Повторение · урок 26 из 34 · обобщение

Повторение:
неравенства
и их системы

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-128

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 26/34, единица R06.1 (алгебраические выражения и допустимые значения; текстовые задачи — составление неравенств; функции — графическая опора для квадратных неравенств). Тип урока — О (обобщение и систематизация). Фокус урока — неравенства и системы неравенств (ПР-8, ПР-12, ПР-13), с параметром и в текстовой задаче.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: линейные и квадратные) 3 · 7 (метод интервалов) 3 · 9 (системы и совокупности) 2 · 12 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 10, 11) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2 · ОГЭ (сл. 16) 2 · задача из жизни (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 5 · итог (сл. 19) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 15 и задание 3 сл. 16 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать без потерь

линейные и квадратные неравенства, ответ — промежутками (ПР-8)

Метод интервалов

дробные неравенства, кратные и выколотые точки (ПР-8, ПР-13)

Системы неравенств

пересечение на прямой, целые решения (ПР-12, ПР-13)

Параметр и модель

«при всех $x$ », «нет решений»; неравенство по условию задачи (ПР-14, ПР-16)

1 мин · теория
ПР-8 (ФРП дословно): «Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, использовать метод интервалов, изображать решение неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов».
ПР-12: «Решать системы линейных неравенств, системы неравенств, включающие квадратное неравенство…». ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями, например, в целых числах». ПР-16: «Использовать уравнения, неравенства и их системы для составления математической модели реальной ситуации…».

разминка · R06.1

Разминка · устно

Неравенства за минуту

- 3 x > 12

решите

x < - 4

x^{2} < 9

решите

(- 3; 3)

x^{2} \geq 0

при каких

x

?

при любых

x^{2} + 1 < 0

решите

нет решений

(x - 2) (x + 3)

знак при

x = 0

«−»

(x - 1) (x + 5) = 0

корни

1; - 5

(- 2; 3]

сколько целых?

5

\frac{1}{x} > 0

решите

x > 0

R06.1 · ПР-8

Сводка · линейные и квадратные неравенства

Два правила и одна картинка

Линейное $k x > b$

делим на $k > 0$ — знак сохраняется;

делим на $k < 0$ — знак меняется

Квадратное $a x^{2} + b x + c > 0$

корни трёхчлена → ветви параболы → нужные промежутки

a > 0, D < 0

: трёхчлен положителен при всех

x

3 мин · теория
Линейное неравенство: переносим слагаемые, приводим к kx > b (или ≥, <, ≤). Умножение и деление обеих частей на отрицательное число меняет знак неравенства — главный источник ошибок (сл. 12).
Квадратное неравенство (a ≠ 0): находим корни трёхчлена, рисуем параболу схематично (ветви вверх при a > 0, вниз при a < 0), выбираем промежутки, где график выше (> 0) или ниже (< 0) оси. Рисунок — при a > 0 и D > 0.
Особые случаи: D = 0 — трёхчлен равен a(x − x₀)², знак как у a везде, кроме x₀; D < 0 — знак как у a при всех x. Вопрос классу: какие решения у x² − 6x + 9 > 0? (x ≠ 3.)

R06.1 · ПР-8

Образец → сам · линейное неравенство

Решите неравенство

Образец

$\frac{x - 1}{2} - \frac{2 x + 3}{3} \geq 1$

$3 (x - 1) - 2 (2 x + 3) \geq 6$ $\cdot 6 > 0$

$- x - 9 \geq 6$ раскрыли скобки

$- x \geq 15$ перенос

$x \leq - 15$ , $(- \infty; - 15]$ $: (- 1)$ , знак сменили

Сам

база $5 - 2 x > 11$ $(- \infty; - 3)$
база $\frac{x}{3} - \frac{x - 2}{4} < 1$ $(- \infty; 6)$
повыш.Наименьшее целое решение $\frac{3 x - 1}{4} > \frac{x + 2}{3}$ $3$

R06.1 · ПР-8

Образец → сам · квадратное неравенство

Корни → парабола → промежутки

Образец

$2 x^{2} - 5 x - 3 \leq 0$

$D = 25 + 24 = 49$ корни есть

$x = \frac{5 \pm 7}{4}$ : $3; - \frac{1}{2}$ формула корней

$a = 2 > 0$ , ветви вверх $\leq 0$ — между корнями

$[- \frac{1}{2}; 3]$ концы входят: $\leq$

Сам

база $x^{2} - 4 x - 12 > 0$ $(- \infty; - 2) \cup (6; + \infty)$
база $5 x - x^{2} \geq 4$ $[1; 4]$
повыш. $- x^{2} + 6 x - 9 < 0$ $x \neq = 3$

R06.1 · ПР-8

Сводка · метод интервалов

$\frac{( x - 1 ) ^{2} ( x - 4 )}{x + 3} \leq 0$

Справа $0$ , слева — произведение или дробь
Нули числителя — закрашены (если $\leq, \geq$ ), нули знаменателя — выколоты
Знак на крайнем правом промежутке
Знак чередуется, но не меняется у множителя чётной степени

3 мин · теория
Демонстрация учителя: нули 1 (кратность 2) и 4 — закрашены (неравенство нестрогое), −3 — выколот (знаменатель). Правее 4 все множители положительны: «+». Через 4 знак меняется: «−». Через 1 (квадрат) знак НЕ меняется: «−». Через −3 меняется: «+».
Нужно ≤ 0: (−3; 1] ∪ [1; 4] = (−3; 4]; точка 1 входит (0 ≤ 0). Проверка: x = 0: 1 · (−4) / 3 < 0 ✓; x = −4: 25 · (−8) / (−1) = 200 > 0 — не решение ✓. Проверено в sympy.
Почему метод работает: каждый множитель меняет знак только в своём нуле, а квадрат (x − 1)² знака не меняет.

R06.1 · ПР-8

Образец → сам · дробное неравенство

Метод интервалов: числитель на множители

Образец

$\frac{x ^{2} - x - 6}{x - 1} \geq 0$

$\frac{( x - 3 ) ( x + 2 )}{x - 1} \geq 0$ корни $3; - 2$

точки $- 2, 3$ ; выколота $1$ знаменатель

знаки: $- + - +$ справа «+»

$[- 2; 1) \cup [3; + \infty)$ $\geq 0$

Сам

база $(x + 4) (x - 1) (x - 5) < 0$ $(- \infty; - 4) \cup (1; 5)$
повыш. $\frac{x - 4}{x + 1} \leq 2$ $(- \infty; - 6] \cup (- 1; + \infty)$
повыш. $\frac{( x - 2 ) ^{2} ( x + 3 )}{x - 4} \geq 0$ $(- \infty; - 3] \cup {2} \cup (4; + \infty)$

R06.1 · ПР-12

Сводка · системы и совокупности

Система — «и», совокупность — «или»

{x \geq - 1 x < 3 \Leftrightarrow - 1 \leq x < 3

Система — пересечение: решаем каждое, рисуем на одной прямой, берём общую часть

Совокупность — объединение

\cup

: «

x < - 3

или

x > 3

»

2 мин · теория
Двойное неравенство −1 ≤ x < 3 — это система. Каждое неравенство решаем отдельно, решения изображаем штриховкой (или «дугами») на одной прямой, ответ — общая часть.
Если общей части нет — система не имеет решений. Целые решения считаем по готовому промежутку, следя за концами (входит ли конец).
Совокупность (квадратная скобка) возникает в ответе квадратного неравенства «вне корней» и в методе интервалов: ответ — объединение промежутков.

R06.1 · ПР-12 · ПР-13

Образец → сам · система неравенств

Решите систему, найдите целые решения

Образец

${x^{2} - 5 x + 4 \leq 0 2 x - 5 > 0$

$1 \leq x \leq 4$ корни $1; 4$ , между

$x > 2, 5$ линейное

$(2, 5; 4]$ пересечение

целые: $3; 4$ $4$ входит

Сам

база ${2 x + 3 > 1 4 - x \geq 1$ $(- 1; 3]$
повыш. ${x^{2} < 16 x^{2} - 3 x \geq 0$ $(- 4; 0] \cup [3; 4)$
повыш.Сколько целых решений?
$- 3 \leq \frac{2 x - 1}{3} < 5$ $12$

R06.1 · ПР-14

Образец → сам · неравенство с параметром

«При всех $x$ » и «нет решений» — это знак $D$

Образец

При каких $a$ квадратное неравенство $x^{2} - 2 a x + 4 > 0$ верно при всех $x$ ?

ветви вверх ( $1 > 0$ ) нужно $D < 0$

$D_{1} = a^{2} - 4 < 0$ $k = - a$

$- 2 < a < 2$ $a = \pm 2$ : $(x \mp 2)^{2} > 0$ — не при всех

Сам

базаПри каких $m$ квадратное неравенство $x^{2} + 6 x + m \leq 0$ не имеет решений? $m > 9$
повыш.При каких $a$ квадратный трёхчлен $a x^{2} - 4 x + a$ отрицателен при всех $x$ ? $a < - 2$
повыш.При каких $a$ выражение $x^{2} - a x + 9$ имеет смысл при всех $x$ ? $- 6 \leq a \leq 6$

3 мин · практика
Образец — с проверкой границы: при a = 2 неравенство (x − 2)² > 0 не выполняется при x = 2, поэтому a = ±2 не входят. Ответ (−2; 2).
1) Ветви вверх; решений нет, если трёхчлен положителен везде: D₁ = 9 − m < 0, m > 9. Граница m = 9: (x + 3)² ≤ 0 имеет решение x = −3 — не подходит. Ответ m > 9.
2) Квадратный трёхчлен — значит, a ≠ 0. Нужно a < 0 и D₁ = 4 − a² < 0 ⇔ a² > 4. С условием a < 0: a < −2. Граница a = −2: −2(x + 1)² равен 0 при x = −1 — не подходит.
3) Нужно x² − ax + 9 ≥ 0 при всех x: D = a² − 36 ≤ 0, −6 ≤ a ≤ 6. Граница a = 6: (x − 3)² ≥ 0 — верно, a = ±6 входят (нестрогий знак!). Все три ответа проверены перебором a с шагом 0,5 в sympy.

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Не сменили знак

$- 2 x < 8 \Rightarrow x < - 4$

$x > - 4$

делим на отрицательное — знак меняется

Умножили на знаменатель

$\frac{x + 1}{x - 2} > 1 \Rightarrow$

$x + 1 > x - 2$ , «любое $x$ »

$\frac{3}{x - 2} > 0$ : $x > 2$

знак $x - 2$ неизвестен — переносим в одну часть

«Извлекли корень»

$x^{2} > 9 \Rightarrow x > \pm 3$

$x < - 3$ или $x > 3$

$x^{2} > 9 \Leftrightarrow ∣ x ∣ > 3$

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. $\frac{( x - 3 ) ^{2}}{x + 1} \geq 0$

Нули: $- 1$ (выколот), $3$ .

Знаки справа налево: $+, -, +$ .

Ответ: $(- \infty; - 1) \cup [3; + \infty)$

Ошибка: в точке $3$ (квадрат) знак не меняется

Верно: $(- 1; + \infty)$

Задача 2. ${x^{2} - 4 x < 0 x \geq 2$

$x (x - 4) < 0$ : $x < 0$ или $x > 4$ .

С учётом $x \geq 2$ : $(4; + \infty)$

Ошибка: $< 0$ — между корнями: $0 < x < 4$

Верно: $[2; 4)$

R06.1 · ПР-8 · ПР-12

Задания с самопроверкой · база

Решите неравенство или систему

$3 - 4 x \leq 15$ $[- 3; + \infty)$
$x^{2} - 7 x + 10 < 0$ $(2; 5)$
$x^{2} \geq 16$ $(- \infty; - 4] \cup [4; + \infty)$

$x^{2} + x + 3 > 0$ $(- \infty; + \infty)$
${x - 1 > 0 6 - 2 x \geq 0$ $(1; 3]$
$\frac{x - 6}{x + 2} < 0$ $(- 2; 6)$

R06.1 · ПР-8 · ПР-13 · ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Метод интервалов, целые решения, параметр

повыш. $\frac{x ^{2} - 9}{x} \leq 0$ $(- \infty; - 3] \cup (0; 3]$
повыш. $(x^{2} - 1) (x^{2} - 4) < 0$ $(- 2; - 1) \cup (1; 2)$
повыш. $\frac{x + 3}{x - 1} \geq 2$ $(1; 5]$
повыш.Сколько целых решений у системы ${x^{2} - 2 x - 15 < 0 5 - 2 x > 0$ ? $5$
повыш.При каких $a$ квадратное неравенство $(a - 1) x^{2} + 2 x + 1 > 0$ верно при всех $x$ ? $a > 2$

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите неравенство — с полным оформлением

$\frac{- 14}{x ^{2} + 2 x - 15} \leq 0$ $(- \infty; - 5) \cup (3; + \infty)$
$(x - 2)^{2} < 3 (x - 2)$ $(2; 2 + 3)$
$x^{2} (- x^{2} - 64) \leq 64 (- x^{2} - 64)$ $(- \infty; - 8] \cup [8; + \infty)$

1: числитель

< 0

⇒ знаменатель

> 0

2: не делите на

x - 2

— перенесите и вынесите

3: общий множитель

- x^{2} - 64 < 0

2 мин · практика
1) −14 < 0, дробь ≤ 0 ⇔ знаменатель > 0 (равным 0 он быть не может): (x + 5)(x − 3) > 0, x < −5 или x > 3.
2) (x − 2)(x − 2 − √3) < 0: нули 2 и 2 + √3, между ними.
3) Перенесём: (−x² − 64)(x² − 64) ≤ 0. Множитель −x² − 64 < 0 при всех x, делим на него со сменой знака: x² − 64 ≥ 0, |x| ≥ 8. Все три проверены в sympy.
На ОГЭ задание 20 — 2 балла: нужны преобразования и схема знаков. Типичные потери: деление на x − 2 (теряется знак), забытая смена знака при делении на отрицательный множитель.

R06.1 · ПР-15 · ПР-16

Задача из жизни · огород

Забор длиной $60$ м, площадь участка — не меньше $200$ м²

практикаСторона $x$ м. Составьте неравенство $x (30 - x) \geq 200$
практикаКакой может быть сторона? от $10$ до $20$ м
повыш.Какая наибольшая площадь? $225$ м²

R06.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $7 - 3 x \geq 4 x - 14$ $(- \infty; 3]$
база $x^{2} - 3 x - 10 \leq 0$ $[- 2; 5]$
база $\frac{x + 4}{x - 2} \geq 0$ $(- \infty; - 4] \cup (2; + \infty)$
повыш.При каких $m$ квадратное неравенство $x^{2} + m x + 4 > 0$ верно при всех $x$ ? $- 4 < m < 4$

Вариант 2

база $5 x + 9 < 2 x - 3$ $(- \infty; - 4)$
база $x^{2} + 2 x - 8 > 0$ $(- \infty; - 4) \cup (2; + \infty)$
база $\frac{x - 5}{x + 3} \leq 0$ $(- 3; 5]$
повыш.При каких $m$ квадратное неравенство $x^{2} - 6 x + m < 0$ не имеет решений? $m \geq 9$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) −7x ≥ −21, x ≤ 3. 2) Корни −2 и 5, между, концы входят. 3) Нули −4 (закрашен) и 2 (выколот), вне. 4) D = m² − 16 < 0: −4 < m < 4; при m = ±4 — (x ± 2)² > 0 не при всех x.
В-2. 1) 3x < −12, x < −4. 2) Корни −4 и 2, вне. 3) Нули 5 (закрашен) и −3 (выколот), между. 4) Нужно x² − 6x + m ≥ 0 при всех x: D₁ = 9 − m ≤ 0, m ≥ 9; при m = 9 (x − 3)² < 0 решений не имеет — граница входит.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Все ответы проверены в sympy.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда меняется знак неравенства?
Почему нельзя умножать на знаменатель?
Где знак не чередуется в методе интервалов?

Домашнее задание

$\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x + 1} \leq 0$
Число целых решений ${x^{2} \leq 9 2 x + 1 > 0$
$(x^{2} + 4) (x - 1)^{2} (x + 2) < 0$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-128 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 26/34 · тип О · фокус: неравенства и системы неравенств
Единицы → слайды	R06.1 (алгебраические выражения и допустимые значения; текстовые задачи — неравенства по условию; функции — графическая опора) → 2–19 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 9, 12) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 6, 8, 10, 11, 13–19)
Результаты	ПР-8 (линейные, квадратные неравенства, метод интервалов) → 3–8, 12–16, 18 · ПР-12 (системы неравенств) → 9, 10, 13–15 · ПР-13 (ограничения, целые решения) → 5, 10, 15 · ПР-14 (исследование с параметром) → 11, 15, 18 · ПР-15, ПР-16 (модель реальной ситуации) → 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	уравнения и системы уравнений — ALG9U-121; квадратичная функция — ALG9U-119, ALG9U-120, ALG9U-122; следующие уроки R06 — обобщение по остальным темам курса
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:неравенстваи их системы

Сегодня вы научитесь

Решать без потерь

Метод интервалов

Системы неравенств

Параметр и модель

Неравенства за минуту

Два правила и одна картинка

Линейное kx>b

Квадратное ax2+bx+c>0

Решите неравенство

Образец

Сам

Корни → парабола → промежутки

Образец

Сам

x+3(x−1)2(x−4)​≤0

Метод интервалов: числитель на множители

Образец

Сам

Система — «и», совокупность — «или»

Решите систему, найдите целые решения

Образец

Сам

«При всех x» и «нет решений» — это знак D

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Не сменили знак

Умножили на знаменатель

«Извлекли корень»

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. x+1(x−3)2​≥0

Задача 2. {x2−4x<0x≥2​

Решите неравенство или систему

Метод интервалов, целые решения, параметр

Решите неравенство — с полным оформлением

Забор длиной 60 м, площадь участка — не меньше 200 м²

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-128 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Повторение:
неравенства
и их системы

Линейное $k x > b$

Квадратное $a x^{2} + b x + c > 0$

$\frac{( x - 1 ) ^{2} ( x - 4 )}{x + 3} \leq 0$

«При всех $x$ » и «нет решений» — это знак $D$

Задача 1. $\frac{( x - 3 ) ^{2}}{x + 1} \geq 0$

Задача 2. ${x^{2} - 4 x < 0 x \geq 2$

Забор длиной $60$ м, площадь участка — не меньше $200$ м²