Повторение · урок 31 из 34 · обобщение

Повторение:
делимость
и модуль числа

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-133

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 31/34, единица R06.1 (числа и вычисления; алгебраические выражения). Тип урока — О (обобщение и систематизация). Фокус урока — вид деятельности ФРП по строке: «натуральное число, простое и составное число, делимость натуральных чисел, признаки делимости, целое число, модуль числа» — и уравнения и неравенства с модулем (линия 20 ОГЭ).
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: делимость, НОД и НОК) 4 · 8 (сводка: модуль числа) 4 · 12 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 7, 9, 10, 11) 3 + 3 + 3 + 2 + 3 + 2 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2 · ОГЭ (сл. 16) 2 · задача из жизни (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 4 · итог (сл. 19) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 15 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Признаки делимости

подбирать цифры, раскладывать на простые множители (ПР-2)

НОД, НОК, доказательство

задачи на НОД и НОК, делимость выражения при любом $n$ (ПР-2, ПР-13)

Модуль как расстояние

$∣ x - a ∣$ на прямой: уравнения и неравенства с модулем (ПР-3, ПР-8)

Модуль в задаче 20

замена $t = ∣ x ∣$ , раскрытие модуля, отбор корней (ПР-6, ПР-13)

1 мин · теория
ПР-2 (ФРП дословно): «Использовать понятие множества действительных чисел при решении задач, проведении рассуждений и доказательств». ПР-3: «Сравнивать и упорядочивать действительные числа, округлять действительные числа, выполнять прикидку результата вычислений, оценку числовых выражений».
ПР-6: «Решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к ним…». ПР-8: «…изображать решение неравенств на числовой прямой…». ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями, например, в целых числах».

разминка · R06.1

Разминка · устно

Делители и расстояния

84

на простые множители

2^{2} \cdot 3 \cdot 7

НОД (24; 36)

вычислите

12

НОК (6; 8)

вычислите

24

51

простое?

нет:

3 \cdot 17

∣ - 7∣ + ∣3∣

вычислите

10

∣3 - 10 ∣

без модуля

10 - 3

∣ x ∣ = 4

корни

\pm 4

- 2

и

5

расстояние на прямой

7

R06.1

Сводка · делимость натуральных чисел

Признаки делимости, НОД и НОК

Делится на	если
$2$ ; $5$ ; $10$	последняя цифра чётная; $0$ или $5$ ; $0$
$4$ ; $25$	число из двух последних цифр делится на $4$ ; на $25$
$3$ ; $9$	сумма цифр делится на $3$ ; на $9$
$6 = 2 \cdot 3$	на $2$ и на $3$ — множители взаимно простые

Через простые множители

$12 = 2^{2} \cdot 3, 18 = 2 \cdot 3^{2}$

$НОД = 2 \cdot 3 = 6$ меньшие степени

$НОК = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ большие

НОД (a; b) \cdot НОК (a; b) = ab

4 мин · теория
Простое число имеет ровно два натуральных делителя (1 и само число); составное — больше двух; 1 — ни простое, ни составное. Каждое составное число раскладывается на простые множители единственным образом (с точностью до порядка).
Признак на 6, 12, 15, 18, 36 и т. п. — составной: делимость на произведение взаимно простых множителей. На 12 = 3 · 4 — признаки на 3 и на 4 (а не на 2 и 6: они не взаимно простые). Пример: 12 делится на 2 и на 6, но 18 тоже делится на 2 и 6, а на 12 — нет.
НОД — общие простые множители в меньших степенях, НОК — все множители в больших. Проверка формулы: 6 · 36 = 216 = 12 · 18. Взаимно простые числа: НОД = 1, НОК = ab.
Вопрос классу: почему признак делимости на 9 «по сумме цифр»? (10ⁿ = 99…9 + 1, поэтому число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 9.)

R06.1 · ПР-13

Образец → сам · признаки делимости

Подберите цифру

Образец

Какую цифру поставить вместо $*$ , чтобы $\overline{73 * 4}$ делилось на $12$ ?

$12 = 3 \cdot 4$ взаимно простые

на $4$ : $* \in {0, 2, 4, 6, 8}$ число $\overline{* 4}$

на $3$ : $* \in {1, 4, 7}$ сумма $14 + *$

$* = 4$ : $7344 = 12 \cdot 612$ оба условия

Сам

база $\overline{5 * 2}$ делится на $9$ $* = 2$ ( $522$ )
базаНаименьшее трёхзначное число, кратное $36$ $108$
повыш. $\overline{4 a 5 b}$ делится на $45$ . Найдите все такие числа. $4050; 4455; 4950$

R06.1 · текстовые задачи

Образец → сам · НОД и НОК в задаче

Одинаковые наборы — НОД, совпадение — НОК

Образец

Из $48$ роз и $72$ тюльпанов собрали одинаковые букеты, использовав все цветы. Сколько букетов можно собрать наибольшее?

$48 = 2^{4} \cdot 3, 72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ разложение

$НОД = 2^{3} \cdot 3 = 24$ число букетов делит оба

$24$ букета: $2$ розы и $3$ тюльпана проверка

Сам

базаНОД и НОК чисел $84$ и $90$ $6$ и $1260$
базаАвтобусы отходят каждые $12$ и $18$ мин, вместе — в $8 : 00$ . Когда снова вместе? в $8 : 36$
повыш. $НОД (36; m) = 6$ , $НОК (36; m) = 180$ . Найдите $m$ . $m = 30$

3 мин · практика
Образец: число букетов — общий делитель 48 и 72, наибольшее — НОД = 24. Проверка: 24 · 2 = 48, 24 · 3 = 72 ✓.
1) 84 = 2² · 3 · 7, 90 = 2 · 3² · 5. НОД = 2 · 3 = 6; НОК = 2² · 3² · 5 · 7 = 1260. Проверка: 6 · 1260 = 7560 = 84 · 90 ✓.
2) Время до совпадения — общее кратное 12 и 18, наименьшее: НОК = 36 мин ⇒ 8:36.
3) m = 6 · 180 / 36 = 30. Проверка: НОД(36; 30) = 6, НОК = 180 ✓.
Вопрос классу: как отличить задачу «на НОД» от задачи «на НОК»? (Делим на одинаковые части — НОД; ждём совпадения, ищем общий размер — НОК.)

R06.1 · ПР-2

Образец → сам · доказательство делимости

Докажите, что при любом натуральном $n$ …

Образец

… $n^{3} - n$ делится на $6$

$n^{3} - n = (n - 1) n (n + 1)$ разложение

три целых числа подряд

среди них чётное и кратное $3$

делится на $2 \cdot 3 = 6$ $НОД (2; 3) = 1$

Сам

база… $(n + 3)^{2} - (n - 1)^{2}$ делится на $8$ $= 4 (2 n + 2) = 8 (n + 1)$
база…сумма трёх последовательных натуральных чисел делится на $3$ $(n - 1) + n + (n + 1) = 3 n$
повыш.… $\overline{ab} - \overline{ba}$ делится на $9$ $10 a + b - 10 b - a = 9 (a - b)$

3 мин · практика
Образец — главная идея: разложить на множители и найти в произведении нужные делители. При n = 1 произведение 0 · 1 · 2 = 0 — тоже делится на 6.
1) Разность квадратов: (n + 3 − n + 1)(n + 3 + n − 1) = 4(2n + 2) = 8(n + 1). Проверено при n = 1…200.
2) Средним числом обозначить n: сумма 3n. Вариант n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1) — тоже верно.
3) Двузначное число $\overline{ab}$ = 10a + b (a, b — цифры, a ≠ 0, b ≠ 0). Разность 9(a − b) кратна 9.
Ошибка: «проверил при n = 1, 2, 3 — значит, верно» — проверка нескольких значений не доказательство.

R06.1

Сводка · модуль числа

Модуль — расстояние на числовой прямой

∣ a ∣ = {a, - a, a \geq 0 a < 0

При $a > 0$	решение
$∣ x ∣ = a$	$x = \pm a$
$∣ x ∣ < a$	$- a < x < a$
$∣ x ∣ > a$	$x < - a$ или $x > a$

4 мин · теория
Определение: модуль неотрицательного числа — само число, отрицательного — противоположное. Значит, |a| ≥ 0 всегда, |−a| = |a|, √(a²) = |a|.
Геометрический смысл: |a| — расстояние от 0 до точки a; |a − b| — расстояние между точками a и b. Уравнение |x − 2| = 3: точки на расстоянии 3 от точки 2 — это −1 и 5 (открываются по клику).
Таблица справедлива при a > 0. При a = 0: |x| = 0 ⇔ x = 0. При a < 0: |x| = a решений нет, |x| < a — нет решений, |x| > a — любое x.
Неравенство |x − 2| < 3 — точки ближе 3 к точке 2: −1 < x < 5 (интервал между отмеченными точками).

R06.1 · ПР-6

Образец → сам · уравнение с модулем

Решите уравнение

Образец

$∣2 x - 3∣ = 5$

$2 x - 3 = 5$ или $2 x - 3 = - 5$ $∣ t ∣ = a, a > 0$

$x = 4$ или $x = - 1$ линейные

$∣8 - 3∣ = 5, ∣ - 2 - 3∣ = 5$ проверка

Сам

база $∣ x + 4∣ = 7$ $3; - 11$
база $∣3 - x ∣ = - 2$ корней нет
повыш. $∣ x - 1∣ = ∣2 x + 4∣$ $- 5; - 1$

R06.1 · ПР-8

Образец → сам · неравенство с модулем

Решите неравенство — по расстоянию

Образец

$∣ x - 3∣ \leq 2$ ; сколько у него целых решений?

расстояние от $x$ до $3$ не больше $2$

$- 2 \leq x - 3 \leq 2, 1 \leq x \leq 5$ $∣ t ∣ \leq a$

$[1; 5]$ , целых — $5$ $1, 2, 3, 4, 5$

Сам

база $∣ x + 1∣ < 4$ $(- 5; 3)$
база $∣2 x - 1∣ \geq 3$ $(- \infty; - 1] \cup [2; + \infty)$
практикаДиаметр детали $d = 20$ мм, допуск $0, 05$ мм: $∣ d - 20∣ \leq 0, 05$ $[19, 95; 20, 05]$ мм

R06.1 · ПР-6

Образец → сам · модуль и квадратное уравнение

$x^{2} = ∣ x ∣^{2}$ — уравнение сводится к квадратному

Образец

$x^{2} - 5∣ x ∣ + 6 = 0$

$t = ∣ x ∣ \geq 0$ : $t^{2} - 5 t + 6 = 0$ замена

$t = 2$ или $t = 3$ Виета, оба $\geq 0$

$∣ x ∣ = 2$ или $∣ x ∣ = 3$ обратная замена

$x = \pm 2; \pm 3$ четыре корня

Сам

база $x^{2} - 2∣ x ∣ - 8 = 0$ $\pm 4$
база $x^{2} + 3∣ x ∣ + 2 = 0$ корней нет
повыш. $x ∣ x ∣ = 3 x + 4$ $4$

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Делители не взаимно простые

делится на $4$ и на $6$ ⇒ делится на $24$

делится на $НОК (4; 6) = 12$

контрпример: $12$ на $24$ не делится

$a^{2} = a$ — не всегда

$(2 - 5)^{2} = 2 - 5$

$= ∣2 - 5 ∣ = 5 - 2$

корень не бывает отрицательным; $a^{2} = ∣ a ∣$

Потеряли границу

$∣ x - 3∣ < 2$ ⇒ $x < 5$

$- 2 < x - 3 < 2$ : $1 < x < 5$

проверка: $x = 0$ — $∣0 - 3∣ = 3$ , а не меньше $2$

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Решите $x^{2} - 4∣ x ∣ - 5 = 0$

$t = ∣ x ∣$ : $t^{2} - 4 t - 5 = 0$

$t = 5$ или $t = - 1$

$x = \pm 5$ или $x = \pm 1$ . Ответ: $\pm 1; \pm 5$

Ошибка: $t = ∣ x ∣ \geq 0$ , значение $t = - 1$ — постороннее

Ответ: $\pm 5$ (проверка $x = 1$ : $1 - 4 - 5 \neq = 0$ )

Задача 2. $\overline{2 * 6}$ делится на $6$ . Найдите $*$

$2 + * + 6$ делится на $6$

$8 + * = 12$ , $* = 4$ . Ответ: $4$

Ошибка: признака «сумма цифр делится на $6$ » нет; $6 = 2 \cdot 3$

Чётно; $8 + *$ делится на $3$ : $* = 1; 4; 7$ ( $216, 246, 276$ )

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Делимость и модуль

Делится ли $2718$ на $9$ ? да
НОД и НОК чисел $56$ и $98$ $14; 392$
Разложите $360$ на простые множители $2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$

$∣ x - 5∣ = 2$ $3; 7$
Сколько целых решений у $∣ x ∣ \leq 3$ ? $7$
$∣ 7 - 3∣ + 7$ $3$

R06.1 · ПР-13 · ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Остатки, целые значения, модули

повыш.Наименьшее натуральное $n > 1$ , которое при делении на $2, 3, 4, 5, 6$ даёт остаток $1$ $61$
повыш.Все натуральные $n$ , при которых $\frac{n + 5}{n - 1}$ — целое число $2; 3; 4; 7$
повыш. $∣ x - 1∣ + ∣ x + 2∣ = 3$ $[- 2; 1]$
повыш. $∣ x^{2} - 4∣ = 3 x$ $1; 4$
повыш.При каких $a$ уравнение $∣ x - 2∣ = a$ имеет ровно два корня? $a > 0$

2 мин · практика
1) n − 1 делится на 2, 3, 4, 5, 6 ⇒ на НОК = 60; n = 61 (n = 1 даёт частное 0 и исключён условием).
2) (n + 5)/(n − 1) = 1 + 6/(n − 1); n − 1 — натуральный делитель 6: 1, 2, 3, 6 ⇒ n = 2, 3, 4, 7 (n − 1 = −1 даёт n = 0 — не натуральное). Проверено перебором.
3) Сумма расстояний от x до 1 и до −2 равна 3 — это расстояние между точками; так бывает для всех x отрезка [−2; 1] (вне отрезка сумма больше 3).
4) 3x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0. x² − 4 = 3x: x = 4 или −1 (−1 < 0 — нет); x² − 4 = −3x: x = 1 или −4 (−4 — нет). Ответ 1; 4. Проверка: |1 − 4| = 3 ✓, |16 − 4| = 12 ✓.
5) Граничные значения: a = 0 — один корень x = 2; a < 0 — нет корней; a > 0 — два корня 2 ± a. Если не успеваете — 4 и 5 в ДЗ.

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите уравнение — с полным оформлением

$∣ x^{2} - x - 6∣ = x + 2$ $- 2; 2; 4$
$x^{2} + ∣ x - 2∣ = 4$ $- 1; 2$

1: правая часть

\geq 0

⇒ условие

x \geq - 2

2: два случая —

x \geq 2

и

x < 2

корень проверяйте по условию своего случая

2 мин · практика
1) |A| = B ⇔ B ≥ 0 и A = ±B. x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ −2. x² − x − 6 = x + 2: x² − 2x − 8 = 0, x = 4 или −2. x² − x − 6 = −x − 2: x² = 4, x = ±2. Все ≥ −2. Ответ: −2; 2; 4. Проверка: x = −2: 0 = 0; x = 2: |−4| = 4; x = 4: 6 = 6 ✓. Другой путь: |x + 2| · |x − 3| = x + 2.
2) x ≥ 2: x² + x − 6 = 0, x = 2 или −3; подходит 2. x < 2: x² − x − 2 = 0, x = 2 или −1; подходит −1. Ответ: −1; 2. Проверка: 1 + 3 = 4 ✓, 4 + 0 = 4 ✓.
На ОГЭ задание 20 — 2 балла; балл снимают за неотобранный корень (−3 во втором) или потерянный (−2 в первом: x + 2 = 0 — тоже решение).

R06.1 · текстовые задачи

Задача из жизни · шестерни

Шестерни: у малой $24$ зуба, у большой $36$

практикаОтмеченные зубья соприкасаются. Через сколько оборотов малой шестерни они впервые снова встретятся? $3$
практикаСколько оборотов сделает за это время большая? $2$
повыш.Из плиток $24 \times 36$ см (одинаково ориентированных) сложили наименьший квадрат. Сколько плиток? $6$

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаНОД и НОК чисел $18$ и $30$ $6; 90$
база $\overline{3 * 6}$ делится на $9$ . Найдите $*$ . $0$ или $9$
база $∣ x - 4∣ = 6$ $- 2; 10$
повыш. $x^{2} - 7∣ x ∣ + 12 = 0$ $\pm 3; \pm 4$

Вариант 2

базаНОД и НОК чисел $20$ и $45$ $5; 180$
база $\overline{5 * 1}$ делится на $9$ . Найдите $*$ . $3$
база $∣ x + 3∣ = 5$ $2; - 8$
повыш. $x^{2} - ∣ x ∣ - 6 = 0$ $\pm 3$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда из делимости на $m$ и $n$ следует делимость на $mn$ ?
Что означает $∣ x - a ∣$ на прямой?
Какие $t$ отбросить после замены $t = ∣ x ∣$ ?

Домашнее задание

Докажите: $n^{3} + 5 n$ делится на $6$
Решите $∣ x + 2∣ + ∣ x - 4∣ = 6$
Решите $x^{2} - 6∣ x ∣ + 5 = 0$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_index.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-133 · Повторение: делимость и модуль числа

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 31/34 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 (числа и вычисления: делимость, модуль; текстовые задачи; алгебраические выражения) → 2–19 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 8, 12) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5–7, 9–11, 13–19)
Результаты	ПР-2 (рассуждения и доказательства) → 4–7, 12, 13 · ПР-3 (сравнение, оценка) → 3, 8, 12, 14 · ПР-6 (уравнения, сводящиеся к квадратным) → 9, 11, 13, 16, 18 · ПР-8 (неравенства на прямой) → 10, 12 · ПР-13 (в целых числах) → 5, 15 · ПР-14 (исследование уравнения) → 15 · кодификатора у курса нет
Вне урока	сравнения по модулю и алгоритм Евклида — вне ФРП строки; графики функций с модулем — уроки ALG9U-110, ALG9U-116
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:делимостьи модуль числа

Сегодня вы повторите и научитесь

Признаки делимости

НОД, НОК, доказательство

Модуль как расстояние

Модуль в задаче 20

Делители и расстояния

Признаки делимости, НОД и НОК

Через простые множители

Подберите цифру

Образец

Сам

Одинаковые наборы — НОД, совпадение — НОК

Образец

Сам

Докажите, что при любом натуральном n…

Образец

Сам

Модуль — расстояние на числовой прямой

Решите уравнение

Образец

Сам

Решите неравенство — по расстоянию

Образец

Сам

x2=∣x∣2 — уравнение сводится к квадратному

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Делители не взаимно простые

a2​=a — не всегда

Потеряли границу

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Решите x2−4∣x∣−5=0

Задача 2. 2∗6 делится на 6. Найдите ∗

Делимость и модуль

Остатки, целые значения, модули

Решите уравнение — с полным оформлением

Шестерни: у малой 24 зуба, у большой 36

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-133 · Повторение: делимость и модуль числа

Повторение:
делимость
и модуль числа

Докажите, что при любом натуральном $n$ …

$x^{2} = ∣ x ∣^{2}$ — уравнение сводится к квадратному

$a^{2} = a$ — не всегда

Задача 1. Решите $x^{2} - 4∣ x ∣ - 5 = 0$

Задача 2. $\overline{2 * 6}$ делится на $6$ . Найдите $*$

Шестерни: у малой $24$ зуба, у большой $36$