Повторение · урок 27 из 34 · обобщение

Повторение:
последовательности
и прогрессии

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-129

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 27/34, единица R06.1 (числа и вычисления; текстовые задачи; функции — последовательность как функция натурального аргумента; моделирование реальных процессов). Тип урока — О (обобщение и систематизация). Материал — строка R04 «Числовые последовательности» этого года.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка формул) 3 · 5 (прогрессия как функция) 2 · 8 (бесконечно убывающая ГП) 2 · 11 (простые и сложные проценты) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 10, 12) 3 + 3 + 2 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ, линия 21 (сл. 17) 2 · задача из жизни, линия 14 (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Считать по формулам

$n$ -й член и сумма арифметической и геометрической прогрессий (ПР-27)

Решать обратные задачи

по двум членам — $a_{1}$ , $d$ , $q$ ; номер члена, число слагаемых (ПР-25, ПР-26)

Суммировать бесконечно

сумма бесконечно убывающей ГП, периодическая дробь (ПР-31)

Строить модели

проценты, ряды, «каждый день на …» — задачи ОГЭ 14 и 21 (ПР-29, ПР-15)

1 мин · теория
ПР-25 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии». ПР-26: «Задавать последовательности разными способами…». ПР-27: «Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов». ПР-29: «Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из реальной жизни». ПР-31: «…уметь находить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии». ПР-15: текстовые задачи алгебраическим способом.
Вид деятельности строки R06: «Разбирать реальные жизненные ситуации, формулировать их на языке математики, находить решение… интерпретировать результат» — это сл. 11, 12, 17, 18.

разминка · R06.1

Разминка · устно

Продолжите, найдите, сложите

3, 7, 11, \dots

a_{5}

= ?

19

2, 6, 18, \dots

b_{5}

= ?

162

81, 27, 9, \dots

q

= ?

\frac{1}{3}

a_{n} = 3 n - 2

a_{10}

= ?

28

4, x, 18

АП:

x

= ?

11

5, x, 20

ГП,

x > 0

10

1 + 2 + \dots + 100

сумма

5050

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots

к чему стремится?

2

R06.1 · опора R04

Сводка · формулы прогрессий

Две прогрессии — четыре формулы каждой

	Арифметическая (АП)	Геометрическая (ГП), $b_{1} \neq = 0, q \neq = 0$
определение	$a_{n + 1} = a_{n} + d$	$b_{n + 1} = b_{n} \cdot q$
$n$ -й член	$a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$	$b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$
свойство	$a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}$	$b_{n}^{2} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}$
сумма $n$ членов	$S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n = \frac{2 a _{1} + d ( n - 1 )}{2} \cdot n$	$S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}, q \neq = 1$

3 мин · теория
Строки открываются по клику; класс называет формулу до открытия. Напомнить вывод суммы АП (Гаусс: S записать в прямом и обратном порядке, сложить — n одинаковых пар a₁ + aₙ) и суммы ГП (qS − S = b₁qⁿ − b₁).
Полезное следствие из формулы n-го члена: aₘ − aₖ = d(m − k), bₘ / bₖ = q^(m − k). Это ключ к обратным задачам (сл. 6, 7).
При q = 1 ГП постоянная: Sₙ = n · b₁. Вопрос классу: почему в ГП b₁ ≠ 0 и q ≠ 0? (Иначе все члены после первого — нули, деление bₙ₊₁ / bₙ невозможно.)

R06.1 · функции

Схема · прогрессия — функция номера

Точки АП лежат на прямой, точки ГП — на кривой роста

АП:

a_{n} = d n + (a_{1} - d)

— линейная функция от

n

,

d

— угловой коэффициент

ГП при

q > 1

: каждый шаг умножает — рост всё быстрее

d > 0

/

q > 1, b_{1} > 0

— возрастает;

q < 0

— знаки чередуются

2 мин · теория
Последовательность — функция натурального аргумента (ПР-28: изображать члены точками на плоскости). График — отдельные точки, а не сплошная линия; пунктир — только «подсказка глазу».
Пример на рисунке: aₙ = 3n − 2 (1, 4, 7, 10, 13, 16) — точки на прямой y = 3x − 2; bₙ = 2ⁿ⁻¹ (1, 2, 4, 8, 16) — точки кривой y = 2^(x − 1). Масштаб точный: 66 px на единицу n, 19 px на единицу значения.
Вопрос: какая последовательность растёт быстрее при больших n? (ГП: b₁₀ = 512, а a₁₀ = 28.) Монотонность: АП возрастает при d > 0; ГП при b₁ > 0 и q > 1 возрастает, при 0 < q < 1 убывает, при q < 0 не монотонна.

R06.1 · ПР-27

Образец → сам · АП по двум членам

Найдите $d$ , $a_{1}$ и сумму

Образец

АП: $a_{3} = 7, a_{9} = 25$ . Найдите $S_{10}$ .

$6 d = 25 - 7, d = 3$ $a_{9} - a_{3} = 6 d$

$a_{1} = 7 - 2 \cdot 3 = 1$ $a_{3} = a_{1} + 2 d$

$S_{10} = \frac{2 + 27}{2} \cdot 10 = 145$ $\frac{2 a _{1} + 9 d}{2} \cdot n$

Сам

база $a_{1} = - 8, d = 3$ . Найдите $a_{15}$ и $S_{15}$ . $34; 195$
база $a_{5} = - 1, a_{11} = 17$ . Найдите $S_{12}$ . $42$
повыш. $a_{2} + a_{8} = 20, a_{3} \cdot a_{7} = 75$ . Найдите $a_{1}$ . $0$ или $20$

R06.1 · ПР-27

Образец → сам · ГП по двум членам

Найдите $q$ , $b_{1}$ и сумму

Образец

ГП: $b_{2} = 6, b_{5} = 162$ . Найдите $S_{5}$ .

$q^{3} = \frac{162}{6} = 27, q = 3$ $\frac{b _{5}}{b _{2}} = q^{3}$

$b_{1} = \frac{6}{3} = 2$ $b_{2} = b_{1} q$

$S_{5} = \frac{2 ( 3 ^{5} - 1 )}{3 - 1} = 242$ формула суммы

Сам

база $b_{1} = 3, q = 2$ . Найдите $b_{6}$ и $S_{6}$ . $96; 189$
база $b_{3} = 12, b_{5} = 48$ . Найдите $q$ и $b_{1}$ . $q = \pm 2, b_{1} = 3$
повыш. $b_{1} + b_{3} = 20, b_{2} + b_{4} = 60$ . Найдите $S_{4}$ . $80$

R06.1 · ПР-31

Сводка · бесконечно убывающая ГП

При $∣ q ∣ < 1$ сумма всех членов — конечное число

S = \frac{b _{1}}{1 - q}, ∣ q ∣ < 1

S_{n} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}

, а

q^{n} \to 0

при

n \to \infty

0, (3) = 0, 3 + 0, 03 + \dots = \frac{0 , 3}{1 - 0 , 1} = \frac{1}{3}

2 мин · теория
Рисунок: квадрат площади 1 делим пополам, остаток снова пополам… Закрашенные части 1/2 + 1/4 + 1/8 + … заполняют весь квадрат: S = (1/2)/(1 − 1/2) = 1.
Вывод: при |q| < 1 степень qⁿ стремится к нулю, поэтому Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q) приближается к b₁/(1 − q). При |q| ≥ 1 суммы не существует (сл. 13).
Периодическая дробь — сумма бесконечно убывающей ГП: 0,(3) = 3/10 + 3/100 + …, q = 1/10. Так доказывают, что любая периодическая дробь — рациональное число (связь с темой «Числа», R06.1).

R06.1 · ПР-31

Образец → сам · бесконечная сумма

Сумма бесконечно убывающей ГП и периодическая дробь

Образец

Запишите $0, (27)$ обыкновенной дробью.

$0, 27 + 0, 0027 + \dots$ $b_{1} = 0, 27, q = 0, 01$

$S = \frac{0 , 27}{1 - 0 , 01} = \frac{27}{99}$ $\frac{b _{1}}{1 - q}$

$= \frac{3}{11}$ проверка: $3 : 11 = 0, 2727 \dots$

Сам

база $12 + 6 + 3 + \dots$ $24$
база $1, (2)$ — обыкновенной дробью $\frac{11}{9}$
повыш. $S = 9, b_{1} = 12$ . Найдите $q$ . $- \frac{1}{3}$

R06.1 · ПР-27, ПР-13

Образец → сам · сколько членов

Неизвестно $n$ — составьте уравнение или неравенство

Образец

Сколько членов АП $3, 7, 11, \dots$ надо сложить, чтобы получить $210$ ?

$\frac{6 + 4 ( n - 1 )}{2} \cdot n = 210$ $S_{n}$ , $a_{1} = 3, d = 4$

$2 n^{2} + n - 210 = 0$ упростили

$n = 10$ $n = - 10, 5 \in / N$

Сам

базаСколько отрицательных членов у АП $- 50, - 46, \dots$ ? $13$
базаНомер первого отрицательного члена АП $100; 96, 5; \dots$ $30$
повыш.Сколько членов ГП $2, 6, 18, \dots$ надо сложить, чтобы сумма превысила $1000$ ? $7$

R06.1 · проценты · ПР-29

Сводка · простые и сложные проценты

Простые проценты — АП, сложные — ГП

простые:

S_{n} = S_{0} (1 + \frac{p n}{100})

сложные:

S_{n} = S_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}

d = S_{0} \cdot \frac{p}{100}

и

q = 1 + \frac{p}{100}

R06.1 · ПР-15

Образец → сам · АП и ГП вместе

Три числа: составьте систему по условию

Образец

Три числа — АП, их сумма $15$ . Если прибавить к ним $1$ , $1$ и $4$ , получится ГП. Найдите числа.

$5 - d, 5, 5 + d$ $3 a_{2} = 15$

$6^{2} = (6 - d) (9 + d)$ $b_{2}^{2} = b_{1} b_{3}$

$d^{2} + 3 d - 18 = 0$ : $d = 3$ или $- 6$

$2, 5, 8$ или $11, 5, - 1$

Сам

базаТри числа — ГП, произведение $64$ , сумма $14$ . Найдите их. $2, 4, 8$ или $8, 4, 2$
повыш.При каких $x$ числа $2 x, x + 3, x^{2}$ — АП? $\pm 6$
повыш.При каких $x$ числа $x - 1, 2 x, 5 x + 3$ — ГП? $3$ или $- 1$

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Средний член ГП

$4, x, 16$ — ГП: $x = \frac{4 + 16}{2} = 10$

$x^{2} = 4 \cdot 16$ , $x = \pm 8$

среднее арифметическое — у АП, у ГП — квадрат

Потеряли $q < 0$

$b_{3} = 12, b_{5} = 48$ : $q^{2} = 4, q = 2$

$q = 2$ или $q = - 2$

чётная степень — два знака

Бесконечная сумма при $∣ q ∣ \geq 1$

$3 + 6 + 12 + \dots = \frac{3}{1 - 2} = - 3$

суммы нет: $q = 2$ , слагаемые растут

формула $\frac{b _{1}}{1 - q}$ — только при $∣ q ∣ < 1$

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Сколько членов АП $7, 11, 15, \dots$ меньше $100$ ?

$a_{n} = 7 + 4 n < 100$

$4 n < 93, n < 23, 25$ . Ответ: $23$ .

Ошибка: $a_{n} = a_{1} + d (n - 1) = 4 n + 3$

$4 n + 3 < 100, n < 24, 25$ . Ответ: $24$

Задача 2. Найдите сумму первых четырёх членов ГП $5, - 10, 20, \dots$

$q = - 2$

$S_{4} = \frac{5 ( 1 - ( - 2 ) ^{4} )}{1 - 2} = \frac{- 75}{- 1} = 75$

Ошибка: знаменатель $1 - q = 1 - (- 2) = 3$

$S_{4} = \frac{- 75}{3} = - 25$

R06.1 · ПР-27

Задания с самопроверкой · база

Вычислите по формулам

АП: $a_{1} = 6, d = - 2$ . $a_{12}$ = ? $- 16$
АП $2, 5, 8, \dots$ : $S_{20}$ = ? $610$
ГП: $b_{1} = - 3, q = 2$ . $b_{6}$ = ? $- 96$

ГП $1, 3, 9, \dots$ : $S_{6}$ = ? $364$
$9, x, 4$ — ГП. $x$ = ? $\pm 6$
$18 - 6 + 2 - \dots$ = ? $13, 5$

R06.1 · ПР-27, ПР-15

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Свойства прогрессий и системы

повыш.АП: $a_{7} = 16$ . Найдите $S_{13}$ . $208$
повыш.АП: $S_{5} = 25, S_{10} = 100$ . Найдите $a_{1}$ и $d$ . $1; 2$
повыш.Сумма всех двузначных чисел, кратных $7$ $728$
повыш.ГП с положительными членами: $b_{2} \cdot b_{6} = 144$ . Найдите $b_{4}$ . $12$
повыш.ГП: $b_{1} + b_{2} + b_{3} = 26$ , $b_{1} b_{2} b_{3} = 216$ . Найдите $q$ . $3$ или $\frac{1}{3}$

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 21

Текстовые задачи на прогрессии (часть 2)

Турист в первый день прошёл $24$ км, а каждый следующий — на $2$ км меньше. Весь путь — $144$ км. Сколько дней он шёл? $9$
Бригада уложила плитку: в первый день $20 м^{2}$ , а каждый следующий — на $5 м^{2}$ больше. Всего $300 м^{2}$ . Сколько дней? $8$
Сумма трёх первых членов ГП равна $21$ , сумма их квадратов — $189$ . Найдите эти члены. $3, 6, 12$ или $12, 6, 3$

1: два корня — какой подходит по смыслу?

2:

S_{n} = 300

— квадратное уравнение

3:

1 + q^{2} + q^{4} = (1 + q + q^{2}) (1 - q + q^{2})

2 мин · практика
1) АП a₁ = 24, d = −2: Sₙ = (48 − 2(n − 1))/2 · n = n(25 − n) = 144 ⇒ n² − 25n + 144 = 0, n = 9 или 16. При n = 16 a₁₆ = 24 − 30 = −6 < 0 — отрицательный путь не имеет смысла (уже a₁₃ = 0). Ответ 9 (24 + 22 + … + 8 = 144 ✓).
2) a₁ = 20, d = 5: n(35 + 5n)/2 = 300 ⇒ n² + 7n − 120 = 0, n = 8 (второй корень −15). Проверка: a₈ = 55, (20 + 55)/2 · 8 = 300 ✓.
3) b₁(1 + q + q²) = 21, b₁²(1 + q² + q⁴) = 189. Разложение из подсказки: делим второе на первое — b₁(1 − q + q²) = 9. Делим: (1 + q + q²)/(1 − q + q²) = 7/3 ⇒ 2q² − 5q + 2 = 0, q = 2 (b₁ = 3) или q = 1/2 (b₁ = 12). Проверка 9 + 36 + 144 = 189 ✓.
На ОГЭ задание 21 — 2 балла: нужны введение переменной, уравнение, отбор корней по смыслу и ответ. Если не успеваете — задание 3 в ДЗ.

R06.1 · ОГЭ линия 14

Задача из жизни · амфитеатр

В первом ряду $18$ мест, в каждом следующем на $3$ больше. Рядов $12$ .

практикаСколько мест в последнем ряду? $51$
практикаСколько мест в амфитеатре? $414$
практикаВ каком ряду $42$ места? в $9$ -м
повыш.Сколько первых рядов нужно, чтобы рассадить $300$ зрителей? $10$

R06.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаАП: $a_{1} = - 5, d = 4$ . Найдите $a_{16}$ . $55$
базаГП: $b_{1} = 4, q = - 2$ . Найдите $S_{5}$ . $44$
базаАП: $a_{4} = 11, a_{9} = 31$ . Найдите $S_{10}$ . $170$
повыш.Запишите $0, (15)$ обыкновенной дробью. $\frac{5}{33}$

Вариант 2

базаАП: $a_{1} = 7, d = - 3$ . Найдите $a_{16}$ . $- 38$
базаГП: $b_{1} = 3, q = - 2$ . Найдите $S_{5}$ . $33$
базаАП: $a_{3} = - 4, a_{8} = 21$ . Найдите $S_{10}$ . $85$
повыш.Запишите $0, (24)$ обыкновенной дробью. $\frac{8}{33}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по двум членам найти $d$ и $q$ ?
Когда у ГП есть сумма всех членов?
Какие проценты дают ГП?

Домашнее задание

АП: $a_{8} = 7$ . Найдите $S_{15}$ .
Три числа — АП, сумма $21$ . Если прибавить к ним $2$ , $3$ и $9$ , получится ГП. Найдите числа.
$1 + x + x^{2} + \dots = 4$ . Найдите $x$ .
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_progressii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-129 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 27/34 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 (числа и вычисления; текстовые задачи; функции; моделирование реальных процессов) на материале последовательностей и прогрессий (R04) → 2–20 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 8, 11, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 7, 9, 10, 12, 14–20)
Результаты	ПР-25, ПР-26 (понятия, способы задания) → 3–5 · ПР-27 (формулы n-го члена и суммы) → 4, 6, 7, 10, 14–16, 19 · ПР-28 (точки на плоскости) → 5 · ПР-29 (задачи из жизни) → 11, 17, 18 · ПР-31 (бесконечно убывающая ГП) → 8, 9, 13, 19 · ПР-15 (текстовые задачи алгебраическим способом) → 12, 16, 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	метод математической индукции (ПР-32), сходимость последовательностей (ПР-31, кроме суммы ГП) — уроки строки R04; следующие уроки R06 — обобщение по другим темам курса
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:последовательностии прогрессии

Сегодня вы повторите и научитесь

Считать по формулам

Решать обратные задачи

Суммировать бесконечно

Строить модели

Продолжите, найдите, сложите

Две прогрессии — четыре формулы каждой

Точки АП лежат на прямой, точки ГП — на кривой роста

Найдите d, a1​ и сумму

Образец

Сам

Найдите q, b1​ и сумму

Образец

Сам

При ∣q∣<1 сумма всех членов — конечное число

Сумма бесконечно убывающей ГП и периодическая дробь

Образец

Сам

Неизвестно n — составьте уравнение или неравенство

Образец

Сам

Простые проценты — АП, сложные — ГП

Три числа: составьте систему по условию

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Средний член ГП

Потеряли q<0

Бесконечная сумма при ∣q∣≥1

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Сколько членов АП 7, 11, 15, … меньше 100?

Задача 2. Найдите сумму первых четырёх членов ГП 5, −10, 20, …

Вычислите по формулам

Свойства прогрессий и системы

Текстовые задачи на прогрессии (часть 2)

В первом ряду 18 мест, в каждом следующем на 3 больше. Рядов 12.

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-129 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Повторение:
последовательности
и прогрессии

Найдите $d$ , $a_{1}$ и сумму

Найдите $q$ , $b_{1}$ и сумму

При $∣ q ∣ < 1$ сумма всех членов — конечное число

Неизвестно $n$ — составьте уравнение или неравенство

Потеряли $q < 0$

Бесконечная сумма при $∣ q ∣ \geq 1$

Задача 1. Сколько членов АП $7, 11, 15, \dots$ меньше $100$ ?

Задача 2. Найдите сумму первых четырёх членов ГП $5, - 10, 20, \dots$

В первом ряду $18$ мест, в каждом следующем на $3$ больше. Рядов $12$ .