Четырёхугольники · урок 1 из 12

Параллелограмм,
его свойства
и признаки

Геометрия · 8 класс · базовый уровень
ФРП «Математика» (базовый уровень), Москва – 2025
строка R01 · GEOM8-001

0,5 мин · теория (орг. момент, тема)
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Паспорт: R01 «Четырехугольники» (12 ч), урок 1/12, единица R01.1. Тип урока — Н (новый материал).
Теория (12,5): титул 0,5 · цели 0,5 · определение 1,5 · свойство 1 — 2 · свойство 2 — 1,5 · свойство 3 — 1 · признак 1 — 1,5 · признак 2 — 1,5 · признак 3 — 1,5 · схема 1.
Практика (32,5): разминка 2 · образцы → сам 2,5 + 2,5 + 3 + 2,5 + 2 · типичные ошибки 1,5 · найди ошибку 2 · база 3 · повышенный 2,5 · ОГЭ 19 — 2 · ОГЭ 17 — 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если не успеваете: доказательство признака 3 (сл. 11) — устно по чертежу, «Образец → сам» на клетчатой бумаге (сл. 16) — в ДЗ.

R01.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать параллелограмм

по определению, видеть его элементы на чертеже (ПР-1)

Доказывать свойства

стороны, углы и диагонали параллелограмма

Доказывать признаки

три способа убедиться, что четырёхугольник — параллелограмм

Решать задачи

пользоваться свойствами при вычислении углов, сторон, периметра (ПР-1)

повторение: 7 класс

Разминка · устно

Параллельные прямые и секущая

$a ∥ b$ , $∠1 = 5 5^{\circ}$ . Найдите $∠2$ . $5 5^{\circ}$ — накрест лежащие равны
Найдите $∠3$ . $12 5^{\circ}$ — сумма односторонних $18 0^{\circ}$
Накрест лежащие углы равны. Что можно сказать о прямых? прямые параллельны
Назовите три признака равенства треугольников. I — две стороны и угол между ними; II — сторона и два прилежащих угла; III — три стороны
Сумма углов выпуклого четырёхугольника? $36 0^{\circ}$

2 мин · практика
Ответы: 1) $∠2 = ∠1 = 5 5^{\circ}$ (накрест лежащие при $a ∥ b$ и секущей $c$ ). 2) $∠3 = 18 0^{\circ} - 5 5^{\circ} = 12 5^{\circ}$ ( $∠1$ и $∠3$ — односторонние). 3) Параллельны — признак параллельности прямых; он понадобится в доказательстве признаков параллелограмма. 4) I, II, III признаки. 5) $36 0^{\circ}$ .
Вопрос классу: какие углы при $a ∥ b$ и секущей $c$ называют накрест лежащими, односторонними? Верно ли обратное (если накрест лежащие равны, то прямые параллельны)? — Да, это признак параллельности прямых.
Ошибка: путать накрест лежащие и соответственные углы.

R01.1

Определение

Что такое параллелограмм

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

A B ∥ C D

,

BC ∥ A D

Диагональ соединяет противоположные вершины. У параллелограмма их две.

1,5 мин · теория
Стрелки на сторонах — знак параллельности: одинаковое число стрелок у параллельных сторон.
Вопрос классу: назовите противоположные стороны, соседние стороны, противоположные углы ( $∠ A$ и $∠ C$ , $∠ B$ и $∠ D$ ).
Ошибка: называть параллелограмм буквами не по порядку обхода (ABDC вместо ABCD).
Проблемный вопрос к следующим слайдам: что ещё «бесплатно» следует из параллельности сторон? А как, не измеряя углов, проверить, что фигура — параллелограмм?

R01.1

Свойство 1 · доказательство

Противоположные стороны и углы равны

R01.1

Свойство 2 · доказательство

Диагонали точкой пересечения делятся пополам

R01.1

Свойство 3 · углы

Углы, прилежащие к одной стороне: сумма 180°

∠ A = ∠ C = α, ∠ B = ∠ D = β

α + β = 18 0^{\circ}

односторонние при $BC ∥ A D$ и секущей $A B$

Пример: $∠ A = 7 0^{\circ}$ ⇒ $∠ C = 7 0^{\circ}$ , $∠ B = ∠ D = 11 0^{\circ}$

R01.1

Образец → сам · свойства на готовом чертеже

Найдите углы и периметр

Образец: $A BC D$ — параллелограмм. Найдите $∠ B$ , $∠ C$ , $∠ D$ и $P$ .

$∠ C = ∠ A = 6 4^{\circ}$ противоположные углы

$∠ B = ∠ D = 18 0^{\circ} - 6 4^{\circ} = 11 6^{\circ}$ свойство 3

$P = 2 (8 + 13) = 42$ $A B = C D$ , $BC = A D$

Сам

Один угол параллелограмма в 4 раза больше другого. Найдите углы. $3 6^{\circ}$ , $14 4^{\circ}$ , $3 6^{\circ}$ , $14 4^{\circ}$
$P = 50$ , $A B : BC = 2 : 3$ . Найдите стороны. $A B = 10$ , $BC = 15$
$∠ A + ∠ C = 14 0^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ . $11 0^{\circ}$

R01.1

Признак 1 · доказательство

Две стороны равны и параллельны

R01.1

Признак 2 · доказательство

Противоположные стороны попарно равны

R01.1

Признак 3 · доказательство

Диагонали делятся точкой пересечения пополам

R01.1

Схема-конспект

Признаки → параллелограмм → свойства

R01.1

Образец → сам · признак, затем свойство

Сначала докажи, потом пользуйся

Образец: $A B = C D = 9$ , $BC = A D = 14$ , $∠ A = 5 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ , $∠ B$ и $P$ .

$A BC D$ — параллелограмм признак 2

$∠ C = 5 5^{\circ}$ , $∠ B = 12 5^{\circ}$ свойства углов

$P = 2 (9 + 14) = 46$

Сам

$A O = OC$ , $BO = O D$ , $∠ A BC = 12 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ и $∠ B A D$ . $12 0^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ (признак 3)
$A B ∥ C D$ , $A B = C D = 10$ , $BC = 6$ . Найдите $P$ . $32$ (признак 1)
$A B ∥ C D$ и $BC = A D$ . Обязательно ли $A BC D$ — параллелограмм? нет: возможна трапеция

R01.1

Образец → сам · задача на доказательство

План доказательства и обоснования

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $K \in BC$ , $M \in A D$ , $B K = D M$ . Докажите: $A K CM$ — параллелограмм.

$BC = A D$ свойство 1

$K C = BC - B K = A D - D M = A M$

$K C ∥ A M$ лежат на $BC ∥ A D$ ⇒ признак 1

Сам: составьте план

$M$ и $N$ — середины $BC$ и $A D$ . Докажите: $A BMN$ — параллелограмм. $BM = A N$ , $BM ∥ A N$ ⇒ признак 1
$E, F \in A C$ , $A E = CF$ . Докажите: $BE D F$ — параллелограмм. $OE = OF$ , $OB = O D$ ⇒ признак 3
Прямая через точку $O$ пересечения диагоналей пересекает $BC$ в $K$ , $A D$ в $M$ . Докажите: $O K = OM$ . $△ BO K = △ D OM$ (II признак)

3 мин · практика
Образец: план «что известно → что нужно → какой признак». Признак 1 требует, чтобы одни и те же стороны $K C$ и $A M$ были равны и параллельны.
1) $BM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} A D = A N$ (свойство 1); $BM ∥ A N$ , так как $BC ∥ A D$ ⇒ признак 1.
2) $A O = OC$ , $BO = O D$ (свойство 2); $OE = A O - A E = OC - CF = OF$ ⇒ диагонали $B D$ и $EF$ четырёхугольника $BE D F$ делятся точкой $O$ пополам ⇒ признак 3.
3) $BO = O D$ (свойство 2), $∠ BO K = ∠ D OM$ (вертикальные), $∠ OB K = ∠ O D M$ (накрест лежащие, $BC ∥ A D$ , секущая $B D$ ) ⇒ $△ BO K = △ D OM$ по II признаку ⇒ $O K = OM$ .
Работа в парах: один пишет план, другой — обоснования. Всем — 1, сильным — 2 и 3.

R01.1

Образец → сам · комбинированная задача

Биссектриса угла отсекает равнобедренный треугольник

Образец: $A K$ — биссектриса $∠ A$ , $B K = 7$ , $K C = 3$ . Найдите $P_{A BC D}$ .

$∠1 = ∠2$ $A K$ — биссектриса

$∠2 = ∠3$ накрест лежащие, $BC ∥ A D$

$∠1 = ∠3$ ⇒ $A B = B K = 7$ $△ A B K$ равнобедренный

$P = 2 (7 + 10) = 34$

Сам

Биссектриса $∠ A$ : $B K = 5$ , $K C = 6$ . Найдите $P$ . $32$
$B K : K C = 3 : 1$ , $P = 42$ . Найдите стороны. $A B = 9$ , $BC = 12$
Биссектриса $∠ A$ делит $BC$ пополам, $A B = 6$ . Найдите $P$ . $36$

R01.1

Образец → сам · строим на клетчатой бумаге

Достройте до параллелограмма

Образец: $A (1; 1)$ , $B (3; 4)$ , $C (8; 4)$ . Найдите $D$ , чтобы $A BC D$ был параллелограммом.

от $B$ к $C$ : на 5 клеток вправо

от $A$ так же: $D (6; 1)$ $A D ∥ BC$ , $A D = BC$ — признак 1

Сам: нарисуйте в тетради

$A (0; 0)$ , $B (1; 3)$ , $C (6; 3)$ . Найдите $D$ . $D (5; 0)$
$A (2; 1)$ , $B (4; 5)$ , $D (7; 1)$ . Найдите $C$ . $C (9; 5)$
$A (1; 2)$ , $B (1; 5)$ , $C (4; 6)$ . Найдите $D$ . $D (4; 3)$

R01.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Неверно	Почему	Верно
«Диагонали параллелограмма равны»	свойство 2 говорит только о делении пополам	$A O = OC$ , $BO = O D$ ; равны — у прямоугольника
$A B ∥ C D$ , $BC = A D$ ⇒ параллелограмм	равны и параллельны должны быть одни и те же стороны	$A B ∥ C D$ и $A B = C D$ (признак 1)
$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$	$∠ A$ и $∠ C$ — противоположные, а не соседние	$∠ A = ∠ C$ , $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$

R01.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $∠ A : ∠ B = 1 : 4$ . Найдите $∠ C$ .

$x + 4 x = 180$ , $x = 36$

$∠ A = 3 6^{\circ}$ , $∠ C = 18 0^{\circ} - 3 6^{\circ} = 14 4^{\circ}$

$∠ C = ∠ A = 3 6^{\circ}$ — противоположные

б) Биссектриса $∠ A$ : $B K = 4$ , $K C = 3$ . Найдите $P$ .

$A B = K C = 3$

$P = 2 (3 + 7) = 20$

$A B = B K = 4$ , $P = 2 (4 + 7) = 22$

в) $A C = 10$ , $B D = 16$ , $C D = 7$ . Найдите $P_{△ CO D}$ .

$OC = 10$ , $O D = 16$

$P = 10 + 16 + 7 = 33$

$OC = 5$ , $O D = 8$ , $P = 5 + 8 + 7 = 20$

R01.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

база $∠ A = 4 8^{\circ}$ . Найдите остальные углы. $∠ C = 4 8^{\circ}$ , $∠ B = ∠ D = 13 2^{\circ}$
база $P = 40$ см, $A B = 8$ см. Найдите $BC$ . $12$ см
базаОдин угол вдвое больше другого. Найдите углы. $6 0^{\circ}$ и $12 0^{\circ}$

база $A C = 14$ , $B D = 10$ , $A B = 6$ . Найдите $P_{△ CO D}$ . $18$
базаСумма двух углов $15 0^{\circ}$ . Найдите больший угол. $10 5^{\circ}$
базаОдна сторона на $4$ см больше другой, $P = 36$ см. Найдите стороны. $7$ см и $11$ см

R01.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $B H$ — высота к $A D$ , $∠ A B H = 2 8^{\circ}$ . Найдите $∠ D$ . $11 8^{\circ}$
повыш.Биссектриса $∠ B$ пересекает $A D$ в точке $K$ , $A K = 6$ , $KD = 4$ . Найдите $P$ . $32$
повыш.Найдите угол между биссектрисами двух соседних углов параллелограмма. $9 0^{\circ}$
практикаКак одной рулеткой, без угольника, проверить, что рама — параллелограмм? сравнить противоположные стороны (признак 2)

2,5 мин · практика
1) В прямоугольном $△ A B H$ : $∠ A = 9 0^{\circ} - 2 8^{\circ} = 6 2^{\circ}$ ; $∠ D = 18 0^{\circ} - 6 2^{\circ} = 11 8^{\circ}$ ( $∠ A$ и $∠ D$ — соседние).
2) $∠ A B K = ∠ K BC = ∠ A K B$ (накрест лежащие, $BC ∥ A D$ ) ⇒ $△ A B K$ равнобедренный, $A B = A K = 6$ ; $A D = 10$ ; $P = 2 (6 + 10) = 32$ .
3) $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ ⇒ половины в сумме $9 0^{\circ}$ ⇒ в треугольнике, образованном биссектрисами и стороной $A B$ , третий угол $18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ .
4) Измерить противоположные стороны попарно (признак 2) или половинки диагоналей от точки пересечения (признак 3). Пример из жизни: шарнирная рама из четырёх реек «попарно равной длины» всегда остаётся параллелограммом — механизм настольной лампы, откидной полки.

R01.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 19

Верно или неверно?

№	Утверждение	Ответ
1	Диагонали параллелограмма равны.	неверно
2	Противоположные углы параллелограмма равны.	верно
3	Если в четырёхугольнике две стороны параллельны, то он — параллелограмм.	неверно
4	Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.	верно
5	Сумма соседних углов параллелограмма равна 180°.	верно

Ответ в формате ОГЭ: номера верных утверждений без пробелов — 245

R01.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 17

Ответ — одно число

ОГЭ 17Один угол параллелограмма на $4 6^{\circ}$ больше другого. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. $113$
ОГЭ 17Диагональ $A C$ параллелограмма $A BC D$ образует с его сторонами углы $3 8^{\circ}$ и $3 2^{\circ}$ . Найдите больший угол параллелограмма. $110$
ОГЭ 17Периметр параллелограмма равен $50$ , одна сторона на $5$ больше другой. Найдите меньшую сторону. $10$

R01.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$∠ A = 6 4^{\circ}$ . Найдите $∠ B$ и $∠ C$ . $11 6^{\circ}$ , $6 4^{\circ}$
Биссектриса $∠ A$ : $B K = 6$ , $K C = 3$ . Найдите $P$ . $30$
$A C = 12$ , $B D = 18$ , $A B = 10$ . Найдите $P_{△ A OB}$ . $25$
$A O = OC$ , $BO = O D$ , $∠ B A D = 7 5^{\circ}$ . Найдите $∠ BC D$ . $7 5^{\circ}$

Вариант 2

$∠ B = 13 7^{\circ}$ . Найдите $∠ A$ и $∠ D$ . $4 3^{\circ}$ , $13 7^{\circ}$
Биссектриса $∠ A$ : $B K = 4$ , $K C = 5$ . Найдите $P$ . $26$
$A C = 16$ , $B D = 10$ , $C D = 9$ . Найдите $P_{△ CO D}$ . $22$
$A B = C D$ , $BC = A D$ , $∠ A BC = 10 2^{\circ}$ . Найдите $∠ A D C$ . $10 2^{\circ}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем признак отличается от свойства?
Какие три признака параллелограмма вы знаете?
Равны ли диагонали параллелограмма?
Что отсекает биссектриса угла параллелограмма?

Домашнее задание

Выучить определение, свойства и признаки; доказать признак 3.
Биссектриса угла $A$ параллелограмма $A BC D$ делит $BC$ на $B K = 5$ и $K C = 4$ . Найдите периметр.
$∠ A - ∠ B = 4 0^{\circ}$ . Найдите углы.
Тренажёр: reknow.ru/8/geometry/8_geometry_parallelogramm_i_trapeciya.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 2) $A B = B K = 5$ , $BC = 9$ , $P = 2 (5 + 9) = 28$ . 3) $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ , $∠ A - ∠ B = 4 0^{\circ}$ ⇒ $∠ A = ∠ C = 11 0^{\circ}$ , $∠ B = ∠ D = 7 0^{\circ}$ .
Рефлексия: «признак — как узнать фигуру, свойство — что о ней известно»; три признака — со сл. 12; диагонали в общем случае не равны; биссектриса отсекает равнобедренный треугольник.
Тренажёр «Параллелограмм и трапеция» охватывает всю строку R01; на этом уроке — задания про параллелограмм. Следующий урок — прямоугольник, ромб, квадрат (GEOM8-002); практикум по теме — GEOM8-007.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

GEOM8-001 · Параллелограмм, его признаки и свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_baza.pdf, с. 80–84 · учебный курс «Геометрия», 8 класс
Строка, урок	R01 «Четырехугольники», 12 ч · урок 1/12 · тип Н
Единицы → слайды	R01.1 «Параллелограмм, его признаки и свойства» → 4–24
Результаты	ПР-1 = REQ-6.1 (распознавать виды четырёхугольников, их элементы, пользоваться свойствами при решении задач) → 2, 4–8, 12–13, 15–24 · вид деятельности «Доказывать и использовать признаки и свойства параллелограмма» → 5–6, 9–11, 13–14
Повторение	7 класс: признаки и свойства параллельных прямых, признаки равенства треугольников → 3 (разминка)
Вне урока	прямоугольник, ромб, квадрат — GEOM8-002; трапеция — GEOM8-003, GEOM8-004; удвоение медианы — GEOM8-005; центральная симметрия — GEOM8-006; практикум — GEOM8-007
Проверки	формат 30/70: теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), 5 «образец → сам» · методист: pending

Параллелограмм,его свойстваи признаки

Сегодня вы научитесь

Узнавать параллелограмм

Доказывать свойства

Доказывать признаки

Решать задачи

Параллельные прямые и секущая

Что такое параллелограмм

Противоположные стороны и углы равны

Диагонали точкой пересечения делятся пополам

Углы, прилежащие к одной стороне: сумма 180°

Найдите углы и периметр

Образец: ABCD — параллелограмм. Найдите ∠B, ∠C, ∠D и P.

Сам

Две стороны равны и параллельны

Противоположные стороны попарно равны

Диагонали делятся точкой пересечения пополам

Признаки → параллелограмм → свойства

Сначала докажи, потом пользуйся

Образец: AB=CD=9, BC=AD=14, ∠A=55∘. Найдите ∠C, ∠B и P.

Сам

План доказательства и обоснования

Образец: ABCD — параллелограмм, K∈BC, M∈AD, BK=DM. Докажите: AKCM — параллелограмм.

Сам: составьте план

Биссектриса угла отсекает равнобедренный треугольник

Образец: AK — биссектриса ∠A, BK=7, KC=3. Найдите PABCD​.

Сам

Достройте до параллелограмма

Образец: A(1;1), B(3;4), C(8;4). Найдите D, чтобы ABCD был параллелограммом.

Сам: нарисуйте в тетради

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ∠A:∠B=1:4. Найдите ∠C.

б) Биссектриса ∠A: BK=4, KC=3. Найдите P.

в) AC=10, BD=16, CD=7. Найдите P△COD​.

Решите и проверьте

Подумайте и решите

Верно или неверно?

Ответ — одно число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

GEOM8-001 · Параллелограмм, его признаки и свойства

Параллелограмм,
его свойства
и признаки

Образец: $A BC D$ — параллелограмм. Найдите $∠ B$ , $∠ C$ , $∠ D$ и $P$ .

Образец: $A B = C D = 9$ , $BC = A D = 14$ , $∠ A = 5 5^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ , $∠ B$ и $P$ .

Образец: $A BC D$ — параллелограмм, $K \in BC$ , $M \in A D$ , $B K = D M$ . Докажите: $A K CM$ — параллелограмм.

Образец: $A K$ — биссектриса $∠ A$ , $B K = 7$ , $K C = 3$ . Найдите $P_{A BC D}$ .

Образец: $A (1; 1)$ , $B (3; 4)$ , $C (8; 4)$ . Найдите $D$ , чтобы $A BC D$ был параллелограммом.

а) $∠ A : ∠ B = 1 : 4$ . Найдите $∠ C$ .

б) Биссектриса $∠ A$ : $B K = 4$ , $K C = 3$ . Найдите $P$ .

в) $A C = 10$ , $B D = 16$ , $C D = 7$ . Найдите $P_{△ CO D}$ .