Повторение · урок 32 из 34 · обобщение

Повторение:
часть 2 ОГЭ —
линии 20–22

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-134

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 32/34, единица R06.1. Тип урока — О (обобщение). Фокус урока — задания части 2 ОГЭ: линия 20 (уравнения и системы), линия 21 (текстовые задачи), линия 22 (функции и графики). Прошлые уроки R06 повторяли эти темы по отдельности (ALG9U-114, 115, 116, 121, 125–128); сегодня — смешанная тренировка и оформление.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (часть 2: критерии) 2 · 5 (приёмы линии 20) 2 · 8 (модель линии 21) 2 · 10 (схема линии 22) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 11, 12) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; самостоятельную не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Линия 20

решать уравнения 3-й и 4-й степени группировкой и заменой, системы — подстановкой и сложением (ПР-6, ПР-9, ПР-11)

Линия 21

составлять уравнение по условию и отбирать корни по смыслу задачи (ПР-15, ПР-16)

Линия 22

строить график с выколотыми точками и находить все значения параметра (ПР-14, ПР-17)

Оформление

записывать решение так, чтобы получить 2 балла из 2 (ПР-13)

1 мин · теория
ПР-11 (ФРП дословно): «Применять методы равносильных преобразований, замены переменной, графического метода при решении уравнений 3-й и 4-й степеней». ПР-15: «Решать текстовые задачи алгебраическим способом с помощью составления уравнений, неравенств, их систем». ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…».
Единица R06.1: «Текстовые задачи», «Алгебраические выражения (… допустимые значения)», «Функции (построение, свойства изученных функций; графическое решение уравнений и их систем)».

разминка · R06.1

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов

x^{3} - 4 x

разложите

x (x - 2) (x + 2)

x^{2} - 5 x + 6 = 0

корни

2; 3

\frac{1}{x ^{2} - 9}

допустимые

x

x \neq = \pm 3

\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

сократите

x + 2, x \neq = 2

y = x^{2} - 4 x + 1

вершина

(2; - 3)

y = \frac{6}{x}

,

x = 2

y

= ?

3

20 %

от

45

вычислите

9

90

км за

6

ч

скорость

15

км/ч

R06.1 · формат ОГЭ

Сводка · часть 2 ОГЭ

Три линии алгебры: по 2 балла за полное решение

Линия	Что дают	1 балл из 2, если…	0 баллов, если…
20	уравнение, система, неравенство, выражение	ход верный, одна вычислительная ошибка	потерян корень, нет обоснования
21	текстовая задача	ход верный, одна вычислительная ошибка	нет уравнения, ответ без решения
22	график функции и параметр	график верный, найдены не все значения	график неверный (нет выколотых точек)

Решение записывают полностью: каждое преобразование, отбор корней, ответ на вопрос задачи

2 мин · теория
Критерии — по формулировкам ФИПИ (общий смысл): 2 балла — обоснованно получен верный ответ; 1 балл — ход решения верный, допущена одна вычислительная ошибка или описка, с её учётом решение доведено до конца (линии 20, 21); в линии 22 — график построен верно, но значения параметра найдены не все или неверно.
Вопрос классу: почему потерянный корень в линии 20 стоит всего балла? (Ответ неверен по существу, это не «описка».)
Ссылка на сайт: банк ФИПИ /oge/ — линии 20–22, удобно для ДЗ.

R06.1 · ПР-6, ПР-11

Сводка · приёмы линии 20

Сначала посмотрите на вид уравнения

Признак	Приём	Пример
$4$ слагаемых, есть $x^{3}$	группировка	$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12 = 0$
$x^{4}$ и $x^{2}$ ; повтор выражения	замена $t$	$x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$
$A^{2} = B^{2}$	$A = B$ или $A = - B$	$x^{4} = (2 x - 3)^{2}$
общий множитель с $x$	вынести, не делить	$x^{3} = 4 x$
дробь	числитель $= 0$ , знаменатель $\neq = 0$	$\frac{x ^{2} - 5 x}{x - 5} = 0$
система	подстановка или сложение	$x - y = 1, x^{2} + y^{2} = 25$

R06.1 · ПР-11

Образец → сам · уравнение 3-й и 4-й степени

Решите уравнение

Образец

$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12 = 0$

$x^{2} (x + 3) - 4 (x + 3) = 0$ группировка

$(x + 3) (x - 2) (x + 2) = 0$ разность квадратов

$x = - 3; - 2; 2$ произведение равно $0$

$- 27 + 27 + 12 - 12 = 0$ проверка $x = - 3$

Сам

база $x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18 = 0$ $- 3; 2; 3$
база $x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$ $- 3; 3$
повыш. $(x^{2} - 2 x)^{2} - 2 (x^{2} - 2 x) - 3 = 0$ $- 1; 1; 3$

R06.1 · ПР-9

Образец → сам · система уравнений

Решите систему

Образец

${x^{2} + y^{2} = 25 x - y = 1$

$x = y + 1$ подстановка

$(y + 1)^{2} + y^{2} = 25 \Rightarrow y^{2} + y - 12 = 0$

$y = 3$ или $y = - 4$ Виета

$(4; 3), (- 3; - 4)$ $x = y + 1$

Сам

база ${4 x^{2} - 3 x = y 8 x - 6 = y$ $(2; 10), (0, 75; 0)$
база ${x^{2} + y^{2} = 13 x^{2} - y^{2} = 5$ $(\pm 3; \pm 2)$ — $4$ пары
повыш. ${x^{2} + x y = 12 y^{2} + x y = 4$ $(3; 1), (- 3; - 1)$

R06.1 · ПР-15

Сводка · модель линии 21

От условия к уравнению — пять шагов

1.

x

— то, что спрашивают (или удобная величина)

2. таблица: величины через

x

3. уравнение по «лишнему» условию

4. корни → отбор по смыслу

5. ответ на вопрос задачи

Тип	Связь
движение	$s = v t$
по реке	$v \pm v_{теч}$
работа	$A = pt$ , вся работа $= 1$
смеси	$m_{в - ва} = доля \cdot m$

R06.1 · ПР-15, ПР-16

Образец → сам · текстовая задача

Составьте уравнение и ответьте на вопрос

Образец

Путь $120$ км. Первый автомобиль едет на $10$ км/ч быстрее второго и приезжает на $1$ ч раньше. Скорость первого?

$x$ км/ч — первый, $x - 10$ — второй

$\frac{120}{x - 10} - \frac{120}{x} = 1$ $t = \frac{s}{v}$

$x^{2} - 10 x - 1200 = 0 \Rightarrow x = 40; - 30$

$40$ км/ч $x > 10$

Сам

базаЛодка прошла $24$ км по течению и $24$ км обратно за $5$ ч. Течение $2$ км/ч. Собственная скорость? $10$ км/ч
базаСмешали $30 %$ -й и $60 %$ -й растворы, получили $600$ г $40 %$ -го. Сколько взяли каждого? $400$ г и $200$ г
повыш.Вместе двое делают работу за $12$ дней, первый один — на $10$ дней быстрее второго. За сколько дней сделает её первый? $20$ дней

R06.1 · ПР-14, ПР-17

Сводка · схема линии 22

Сколько общих точек у графика и прямой $y = m$ ?

0.

y = \frac{x ^{3} - x}{x - 1}

1. область определения:

x \neq = 1

2. сократить:

y = x^{2} + x

3. построить и выколоть

(1; 2)

4. двигать прямую: вершина и выколотая точка — особые

R06.1 · ПР-14

Образец → сам · выколотая точка

При каких $k$ у прямой $y = k x$ нет общих точек с графиком?

Образец

$y = \frac{x ^{2} + x - 6}{x - 2}$

$y = x + 3, x \neq = 2$ $(x + 3) (x - 2)$

выколота $(2; 5)$

$k = 1$ параллельна

$5 = 2 k$ , $k = 2, 5$ через $(2; 5)$

Сам

база $y = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ , тот же вопрос $k = 1; k = 2$
база $y = \frac{x ^{2} - 4 x}{x}$ : при каких $m$ нет общих точек с $y = m$ ? $m = - 4$
повыш. $y = \frac{( x ^{2} + 4 ) ( x - 1 )}{1 - x}$ : при каких $m$ ровно одна общая точка с $y = m$ ? $m = - 4; m = - 5$

3 мин · практика
Образец: kx = x + 3 ⇒ (k − 1)x = 3. При k = 1 решений нет (прямые параллельны). При k ≠ 1 x = 3/(k − 1); общей точки нет, только если x = 2, т. е. k − 1 = 1,5, k = 2,5. Ответ: 1; 2,5.
1) y = x + 3, x ≠ 3, выколота (3; 6): k = 1 и 6 = 3k, k = 2.
2) y = x − 4, x ≠ 0, выколота (0; −4): горизонтальная прямая y = m пересекает наклонную прямую всегда, кроме m = −4.
3) y = −(x² + 4) = −x² − 4, x ≠ 1, выколота (1; −5). Вершина (0; −4): m = −4 — одна точка. m = −5: −x² − 4 = −5 ⇒ x = ±1, остаётся x = −1 — одна точка. Ответ: −5; −4.

R06.1 · ПР-14, ПР-21

Образец → сам · парабола с выколотыми точками

Когда у прямой $y = c$ ровно одна общая точка с графиком?

Образец

$y = \frac{x ^{4} - 13 x ^{2} + 36}{( x - 3 ) ( x + 2 )}$

$\frac{( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ( x + 2 )}$

$y = x^{2} + x - 6$ , $x \neq = 3$ , $x \neq = - 2$

выколоты $(3; 6)$ , $(- 2; - 4)$

$c = - 6, 25; - 4; 6$

Сам

база $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ : ровно $3$ общие точки с $y = m$ ? $m = 3$
базаТот же график: ровно $2$ общие точки? $m = - 1$ или $m > 3$
повыш. $y = \frac{x ^{4} - 10 x ^{2} + 9}{( x - 1 ) ( x + 3 )}$ : ровно одна общая точка с $y = c$ ? $c = 12$

3 мин · практика
Образец: x⁴ − 13x² + 36 = (x² − 4)(x² − 9). Вершина x₀ = −0,5, y₀ = 0,25 − 0,5 − 6 = −6,25. y(3) = 6, y(−2) = −4. При c = −4: x² + x − 2 = 0 ⇒ 1 и −2, остаётся 1. При c = 6: x² + x − 12 = 0 ⇒ 3 и −4, остаётся −4. Ответ: −6,25; −4; 6.
1) График из двух половин парабол, симметричен относительно Oy; минимумы (±2; −1), точка (0; 3). Три общие точки — при m = 3.
2) Две точки: m = −1 (две вершины) и m > 3. При −1 < m < 3 — четыре точки.
3) (x − 1)(x + 1)(x − 3)(x + 3) / ((x − 1)(x + 3)) = (x + 1)(x − 3) = x² − 2x − 3, x ≠ 1, x ≠ −3. Выколоты (1; −4) — это вершина! — и (−3; 12). При c = −4 общих точек нет; при c = 12: x² − 2x − 15 = 0 ⇒ 5 и −3, остаётся 5. Ответ: 12. Ловушка: ответ «−4» (выколота сама вершина).

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Линия 20: деление на $x$

$x^{3} = 4 x \Rightarrow x^{2} = 4$ , $x = \pm 2$

$x (x^{2} - 4) = 0 \Rightarrow$ $x = 0; \pm 2$

при делении на $x$ теряется $x = 0$

Линия 21: не тот ответ

нашли $x = 30$ — скорость второго, записали ответ $30$

спрашивали первого: $30 + 10 = 40$

ответ — на вопрос задачи

Линия 22: сократили без условия

$y = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1$ — «обычная прямая»

$x \neq = 1$ : точка $(1; 2)$ выколота

график без выколотой точки — 0 баллов

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. ${x^{2} + y^{2} = 10 x - y = 2$

$x = y + 2$ ; $y^{2} + 4 + y^{2} = 10$

$y^{2} = 3$ , $y = \pm 3$ , $x = 2 \pm 3$

Ошибка: $(y + 2)^{2} = y^{2} + 4 y + 4$

$y^{2} + 2 y - 3 = 0$ : $(3; 1), (- 1; - 3)$

Задача 2. $y = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ ; при каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет общих точек с графиком?

$y = x + 1$ , прямые не пересекаются, если параллельны: $k = 1$

Ошибка: забыта выколотая точка $(1; 2)$

$2 = k \cdot 1$ : ответ $k = 1; k = 2$

R06.1

Задания с самопроверкой · база

По одному заданию каждого вида

$x^{3} - 9 x = 0$ $- 3; 0; 3$
$x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$ $\pm 2$
$\frac{x ^{2} - 5 x}{x - 5} = 0$ $0$

${x + y = 5 x y = 6$ $(2; 3), (3; 2)$
$y = \frac{x ^{2} - 1}{x + 1}$ : выколотая точка? $(- 1; - 2)$
Катер: $30$ км по течению за $1, 5$ ч, против — за $2$ ч. Скорость течения? $2, 5$ км/ч

R06.1 · ПР-11, ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Замена, группировка, параметр

повыш. $(x^{2} + 3 x)^{2} - 2 (x^{2} + 3 x) = 8$ $- 4; - 2; - 1; 1$
повыш. $x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 = 0$ $- 2; - 1; 1$
повыш. ${x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} = 0 x + y = 6$ $(3; 3), (4; 2)$
повыш.При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком $y = ∣ x^{2} - 4∣$ ровно $3$ общие точки? $m = 4$
повыш.Из A в B ( $300$ км) выехали два автомобиля; первый на $10$ км/ч быстрее и приехал на $1$ ч раньше. Скорость первого? $60$ км/ч

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 20, 21, 22

Мини-вариант части 2: оформите полностью

линия 20Решите уравнение $x^{4} = (2 x - 3)^{2}$ . $- 3; 1$
линия 21Первая труба пропускает на $1$ л в минуту меньше, чем вторая. Резервуар объёмом $110$ л она заполняет на $2$ мин дольше, чем вторая — резервуар объёмом $99$ л. Сколько литров в минуту пропускает первая труба? $10$
линия 22Постройте график $y = \frac{( x ^{2} + 1 ) ( x - 2 )}{2 - x}$ . При каких $k$ прямая $y = k x$ имеет с ним ровно одну общую точку? $- 2, 5; - 2; 2$

20:

A^{2} = B^{2} \Leftrightarrow A = \pm B

21:

x

л/мин — первая

22: выколота

(2; - 5)

2 мин · практика
1) x² = 2x − 3: x² − 2x + 3 = 0, D = 4 − 12 < 0 — нет корней; x² = −(2x − 3): x² + 2x − 3 = 0 — корни 1 и −3. Проверка x = −3: 81 = (−9)² ✓.
2) 110/x − 99/(x + 1) = 2 ⇒ 110(x + 1) − 99x = 2x(x + 1) ⇒ 2x² − 9x − 110 = 0, D = 81 + 880 = 961, x = (9 + 31)/4 = 10 (второй корень −5,5 не подходит). Проверка: 11 − 9 = 2 ✓.
3) y = −(x² + 1) = −x² − 1, x ≠ 2, выколота (2; −5). kx = −x² − 1 ⇔ x² + kx + 1 = 0. Одна точка: D = k² − 4 = 0, k = ±2 (корни ∓1, не равны 2); или D > 0 и один корень равен 2: 4 + 2k + 1 = 0, k = −2,5, второй корень 1/2 (произведение 1). Ответ: −2,5; −2; 2. Проверено sympy.
На доске разобрать только план; полное оформление 1 и 3 — в ДЗ, если не успеваете.

R06.1 · ПР-16, ПР-24

Задача из жизни

Какое такси выгоднее?

А: $150$ ₽ посадка + $25$ ₽ за км.
Б: первые $5$ км — $300$ ₽, далее $20$ ₽ за км.

практикаСтоимость поездки на $12$ км в А и Б? $450$ и $440$ ₽
практикаПри каком пути цены равны? $10$ км
повыш.Когда выгоднее Б? путь больше $10$ км

R06.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · по одному заданию линий 20, 21, 22

Вариант 1

база $x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = 0$ $- 3; - 2; 3$
базаЛодка прошла $15$ км по течению и $15$ км обратно за $4$ ч. Течение $2$ км/ч. Собственная скорость? $8$ км/ч
повыш. $y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ : при каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет общих точек с графиком? $k = 1; k = 2$

Вариант 2

база $x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 = 0$ $- 2; 2; 3$
базаЛодка прошла $35$ км по течению и $35$ км обратно за $6$ ч. Течение $2$ км/ч. Собственная скорость? $12$ км/ч
повыш. $y = \frac{x ^{2} - 9}{x + 3}$ : при каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет общих точек с графиком? $k = 1; k = 2$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) (x + 2)(x² − 9) = 0: −2; ±3. 2) 15/(v + 2) + 15/(v − 2) = 4 ⇒ 2v² − 15v − 8 = 0, D = 289, v = 8 (−0,5 не подходит); проверка 1,5 + 2,5 = 4 ✓. 3) y = x + 2, x ≠ 2, выколота (2; 4): k = 1 (параллельна) и 4 = 2k, k = 2.
В-2. 1) (x − 3)(x² − 4) = 0: ±2; 3. 2) 35/(v + 2) + 35/(v − 2) = 6 ⇒ 3v² − 35v − 12 = 0, D = 1369 = 37², v = 12 (−1/3 не подходит); проверка 2,5 + 3,5 = 6 ✓. 3) y = x − 3, x ≠ −3, выколота (−3; −6): k = 1 и −6 = −3k, k = 2.
Критерий: 3 верных — «5», 2 — «4», 1 — «3» (задание 3 с одним значением k — половина).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему нельзя делить обе части на $x$ ?
Что записать после того, как нашли корни в линии 21?
Откуда берутся «лишние» значения параметра в линии 22?

Домашнее задание

$x^{3} - 5 x^{2} - x + 5 = 0$
Две бригады вместе — за $6$ дней, первая одна — на $5$ дней быстрее второй. За сколько дней справится первая?
$y = \frac{x ^{4} - 5 x ^{2} + 4}{( x - 1 ) ( x + 2 )}$ : ровно одна общая точка с $y = c$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_index.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-134 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 32/34 · тип О · фокус: часть 2 ОГЭ, линии 20–22
Единицы → слайды	R06.1 (алгебраические выражения и допустимые значения; текстовые задачи — алгебраический способ; функции — построение, графическое решение; реальные процессы) → 2–20 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 8, 10, 13) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 6, 7, 9, 11, 12, 14–20)
Результаты	ПР-6, ПР-11 (уравнения 3-й и 4-й степени, замена) → 5, 6, 13, 15–17, 19 · ПР-9 (системы) → 7, 14–16 · ПР-15, ПР-16 (текстовые задачи, модель) → 8, 9, 13, 16–19 · ПР-14, ПР-17 (исследование с графиком, кусочно-заданная функция) → 10–12, 14–19 · ПР-13 (ограничения) → 4, 13 · кодификатора у курса нет
Вне урока	темы по отдельности — ALG9U-114, 115, 116, 121, 125–128; прогрессии (R04) и степени (R05) — другие уроки R06; ALG9U-135 — продолжение обобщения
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:часть 2 ОГЭ —линии 20–22

Сегодня вы научитесь

Линия 20

Линия 21

Линия 22

Оформление

Восемь быстрых вопросов

Три линии алгебры: по 2 балла за полное решение

Сначала посмотрите на вид уравнения

Решите уравнение

Образец

Сам

Решите систему

Образец

Сам

От условия к уравнению — пять шагов

Составьте уравнение и ответьте на вопрос

Образец

Сам

Сколько общих точек у графика и прямой y=m?

При каких k у прямой y=kx нет общих точек с графиком?

Образец

Сам

Когда у прямой y=c ровно одна общая точка с графиком?

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Линия 20: деление на x

Линия 21: не тот ответ

Линия 22: сократили без условия

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. {x2+y2=10x−y=2​

Задача 2. y=x−1x2−1​; при каких k прямая y=kx не имеет общих точек с графиком?

По одному заданию каждого вида

Замена, группировка, параметр

Мини-вариант части 2: оформите полностью

Какое такси выгоднее?

Два варианта · по одному заданию линий 20, 21, 22

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-134 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Повторение:
часть 2 ОГЭ —
линии 20–22

Сколько общих точек у графика и прямой $y = m$ ?

При каких $k$ у прямой $y = k x$ нет общих точек с графиком?

Когда у прямой $y = c$ ровно одна общая точка с графиком?

Линия 20: деление на $x$

Задача 1. ${x^{2} + y^{2} = 10 x - y = 2$

Задача 2. $y = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ ; при каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет общих точек с графиком?