Повторение · урок 29 из 34 · обобщение

Повторение:
неравенства
и их системы

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-131

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 29/34, единица R06.1 (текстовые задачи алгебраическим способом; функции — графическое решение; неравенства и системы как модели). Тип урока — О (обобщение и систематизация). Тема урока внутри строки — неравенства и системы неравенств: в уроках R06 1–21 их ещё не повторяли.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: линейные и квадратные неравенства) 3 · 6 (метод интервалов) 3 · 9 (системы и совокупности) 2 · 12 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 8, 10, 11) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2 · ОГЭ (сл. 16) 2 · задача из жизни (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 5 · итог (сл. 19) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 15 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Решать неравенства

линейные, квадратные, методом интервалов, с дробью (ПР-8)

Решать системы

пересекать решения на прямой, записывать ответ промежутками (ПР-12)

Искать целые решения и параметр

«при всех $x$ », «сколько целых решений» (ПР-13)

Моделировать

условие задачи → неравенство → ответ по смыслу (ПР-16)

1 мин · теория
ПР-8 (ФРП дословно): «Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, использовать метод интервалов, изображать решение неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов». ПР-12: «Решать системы линейных неравенств, системы неравенств, включающие квадратное неравенство…». ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями, например, в целых числах». ПР-16: «Использовать уравнения, неравенства и их системы для составления математической модели реальной ситуации…».
Единица R06.1: «Текстовые задачи (решение … алгебраическим способом)», «Функции (… графическое решение …)» — квадратное неравенство читаем по параболе.

разминка · R06.1

Разминка · устно

Решите в уме

- 2 x > 6

решите

x < - 3

x^{2} < 9

решите

(- 3; 3)

x^{2} \geq 4

решите

∣ x ∣ \geq 2

x^{2} - x - 6

корни

- 2; 3

x^{2} + 1 > 0

решите

любое

x

(x - 5)^{2} \leq 0

решите

x = 5

\frac{x - 2}{x + 1}

знак при

x = 0

«−»

x > 1

и

x \leq 4

пересечение

(1; 4]

R06.1 · ПР-8

Сводка · линейные и квадратные неравенства

Квадратное неравенство решаем по параболе

Линейное: при делении на отрицательное число знак меняется

Найти корни $x_{1} < x_{2}$ трёхчлена
Ветви: вверх при $a > 0$ , вниз при $a < 0$
Ответ — где парабола выше или ниже оси

D < 0

: знак трёхчлена всюду как у

a

3 мин · теория
Квадратное неравенство ax² + bx + c ∨ 0 (a ≠ 0) решаем графически (R06.1 «графическое решение»): знак трёхчлена — это положение параболы относительно оси Ox. При a > 0 и двух корнях: между корнями трёхчлен отрицателен, вне корней — положителен (рисунок). При a < 0 — наоборот; удобно умножить неравенство на −1 и поменять знак.
Строгое неравенство — корни не входят (выколотые точки), нестрогое — входят (закрашенные).
D = 0: x² − 6x + 9 = (x − 3)² — «> 0» при x ≠ 3, «≤ 0» только x = 3. D < 0: x² + x + 1 > 0 при всех x, < 0 — нет решений.
Вопрос классу: как без чертежа решить x² − 5x < 0? (x(x − 5) < 0, ветви вверх, между корнями: 0 < x < 5.)

R06.1 · ПР-8

Образец → сам · квадратное неравенство

Решите неравенство

Образец

$- 2 x^{2} + 5 x + 3 \geq 0$

$2 x^{2} - 5 x - 3 \leq 0$ умножили на $- 1$ , знак сменили

$D = 25 + 24 = 49$ $b^{2} - 4 a c$

$x = \frac{5 \pm 7}{4}$ : $- \frac{1}{2}; 3$ корни

$x \in [- \frac{1}{2}; 3]$ ветви вверх, «≤» — между

Сам

база $x^{2} - 3 x - 10 < 0$ $(- 2; 5)$
база $x^{2} > 6 x$ $(- \infty; 0) \cup (6; + \infty)$
повыш. $4 x^{2} - 12 x + 9 > 0$ $x \neq = 1, 5$

R06.1 · ПР-8

Сводка · метод интервалов

Знаки $\frac{( x + 2 ) ( x - 1 ) ^{2}}{x - 4}$ на прямой

Справа $0$ , слева — произведение или дробь
Нули числителя и знаменателя — на прямую; знаменатель — всегда выколот
Знак на правом промежутке
Через корень чётной степени знак не меняется

3 мин · теория
Демонстрация: нули числителя −2 и 1 (у множителя (x − 1)² — кратность 2), нуль знаменателя 4 — выколот всегда. При x > 4 все множители положительны — «+». Через 4 знак меняется — «−»; через 1 (чётная кратность) не меняется — «−»; через −2 меняется — «+».
Например, для «> 0»: (−∞; −2) ∪ (4; +∞) (проверено sympy). Для «≥ 0» добавились бы точки −2 и 1 (знаменатель 4 — никогда).
Важно: перед методом все множители — вида (x − x₀) со старшим коэффициентом 1; иначе, например, (3 − x), меняем знак множителя и знак неравенства.
Почему нельзя умножать на знаменатель: его знак неизвестен (ошибка 2 на сл. 12).

R06.1 · ПР-8

Образец → сам · метод интервалов

Решите неравенство

Образец

$(x + 3) (x - 1)^{2} (x - 4) < 0$

нули: $- 3; 1; 4$ $1$ — чётной кратности

$+ - - +$ через $1$ знак не меняется

$(- 3; 1) \cup (1; 4)$ «<» — точка $1$ выколота

Сам

база $(x - 2) (x + 5) (x - 7) \geq 0$ $[- 5; 2] \cup [7; + \infty)$
база $x^{3} - 4 x < 0$ $(- \infty; - 2) \cup (0; 2)$
повыш. $(x - 1) (x - 3) (x + 2)^{2} \leq 0$ ${- 2} \cup [1; 3]$

3 мин · практика
Образец: при x = 1 выражение равно 0, а нужно строго меньше — точку 1 исключаем. Ответ «(−3; 4)» — типичная ошибка. Проверка x = 0: 3 · 1 · (−4) = −12 < 0 ✓.
1) Нули −5, 2, 7; знаки справа: + − + −. «≥ 0»: [−5; 2] ∪ [7; +∞).
2) x(x − 2)(x + 2) < 0; нули −2, 0, 2; знаки справа + − + −: (−∞; −2) ∪ (0; 2).
3) Нули −2 (кратность 2), 1, 3; знаки справа: + − + +. «≤ 0»: [1; 3] и отдельная точка x = −2 (там выражение равно 0). Потеря точки −2 — главная ошибка. Все ответы проверены sympy.

R06.1 · ПР-8

Образец → сам · дробно-рациональное неравенство

Решите неравенство

Образец

$\frac{x + 5}{x - 2} \geq 3$

$\frac{x + 5 - 3 ( x - 2 )}{x - 2} \geq 0$ всё влево

$\frac{2 x - 11}{x - 2} \leq 0$ умножили на $- 1$

$x \in (2; 5, 5]$ $2$ — выколота

Сам

база $\frac{x - 4}{x + 3} \leq 0$ $(- 3; 4]$
база $\frac{2 x - 1}{x + 1} < 1$ $(- 1; 2)$
повыш. $\frac{x ^{2} - 4 x}{x - 1} \geq 0$ $[0; 1) \cup [4; + \infty)$

3 мин · практика
Образец: (x + 5 − 3x + 6)/(x − 2) = (11 − 2x)/(x − 2) ≥ 0 ⇔ (2x − 11)/(x − 2) ≤ 0. Нули 5,5 (входит) и 2 (выколота). Знаки справа: + − +; ответ (2; 5,5]. Проверка x = 3: 8/1 = 8 ≥ 3 ✓; x = 6: 11/4 < 3 ✓ (не входит).
1) Нули 4 (входит), −3 (выколота): (−3; 4].
2) (2x − 1 − x − 1)/(x + 1) = (x − 2)/(x + 1) < 0: (−1; 2). Ошибка: умножить на (x + 1) и получить x < 2 — теряется ограничение x > −1.
3) x(x − 4)/(x − 1) ≥ 0; нули 0, 4 (входят), 1 (выколота); знаки справа + − + −: [0; 1) ∪ [4; +∞). Все ответы проверены sympy.

R06.1 · ПР-12

Сводка · системы и совокупности

Система — «и» (пересечение), совокупность — «или» (объединение)

{x > - 1 x \leq 3 \Leftrightarrow x \in (- 1; 3]

[x < - 1 x \geq 3 \Leftrightarrow x \in / [- 1; 3)

2 мин · теория
Алгоритм: решить каждое неравенство отдельно; изобразить решения на одной прямой (разными «этажами»); для системы взять общую часть, для совокупности — всё отмеченное.
Концы: точка входит в ответ системы, только если входит в оба решения; −1 выколота в первом — выколота и в ответе.
Совокупность «x < −1 или x ≥ 3» = (−∞; −1) ∪ [3; +∞) — дополнение промежутка [−1; 3).
Где встречается совокупность: ответ квадратного неравенства «вне корней», уравнение-произведение, модуль |x| > a.

R06.1 · ПР-12, ПР-13

Образец → сам · система неравенств

Решите систему

Образец

${3 x - 7 < 2 x + 1 x^{2} - 5 x - 6 \geq 0$

$x < 8$ первое

$x \leq - 1$ или $x \geq 6$ корни $- 1; 6$

$(- \infty; - 1] \cup [6; 8)$ общая часть

Сам

база ${2 x + 3 > 1 x^{2} < 16$ $(- 1; 4)$
база ${x^{2} - x - 12 \leq 0 x^{2} \geq 4$ $[- 3; - 2] \cup [2; 4]$
повыш.Сколько целых решений у ${x^{2} + 3 x - 10 < 0 2 x + 5 > 0$ ? $4$

R06.1 · ПР-13, ПР-14

Образец → сам · неравенство с параметром

При каких значениях параметра неравенство верно при всех $x$ ?

Образец

$x^{2} - 2 a x + 9 > 0$

ветви вверх коэффициент при $x^{2}$ равен $1$

$D_{1} = a^{2} - 9 < 0$ нет общих точек с осью

$- 3 < a < 3$ ответ

Сам

база $x^{2} + 6 x + c \geq 0$ $c \geq 9$
повыш. $- x^{2} + 4 x + m < 0$ $m < - 4$
повыш. $a x^{2} + 4 x + a < 0$ $a < - 2$

3 мин · практика
Образец: парабола ветвями вверх лежит выше оси при всех x ⇔ D < 0. Граница a = 3: x² − 6x + 9 = (x − 3)² = 0 при x = 3 — строгое неравенство нарушено, поэтому a = ±3 не входят.
1) «≥ 0» допускает касание: D₁ = 9 − c ≤ 0, c ≥ 9. Граница c = 9: (x + 3)² ≥ 0 — верно ✓.
2) Ветви вниз; нужно D < 0: 16 + 4m < 0, m < −4. Граница m = −4: −(x − 2)² < 0 нарушено при x = 2.
3) Это «неравенство», параметр при x² — разбираем вырожденный случай: a = 0 даёт 4x < 0 — верно не при всех x, a = 0 не подходит. При a ≠ 0: нужны a < 0 и D₁ = 4 − a² < 0 ⇒ a² > 4 ⇒ a < −2. Граница a = −2: −2(x − 1)² < 0 нарушено при x = 1. Проверено численно.

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Не сменили знак

$- 3 x \leq 12 \Rightarrow x \leq - 4$

$x \geq - 4$

делим на отрицательное — знак меняется

Умножили на знаменатель

$\frac{x + 1}{x - 3} > 2$

$x + 1 > 2 x - 6, x < 7$

$\frac{7 - x}{x - 3} > 0$ : $(3; 7)$

знак $x - 3$ неизвестен

«Корень» из неравенства

$x^{2} > 9 \Rightarrow x > \pm 3$

$x < - 3$ или $x > 3$

запись « $x > \pm 3$ » не имеет смысла

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил два неравенства. Где ошибки?

Задача 1. $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{x + 3} \leq 0$

$(x - 2)^{2} \geq 0$ , значит, $x + 3 < 0$

Ответ: $x < - 3$

Ошибка: потерян $x = 2$ — дробь равна $0$

Верно: $(- \infty; - 3) \cup {2}$

Задача 2. $x^{2} - 4 x < 0$

Делим на $x$ : $x - 4 < 0$

Ответ: $x < 4$

Ошибка: знак $x$ неизвестен, делить нельзя

Верно: $x (x - 4) < 0$ , $(0; 4)$

R06.1 · ПР-8, ПР-12

Задания с самопроверкой · база

Решите неравенство или систему

$5 - 2 x \geq 3 x - 10$ $x \leq 3$
$x^{2} - 9 x + 14 > 0$ $x < 2$ или $x > 7$
$x^{2} \leq 25$ $[- 5; 5]$

$\frac{x + 2}{x - 5} < 0$ $(- 2; 5)$
$- x^{2} + 4 x \geq 0$ $[0; 4]$
${x + 4 > 0 6 - x \geq 0$ $(- 4; 6]$

R06.1 · ПР-8, ПР-13

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Интервалы, область определения, параметр

повыш. $(x + 1) (x - 2)^{2} (x - 5) > 0$ $(- \infty; - 1) \cup (5; + \infty)$
повыш. $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 4 x} \leq 0$ $[- 3; 0) \cup [3; 4)$
повыш.Наибольшее целое отрицательное решение $\frac{3 x - 1}{x + 2} \geq 2$ $- 3$
повыш.Область определения $y = 6 - x - x^{2}$ $[- 3; 2]$
повыш.При каких $b$ квадратное неравенство $x^{2} + b x + 4 < 0$ не имеет решений? $- 4 \leq b \leq 4$

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 13 и 20

Решите неравенство

13 $49 x^{2} \geq 36 x$ $(- \infty; 0] \cup [\frac{36}{49}; + \infty)$
20 $(x - 2)^{2} < 3 (x - 2)$ $(2; 2 + 3)$
20 $\frac{- 11}{( x + 2 ) ^{2} - 3} \geq 0$ $(- 2 - 3; - 2 + 3)$

1, 2: не делите на

x

и

x - 2

— вынесите

3: числитель отрицателен, значит, знаменатель отрицателен

R06.1 · ПР-16

Задача из жизни

Прибыль фирмы $P (x) = - x^{2} + 40 x - 300$ (тыс. руб.)

$x$ — объём выпуска, сотни штук

практикаПри каком объёме прибыль не меньше $75$ тыс. руб.? $15 \leq x \leq 25$
практикаКогда фирма работает в убыток? $x < 10$ или $x > 30$
повыш.Наибольшая прибыль? $100$ тыс. при $x = 20$

R06.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $x^{2} - 2 x - 15 \leq 0$ $[- 3; 5]$
база $\frac{x - 6}{x + 1} \geq 0$ $(- \infty; - 1) \cup [6; + \infty)$
база ${3 x - 2 > 4 x^{2} - 16 \leq 0$ $(2; 4]$
повыш.При каких $a$ неравенство $x^{2} - 4 x + a > 0$ верно при всех $x$ ? $a > 4$

Вариант 2

база $x^{2} + 3 x - 10 > 0$ $(- \infty; - 5) \cup (2; + \infty)$
база $\frac{x + 4}{x - 3} \leq 0$ $[- 4; 3)$
база ${5 - 2 x < 1 x^{2} - 25 \leq 0$ $(2; 5]$
повыш.При каких $a$ неравенство $- x^{2} + 6 x + a < 0$ верно при всех $x$ ? $a < - 9$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) Корни −3 и 5, между. 2) Нули 6 (входит), −1 (выколота), вне: (−∞; −1) ∪ [6; +∞). 3) x > 2 и [−4; 4]: (2; 4]. 4) D₁ = 4 − a < 0: a > 4 (при a = 4 — (x − 2)² > 0 нарушено при x = 2).
В-2. 1) Корни −5 и 2, вне. 2) Нули −4 (входит), 3 (выколота), между: [−4; 3). 3) −2x < −4 ⇒ x > 2; и [−5; 5]: (2; 5]. 4) Ветви вниз, D = 36 + 4a < 0: a < −9 (при a = −9 — −(x − 3)² < 0 нарушено при x = 3).
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Все ответы проверены sympy и численно.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда знак неравенства меняется?
Почему нельзя умножать на знаменатель?
Чем ответ системы отличается от ответа совокупности?

Домашнее задание

$\frac{x ^{2} - 1}{x + 3} \geq 0$
${x^{2} - 7 x + 10 \leq 0 x^{2} > 9$
При каких $a$ неравенство $(a - 2) x^{2} + 2 x + 1 > 0$ верно при всех $x$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-131 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 29/34 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 (текстовые задачи алгебраическим способом; функции — графическое решение; моделирование реальных процессов) → 2–19 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 9, 12) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13–19)
Результаты	ПР-8 (линейные и квадратные неравенства, метод интервалов) → 3–8, 12–16, 18 · ПР-12 (системы неравенств) → 9, 10, 14, 18 · ПР-13 (ограничения, целые решения) → 10, 11, 15 · ПР-14 (исследование с графическими представлениями) → 4, 11 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	неравенства с модулем и графическое решение систем неравенств с двумя переменными — не включены; уравнения и системы уравнений — ALG9U-121; функции — ALG9U-116, 117, 119, 120, 122, 123
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:неравенстваи их системы

Сегодня вы повторите и научитесь

Решать неравенства

Решать системы

Искать целые решения и параметр

Моделировать

Решите в уме

Квадратное неравенство решаем по параболе

Решите неравенство

Образец

Сам

Знаки x−4(x+2)(x−1)2​ на прямой

Решите неравенство

Образец

Сам

Решите неравенство

Образец

Сам

Система — «и» (пересечение), совокупность — «или» (объединение)

Решите систему

Образец

Сам

При каких значениях параметра неравенство верно при всех x?

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Не сменили знак

Умножили на знаменатель

«Корень» из неравенства

Ученик решил два неравенства. Где ошибки?

Задача 1. x+3(x−2)2​≤0

Задача 2. x2−4x<0

Решите неравенство или систему

Интервалы, область определения, параметр

Решите неравенство

Прибыль фирмы P(x)=−x2+40x−300 (тыс. руб.)

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-131 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Повторение:
неравенства
и их системы

Знаки $\frac{( x + 2 ) ( x - 1 ) ^{2}}{x - 4}$ на прямой

При каких значениях параметра неравенство верно при всех $x$ ?

Задача 1. $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{x + 3} \leq 0$

Задача 2. $x^{2} - 4 x < 0$

Прибыль фирмы $P (x) = - x^{2} + 40 x - 300$ (тыс. руб.)