 5 = C H$

$△ C HD$ равнобедренный ⇒ $∠ D = 4 5^{\circ}$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Перепутаны пары равных углов: равны углы при одном основании. ∠D = ∠A = 70°, ∠B = ∠C = 180° − 70° = 110°.
б) Забыли разделить на 2: AH = (AD − BC)/2 = 4; в △ABH ∠ABH = 30°, AB = 2·4 = 8.
в) Формулу равнобокой применили к прямоугольной. Здесь ABCH — прямоугольник, AH = BC = 4, HD = 9 − 4 = 5, CH = AB = 5 ⇒ △CHD прямоугольный равнобедренный, ∠D = 45° (и ∠C = 135°).

R01.4

Задания с самопроверкой · база

Решите в тетради — сверьте ответ

$A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ ; в прямоугольной $A B ⊥ A D$ ; $B H$ — высота.

базаОдин угол равнобокой трапеции $6 5^{\circ}$ . Найдите остальные. $6 5^{\circ}, 11 5^{\circ}, 11 5^{\circ}$
базаТупой угол прямоугольной трапеции $12 8^{\circ}$ . Найдите острый. $5 2^{\circ}$
базаРавнобокая: $BC = 5$ , $A D = 13$ . Найдите $A H$ и $HD$ . $4$ и $9$

базаРавнобокая: $A C = 17$ . Найдите $B D$ . $17$
базаПрямоугольная: $BC = 6$ , $A D = 11$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $5$
базаРавнобокая, диагонали пересекаются в $O$ , $O A = 7$ , $OB = 3$ . Найдите $B D$ . $10$

R01.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Равнобокая: $A D = 25$ , $A B = 10$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $BC$ . $15$
повыш.Основания равнобокой трапеции $7$ и $15$ , угол при основании $4 5^{\circ}$ . Найдите высоту. $4$
из жизниКанал: ширина дна $3$ м, по верху $7$ м, откосы равные, под углом $4 5^{\circ}$ к дну. Найдите глубину. $2$ м
повыш. $B H$ и $C K$ — высоты равнобокой трапеции $A BC D$ . Докажите: $△ A B H = △ D C K$ .
$A B = D C$ , $∠ A = ∠ D$ → по гипотенузе и острому углу

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) В △ABH ∠ABH = 30° ⇒ AH = 10 : 2 = 5, BC = AD − 2·AH = 25 − 10 = 15. 2) AH = (15 − 7) : 2 = 4, △ABH прямоугольный равнобедренный ⇒ h = 4.
3) Сечение канала — равнобокая трапеция с основаниями 3 и 7 м: «ступенька» (7 − 3) : 2 = 2 м, угол 45° ⇒ глубина 2 м. Чертёж строят сами.
4) △ABH и △DCK прямоугольные (∠H = ∠K = 90°), гипотенузы AB = DC (равнобокая), ∠A = ∠D (свойство 1) ⇒ равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда AH = KD — обоснование формулы сл. 10.

R01.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 17

Ответ — одно число

1. Основания равнобедренной трапеции равны $9$ и $21$ , а один из её углов равен $4 5^{\circ}$ . Найдите высоту трапеции. $6$

Равнобедренная трапеция

Сумма двух её углов $14 0^{\circ}$ . Найдите больший угол. $110$
Один из её углов $5 4^{\circ}$ . Найдите больший угол. $126$

В бланк — только число: 6, без «

h =

» и без «°».

2 мин · практика
1) Авторское задание в формате банка ФИПИ. Угол 45° может быть только острым (при большем основании). AH = (21 − 9) : 2 = 6, △ABH прямоугольный равнобедренный ⇒ h = AH = 6. Чертёж в масштабе.
2) Сумма 140° < 180° — это не углы при боковой стороне, а два равных острых угла при основании: по 70°; больший угол 180° − 70° = 110°. 3) Если 54° — острый, тупой 126°; тупым 54° быть не может. Ответ 126.
Типичная потеря балла: в задаче 1 взять AH = 21 − 9 = 12; в задаче 2 ответить 70.

R01.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

$A BC D$ — трапеция, $BC ∥ A D$ ; в прямоугольной $A B ⊥ A D$ ; $B H$ — высота.

Вариант 1

Равнобокая, $∠ C = 11 8^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ . $6 2^{\circ}$
Равнобокая, $BC = 3$ , $A D = 11$ . Найдите $A H$ . $4$
Равнобокая, $BC = 4$ , $A D = 12$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $8$
Прямоугольная, $BC = 7$ , $A D = 12$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A B$ . $5$

Вариант 2

Прямоугольная, $∠ D = 5 7^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ . $12 3^{\circ}$
Равнобокая, $BC = 5$ , $A D = 17$ . Найдите $HD$ . $11$
Равнобокая, $BC = 6$ , $A D = 16$ , $∠ A = 4 5^{\circ}$ . Найдите высоту. $5$
Равнобокая, $BC = 2$ , $A B = 6$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A D$ . $8$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Что запомнить и что сделать дома

Ответьте одной фразой

По каким двум признакам узнать равнобокую трапецию?
Чему равна высота прямоугольной трапеции?
Как найти $A H$ в равнобокой трапеции?

Проверь себя

Я доказываю: углы при основании и диагонали равнобокой трапеции равны.
Провожу высоты и нахожу $A H$ , $HD$ .
Решаю прямоугольную трапецию через $△ C HD$ .

Дома

Прямоугольная: основания $6$ и $10$ , острый угол $4 5^{\circ}$ . Найдите высоту.
Равнобокая: основания $3$ и $9$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите периметр.
Докажите: трапеция с равными углами при основании — равнобокая.
Тренажёр:
reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-004 · Равнобокая и прямоугольная трапеции

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), Москва – 2025 · курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 12 ч · урок 4/12 · тип Н
Единицы → слайды	R01.4 «Равнобокая и прямоугольная трапеции» → 2, 4–22 · R01.3 (повторение) и 7 класс → 3
Результаты	ПР-1 / REQ-6.1 (распознавать виды четырёхугольников, пользоваться свойствами) → 2, 6, 8, 11, 13–14, 16–21 · EL-6.3 (равнобокая трапеция, свойства и признаки; прямоугольная трапеция) → 4–5, 7, 9–10, 12, 15
ОГЭ	линия 17 (четырёхугольники) → 20; линия 18 (клетчатая бумага) → 14
Вне урока	средняя линия трапеции — R02.3; метод удвоения медианы — GEOM8-005; вписанные и описанные четырёхугольники — R05; теорема Пифагора — R04
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Равнобокая и прямоугольная трапеции

Сегодня вы научитесь

Распознавать

Доказывать свойства

Применять признаки

Решать задачи

Трапеция и прямоугольный треугольник — в уме

Два особых вида трапеции

В равнобокой трапеции углы при основании равны

Один угол известен — найдём остальные

Образец: ABCD — равнобокая трапеция, ∠B=112∘. Найдите остальные углы.

Сам:

Диагонали равнобокой трапеции равны

Точка пересечения диагоналей

Образец: ABCD — равнобокая трапеция, O — точка пересечения диагоналей. Докажите: OA=OD, OB=OC.

Сам: та же трапеция

Верно и обратное: равные углы или диагонали ⇒ равнобокая

Высоты из B и C делят большее основание

Высота отсекает прямоугольный треугольник

Образец: равнобокая, BC=4, AD=10, ∠A=60∘. Найдите AB и P.

Сам: равнобокая трапеция

Высота = меньшая боковая сторона

Угол 45∘ — равные катеты

Образец: прямоугольная, BC=5, AD=9, ∠D=45∘. Найдите AB и ∠C.

Сам: прямоугольная, AB⊥AD

Считаем клетки — и обосновываем

Образец: клетка 1×1. Докажите, что трапеция равнобокая; найдите высоту и AH.

Сам: по рисунку

Равнобокая или прямоугольная: что запомнить

Неверно → почему → верно

Отрезок AH

Диагонали

Равные углы

Где ошибся ученик?

а) Равнобокая, ∠A=70∘. Найдите углы.

б) Равнобокая, BC=6, AD=14, ∠A=60∘. Найдите AB.

в) Прямоугольная, AB=5, BC=4, AD=9. Найдите ∠D.

Решите в тетради — сверьте ответ

Подумайте и решите

Ответ — одно число

Равнобедренная трапеция

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Что запомнить и что сделать дома

Ответьте одной фразой

Проверь себя

Дома

GEOM8-004 · Равнобокая и прямоугольная трапеции

Образец: $A BC D$ — равнобокая трапеция, $∠ B = 11 2^{\circ}$ . Найдите остальные углы.

Образец: $A BC D$ — равнобокая трапеция, $O$ — точка пересечения диагоналей. Докажите: $O A = O D$ , $OB = OC$ .

Образец: равнобокая, $BC = 4$ , $A D = 10$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ и $P$ .

Угол $4 5^{\circ}$ — равные катеты

Образец: прямоугольная, $BC = 5$ , $A D = 9$ , $∠ D = 4 5^{\circ}$ . Найдите $A B$ и $∠ C$ .

Сам: прямоугольная, $A B ⊥ A D$

Образец: клетка $1 \times 1$ . Докажите, что трапеция равнобокая; найдите высоту и $A H$ .

Отрезок $A H$

а) Равнобокая, $∠ A = 7 0^{\circ}$ . Найдите углы.

б) Равнобокая, $BC = 6$ , $A D = 14$ , $∠ A = 6 0^{\circ}$ . Найдите $A B$ .

в) Прямоугольная, $A B = 5$ , $BC = 4$ , $A D = 9$ . Найдите $∠ D$ .