Повторение · урок 22 из 34 · обобщение

Повторение:
формулы и графики
реальных процессов

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-124

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 22/34, единица R06.1 — блоки «Алгебраические выражения» (расчёты по формулам, моделирование формулами реальных процессов) и «Функции … с помощью графиков реальные процессы и явления»; вид деятельности: «Выполнять расчеты по формулам», «Моделировать с помощью формул реальные процессы и явления», «Использовать графики для определения свойств, процессов и зависимостей». Тип урока — О (обобщение). Прошлый урок ALG9U-123 — повторение по R06.1; следующий ALG9U-125 — продолжение повторения по плану учителя.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (формула как модель) 3 · 7 (график процесса) 3 · 9 (линейная и квадратичная модели) 2 · 12 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 10, 11) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2 · ОГЭ (сл. 16) 3 · задача из жизни (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 4 · итог (сл. 19) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 15 и задание 3 сл. 16 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Считать по формулам

подставлять в одних единицах, выражать нужную величину (ПР-16)

Читать графики процессов

скорость, стоянка, наибольшее значение, момент встречи (ПР-18, ПР-24)

Строить линейную модель

тарифы и расходы; сравнение — неравенством (ПР-15, ПР-16)

Искать наибольшее значение

площадь, высота, выручка — вершина параболы (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-16 (ФРП дословно): «Использовать уравнения, неравенства и их системы для составления математической модели реальной ситуации или прикладной задачи, интерпретировать полученные результаты в заданном контексте». ПР-15: «Решать текстовые задачи алгебраическим способом с помощью составления уравнений, неравенств, их систем».
ПР-18: «Исследовать функцию по ее графику…». ПР-24: «Иллюстрировать с помощью графика реальную зависимость или процесс по их характеристикам». ПР-22: «Использовать свойства квадратичной функции для решения задач».

разминка · R06.1

Разминка · устно

Единицы и формулы — за секунды

72 км / ч

в м/с

20

15 мин

в часах

0, 25

s = v t

v = 60 км / ч, t = 1, 5 ч

90

км

t = \frac{s}{v}

s = 120, v = 40

3

ч

F = 1, 8 C + 32

C = 25

77

y = 3 x - 4

y = 8, x = ?

4

20 %

от

350

вычислите

70

S = a^{2}

S = 49, a = ?

7

R06.1

Сводка · формула как модель

Формула связывает величины процесса

Все данные — в одних единицах
Выразить искомую величину
Подставить и вычислить
Проверить смысл: знак, единицы, правдоподобие

Модель	Где встречается
$y = k x + b$	тариф, равномерное движение, расход
$y = \frac{k}{x}$	время при том же пути, работа
$y = a x^{2} + b x + c$	бросок, площадь, выручка
кусочная	тариф с порогом, движение с остановкой

3 мин · теория
Модель — формула или график, который описывает процесс приближённо (мяч без сопротивления воздуха, равномерное движение без разгона). Ответ модели всегда проверяем по смыслу: время не отрицательно, число людей целое, длина положительна.
Примеры к строкам таблицы: такси 150 р. + 30 р./км — линейная; время t = 120/v на пути 120 км — обратная пропорциональность; высота мяча h = 1 + 12t − 5t² — квадратичная; интернет 300 р. за 20 ГБ и 40 р. за каждый ГБ сверх — кусочная.
Вопрос классу: какая модель у стоимости бензина от числа литров? (прямая пропорциональность, b = 0).

R06.1

Образец → сам · расчёт по формуле

Найдите величину по формуле

Образец

$P = I^{2} R$ . Найдите силу тока $I$ (А), если $P = 147$ Вт, $R = 3$ Ом.

$I^{2} = \frac{P}{R}$ выразили $I^{2}$

$I^{2} = \frac{147}{3} = 49$ подставили

$I = 7$ А $I > 0$ по смыслу

Сам

база $F = 1, 8 C + 32$ . Найдите $C$ при $F = 95$ . $C = 35$
база $a = ω^{2} R$ . Найдите $R$ (м), если $a = 64$ , $ω = 4$ . $R = 4$
повыш. $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ , $R_{1} = 12$ , $R = 4$ . Найдите $R_{2}$ . $R_{2} = 6$

R06.1

Образец → сам · выразить величину

Выразите величину из формулы

Образец

$S = \frac{( a + b ) h}{2}$ . Выразите $b$ .

$2 S = (a + b) h$ умножили на $2$

$a + b = \frac{2 S}{h}$ разделили на $h \neq = 0$

$b = \frac{2 S}{h} - a$ перенесли $a$

$S = 30, a = 4, h = 6$ : $b = 6$ проверка

Сам

база $v = v_{0} + a t$ . Выразите $t$ . $t = \frac{v - v _{0}}{a}$
база $E = \frac{m v ^{2}}{2}$ . Выразите $v > 0$ . $v = \frac{2 E}{m}$
повыш. $\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$ . Выразите $f$ . $f = \frac{d F}{d - F}$

R06.1

Сводка · график процесса

Нагрели воду, она кипела, потом остывала

Подъём — величина растёт, горизонталь — не меняется, спуск — убывает

Скорость изменения на участке:

\frac{Δ y}{Δ x}

Пересечение двух графиков — величины равны (встреча, равная цена)

3 мин · теория
Демонстрация учителя по графику: за первые 8 мин температура выросла с 20 до 100 °C, скорость нагрева (100 − 20)/8 = 10 градусов в минуту. С 8 по 12 мин вода кипит — температура постоянна (наибольшее значение 100 °C). После выключения — убывает, к 20-й минуте 60 °C, средняя скорость остывания (100 − 60)/8 = 5 °/мин.
Вопрос классу: на каком участке температура меняется быстрее — при нагреве или при остывании? (при нагреве: 10 против 5 °/мин; на графике участок круче.)
Читаем по графику: значение в момент, момент по значению, промежутки роста и убывания, наибольшее/наименьшее значение — это свойства функции (ПР-18), только в «жизненных» единицах.

R06.1

Образец → сам · график движения

Велосипедист: расстояние $s$ от дома в момент $t$

Образец: скорость на первом участке?

за $1$ ч — $18$ км по графику

$v = \frac{18}{1} = 18$ км/ч $v = \frac{Δ s}{Δ t}$

базаСкорость на обратном пути? $9$ км/ч
базаСредняя скорость за поездку? $9$ км/ч
повыш.Когда был в $9$ км от дома? $0, 5$ и $3$ ч

R06.1

Сводка · линейная и квадратичная модели

Что означают коэффициенты в задаче

Линейная: $y = k x + b$

$b$ — начальное значение: посадка, абонплата

$k$ — изменение на единицу: цена км, минуты

По двум точкам: $k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

Квадратичная, $a < 0$

наибольшее значение — в вершине

$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ , $y_{m a x} = y (x_{0})$

«Когда?» — $x_{0}$ , «сколько?» — $y_{m a x}$

R06.1

Образец → сам · линейная модель

Составьте формулу и сравните

Образец

Такси А: $150$ р. + $30$ р./км, такси Б: $50$ р./км. Когда А дешевле?

$A = 150 + 30 x, Б = 50 x$ $x$ км

$150 + 30 x < 50 x$ А дешевле

$20 x > 150, x > 7, 5$ решили

поездка длиннее $7, 5$ км ответ

Сам

базаРазговор $3$ мин стоит $41$ р., $8$ мин — $76$ р. Цена минуты и соединения? $7$ р./мин, $20$ р.
базаБак $60$ л, расход $7, 5$ л на $100$ км. Формула остатка $V (s)$ и запас хода? $V = 60 - 0, 075 s$ ; $800$ км
повыш.Безлимит $600$ р./мес или $200$ р. + $2, 5$ р./мин. При скольких минутах безлимит выгоднее? больше $160$ мин

R06.1

Образец → сам · наибольшее значение

Найдите наибольшее значение величины

Образец

Участок у стены огородили с трёх сторон забором $40$ м. Наибольшая площадь?

стороны $x, x, 40 - 2 x$ $0 < x < 20$

$S = x (40 - 2 x) = - 2 x^{2} + 40 x$ модель

$x_{0} = - \frac{40}{2 \cdot ( - 2 )} = 10$ вершина

$S_{m a x} = 10 \cdot 20 = 200$ м² ответ

Сам

база $h (t) = 1 + 12 t - 5 t^{2}$ (м). Наибольшая высота мяча? $8, 2$ м (при $t = 1, 2$ с)
базаРамка с периметром $36$ см. Наибольшая площадь? $81$ см² (квадрат $9 \times 9$ )
повыш.Билет $300$ р. — $400$ зрителей; каждые $+ 10$ р. — на $8$ зрителей меньше. Цена с наибольшей выручкой? $400$ р. (выручка $128000$ р.)

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Разные единицы

$v = 60$ км/ч, $t = 20$ мин: $s = 1200$ км

$t = \frac{1}{3}$ ч, $s = 20$ км

сначала — одни единицы

Ответ — не тот

$h = 20 t - 5 t^{2}$ : наибольшая высота $2$ м

$t_{0} = 2$ с, $h (2) = 20$ м

$t_{0}$ — «когда», а не «сколько»

Корень без смысла

$3 + 14 t - 5 t^{2} = 0$ : мяч упадёт при $t = 3$ и $t = - 0, 2$

$t = 3$ с

время не бывает отрицательным

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ , $R_{1} = 6$ , $R_{2} = 3$ . Найдите $R$ .

$\frac{1}{R} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$

$R = 4, 5$

Ошибка: сложили знаменатели

$\frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{2}$ , $R = 2$ Ом

Задача 2. Разговор $4$ мин стоит $52$ р., $10$ мин — $100$ р. Цена минуты?

$100 : 10 = 10$ р./мин

Ошибка: есть плата за соединение, ведь $10 \cdot 4 \neq = 52$

$k = \frac{100 - 52}{10 - 4} = 8$ р./мин

соединение: $52 - 32 = 20$ р.

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Формулы и модели

$F = 1, 8 C + 32$ : $F$ при $C = - 10$ $14$
$s = v_{0} t + \frac{a t ^{2}}{2}$ : $v_{0} = 3$ , $a = 2$ , $t = 5$ $40$
$Q = I^{2} Rt$ : $I = 2$ , $R = 5$ , $t = 10$ $200$

Такси: $100$ р. + $25$ р./км, заплатили $840$ р. Сколько км? $29, 6$
Прямоугольник с периметром $60$ м: наибольшая площадь? $225$ м²
$h = 30 t - 5 t^{2}$ : когда мяч упадёт? $6$ с

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Выразить, сравнить, найти наибольшее

повыш. $\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$ , $F = 10$ , $d = 15$ . Найдите $f$ . $30$
повыш. $S = π (R^{2} - r^{2})$ . Выразите $r > 0$ . $r = R^{2} - \frac{S}{π}$
повыш.А: $300$ р. + $1, 5$ р./мин, Б: $3$ р./мин. Когда Б дороже? больше $200$ мин
повыш.Спрос $q = 120 - 2 p$ шт. при цене $p$ р. Цена с наибольшей выручкой? $30$ р.
повыш. $h = 2 + 9 t - 5 t^{2}$ : сколько секунд мяч выше $6$ м? $0, 2$ с

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линии 12 и 21

Расчёт по формуле и задача с моделью

ОГЭ 12 $S = \frac{d _{1} d _{2} sin α}{2}$ . Найдите $d_{2}$ , если $d_{1} = 16$ , $sin α = \frac{2}{5}$ , $S = 12, 8$ . $4$
ОГЭ 12 $W = \frac{C U ^{2}}{2}$ . Найдите $U$ (В), если $C = 1 0^{- 4}$ Ф, $W = 0, 5$ Дж. $100$
ОГЭ 21Из A в B ( $240$ км) выехал автомобиль. Через час за ним — второй, на $20$ км/ч быстрее; в B они прибыли одновременно. Скорость первого? $60$ км/ч

12: сначала выразите, потом подставляйте

21: модель

\frac{240}{v} - \frac{240}{v + 20} = 1

, отбор корня по смыслу

R06.1

Задача из жизни · тариф с порогом

Какой тариф на интернет выгоднее?

А:

300

р. за

20

ГБ, сверх —

40

р. за ГБ
Б:

700

р. без лимита

практикаСколько стоит $25$ ГБ по тарифу А? $500$ р.
практикаФормула стоимости А при $x > 20$ $40 x - 500$
повыш.С какого объёма тариф Б выгоднее? больше $30$ ГБ

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $F = 1, 8 C + 32$ . Найдите $C$ при $F = 50$ . $10$
база $V = \frac{1}{3} S h$ . Выразите $h$ . $h = \frac{3 V}{S}$
базаТакси: $120$ р. + $30$ р./км, поездка стоила $690$ р. Сколько км? $19$
повыш.Участок у стены, забор $60$ м с трёх сторон. Наибольшая площадь? $450$ м²

Вариант 2

база $F = 1, 8 C + 32$ . Найдите $F$ при $C = 15$ . $59$
база $s = \frac{a t ^{2}}{2}$ . Выразите $a$ . $a = \frac{2 s}{t ^{2}}$
базаТакси: $90$ р. + $35$ р./км, поездка стоила $650$ р. Сколько км? $16$
повыш. $h = 1, 5 + 16 t - 5 t^{2}$ (м). Наибольшая высота? $14, 3$ м

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что проверить до подстановки в формулу?
Что на графике движения означает горизонталь?
Чем отличаются $x_{0}$ и $y_{m a x}$ в задаче?

Домашнее задание

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ : выразите $R$
А: $250$ р. + $2$ р./мин, Б: $4$ р./мин. Когда А выгоднее?
Цена $200$ р. — $500$ покупателей, $+ 10$ р. — на $20$ меньше. Цена с наибольшей выручкой?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_index.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-124 · Обобщение и систематизация: формулы и графики реальных процессов

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 22/34 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 (расчёты по формулам, моделирование формулами реальных процессов; функции и графики реальных процессов; текстовые задачи) → 2–19 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 9, 12) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 6, 8, 10, 11, 13–19)
Результаты	ПР-16 (модель реальной ситуации) → 4–6, 10, 13, 14, 16–18 · ПР-15 (текстовые задачи алгебраически) → 10, 16 · ПР-18, ПР-24 (свойства по графику, график процесса) → 7, 8, 17 · ПР-22 (свойства квадратичной функции в задачах) → 9, 11, 12, 15, 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	прогрессии в задачах из жизни (линия 14) — повторение по R04; построение графиков с параметром (линия 22) — ALG9U-116
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:формулы и графикиреальных процессов

Сегодня вы повторите и научитесь

Считать по формулам

Читать графики процессов

Строить линейную модель

Искать наибольшее значение

Единицы и формулы — за секунды

Формула связывает величины процесса

Найдите величину по формуле

Образец

Сам

Выразите величину из формулы

Образец

Сам

Нагрели воду, она кипела, потом остывала

Велосипедист: расстояние s от дома в момент t

Образец: скорость на первом участке?

Что означают коэффициенты в задаче

Линейная: y=kx+b

Квадратичная, a<0

Составьте формулу и сравните

Образец

Сам

Найдите наибольшее значение величины

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Разные единицы

Ответ — не тот

Корень без смысла

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. R1​=R1​1​+R2​1​, R1​=6, R2​=3. Найдите R.

Задача 2. Разговор 4 мин стоит 52 р., 10 мин — 100 р. Цена минуты?

Формулы и модели

Выразить, сравнить, найти наибольшее

Расчёт по формуле и задача с моделью

Какой тариф на интернет выгоднее?

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-124 · Обобщение и систематизация: формулы и графики реальных процессов

Повторение:
формулы и графики
реальных процессов

Велосипедист: расстояние $s$ от дома в момент $t$

Линейная: $y = k x + b$

Квадратичная, $a < 0$

Задача 1. $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ , $R_{1} = 6$ , $R_{2} = 3$ . Найдите $R$ .

Задача 2. Разговор $4$ мин стоит $52$ р., $10$ мин — $100$ р. Цена минуты?