Повторение · урок 21 из 34 · обобщение

Повторение:
функции —
модели процессов

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-123

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 21/34, единица R06.1 (функции; графики реальных процессов и явлений; моделирование формулами). Тип урока — О (обобщение и систематизация).
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка функций-моделей) 3 · 5 (схема «от условия к модели») 2 · 8 (что читают на графике) 2 · 10 (наибольшее значение квадратичной модели) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 11, 12) 3 + 2 + 2 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ, линия 22 (сл. 17) 3 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 5 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать модель

по условию узнавать линейную, обратную, квадратичную или кусочную зависимость (ПР-17, ПР-16)

Сравнивать тарифы

составлять формулы и находить, когда выгоднее, — уравнением и графиком (ПР-15)

Читать графики процессов

значения, рост и убывание, скорость изменения, среднее (ПР-18)

Находить наибольшее

площадь, высоту, выручку — через вершину параболы (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-16 (ФРП дословно): «Использовать уравнения, неравенства и их системы для составления математической модели реальной ситуации или прикладной задачи, интерпретировать полученные результаты в заданном контексте». ПР-17: «Оперировать понятиями: зависимость, функция, график функции, прямая пропорциональность, линейная функция, обратная пропорциональность, парабола, гипербола, кусочно-заданная функция».
ПР-15: «Решать текстовые задачи алгебраическим способом…». ПР-18: «Исследовать функцию по ее графику…». ПР-22: «Использовать свойства квадратичной функции для решения задач».
Вид деятельности ФРП по строке: «Использовать графики для определения свойств, процессов и зависимостей, для решения задач из других учебных предметов и реальной жизни; моделировать… Выражать формулами зависимости между величинами».

разминка · R06.1

Разминка · устно

Формулы и графики за минуту

y = 3 x + 2

y (- 2) = ?

- 4

прямая через

(0; 1)

и

(2; 7)

угловой коэффициент

3

y = \frac{12}{x}

y = 4

при

x = ?

3

y = x^{2} - 6 x + 1

абсцисса вершины

3

15 %

от

240

вычислите

36

50

₽ +

20

₽/км

поездка

7

км

190

₽

y = - x^{2} + 4 x

наибольшее значение

4

y = 2 x + 1

и

y = 2 x - 3

: сколько общих точек?

0

R06.1

Сводка · функции-модели

Пять зависимостей, которые встречаются в жизни

Зависимость	Формула	Смысл коэффициентов	Пример
прямая пропорциональность	$y = k x$	$k$ — цена единицы, скорость	стоимость $= 45 x$
линейная	$y = k x + b$	$b$ — начальное значение, $k$ — изменение за единицу	тариф $300 + 2 x$
обратная пропорциональность	$y = \frac{k}{x}, x > 0$	$k = x y$ — постоянное произведение	время $t = \frac{120}{v}$
квадратичная	$y = a x^{2} + b x + c$	вершина — наибольшее или наименьшее	высота $h = 20 t - 5 t^{2}$
кусочная	разные формулы на участках	правило меняется на границе	такси: первые $3$ км в посадке

3 мин · теория
Строки открываются по одной; к каждой — вопрос классу «где ещё встречается?». Прямая пропорциональность: путь при постоянной скорости, масса и объём. Линейная: показание счётчика, остаток топлива. Обратная: время и скорость при фиксированном пути, число рабочих и срок. Квадратичная: высота брошенного тела, площадь при фиксированном периметре, выручка. Кусочная: тарифы со ступенями, налоги, такси.
Признак линейной зависимости — за равные приращения x равные приращения y (k = Δy/Δx). Признак обратной — произведение xy постоянно.
Область определения модели — по смыслу: время, количество, цена неотрицательны; число людей — натуральное.

R06.1 · ПР-16

Схема · от условия к модели

Четыре шага решения прикладной задачи

1

Величины

что от чего зависит, единицы измерения

2

Формула

тип зависимости по признаку: $Δ y$ постоянно, $x y$ постоянно, «произведение двух скобок»

3

Область по смыслу

$x \geq 0$ , целые значения, отрезок из условия

4

Ответ в контексте

с единицами; проверка: правдоподобно ли?

Графически: «когда равны» — точка пересечения, «когда выгоднее» — где график ниже

2 мин · теория
Шаг 2 — главный: постоянная скорость изменения → линейная; постоянное произведение → обратная; «цену подняли на n шагов, покупателей стало меньше на n шагов» → выручка — произведение двух линейных скобок, т. е. квадратичная.
Шаг 3 часто меняет ответ: вершина параболы может оказаться вне допустимого отрезка (сл. 13), число минут — только целое (сл. 14).
Вопрос классу: что на графике означает «тариф А выгоднее тарифа Б»? (график А ниже графика Б.)

R06.1

Образец → сам · линейная модель

Составьте формулу по двум значениям

Образец

Печать $10$ фото стоит $230$ ₽, $25$ фото — $470$ ₽ (линейно). Сколько стоят $40$ фото?

$k = \frac{470 - 230}{25 - 10} = 16$ ₽ за фото

$b = 230 - 16 \cdot 10 = 70$ ₽ за заказ

$y = 16 x + 70$ модель

$y (40) = 710$ ₽ ответ

Сам

базаСвеча $30$ см, через $2$ ч — $22$ см. Формула $h (t)$ ? Когда догорит? $h = 30 - 4 t$ ; через $7, 5$ ч
базаВ баке $60$ л, расход $0, 08$ л/км. Через сколько км останется $12$ л? $600$ км
повыш.Вода кипит при $100^{\circ} C$ на $0$ м и при $90^{\circ} C$ на $3000$ м (линейно). Где — при $95, 5^{\circ} C$ ? $1350$ м

R06.1 · ПР-15

Образец → сам · сравнение тарифов

Когда какой тариф выгоднее

Образец

А: $300$ ₽ в месяц $+ 2$ ₽/мин. Б: $5$ ₽/мин. Когда выгоднее А?

$300 + 2 x < 5 x \Leftrightarrow x > 100$ А дешевле

Сам

базаПрокат: А — $240$ ₽ $+ 50$ ₽/ч, Б — $80$ ₽/ч. Когда стоимость одинакова? $8$ ч
базаТакси: $100 + 15 x$ или $40 + 20 x$ ₽. Что дешевле на $10$ км? второе: $240$ ₽ против $250$ ₽
повыш.При каких $x$ тариф $300 + 2 x$ выгоднее и $5 x$ , и $600 + x$ ? $100 < x < 300$

R06.1 · ПР-18

Сводка · график процесса

Что читают на графике реального процесса

Значение:

T (8) = 4^{\circ} C

Рост: с

4

до

14

ч; убывание: с

0

до

4

и с

14

до

24

ч

скорость

= \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{10 - 4}{14 - 8} = 1^{\circ} C/ ч

2 мин · теория
График — температура воздуха за сутки (ломаная: 0 ч — 2 °C, 4 ч — 0 °C, 8 ч — 4 °C, 14 ч — 10 °C, 18 ч — 8 °C, 24 ч — 3 °C; масштаб точный).
Что спрашивают: значение в момент; наибольшее и наименьшее (наименьшее 0 °C в 4 ч); промежутки возрастания и убывания; скорость изменения на участке — наклон, Δy/Δx; на графике пути — это скорость движения.
Скорость роста на [4; 8] тоже 4/4 = 1 °C/ч — на [4; 14] график — один прямой отрезок.
Вопрос классу: когда температура падала быстрее — с 14 до 18 ч или с 18 до 24 ч? (2/4 = 0,5 °C/ч и 5/6 ≈ 0,83 °C/ч — с 18 до 24 ч.)

R06.1 · ПР-18

Образец → сам · график движения

Велосипедист уехал от дома и вернулся

Образец: скорость на первом участке и средняя скорость

$v_{1} = \frac{15}{1} = 15$ км/ч первый участок

$v_{ср} = \frac{30 + 30}{5} = 12$ км/ч весь путь / всё время

Сам

базаСколько минут длилась остановка? $30$ мин
базаСкорость на обратном пути? $15$ км/ч
повыш.Как далеко от дома он был через $4$ ч после выезда? $15$ км

R06.1 · ПР-22

Сводка · квадратичная модель

Наибольшее значение — в вершине, если она допустима

y = a x^{2} + b x + c, a < 0

x_{0} = - \frac{b}{2 a}, y_{m a x} = y (x_{0})

Удобнее через корни:

x_{0}

— середина между нулями

x_{0}

вне отрезка — берём значение на ближнем конце

R06.1 · ПР-22

Образец → сам · наибольшее значение

Площадь, высота, выручка

Образец

Участок у стены огородили с трёх сторон забором $40$ м. Наибольшая площадь?

$x$ и $40 - 2 x$ боковая и передняя стороны

$S = x (40 - 2 x)$ $0 < x < 20$

$x_{0} = 10$ середина между $0$ и $20$

$S = 10 \cdot 20 = 200$ м $^{2}$ ответ

Сам

база $h (t) = 20 t - 5 t^{2}$ (м). Наибольшая высота? $20$ м при $t = 2$ с
базаСумма двух положительных чисел $18$ . Наибольшее произведение? $81$
повыш.Билет $300$ ₽ — $500$ зрителей; каждые $+ 10$ ₽ — на $10$ зрителей меньше. Цена наибольшей выручки? $400$ ₽ (выручка $160000$ ₽)

R06.1 · ПР-17

Образец → сам · кусочная модель

Тарифы со ступенями

Образец

Такси: $150$ ₽ — посадка с первыми $3$ км, дальше $25$ ₽/км. Стоимость $11$ км? Сколько км на $500$ ₽?

C (x) = {150, 150 + 25 (x - 3), 0 < x \leq 3 x > 3

$C (11) = 150 + 200 = 350$ ₽ второй участок

$150 + 25 (x - 3) = 500, x = 17$ км

Сам: до $150$ кВт·ч — $6$ ₽, сверх — $9$ ₽ за кВт·ч

базаПлата за $200$ кВт·ч? $1350$ ₽
базаЗаплатили $1800$ ₽. Сколько израсходовали? $250$ кВт·ч
повыш.Формула платы при $x > 150$ в виде $y = k x + b$ $y = 9 x - 450$

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки в задачах-моделях

Средняя скорость

Туда $60$ , обратно $40$ км/ч: $v_{ср} = 50$

$v_{ср} = \frac{2 S}{\frac{S}{60} + \frac{S}{40}} = 48$ км/ч

весь путь делят на всё время

Вершина вне отрезка

Наибольшее $y = - x^{2} + 10 x$ на $[0; 3]$ : $y (5) = 25$

$5 \in / [0; 3]$ , функция растёт: $y (3) = 21$

сначала проверить, допустима ли вершина

Перепутаны $k$ и $b$

$300$ ₽ в месяц $+ 2$ ₽/мин: $y = 300 x + 2$

$y = 2 x + 300$

$b$ — значение при $x = 0$ , $k$ — за единицу

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. А: $200 + 3 x$ ₽, Б: $6 x$ ₽ ( $x$ — минуты). Когда выгоднее А?

$200 + 3 x = 6 x$ , $x = 66 \frac{2}{3}$

Ответ: А выгоднее при $x < 67$ мин.

Ошибка: при малых $x$ дешевле Б ( $6 x$ меньше $200$ )

$200 + 3 x < 6 x \Rightarrow x > 66 \frac{2}{3}$ : А — с $67$ мин

2. Забор $60$ м у стены (три стороны). Наибольшая площадь?

$S = x (60 - x)$ , $x_{0} = 30$

$S = 30 \cdot 30 = 900$ м $^{2}$

Ошибка: передняя сторона $60 - 2 x$ — боковых две

$S = x (60 - 2 x)$ , $x_{0} = 15$ , $S = 450$ м $^{2}$

2 мин · практика
Пары по минуте на задачу, затем исправления по клику.
1) Точку пересечения нашли верно, но не определили, с какой стороны А ниже: при x = 0 А стоит 200, Б — 0. Неравенство 200 + 3x < 6x ⇒ x > 200/3. Минуты целые: А выгоднее с 67 мин (при 66 мин: А 398, Б 396; при 67: А 401, Б 402 ✓).
2) Забор идёт на две боковые стороны x и одну переднюю: 2x + y = 60. S = x(60 − 2x), нули 0 и 30, x₀ = 15, участок 15 × 30 = 450 м². Признак ошибки: 900 м² — квадрат 30 × 30, а на него ушло бы 90 м забора.

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Модель → вычисление → ответ

Прямая через $(0; 4)$ и $(2; 10)$ . Формула? $y = 3 x + 4$
$36$ км со скоростью $v$ : время $t (v)$ ? $t (12)$ ? $t = \frac{36}{v}$ ; $3$ ч
$h (t) = 30 t - 5 t^{2}$ (м). Наибольшая высота? $45$ м

Тарифы $150 + 4 x$ и $7 x$ ₽. Когда стоимость равна? $x = 50$
$F = 1, 8 C + 32$ . Найдите $C$ при $F = 50$ . $10$
До $100$ кВт·ч — $5$ ₽, сверх — $8$ ₽. Плата за $160$ кВт·ч? $980$ ₽

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Составьте модель сами

повыш.Загон из $60$ м сетки делят перегородкой, параллельной одной стороне. Наибольшая площадь? $150$ м $^{2}$
повыш.При цене $200$ ₽ продают $300$ обедов; каждые $+ 5$ ₽ — на $5$ обедов меньше. Цена наибольшей выручки? $250$ ₽
повыш.Найдите общие точки графиков $y = \frac{6}{x}$ и $y = x - 1$ . $(3; 2), (- 2; - 3)$
повыш.Из A выехал автомобиль ( $60$ км/ч), через $1$ ч следом — второй ( $80$ км/ч). Через сколько часов второй догонит первого? $3$ ч ( $240$ км от A)
повыш.В бассейне $100$ м $^{3}$ ; вливается $25$ м $^{3}$ /ч, сливается $5$ м $^{3}$ /ч. Когда будет $500$ м $^{3}$ ? через $20$ ч

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

$y = {x + 3, x^{2} - 2 x - 1, x < - 1 x \geq - 1$

Постройте график. Вершина параболы? $(1; - 2)$
При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки? $- 2 < m < 2$
Ровно две общие точки? $m = - 2$ или $m = 2$

Стык:

x = - 1

, обе формулы дают

2

3 мин · практика
Построение: луч y = x + 3 при x < −1 (от (−5; −2) к выколотой (−1; 2) — но эту точку занимает парабола, на графике она закрашена); парабола y = x² − 2x − 1 при x ≥ −1: вершина (1; −2), проходит через (−1; 2), (3; 2), (0; −1). Масштаб чертежа точный (50 px на единицу).
Число общих точек с y = m: m < −2 — 1 (только луч); m = −2 — 2 (луч и вершина); −2 < m < 2 — 3 (луч и две точки параболы; пример m = 0: x = −3 и x = 1 ± √2); m = 2 — 2 (x = −1 и x = 3; луч в x = −1 не попадает); m > 2 — 1. Проверено в python.
Ответ к 2): −2 < m < 2. На ОГЭ задание 22 — 2 балла: нужен верный график и обоснованный ответ. Типичные потери: не учли, что точка (−1; 2) принадлежит параболе, и считают m = 2 «тремя точками».

R06.1 · ПР-16

Задача из жизни · подписка на самокат

Без подписки: $50$ ₽ старт $+ 7$ ₽/мин. С подпиской: $399$ ₽ в месяц, старт $0$ ₽, $4$ ₽/мин

практика $10$ поездок по $15$ мин без подписки? $1550$ ₽
практикаТо же с подпиской? $999$ ₽
повыш.С какого числа поездок по $15$ мин в месяц подписка выгоднее? с $5$ поездок

R06.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаТакси: $8$ км — $380$ ₽, $12$ км — $540$ ₽ (линейно). Формула? $y = 40 x + 60$
база $h (t) = 25 t - 5 t^{2}$ (м). Наибольшая высота? $31, 25$ м
базаТарифы $250 + 3 x$ и $8 x$ ₽. Когда выгоднее первый? $x > 50$
повыш.Забор $48$ м у стены (три стороны). Наибольшая площадь? $288$ м $^{2}$

Вариант 2

базаТакси: $5$ км — $290$ ₽, $9$ км — $450$ ₽ (линейно). Формула? $y = 40 x + 90$
база $h (t) = 15 t - 5 t^{2}$ (м). Наибольшая высота? $11, 25$ м
базаТарифы $400 + 2 x$ и $6 x$ ₽. Когда выгоднее первый? $x > 100$
повыш.Забор $64$ м у стены (три стороны). Наибольшая площадь? $512$ м $^{2}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

По какому признаку узнать линейную зависимость?
Что на графике значит «тариф выгоднее»?
Что проверить, прежде чем брать значение в вершине?

Домашнее задание

Тарифы $500 + 1, 5 x$ и $4 x$ ₽: когда выгоднее первый?
Билет $400$ ₽ — $600$ зрителей, каждые $+ 20$ ₽ — на $20$ меньше. Цена наибольшей выручки?
$y = x^{2}$ при $x \leq 1$ , $y = 2 - x$ при $x > 1$ : при каких $m$ ровно три общие точки с $y = m$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-123 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 21/34 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 (функции: построение, свойства; графики реальных процессов и явлений; моделирование формулами) → 2–20 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 8, 10, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 6, 7, 9, 11, 12, 14–20)
Результаты	ПР-17 (виды зависимостей, кусочно-заданная функция) → 4, 6, 12, 17 · ПР-16 (модель реальной ситуации, интерпретация) → 5–7, 11, 16, 18, 19 · ПР-15 (текстовые задачи) → 7, 14, 16 · ПР-18 (исследование по графику) → 8, 9 · ПР-22 (свойства квадратичной функции в задачах) → 10, 11, 13–16, 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	текстовые задачи на движение и работу — ALG9U-115; квадратичная функция и её график — предыдущие уроки R06; уравнения, неравенства, системы — следующие уроки R06
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:функции —модели процессов

Сегодня вы научитесь

Выбирать модель

Сравнивать тарифы

Читать графики процессов

Находить наибольшее

Формулы и графики за минуту

Пять зависимостей, которые встречаются в жизни

Четыре шага решения прикладной задачи

Величины

Формула

Область по смыслу

Ответ в контексте

Составьте формулу по двум значениям

Образец

Сам

Когда какой тариф выгоднее

Образец

Сам

Что читают на графике реального процесса

Велосипедист уехал от дома и вернулся

Сам

Наибольшее значение — в вершине, если она допустима

Площадь, высота, выручка

Образец

Сам

Тарифы со ступенями

Образец

Сам: до 150 кВт·ч — 6 ₽, сверх — 9 ₽ за кВт·ч

Три ошибки в задачах-моделях

Средняя скорость

Вершина вне отрезка

Перепутаны k и b

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. А: 200+3x ₽, Б: 6x ₽ (x — минуты). Когда выгоднее А?

2. Забор 60 м у стены (три стороны). Наибольшая площадь?

Модель → вычисление → ответ

Составьте модель сами

y={x+3,x2−2x−1,​x<−1x≥−1​

Без подписки: 50 ₽ старт + 7 ₽/мин. С подпиской: 399 ₽ в месяц, старт 0 ₽, 4 ₽/мин

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-123 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Повторение:
функции —
модели процессов

Сам: до $150$ кВт·ч — $6$ ₽, сверх — $9$ ₽ за кВт·ч

Перепутаны $k$ и $b$

1. А: $200 + 3 x$ ₽, Б: $6 x$ ₽ ( $x$ — минуты). Когда выгоднее А?

2. Забор $60$ м у стены (три стороны). Наибольшая площадь?

$y = {x + 3, x^{2} - 2 x - 1, x < - 1 x \geq - 1$

Без подписки: $50$ ₽ старт $+ 7$ ₽/мин. С подпиской: $399$ ₽ в месяц, старт $0$ ₽, $4$ ₽/мин