Повторение · урок 23 из 34 · обобщение

Повторение:
неравенства
и их системы

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-125

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 23/34, единица R06.1. Тип урока — О (обобщение). Тема урока внутри строки — неравенства и их системы (по видам деятельности ФРП: «составлять уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств»). Прошлые уроки строки: уравнения и системы уравнений (ALG9U-121), функции-модели (ALG9U-123); следующий ALG9U-126 — продолжение повторения R06.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (квадратное неравенство и парабола) 2 · 6 (метод интервалов) 3 · 8 (дробно-рациональные) 2 · 10 (системы и совокупности) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 11, 12) 2 + 3 + 3 + 3 + 2 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 3 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и закрепите

Квадратные неравенства

решать по эскизу параболы, записывать ответ промежутками (ПР-8)

Метод интервалов

для произведений и дробей, с кратными корнями (ПР-8)

Системы неравенств

пересекать решения на числовой прямой, считать целые решения (ПР-12, ПР-13)

Параметр и модели

исследовать неравенство с параметром, решать задачу из жизни (ПР-14, ПР-16)

1 мин · теория
ПР-8 (ФРП дословно): «Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, использовать метод интервалов, изображать решение неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов». ПР-12: «Решать системы линейных неравенств, системы неравенств, включающие квадратное неравенство…». ПР-13: «Решать уравнения, неравенства и их системы, в том числе с ограничениями, например, в целых числах».
ПР-14 — исследование (есть ли решения, сколько); ПР-16 — неравенство как модель реальной ситуации (сл. 18).

разминка · R06.1

Разминка · устно

Решите устно

- 2 x > 6

x < - 3

x^{2} < 9

(- 3; 3)

x^{2} > 0

x \neq = 0

x^{2} + 1 \leq 0

нет решений

(x - 1) (x + 2) < 0

(- 2; 1)

\frac{1}{x} > 0

x > 0

x^{2} - 5 x + 6

корни

2; 3

[- 1; 3] \cap (0; 5]

(0; 3]

R06.1 · ПР-8

Сводка · квадратное неравенство

Решаем по эскизу параболы

a x^{2} + b x + c > 0, a > 0, D > 0

> 0

:

x < x_{1}

или

x > x_{2}

— вне корней

< 0

:

x_{1} < x < x_{2}

— между корнями

D < 0

: трёхчлен везде имеет знак

a

R06.1 · ПР-8

Образец → сам · квадратное неравенство

Решите неравенство

Образец

$2 x^{2} - 5 x - 3 \leq 0$

$D = 25 + 24 = 49$ $b^{2} - 4 a c$

$x = \frac{5 \pm 7}{4}$ : $- 0, 5; 3$ корни

$a = 2 > 0$ , знак $\leq$ между корнями

$x \in [- 0, 5; 3]$ концы включены

Сам

база $x^{2} - 6 x + 8 > 0$ $(- \infty; 2) \cup (4; + \infty)$
база $- x^{2} + 3 x + 10 \geq 0$ $[- 2; 5]$
повыш. $4 x^{2} + 4 x + 1 \leq 0$ $x = - 0, 5$

R06.1 · ПР-8

Сводка · метод интервалов

$(x + 2) (x - 1)^{2} (x - 4) \geq 0$

Всё в левую часть, разложить на множители
Нули множителей — на прямую
Знак на правом промежутке
Чередовать знаки; у чётной степени множителя знак не меняется

3 мин · теория
Демонстрация учителя. При x > 4 все множители положительны — знак «+». Переходя через 4 (кратность 1), знак меняется: «−». Через 1 (множитель (x − 1)² — квадрат) знак не меняется: снова «−». Через −2 — меняется: «+».
Неравенство нестрогое: нули включаем, в том числе x = 1, где выражение равно 0 — изолированная точка {1}. Её часто теряют.
Знаки и ответ появляются по клику; ответ проверен в python: (−∞; −2] ∪ {1} ∪ [4; +∞).
Почему чередование работает: каждый множитель (x − c) меняет знак только в точке c, а (x − c)² знака не меняет.

R06.1 · ПР-8

Образец → сам · метод интервалов

Решите неравенство

Образец

$(x + 1)^{2} (x - 3) (2 - x) < 0$

$(x + 1)^{2} (x - 3) (x - 2) > 0$ $\cdot (- 1)$ , знак меняем

нули: $- 1$ (чётн.), $2$ , $3$ на прямую

знаки: $+, +, -, +$ слева направо

$(- \infty; - 1) \cup (- 1; 2) \cup (3; + \infty)$

Сам

база $x (x - 2) (x + 5) \geq 0$ $[- 5; 0] \cup [2; + \infty)$
база $(x - 4)^{2} (x + 3) \leq 0$ $(- \infty; - 3] \cup {4}$
повыш. $x^{4} - 5 x^{2} + 4 \leq 0$ $[- 2; - 1] \cup [1; 2]$

R06.1 · ПР-8

Сводка · дробно-рациональные неравенства

Дробь сравниваем с нулём, на знаменатель не умножаем

\frac{P ( x )}{Q ( x )} \geq 0 \Leftrightarrow {P (x) Q (x) \geq 0 Q (x) \neq = 0

Сначала всё в одну часть и к общему знаменателю

Нули числителя

закрашены при $\geq$ , $\leq$ ; выколоты при $>$ , $<$

Нули знаменателя

всегда выколоты — на нуль делить нельзя

R06.1 · ПР-8

Образец → сам · дробное неравенство

Решите неравенство

Образец

$\frac{2 x - 1}{x + 3} \leq 1$

$\frac{2 x - 1 - ( x + 3 )}{x + 3} \leq 0$ всё влево

$\frac{x - 4}{x + 3} \leq 0$ упростили

$4$ — закрашена, $- 3$ — выколота нули

$x \in (- 3; 4]$ между нулями «−»

Сам

база $\frac{x - 5}{x + 2} > 0$ $(- \infty; - 2) \cup (5; + \infty)$
база $\frac{x ^{2} - 4}{x - 1} \geq 0$ $[- 2; 1) \cup [2; + \infty)$
повыш. $\frac{3}{x - 1} < \frac{2}{x}$ $(- \infty; - 2) \cup (0; 1)$

R06.1 · ПР-12

Сводка · системы и совокупности

Система — общая часть, совокупность — объединение

{x > - 1 x \leq 3 \Leftrightarrow x \in (- 1; 3]

[x < - 1 x \geq 3 \Leftrightarrow x \in (- \infty; - 1) \cup [3; + \infty)

Двойное неравенство

a < x \leq b

— это система

R06.1 · ПР-12 · ПР-13

Образец → сам · система неравенств

Решите систему

Образец

${x^{2} - x - 6 \leq 0 2 x - 1 > 0$

$- 2 \leq x \leq 3$ корни $- 2; 3$

$x > 0, 5$ линейное

$x \in (0, 5; 3]$ общая часть

Сам

база ${3 x - 6 > 0 x^{2} \leq 16$ $(2; 4]$
база ${x^{2} - 4 x < 0 x^{2} \geq 1$ $[1; 4)$
повыш.Сколько целых решений у системы $⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + 2 x - 15 \leq 0 \frac{x + 1}{x - 2} \geq 0$ ? $6$

R06.1 · ПР-14

Образец → сам · неравенство с параметром

При каких значениях параметра…

Образец

…неравенство $x^{2} - 2 a x + 9 > 0$ верно при всех $x$ ?

ветви вверх $a_{старш .} = 1 > 0$

$D_{1} = a^{2} - 9 < 0$ нет корней

$- 3 < a < 3$ ответ

Сам

база…квадратное неравенство $x^{2} + 6 x + c \leq 0$ имеет ровно одно решение? $c = 9$
повыш.…неравенство $m x^{2} + 4 x + m > 0$ верно при всех $x$ ? $m > 2$
повыш.…квадратное неравенство $x^{2} - (a + 2) x + 2 a < 0$ не имеет решений? $a = 2$

2 мин · практика
Образец, граница: при a = 3 x² − 6x + 9 = (x − 3)² > 0 нарушается при x = 3, поэтому a = ±3 не входят.
1) Ровно одно решение — парабола касается оси: D₁ = 9 − c = 0, c = 9; решение x = −3. При c < 9 — отрезок, при c > 9 — решений нет.
2) «Неравенство» — вырожденный случай разбираем: m = 0 даёт 4x > 0 — не при всех x, не подходит. При m ≠ 0 нужно m > 0 и D₁ = 4 − m² < 0, т. е. m > 2. Граница m = 2: 2(x + 1)² > 0 нарушается при x = −1 — не входит. Ответ m > 2.
3) Корни 2 и a; «< 0» — строго между корнями; промежуток пуст, только если корни совпали: a = 2 ((x − 2)² < 0 решений не имеет).

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Умножили на $x$

$\frac{1}{x} < 2 \Rightarrow 1 < 2 x, x > 0, 5$

$\frac{1 - 2 x}{x} < 0$ : $x < 0$ или $x > 0, 5$

знак $x$ неизвестен

Забыли чётную кратность

$(x - 2)^{2} (x + 1) > 0$ : $x > - 1$

$(- 1; 2) \cup (2; + \infty)$

при $x = 2$ выражение равно $0$

«Корень» из неравенства

$x^{2} > 9 \Rightarrow x > \pm 3$

$x < - 3$ или $x > 3$

$x^{2} > 9 \Leftrightarrow ∣ x ∣ > 3$

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. $\frac{x ^{2} - 2 x - 3}{x - 2} \geq 0$

$\frac{( x - 3 ) ( x + 1 )}{x - 2} \geq 0$ , нули: $- 1; 2; 3$

Ответ: $[- 1; 2] \cup [3; + \infty)$

Ошибка: $x = 2$ — нуль знаменателя, его выкалывают

$[- 1; 2) \cup [3; + \infty)$

Задача 2. ${x^{2} \geq 4 x < 3$

$x^{2} \geq 4 \Rightarrow x \geq 2$

Ответ: $[2; 3)$

Ошибка: потеряна ветвь $x \leq - 2$

$(- \infty; - 2] \cup [2; 3)$

R06.1 · ПР-8 · ПР-12

Задания с самопроверкой · база

Решите неравенство или систему

$x^{2} - 3 x - 4 < 0$ $(- 1; 4)$
$x^{2} \geq 5 x$ $(- \infty; 0] \cup [5; + \infty)$
$- 2 x^{2} + 8 > 0$ $(- 2; 2)$

$\frac{x + 3}{x - 4} \leq 0$ $[- 3; 4)$
$(x - 1) (x + 2) (x - 5) > 0$ $(- 2; 1) \cup (5; + \infty)$
${2 x + 4 \geq 0 x^{2} < 9$ $[- 2; 3)$

R06.1 · ПР-8 · ПР-13 · ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Кратные нули, биквадратные, параметр

повыш. $\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - 4} \leq 0$ $(- 2; - 1] \cup [1; 2)$
повыш. $x^{4} - 3 x^{2} - 4 \geq 0$ $(- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$
повыш. $\frac{( x + 1 ) ^{2} ( x - 3 )}{x} \leq 0$ ${- 1} \cup (0; 3]$
повыш.Наибольшее целое решение $\frac{2 x + 1}{x - 3} < 1$ $2$
повыш.При каких $a$ квадратное неравенство $x^{2} + a x + 4 \leq 0$ не имеет решений? $- 4 < a < 4$

2 мин · практика
1) (x − 1)(x + 1)/((x − 2)(x + 2)): точки −2, −1, 1, 2; знаки справа: +, −, +, −, +. ≤ 0: (−2; −1] ∪ [1; 2), ±2 выколоты.
2) Замена t = x²: (t − 4)(t + 1) ≥ 0, t + 1 > 0, значит x² ≥ 4: |x| ≥ 2.
3) Точки −1 (чётная, нуль числителя), 0 (знаменатель), 3. Знаки справа: +, −, +, +. ≤ 0: (0; 3] и изолированная точка −1.
4) (2x + 1 − x + 3)/(x − 3) = (x + 4)/(x − 3) < 0: (−4; 3); наибольшее целое 2 (3 выколота). 5) Ветви вверх, решений нет ⇔ D = a² − 16 < 0: −4 < a < 4; при a = ±4 есть одно решение x = ∓2. Все ответы проверены в python. Если не успеваете — 4 и 5 в ДЗ.

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите неравенство (полное решение)

$(x - 2)^{2} < 3 (x - 2)$ $(2; 2 + 3)$
$\frac{- 11}{( x + 2 ) ^{2} - 6} \geq 0$ $(- 2 - 6; - 2 + 6)$
$x^{2} (- x^{2} - 64) \leq 64 (- x^{2} - 64)$ $(- \infty; - 8] \cup [8; + \infty)$

1: не делите на

x - 2

— перенесите и вынесите

2: числитель

< 0

— знаменатель должен быть

< 0

3:

- x^{2} - 64 < 0

при всех

x

R06.1 · ПР-16

Задача из жизни · цена и выручка

При цене $p$ руб. продают $100 - p$ кружек в день

практикаПри какой цене выручка не меньше $2100$ руб.? $30 \leq p \leq 70$
практикаНаибольшая выручка? $2500$ руб. при $p = 50$
повыш.Кружка обходится в $20$ руб. При какой цене прибыль не меньше $1200$ руб.? $40 \leq p \leq 80$

R06.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $x^{2} - 2 x - 15 \leq 0$ $[- 3; 5]$
база $\frac{x - 1}{x + 6} > 0$ $(- \infty; - 6) \cup (1; + \infty)$
база ${x^{2} - 5 x + 4 < 0 2 x \geq 5$ $[2, 5; 4)$
повыш. $(x + 2)^{2} (x - 1) (x - 4) \leq 0$ ${- 2} \cup [1; 4]$

Вариант 2

база $x^{2} + 4 x - 12 \geq 0$ $(- \infty; - 6] \cup [2; + \infty)$
база $\frac{x + 5}{x - 3} < 0$ $(- 5; 3)$
база ${x^{2} + x - 6 \leq 0 3 x > - 3$ $(- 1; 2]$
повыш. $(x - 3)^{2} (x + 1) (x - 2) \leq 0$ $[- 1; 2] \cup {3}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда знак при переходе через нуль не меняется?
Почему нули знаменателя всегда выколоты?
Чем система отличается от совокупности?

Домашнее задание

$\frac{x ^{2} - 7 x + 10}{x + 1} \geq 0$
$⎩ ⎨ ⎧ x^{2} \leq 25 \frac{x - 2}{x + 3} > 0$
При каких $k$ неравенство $x^{2} - k x + k + 3 > 0$ верно при всех $x$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-125 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 23/34 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 (алгебраические выражения и допустимые значения; составлять неравенства и системы неравенств по условию задачи) → 2–20 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 8, 10, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14–20)
Результаты	ПР-8 (квадратные неравенства, метод интервалов) → 3–9, 13–17, 19 · ПР-12 (системы неравенств) → 10, 11, 14, 15, 19 · ПР-13 (целые решения) → 11, 16 · ПР-14 (исследование с параметром) → 12, 16 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	уравнения и системы уравнений — ALG9U-121; функции-модели — ALG9U-123; неравенства с модулем и графический метод — следующие уроки R06
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:неравенстваи их системы

Сегодня вы повторите и закрепите

Квадратные неравенства

Метод интервалов

Системы неравенств

Параметр и модели

Решите устно

Решаем по эскизу параболы

Решите неравенство

Образец

Сам

(x+2)(x−1)2(x−4)≥0

Решите неравенство

Образец

Сам

Дробь сравниваем с нулём, на знаменатель не умножаем

Нули числителя

Нули знаменателя

Решите неравенство

Образец

Сам

Система — общая часть, совокупность — объединение

Решите систему

Образец

Сам

При каких значениях параметра…

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Умножили на x

Забыли чётную кратность

«Корень» из неравенства

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. x−2x2−2x−3​≥0

Задача 2. {x2≥4x<3​

Решите неравенство или систему

Кратные нули, биквадратные, параметр

Решите неравенство (полное решение)

При цене p руб. продают 100−p кружек в день

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-125 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Повторение:
неравенства
и их системы

$(x + 2) (x - 1)^{2} (x - 4) \geq 0$

Умножили на $x$

Задача 1. $\frac{x ^{2} - 2 x - 3}{x - 2} \geq 0$

Задача 2. ${x^{2} \geq 4 x < 3$

При цене $p$ руб. продают $100 - p$ кружек в день