Повторение · урок 19 из 34 · обобщение

Повторение:
уравнения
и системы

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-121

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 19/34, единица R06.1 — блоки «Текстовые задачи (… алгебраическим способом)» и «Функции (… графическое решение уравнений и их систем)»; вид деятельности: «составлять уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств по условию задачи». Тип урока — О (обобщение). Прошлый урок ALG9U-120 — повторение по R06.1; следующий ALG9U-122 — продолжение повторения (неравенства и их системы — по плану учителя).
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (виды уравнений и методы) 3 · 7 (алгоритм для дробных) 2 · 9 (способы решения систем) 2 · 11 (графический метод) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 10, 12) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Выбирать метод

разложение на множители, замена переменной — для уравнений 3-й и 4-й степени (ПР-6, ПР-11)

Не терять и не брать лишних корней

ОДЗ в дробно-рациональных уравнениях, без деления на выражение с $x$ (ПР-6)

Решать системы

подстановкой, сложением, через сумму и произведение (ПР-9)

Считать решения по графикам

сколько общих точек — столько решений, в том числе с параметром (ПР-14)

1 мин · теория
ПР-6 (ФРП дословно): «Решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к ним, дробно-рациональные уравнения». ПР-11: «Применять методы равносильных преобразований, замены переменной, графического метода при решении уравнений 3-й и 4-й степеней».
ПР-9: «Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными и системы двух уравнений, в которых одно уравнение не является линейным». ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…». Опора на ОГЭ — линия 20 (ч. 2, 2 балла).

разминка · R06.1

Разминка · устно

Корни — за секунды

x^{2} = 49

корни

\pm 7

3 x - 7 = 2

корень

3

x (x - 5) = 0

корни

0; 5

x^{2} + 5 x + 6 = 0

по Виета

- 2; - 3

\frac{x}{x - 4} = 1

ОДЗ

x \neq = 4

x^{4} = 16

корни

\pm 2

(3; - 1)

решение

{x + y = 2 x - y = 4

?

да

x^{2} + 4 = 0

корни

нет

R06.1

Сводка · уравнения и методы

Посмотрите на уравнение — выберите метод

Вид	Метод	Пример
$a x + b = 0$ , $a x^{2} + b x + c = 0$	формула корней, Виета	$x^{2} - 7 x + 12 = 0$ : $3; 4$
есть общий множитель или группы	разложение: $A \cdot B = 0 \Leftrightarrow A = 0$ или $B = 0$	$x^{3} - 9 x = 0$ : $0; \pm 3$
повторяется выражение с $x$	замена $t = \dots$ , потом обратная	$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ : $t = x^{2}$
$A^{2} = B^{2}$	$A = B$ или $A = - B$	$x^{4} = (2 x - 3)^{2}$
переменная в знаменателе	ОДЗ → общий знаменатель → отбор	$\frac{x ^{2}}{x + 3} = \frac{9}{x + 3}$ : $3$

3 мин · теория
Главная идея всех строк — свести уравнение к линейным и квадратным. Равносильные преобразования: перенос слагаемых, умножение на число ≠ 0, разложение на множители. Неравносильные: деление на выражение с x (теряем корни), умножение на выражение с x (возможны посторонние корни) — поэтому ОДЗ и проверка.
Строка 2: x(x² − 9) = 0. Строка 3: t² − 5t + 4 = 0, t = 1 и 4, x = ±1, ±2 (решаем на сл. 6). Строка 4 — образец «сам» на сл. 5: x² = 2x − 3 (D < 0) или x² = −2x + 3: 1 и −3.
Строка 5: x² = 9, x = ±3, но x ≠ −3. Ответ 3. Вопрос классу: почему −3 нельзя? (знаменатель обращается в 0.)

R06.1 · ПР-11

Образец → сам · разложение на множители

Решите уравнение

Образец

$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

$x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3) = 0$ группировка

$(x - 3) (x^{2} - 4) = 0$ общий множитель

$(x - 3) (x - 2) (x + 2) = 0$ разность квадратов

$x = 3; x = \pm 2$ каждый множитель $= 0$

Сам

база $x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = 0$ $- 2; \pm 3$
база $x^{3} - 5 x^{2} = 4 x - 20$ $5; \pm 2$
повыш. $x^{4} = (2 x - 3)^{2}$ $- 3; 1$

R06.1 · ПР-11

Образец → сам · замена переменной

Найдите повторяющееся выражение

Образец

$(x^{2} - 2 x)^{2} - 2 (x^{2} - 2 x) - 3 = 0$

$t = x^{2} - 2 x$ : $t^{2} - 2 t - 3 = 0$ замена

$t = 3$ или $t = - 1$ Виета

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$ : $x = 3; - 1$ обратная замена

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$ : $x = 1$ $(x - 1)^{2} = 0$

Сам

база $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ $\pm 1; \pm 2$
база $(x^{2} + x)^{2} - 8 (x^{2} + x) + 12 = 0$ $- 3; - 2; 1; 2$
повыш. $(x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) = 24$ $0; 5$

R06.1 · ПР-6

Сводка · дробно-рациональные уравнения

Четыре шага — и ни одного лишнего корня

1ОДЗ: все знаменатели

\neq = 0

2умножить на общий знаменатель

3решить целое уравнение

4отбор: вычеркнуть корни вне ОДЗ

\frac{A}{B} = 0 \Leftrightarrow {A = 0 B \neq = 0

Знаменатели раскладываем:

x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)

R06.1 · ПР-6

Образец → сам · дробно-рациональное уравнение

Решите уравнение и отберите корни

Образец

$\frac{2 x}{x - 1} - \frac{3}{x + 1} = \frac{6}{x ^{2} - 1}$

$x \neq = \pm 1$ ОДЗ

$2 x (x + 1) - 3 (x - 1) = 6$ $\cdot (x^{2} - 1)$

$2 x^{2} - x - 3 = 0$ : $x = 1, 5; - 1$ $a - b + c = 0$

$x = 1, 5$ $- 1$ вне ОДЗ

Сам

база $\frac{x ^{2}}{x + 3} = \frac{9}{x + 3}$ $3$
база $\frac{x}{x - 2} - \frac{8}{x ^{2} - 4} = 1$ корней нет
повыш. $\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{10}{3}$ $\pm 2$

R06.1 · ПР-9

Сводка · способы решения систем

Решение системы — пара, верная в обоих уравнениях

Подстановка

выразить переменную из линейного уравнения

$x = y + 1$ → во второе

Сложение

сложить или вычесть уравнения, чтобы исчезла переменная

умножить на число, если нужно

Сумма и произведение

$x + y = s, x y = p$

$x, y$ — корни $t^{2} - s t + p = 0$

$x^{2} + y^{2} = s^{2} - 2 p$

Ответ — пары

(x; y)

. Нашли

x

— сразу найдите соответствующий

y

.

R06.1 · ПР-9

Образец → сам · система с нелинейным уравнением

Решите систему

Образец

${x - y = 1 x^{2} + y^{2} = 13$

$x = y + 1$ подстановка

$(y + 1)^{2} + y^{2} = 13$ ⇒ $y^{2} + y - 6 = 0$ $: 2$

$y = 2, x = 3$ ; $y = - 3, x = - 2$ Виета

$(3; 2), (- 2; - 3)$ ответ — пары

Сам

база ${x + y = 7 x y = 12$ $(3; 4), (4; 3)$
база ${x - 2 y = 1 x y = 3$ $(3; 1), (- 2; - 1, 5)$
повыш. ${x^{2} + y^{2} = 10 x y = 3$ $(1; 3), (3; 1), (- 1; - 3), (- 3; - 1)$

R06.1 · ПР-14

Сводка · графический метод

Решения системы — общие точки графиков

x^{2} + y^{2} = r^{2}

— окружность с центром

(0; 0)

, радиус

r

Число общих точек = число решений

Точные координаты — проверить подстановкой или найти алгебраически

2 мин · теория
Демонстрация учителя: система с титула. Окружность радиуса 5 и прямая y = x + 1 пересекаются в двух точках: (3; 4) и (−4; −3). Проверка подстановкой: 9 + 16 = 25, 4 = 3 + 1; 16 + 9 = 25, −3 = −4 + 1 ✓. Алгебраически: x² + (x + 1)² = 25 ⇒ x² + x − 12 = 0, x = 3 и −4.
График точный (координаты посчитаны кодом). Вопрос классу: при каком сдвиге прямой y = x + b будет одна общая точка? (касание — образец «сам» на сл. 12, задание 3.)
Графический метод отвечает на вопрос «сколько решений» (ПР-14); значения по клеткам — только как гипотеза.

R06.1 · ПР-14

Образец → сам · сколько решений

Сколько решений имеет система?

Образец: ${x^{2} + y^{2} = 16 y = x^{2} - 4$

$x^{2} = y + 4$ подстановка

$y^{2} + y - 12 = 0$ $y + 4 + y^{2} = 16$

$y = 3$ : $x = \pm 7$ две точки

$y = - 4$ : $x = 0$ касание

$3$ решения

Сам

база $y = x^{2}$ и $y = 2 x + 3$ $2$ решения
база $x^{2} + y^{2} = 4$ и $y = x + 3$ нет решений
повыш.При каких $b$ система $x^{2} + y^{2} = 25$ , $y = x + b$ имеет одно решение? $b = \pm 52$

3 мин · практика
Образец: y + 4 + y² = 16 ⇒ y² + y − 12 = 0, y = 3 и y = −4. Учесть x² = y + 4 ≥ 0 — оба подходят. Точки (±√7; 3) и (0; −4) — на рисунке; вершина параболы касается окружности снизу.
1) x² − 2x − 3 = 0: x = −1 и 3, точки (−1; 1), (3; 9) — 2 решения.
2) x² + (x + 3)² = 4 ⇒ 2x² + 6x + 5 = 0, D = 36 − 40 < 0 — нет решений (прямая проходит мимо окружности).
3) x² + (x + b)² = 25 ⇒ 2x² + 2bx + b² − 25 = 0, D/4 = b² − 2(b² − 25) = 50 − b² = 0 ⇒ b = ±5√2 (прямая касается окружности; расстояние от центра |b|/√2 = 5). Проверено в python.

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Деление на $x$

$x^{3} = 4 x$ ⇒ $x^{2} = 4$ , $x = \pm 2$

$x (x^{2} - 4) = 0$ : $0; \pm 2$

делить на выражение с $x$ нельзя — теряется корень

Забыли ОДЗ

$\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = 0$ ⇒ $x = \pm 3$

$x \neq = 3$ : ответ $- 3$

дробь равна $0$ , только если знаменатель $\neq = 0$

Ответ — значения $t$

$x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$ : $t = 4; - 1$

$x^{2} = 4$ : $\pm 2$
$x^{2} = - 1$ — нет корней

после замены — обратная замена

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Решите систему ${x y = 6 x + y = 5$

$t^{2} - 5 t + 6 = 0$ , $t = 2; 3$

Ответ: $x = 2, y = 3$

Ошибка: потеряна вторая пара

Ответ: $(2; 3), (3; 2)$

Задача 2. Решите уравнение

$(x^{2} + 2 x)^{2} - 2 (x^{2} + 2 x) - 3 = 0$

$t = x^{2} + 2 x$ : $t = 3$ или $t = - 1$

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$ : $x = 1; - 3$

$x^{2} + 2 x + 1 = 0$ : $D < 0$ , корней нет

Ошибка: $D = 4 - 4 = 0$ , корень $x = - 1$

Ответ: $- 3; - 1; 1$

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Уравнения и системы: выберите метод

$x^{3} - 16 x = 0$ $0; \pm 4$
$x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ $\pm 1; \pm 3$
$\frac{x - 5}{x + 1} = \frac{x}{x + 5}$ $- 25$

${x + y = 6 x y = 8$ $(2; 4), (4; 2)$
${y = x^{2} y = 3 x - 2$ $(1; 1), (2; 4)$
$\frac{x ^{2}}{x - 2} = \frac{4}{x - 2}$ $- 2$

R06.1 · ПР-11 · ПР-14

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Замена, группировка, касание

повыш. $(x^{2} + 3 x)^{2} - 14 (x^{2} + 3 x) + 40 = 0$ $- 5; - 4; 1; 2$
повыш. $x^{3} + 3 x^{2} - 4 = 0$ $- 2; 1$
повыш. ${x^{2} + y^{2} = 25 x + y = 7$ $(3; 4), (4; 3)$
повыш.При каких $k$ прямая $y = k x$ касается параболы $y = x^{2} + 1$ ? $k = \pm 2$
повыш.Сколько решений у системы $y = x^{2} - 2$ , $y = ∣ x ∣$ ? $2$

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Решите с полным оформлением

$x^{3} + 4 x^{2} = 9 x + 36$ $- 4; \pm 3$
$(x^{2} - 25)^{2} + (x^{2} + 3 x - 10)^{2} = 0$ $- 5$
${2 x^{2} + 3 y^{2} = 11 4 x^{2} + 6 y^{2} = 11 x$ $(2; 1), (2; - 1)$

1: группировка, не деление на

x + 4

2:

A^{2} + B^{2} = 0 \Leftrightarrow A = 0

и

B = 0

3: слева во втором — первое, умноженное на

2

R06.1 · ПР-16

Задача из жизни · участок под огород

Забор $100$ м, площадь участка $600 м^{2}$

практикаСоставьте систему и найдите стороны прямоугольника $20$ и $30$ м
практикаХватит ли того же забора на $700 м^{2}$ ? нет
повыш.Какую наибольшую площадь огородит этот забор? $625 м^{2}$

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18 = 0$ $2; \pm 3$
база $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ $\pm 2; \pm 3$
база ${x - y = 2 x y = 15$ $(5; 3), (- 3; - 5)$
повыш. $\frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 1} = \frac{6}{x ^{2} - 1}$ $1, 4$

Вариант 2

база $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12 = 0$ $- 3; \pm 2$
база $x^{4} - 17 x^{2} + 16 = 0$ $\pm 1; \pm 4$
база ${x + y = 1 x y = - 12$ $(4; - 3), (- 3; 4)$
повыш. $\frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x - 2} = \frac{12}{x ^{2} - 4}$ $4$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему нельзя делить обе части на $x - 3$ ?
Когда в дробном уравнении появляется лишний корень?
Как по графикам узнать число решений системы?

Домашнее задание

$(x^{2} - 4 x)^{2} + 9 (x^{2} - 4 x) + 20 = 0$
${x^{2} + y^{2} = 20 x y = 8$
При каком $b$ прямая $y = x + b$ касается параболы $y = x^{2}$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_sistemy.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-121 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 19/34 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 (текстовые задачи алгебраическим способом; функции — графическое решение уравнений и их систем) → 2–20 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 9, 11, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 6, 8, 10, 12, 14–20)
Результаты	ПР-6 (уравнения, сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные) → 4, 7, 8, 13–15, 17, 19 · ПР-11 (замена переменной, уравнения 3-й и 4-й степени) → 5, 6, 16, 17 · ПР-9 (системы с нелинейным уравнением) → 9, 10, 14, 15, 17, 19 · ПР-14 (графическое исследование систем) → 11, 12, 16 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	неравенства и системы неравенств, метод интервалов — следующие уроки R06; текстовые задачи — ALG9U-114, 115; функции и графики — ALG9U-116, 117
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:уравненияи системы

Сегодня вы повторите и научитесь

Выбирать метод

Не терять и не брать лишних корней

Решать системы

Считать решения по графикам

Корни — за секунды

Посмотрите на уравнение — выберите метод

Решите уравнение

Образец

Сам

Найдите повторяющееся выражение

Образец

Сам

Четыре шага — и ни одного лишнего корня

Решите уравнение и отберите корни

Образец

Сам

Решение системы — пара, верная в обоих уравнениях

Подстановка

Сложение

Сумма и произведение

Решите систему

Образец

Сам

Решения системы — общие точки графиков

Сколько решений имеет система?

Образец: {x2+y2=16y=x2−4​

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Деление на x

Забыли ОДЗ

Ответ — значения t

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Решите систему {xy=6x+y=5​

Задача 2. Решите уравнение

Уравнения и системы: выберите метод

Замена, группировка, касание

Решите с полным оформлением

Забор 100 м, площадь участка 600 м2

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-121 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Повторение:
уравнения
и системы

Образец: ${x^{2} + y^{2} = 16 y = x^{2} - 4$

Деление на $x$

Ответ — значения $t$

Задача 1. Решите систему ${x y = 6 x + y = 5$

Забор $100$ м, площадь участка $600 м^{2}$