Повторение · урок 24 из 34 · обобщение

Повторение:
неравенства
и метод интервалов

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-126

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 24/34, единица R06.1 (алгебраические выражения и допустимые значения; функции и графическое решение; текстовые задачи — через неравенства). Тип урока — О (обобщение и систематизация). Предыдущие уроки R06 — уравнения и системы уравнений (ALG9U-121) и функции; следующий ALG9U-127 продолжает повторение.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (метод интервалов) 3 · 7 (дробные неравенства) 2 · 9 (системы и совокупности) 2 · 12 (типичные ошибки) 3.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 10, 11) 3 + 3 + 3 + 3 + 2 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2 · ОГЭ (сл. 16) 3 · задача из жизни (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 5 · итог (сл. 19) 1.
Ответ на титуле: (x + 2)(x − 3)/(x − 1) ≥ 0 ⇔ [−2; 1) ∪ [3; +∞) — к нему можно вернуться в конце урока.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 15 и задание 3 сл. 16 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Метод интервалов

решать квадратные неравенства и неравенства высших степеней, учитывать кратные корни (ПР-8)

Дробные неравенства

переносить всё в одну часть и не терять нули знаменателя (ПР-8)

Системы и целые решения

пересекать решения на числовой прямой, считать целые решения (ПР-12, ПР-13)

Параметр и модели

«при всех $x$ » через дискриминант, неравенство как модель реальной ситуации (ПР-7, ПР-16)

1 мин · теория
ПР-8 (ФРП дословно): «Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, использовать метод интервалов, изображать решение неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов».
ПР-12: «Решать системы линейных неравенств, системы неравенств, включающие квадратное неравенство…». ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями, например, в целых числах». ПР-16: модель реальной ситуации. Параметр — в объёме ПР-7 (через дискриминант).
Вид деятельности строки R06: «составлять уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств по условию задачи», «находить допустимые значения переменных для дробно-рациональных выражений, корней».

разминка · опора R02

Разминка · устно

Корни, знаки, промежутки

x^{2} - 4 x + 3

корни

1; 3

(x - 2) (x + 3)

знак при

x = 0

-

\frac{x - 1}{x + 2}

где не определена?

x = - 2

- 3 x > 12

решите

x < - 4

x^{2} < 9

решите

(- 3; 3)

x^{2} \geq 4

решите

∣ x ∣ \geq 2

(x - 5)^{2} > 0

решите

x \neq = 5

x^{2} + 1 \leq 0

решите

нет решений

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) a + b + c = 0: корни 1 и 3. 2) (−2) · 3 = −6 < 0 — знак «минус». 3) Знаменатель x + 2 = 0 при x = −2. 4) Делим на −3 и меняем знак: x < −4 (ошибка — забыть поменять знак).
5) −3 < x < 3. 6) x ≤ −2 или x ≥ 2 (запись |x| ≥ 2 — то же). Ошибка «x ≥ ±2». 7) Квадрат положителен везде, кроме x = 5. 8) x² + 1 ≥ 1 > 0 — решений нет.
Карточки 2, 7 — к знакам на интервалах (сл. 4–6); 3 — к нулям знаменателя (сл. 7–8); 5, 6, 8 — к квадратным неравенствам (сл. 5).

R06.1 · опора R02

Сводка · метод интервалов

Знак произведения меняется только в нулях множителей

Справа $0$ , слева — произведение множителей
Нули множителей — на прямую
Знак на крайнем правом интервале, дальше — чередуем
Чётная кратность корня — знак не меняется

Строгое неравенство — точки выколоты, нестрогое — закрашены

(x + 2) (x - 1) (x - 3) > 0

$x \in (- 2; 1) \cup (3; + \infty)$

3 мин · теория
Демонстрация учителя. Почему чередование: при переходе через простой корень x = c ровно один множитель (x − c) меняет знак. Справа от 3 все множители положительны — знак «+».
Проверка точкой: x = 0 даёт 2 · (−1) · (−3) = 6 > 0 — интервал (−2; 1) действительно «+».
Чётная кратность: (x − 1)² не меняет знака, поэтому при переходе через 1 знак сохраняется — образец на сл. 6.
Вопрос классу: что делать, если множитель (2 − x)? (Записать как −(x − 2) и сменить знак неравенства, либо просто взять знак справа подстановкой.)

R06.1 · ПР-8

Образец → сам · квадратное неравенство

Решите неравенство

Образец

$x^{2} - x - 12 \leq 0$

$x_{1} = - 3, x_{2} = 4$ Виета: $- 3 + 4 = 1$ , $- 3 \cdot 4 = - 12$

$(x + 3) (x - 4) \leq 0$ разложение

ветви вверх — минус между корнями $a = 1 > 0$

$x \in [- 3; 4]$ нестрогое — концы входят

Сам

база $x^{2} + 2 x - 15 > 0$ $(- \infty; - 5) \cup (3; + \infty)$
база $- 2 x^{2} + 5 x + 3 \geq 0$ $[- 0, 5; 3]$
повыш. $x^{2} - 6 x + 9 > 0$ $x \neq = 3$

R06.1 · ПР-8

Образец → сам · кратные корни

Неравенства высших степеней

Образец

$(x + 3) (x - 1)^{2} (x - 4) < 0$

нули: $- 3, 1 (кратность 2), 4$

$x \in (- 3; 1) \cup (1; 4)$ $x = 1$ даёт $0$

Сам

база $(x - 2)^{2} (x + 5) \geq 0$ $[- 5; + \infty)$
база $x^{3} - 9 x > 0$ $(- 3; 0) \cup (3; + \infty)$
повыш. $(x^{2} - 4) (x^{2} + 1) \leq 0$ $[- 2; 2]$

3 мин · практика
Образец: справа от 4 знак «+», между 1 и 4 «−», через 1 знак не меняется (квадрат) — снова «−», левее −3 «+». Неравенство строгое, точка 1 — нуль, её выкалываем.
1) (x − 2)² ≥ 0 всегда; знак задаёт x + 5. Решения: x ≥ −5 (точка 2 тоже входит, она уже в промежутке). Ответ [−5; +∞).
2) x(x − 3)(x + 3) > 0: знаки справа налево +, −, +, −: (−3; 0) ∪ (3; +∞). Ошибка — разделить на x и потерять промежуток.
3) x² + 1 > 0 всегда — на него можно разделить: x² − 4 ≤ 0, [−2; 2]. Все ответы проверены sympy.

R06.1 · допустимые значения

Сводка · дробные неравенства

Дробь — тот же знак, что произведение

\frac{f ( x )}{g ( x )} \geq 0 \Leftrightarrow {f (x) g (x) \geq 0, g (x) \neq = 0

Всё — в левую часть, к общему знаменателю. На знаменатель не умножаем

Нули знаменателя — всегда выколотые

\frac{x + 1}{x - 2} \leq 0

$x \in [- 1; 2)$

R06.1 · ПР-8

Образец → сам · дробное неравенство

Сначала — ноль справа

Образец

$\frac{x + 2}{x - 3} \leq 1$

$\frac{x + 2 - ( x - 3 )}{x - 3} \leq 0$ перенос

$\frac{5}{x - 3} \leq 0$ числитель $5 > 0$

$x - 3 < 0$ дробь не равна $0$

$x \in (- \infty; 3)$

Сам

база $\frac{x - 4}{x + 1} \geq 0$ $(- \infty; - 1) \cup [4; + \infty)$
база $\frac{x ^{2} - 9}{x - 1} < 0$ $(- \infty; - 3) \cup (1; 3)$
повыш. $\frac{2 x - 1}{x + 2} > 1$ $(- \infty; - 2) \cup (3; + \infty)$

R06.1 · ПР-12

Сводка · системы неравенств

Система — пересечение, «или» — объединение

{x \geq - 1 x < 3 \Leftrightarrow - 1 \leq x < 3

Каждое неравенство решаем отдельно, ответы — на одну прямую друг над другом

Целые решения: выписываем по ответу, проверяем концы

2 мин · теория
Система (фигурная скобка) — нужны x, удовлетворяющие обоим условиям: пересечение. Совокупность (квадратная скобка, «или») — хотя бы одному: объединение. Ответ квадратного неравенства «x < −5 или x > 3» — это совокупность.
Демонстрация: [−1; +∞) ∩ (−∞; 3) = [−1; 3). Целые решения: −1, 0, 1, 2 — четыре числа (3 не входит).
Допустимые значения тоже записываются системой: например, у дроби с корнем — подкоренное ≥ 0 и знаменатель ≠ 0.

R06.1 · ПР-12 · ПР-13

Образец → сам · система с квадратным

Решите систему неравенств

Образец

${x^{2} - 5 x + 4 \leq 0 2 x - 5 > 0$

$1 \leq x \leq 4$ корни $1$ и $4$

$x > 2, 5$ линейное

$x \in (2, 5; 4]$ пересечение

Сам

база ${x^{2} < 16 3 - x \leq 1$ $[2; 4)$
база ${x^{2} + x - 6 \geq 0 x < 5$ $(- \infty; - 3] \cup [2; 5)$
повыш.Сколько целых решений у системы $x^{2} - 3 x - 10 < 0$ , $x \geq 0$ ? $5$

R06.1 · ПР-7

Образец → сам · параметр

Неравенство верно при всех $x$

Образец

При каких $a$ неравенство $x^{2} - 2 a x + a + 6 > 0$ верно при всех $x$ ?

ветви вверх ( $1 > 0$ ), корней нет

$D_{1} = a^{2} - a - 6 < 0$ $D_{1} = k^{2} - a c$

$(a + 2) (a - 3) < 0$ : $a \in (- 2; 3)$

Сам: при каких значениях параметра…

база… $x^{2} + a x + 4 \geq 0$ при всех $x$ ? $a \in [- 4; 4]$
повыш.…неравенство $a x^{2} + 4 x + a < 0$ верно при всех $x$ ? $a < - 2$
повыш.…квадратное неравенство $x^{2} - 6 x + m \leq 0$ имеет ровно одно решение? $m = 9$

2 мин · практика
Образец: парабола y = x² − 2ax + a + 6 целиком выше оси ⇔ D < 0. Граница: при a = 3 трёхчлен (x − 3)², при x = 3 он равен 0 — неравенство «> 0» нарушено, a = 3 не входит; так же a = −2: (x + 2)².
1) D = a² − 16 ≤ 0 ⇔ −4 ≤ a ≤ 4. Граница a = 4: (x + 2)² ≥ 0 — верно при всех x, входит.
2) Это «неравенство», не «квадратное»: сначала a = 0: 4x < 0 — не при всех x, не подходит. При a ≠ 0: нужно a < 0 и D₁ = 4 − a² < 0 ⇔ a² > 4; с a < 0: a < −2. Граница a = −2: −2(x − 1)² < 0 нарушено при x = 1 — не входит.
3) Парабола ветвями вверх касается оси: D₁ = 9 − m = 0, m = 9, единственное решение x = 3. При m < 9 решений — отрезок, при m > 9 — нет.

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Умножили на знаменатель

$\frac{1}{x} < 2 \Rightarrow 1 < 2 x \Rightarrow x > \frac{1}{2}$

$\frac{1 - 2 x}{x} < 0$

$x < 0$ или $x > \frac{1}{2}$

знак $x$ неизвестен

Потеряли точку

$(x - 2)^{2} (x + 1) \leq 0$ : $x \leq - 1$

$x \leq - 1$ или $x = 2$

в нуле множителя выражение равно $0$ — точка входит

Закрасили нуль знаменателя

$\frac{x - 1}{x + 3} \geq 0$ : $x \leq - 3$ или $x \geq 1$

$x < - 3$ или $x \geq 1$

на ноль делить нельзя

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил два неравенства. Где ошибки?

Задача 1. $\frac{( x - 3 ) ^{2}}{x + 1} \geq 0$

Точки $- 1$ (выколота) и $3$ .

Знаки справа налево: $+, -, +$

Ответ: $x < - 1$ или $x \geq 3$

Ошибка: через $x = 3$ (квадрат) знак не меняется

Верно: $x \in (- 1; + \infty)$

Задача 2. $- x^{2} + 4 x + 5 > 0$

Корни $- 1$ и $5$ .

Парабола — вне корней знак «+».

Ответ: $x < - 1$ или $x > 5$

Ошибка: $a = - 1 < 0$ — ветви вниз, «+» между корнями

Верно: $x \in (- 1; 5)$

R06.1 · ПР-8

Задания с самопроверкой · база

Решите неравенство

$x^{2} - 9 \leq 0$ $[- 3; 3]$
$x^{2} + 4 x > 0$ $(- \infty; - 4) \cup (0; + \infty)$
$\frac{x + 5}{x - 2} < 0$ $(- 5; 2)$

$(x + 1) (x - 3) (x - 6) \geq 0$ $[- 1; 3] \cup [6; + \infty)$
$x^{2} + x + 3 > 0$ $x$ — любое
$\frac{3}{x + 4} \geq 0$ $(- 4; + \infty)$

R06.1 · ПР-8 · ПР-13

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Дроби, биквадратные, целые решения

повыш. $\frac{x ^{2} - x - 6}{x ^{2} - 1} \leq 0$ $[- 2; - 1) \cup (1; 3]$
повыш. $x^{4} - 5 x^{2} + 4 < 0$ $(- 2; - 1) \cup (1; 2)$
повыш. $\frac{1}{x - 1} > \frac{1}{x + 1}$ $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$
повыш.Число целых решений $\frac{( x + 3 ) ( x - 4 ) ^{2}}{x - 6} \leq 0$ $9$
повыш.Область определения $y = \frac{x + 2}{3 - x}$ $[- 2; 3)$

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 13 и 20

Неравенства второй части — с полной записью

$(x - 5)^{2} < 7 (x - 5)$ $(5; 5 + 7)$
$\frac{- 15}{( x + 2 ) ^{2} - 6} \geq 0$ $(- 2 - 6; - 2 + 6)$
$x^{2} (- x^{2} - 64) \leq 64 (- x^{2} - 64)$ $(- \infty; - 8] \cup [8; + \infty)$

1: не делите на

x - 5

— вынесите

2: числитель

< 0

⇒ знаменатель

< 0

3:

- x^{2} - 64 < 0

при всех

x

3 мин · практика
1) (x − 5)(x − 5 − √7) < 0: корни 5 и 5 + √7, ответ 5 < x < 5 + √7. Деление на x − 5 без учёта знака — типичная потеря баллов.
2) −15 < 0, дробь ≥ 0 ⇔ знаменатель < 0 (нулю дробь не равна): (x + 2)² < 6 ⇔ −√6 < x + 2 < √6.
3) Перенесём: (−x² − 64)(x² − 64) ≤ 0. Множитель −x² − 64 < 0 при всех x — делим на него со сменой знака: x² − 64 ≥ 0, |x| ≥ 8.
Линия 20 — 2 балла: нужна запись с обоснованием; линия 13 (ч. 1) — короткие квадратные и линейные неравенства, как на сл. 14. Проверено sympy.

R06.1 · ПР-16

Задача из жизни · тормозной путь

Тормозной путь $s = 0, 1 v + 0, 01 v^{2}$ (м), $v$ — км/ч

практикаПри какой скорости путь не больше $20$ м? $v \leq 40$ км/ч
практикаНе больше $56$ м? $v \leq 70$ км/ч
повыш.Во сколько раз путь при $60$ км/ч больше, чем при $40$ км/ч? в $2, 1$ раза

R06.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $x^{2} - 7 x + 10 < 0$ $(2; 5)$
база $\frac{x - 6}{x + 2} \geq 0$ $(- \infty; - 2) \cup [6; + \infty)$
база ${x^{2} \leq 25 2 x - 3 > 0$ $(1, 5; 5]$
повыш. $(x - 5)^{2} (x^{2} - 9) \leq 0$ $[- 3; 3] \cup {5}$

Вариант 2

база $x^{2} + 3 x - 10 > 0$ $(- \infty; - 5) \cup (2; + \infty)$
база $\frac{x + 4}{x - 3} \leq 0$ $[- 4; 3)$
база ${x^{2} < 36 5 - x \leq 2$ $[3; 6)$
повыш. $(x + 2)^{2} (x^{2} - 16) \geq 0$ $(- \infty; - 4] \cup {- 2} \cup [4; + \infty)$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) Корни 2 и 5, между ними. 2) −2 выколота, 6 закрашена: x < −2 или x ≥ 6. 3) −5 ≤ x ≤ 5 и x > 1,5: (1,5; 5]. 4) x² − 9 ≤ 0 или x = 5: [−3; 3] ∪ {5}.
В-2. 1) Корни −5 и 2, вне. 2) −4 закрашена, 3 выколота: [−4; 3). 3) −6 < x < 6 и x ≥ 3: [3; 6). 4) x² − 16 ≥ 0 или x = −2: (−∞; −4] ∪ {−2} ∪ [4; +∞).
Задание 4 проверяет изолированную точку (сл. 12). Все ответы проверены sympy. Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда знак при переходе через корень не меняется?
Почему нельзя умножать на знаменатель?
Чем ответ системы отличается от ответа «или»?

Домашнее задание

$\frac{( x + 2 ) ( x - 3 )}{x - 1} \geq 0$
Сколько целых решений у системы $⎩ ⎨ ⎧ x^{2} - 4 x - 21 < 0 \frac{x - 2}{x + 5} \leq 0$
При каких $a$ неравенство $(a - 1) x^{2} - 2 x + 1 > 0$ верно при всех $x$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_neravenstva.htm

1 мин · практика
Ответы ДЗ: 1) Точки −2, 3 закрашены, 1 выколота; знаки справа налево +, −, +, −: [−2; 1) ∪ [3; +∞) (неравенство с титула).
2) x² − 4x − 21 < 0 ⇔ (x − 7)(x + 3) < 0 ⇔ −3 < x < 7; (x − 2)/(x + 5) ≤ 0 ⇔ −5 < x ≤ 2. Пересечение (−3; 2]: целые −2, −1, 0, 1, 2 — пять.
3) a = 1: −2x + 1 > 0 — не при всех x. a ≠ 1: a − 1 > 0 и D₁ = 1 − (a − 1) = 2 − a < 0 ⇒ a > 2. Граница a = 2: (x − 1)² > 0 нарушено при x = 1 — не входит. Ответ a > 2.
Тренажёр — углублённый раздел «Неравенства» (строка R02 курса). Следующий урок ALG9U-127 — продолжение повторения.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-126 · Обобщение и систематизация: неравенства и метод интервалов

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 24/34 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 (алгебраические выражения и допустимые значения; функции; текстовые задачи) → 2–19 · опора R02 (неравенства) → 3, 4 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 9, 12) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 6, 8, 10, 11, 13–19)
Результаты	ПР-8 (квадратные неравенства, метод интервалов) → 2–8, 12–16, 18 · ПР-12 (системы неравенств) → 9, 10, 18 · ПР-13 (ограничения, целые решения) → 10, 15 · ПР-7 (параметр) → 11 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	уравнения и системы уравнений — ALG9U-121; функции и графики — ALG9U-116…123; следующие уроки R06 — ALG9U-127 и далее
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:неравенстваи метод интервалов

Сегодня вы повторите и научитесь

Метод интервалов

Дробные неравенства

Системы и целые решения

Параметр и модели

Корни, знаки, промежутки

Знак произведения меняется только в нулях множителей

Решите неравенство

Образец

Сам

Неравенства высших степеней

Образец

Сам

Дробь — тот же знак, что произведение

Сначала — ноль справа

Образец

Сам

Система — пересечение, «или» — объединение

Решите систему неравенств

Образец

Сам

Неравенство верно при всех x

Образец

Сам: при каких значениях параметра…

Три ошибки, которые стоят баллов

Умножили на знаменатель

Потеряли точку

Закрасили нуль знаменателя

Ученик решил два неравенства. Где ошибки?

Задача 1. x+1(x−3)2​≥0

Задача 2. −x2+4x+5>0

Решите неравенство

Дроби, биквадратные, целые решения

Неравенства второй части — с полной записью

Тормозной путь s=0,1v+0,01v2 (м), v — км/ч

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-126 · Обобщение и систематизация: неравенства и метод интервалов

Повторение:
неравенства
и метод интервалов

Неравенство верно при всех $x$

Задача 1. $\frac{( x - 3 ) ^{2}}{x + 1} \geq 0$

Задача 2. $- x^{2} + 4 x + 5 > 0$

Тормозной путь $s = 0, 1 v + 0, 01 v^{2}$ (м), $v$ — км/ч