Повторение · урок 18 из 34 · обобщение

Повторение:
квадратичная
функция

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-120

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 18/34, единица R06.1 — блок «Функции (построение, свойства изученных функций; графическое решение уравнений и их систем)» и «с помощью графиков реальные процессы и явления». Тип урока — О (обобщение). Прошлый урок ALG9U-119 — повторение по R06.1; следующий ALG9U-121 — продолжение повторения.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (вершина и свойства) 3 · 6 (коэффициенты и график) 2 · 9 (значения на отрезке) 2 · 12 (прямая $y = m$ и график) 2 · 14 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 8, 10, 11, 13) 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 + 2 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ линия 11 (сл. 18) 2 · ОГЭ линия 22 (сл. 19) 3 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 и задание 3 сл. 11 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Читать параболу

вершина, ось, нули, промежутки, множество значений (ПР-18, ПР-21)

Связывать график и формулу

знаки $a, b, c$ по графику, формула по вершине и точке (ПР-20)

Находить экстремум

наибольшее и наименьшее значения на отрезке, задачи-модели (ПР-22, ПР-16)

Решать задачи линии 22

модуль, кусочная функция, сколько общих точек с прямой $y = m$ (ПР-14, ПР-17)

1 мин · теория
ПР-18 (ФРП дословно): «Исследовать функцию по ее графику, устанавливать свойства функций…». ПР-20: «Определять положение графика квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов». ПР-21: «Строить график квадратичной функции, описывать свойства квадратичной функции по ее графику». ПР-22: «Использовать свойства квадратичной функции для решения задач».
ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…» — это задачи «сколько общих точек». ПР-16 — модели реальных ситуаций (сл. 11). ПР-17 — кусочно-заданная функция.
Вид деятельности ФРП по строке R06: «Анализировать, сравнивать, обсуждать свойства функций, строить их графики… Использовать графики для определения свойств, процессов и зависимостей».

разминка · R06.1

Разминка · устно

Парабола за 10 секунд

y = (x - 3)^{2} + 2

вершина

(3; 2)

y = x^{2} - 6 x

абсцисса вершины

3

y = - 2 x^{2} + 8 x - 1

куда ветви?

вниз

y = x^{2} + 5

множество значений

[5; + \infty)

y = x^{2} - 4

нули функции

\pm 2

y = 2 (x + 1)^{2} - 3

наименьшее значение

- 3

y = x^{2} + x + 1

пересекает

O x

?

нет

(1; 2)

и

y = 3 x^{2} - 1

лежит на графике?

да

R06.1

Сводка · квадратичная функция

Всё начинается с вершины

y = a x^{2} + b x + c, a \neq = 0

x_{0} = - \frac{b}{2 a}, y_{0} = y (x_{0})

y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}

a > 0

: ветви вверх,

y_{0}

— наименьшее,

E (y) = [y_{0}; + \infty)

a < 0

: ветви вниз,

y_{0}

— наибольшее,

E (y) = (- \infty; y_{0}]

R06.1

Образец → сам · вершина и свойства

Найдите вершину и множество значений

Образец

$y = 2 x^{2} - 8 x + 5$

$x_{0} = \frac{8}{4} = 2$ $- \frac{b}{2 a}$

$y_{0} = 8 - 16 + 5 = - 3$ подставили $x_{0}$

$a = 2 > 0$ : $E (y) = [- 3; + \infty)$ ветви вверх

возрастает на $[2; + \infty)$ правее вершины

Сам

база $y = - x^{2} + 6 x - 5$ : вершина, $E (y)$ $(3; 4)$ , $(- \infty; 4]$
база $y = x^{2} + 4 x + 7$ : наименьшее значение $3$ при $x = - 2$
повыш.При каком $c$ наименьшее значение $y = 3 x^{2} - 12 x + c$ равно $1$ ? $c = 13$

R06.1

Сводка · коэффициенты и график

Что говорит каждый коэффициент

Коэффициент	Смотрим на графике
знак $a$	ветви вверх: $a > 0$ ; вниз: $a < 0$
знак $c$	точка пересечения с $O y$ : $(0; c)$
знак $b$	$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ : вершина правее $O y$ — $a$ и $b$ разных знаков, левее — одного
знак $D$	число общих точек с $O x$ : $2, 1, 0$

R06.1 · линия 11

Образец → сам · знаки коэффициентов

Определите знаки $a$ , $b$ , $c$ по графику

Образец

ветви вниз ⇒ $a < 0$

пересекает $O y$ выше нуля ⇒ $c > 0$

вершина левее $O y$ ⇒ $ab > 0$ : $b < 0$

1)

a < 0, b > 0, c < 0

2)

a > 0, b > 0, c < 0

3)

a < 0, b < 0, c = 0

R06.1

Образец → сам · формула по графику

Задайте параболу формулой

Образец

Вершина $(1; - 4)$ , проходит через $(3; 0)$

$y = a (x - 1)^{2} - 4$ вид с вершиной

$0 = a \cdot 4 - 4, a = 1$ подставили $(3; 0)$

$y = x^{2} - 2 x - 3$ раскрыли скобки

$x = - 1$ : $1 + 2 - 3 = 0$ проверка: второй нуль

Сам

базаВершина $(- 2; 3)$ , проходит через $(0; - 1)$ $y = - x^{2} - 4 x - 1$
базаПроходит через $(0; 3)$ , $(1; 0)$ , $(3; 0)$ $y = x^{2} - 4 x + 3$
повыш. $y = x^{2} + b x + c$ , вершина $(3; - 2)$ . Найдите $b$ и $c$ . $b = - 6, c = 7$

R06.1

Сводка · значения на отрезке

Наибольшее и наименьшее на $[p; q]$

1. Найти $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$

2. $x_{0} \in [p; q]$ — в вершине одно из значений ( $y_{0}$ ), второе — в дальнем конце

3. $x_{0} \in / [p; q]$ — функция монотонна: значения в концах $y (p)$ и $y (q)$

Сомневаетесь — посчитайте

y (p)

,

y (q)

,

y (x_{0})

и сравните

R06.1

Образец → сам · значения на отрезке

Найдите наибольшее и наименьшее значения

Образец

$y = x^{2} - 4 x + 1$ на $[0; 3]$

$x_{0} = 2 \in [0; 3]$ вершина внутри

$y (2) = - 3$ — наименьшее $a > 0$

$y (0) = 1, y (3) = - 2$ концы

наибольшее $1$ при $x = 0$

Сам

база $y = x^{2} - 4 x + 1$ на $[3; 5]$ наим. $- 2$ , наиб. $6$
база $y = - x^{2} + 2 x + 3$ на $[- 2; 0]$ наим. $- 5$ , наиб. $3$
повыш.Множество значений $y = x^{2} - 6 x + 5$ при $x \in [1; 4]$ $[- 4; 0]$

R06.1 · реальные процессы

Образец → сам · задача из жизни

Где выгоднее всего — в вершине

Образец

Сеткой $40$ м огородить у стены прямоугольник наибольшей площади

$S (x) = x (40 - 2 x)$ $x$ — сторона ⟂ стене

нули $0$ и $20$ , $x_{0} = 10$ середина

$S (10) = 10 \cdot 20 = 200$ м² $a < 0$ — наибольшее

Сам

практикаМяч: $h (t) = 20 t - 5 t^{2}$ (м). Наибольшая высота? $20$ м при $t = 2$ с
базаСумма двух чисел $12$ . Наибольшее произведение? $36$ ( $6 \cdot 6$ )
повыш.Билет $200$ р. — $300$ зрителей; каждые $+ 10$ р. — на $10$ зрителей меньше. Цена с наибольшей выручкой? $250$ р. (выручка $62500$ р.)

R06.1 · линия 22

Сводка · горизонтальная прямая и график

$y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ : сколько общих точек с $y = m$ ?

1. Раскрыть модуль: при $x \geq 0$ — $x^{2} - 4 x + 3$ , при $x < 0$ — $x^{2} + 4 x + 3$

2. Построить по частям (график симметричен относительно $O y$ )

3. Двигать $y = m$ снизу вверх, отмечая особые положения: вершины, стыки

R06.1 · линия 22

Образец → сам · график с модулем

При каких $m$ прямая $y = m$ и график имеют ровно … общих точек?

Образец: $y = ∣ x^{2} - 2 x - 3∣$ , ровно $3$

$y = x^{2} - 2 x - 3$ : нули $- 1; 3$ , вершина $(1; - 4)$

часть ниже $O x$ отражаем: вершина $\to (1; 4)$

$0 < m < 4$ — $4$ точки, $m = 0$ или $m > 4$ — $2$ точки

ровно $3$ : через вершину, $m = 4$

Сам: $y = x^{2} - 6∣ x ∣ + 5$

базаровно $3$ общие точки $m = 5$
повыш.ровно $2$ общие точки $m = - 4$ или $m > 5$
повыш.При каких $k$ прямая $y = k x$ имеет с параболой $y = x^{2} + 4$ одну общую точку? $k = \pm 4$

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Потеряли минус в $x_{0}$

$y = x^{2} + 6 x$ : $x_{0} = 3$

$x_{0} = - \frac{6}{2} = - 3$

формула $- \frac{b}{2 a}$ ; проверка — середина нулей $0$ и $- 6$

Вершина вне отрезка

$y = x^{2} - 4 x + 1$ на $[3; 5]$ : наим. $- 3$

наим. $y (3) = - 2$

$x_{0} = 2 \in / [3; 5]$ — смотрим концы

Перепутали $E (y)$

$y = - (x - 1)^{2} + 4$ : $E (y) = [4; + \infty)$

$E (y) = (- \infty; 4]$

$a < 0$ — ветви вниз, $4$ — наибольшее

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Наибольшее значение $y = x^{2} - 4 x + 1$ на $[- 1; 3]$

$x_{0} = 2 \in [- 1; 3]$

$y (2) = 4 - 8 + 1 = - 3$

Ответ: наибольшее $- 3$

Ошибка: $a > 0$ — в вершине наименьшее

$y (- 1) = 6, y (3) = - 2$ : наибольшее $6$

2. Вершина параболы $y = - 2 x^{2} + 8 x - 3$

$x_{0} = \frac{b}{2 a} = \frac{8}{- 4} = - 2$

$y_{0} = - 8 - 16 - 3 = - 27$

Ответ: $(- 2; - 27)$

Ошибка: нет минуса, $x_{0} = - \frac{8}{- 4} = 2$

$y_{0} = - 8 + 16 - 3 = 5$ : вершина $(2; 5)$

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Свойства квадратичной функции

Вершина $y = x^{2} - 10 x + 21$ $(5; - 4)$
Нули $y = 2 x^{2} - 5 x + 2$ $0, 5; 2$
$E (y)$ для $y = - x^{2} + 4 x$ $(- \infty; 4]$

Возрастает ли $y = x^{2} + 6 x + 1$ на $[- 3; + \infty)$ ? да
Наименьшее значение $y = 3 x^{2} - 6 x + 7$ $4$
Общие точки $y = x^{2} - 3 x$ и $y = x + 5$ $(- 1; 4), (5; 10)$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Коэффициенты, отрезок, касание

повыш.При каком $c$ наименьшее значение $y = x^{2} - 8 x + c$ равно $5$ ? $21$
повыш.Вершина параболы $y = a x^{2} + b x + 4$ — точка $(2; - 4)$ . Найдите $a$ и $b$ . $a = 2, b = - 8$
повыш.При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с параболой $y = - x^{2} + 6 x - 5$ ровно одну общую точку? $m = 4$
повыш.Наибольшее значение $y = - x^{2} + 2 x + 8$ на $[2; 4]$ $8$
повыш.При каких $k$ прямая $y = k x - 1$ касается параболы $y = x^{2}$ ? $k = \pm 2$

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 11

Установите соответствие: график — знаки коэффициентов $y = a x^{2} + b x + c$

1)

a > 0, b > 0

2)

a > 0, b < 0

3)

a < 0, b > 0

А — 3, Б — 1, В — 2: ответ $312$

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте график. При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с ним ровно две общие точки?

y = {x^{2} - 4 x + 3, x \geq 1, x - 1, x < 1

парабола: вершина $(2; - 1)$ , нули $1; 3$

$m = 0$ : точки $(1; 0)$ и $(3; 0)$ ; $m = - 1$ : $(0; - 1)$ и $(2; - 1)$

$- 1 < m < 0$ — три точки, иначе — одна

Ответ: $m = - 1$ или $m = 0$

3 мин · практика
1,5 мин — построить график в тетради, затем разбор по клику (график, особые положения, полоса).
Стык: при $x = 1$ обе формулы дают $0$ — график непрерывен. Прямая $y = x - 1$ при $x < 1$ принимает все значения меньше $0$ ; парабола при $x \geq 1$ — значения от $- 1$ .
Подсчёт (проверено в python): $m > 0$ — $1$ точка; $m = 0$ — $2$ ; $- 1 < m < 0$ — $3$ ; $m = - 1$ — $2$ ; $m < - 1$ — $1$ .
Критерии ОГЭ (2 балла): график построен верно, верно найдены искомые значения. Нужна запись: координаты вершины, нули, точка стыка.

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаВершина $y = x^{2} - 8 x + 12$ $(4; - 4)$
базаНули $y = - x^{2} + 2 x + 8$ $- 2; 4$
базаНаименьшее значение $y = x^{2} - 2 x - 3$ на $[2; 4]$ $- 3$
повыш.При каких $m$ прямая $y = m$ и график $y = x^{2} - 2∣ x ∣ - 3$ имеют ровно три общие точки? $m = - 3$

Вариант 2

базаВершина $y = x^{2} + 6 x + 5$ $(- 3; - 4)$
базаНули $y = - x^{2} - 2 x + 3$ $- 3; 1$
базаНаибольшее значение $y = - x^{2} + 4 x$ на $[3; 5]$ $3$
повыш.При каких $m$ прямая $y = m$ и график $y = - x^{2} + 2∣ x ∣ + 3$ имеют ровно три общие точки? $m = 3$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по графику узнать знак $b$ ?
Когда наибольшее значение на отрезке — не в вершине?
Какие положения прямой $y = m$ особые?

Домашнее задание

Множество значений $y = 2 x^{2} - 4 x - 1$ при $x \in [- 1; 2]$
Парабола с вершиной $(- 1; 2)$ проходит через $(1; - 6)$ . Задайте её формулой.
Линия 22: $y = ∣ x^{2} - 4 x ∣$ , ровно $3$ общие точки с $y = m$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-120 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 18/34 · тип О · тема урока: квадратичная функция
Единицы → слайды	R06.1 (блок «Функции: построение, свойства изученных функций; графическое решение уравнений; реальные процессы») → 2–21 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 9, 12, 14) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 15–21)
Результаты	ПР-18, ПР-21 (свойства по графику) → 3–5, 16, 20 · ПР-20 (положение графика и коэффициенты) → 6–8, 18 · ПР-22 (свойства для задач) → 9–11, 17 · ПР-16 (модели) → 11 · ПР-14, ПР-17 (общие точки, кусочная функция) → 12, 13, 19, 20 · кодификатора у курса нет
Вне урока	преобразования графика $y = a f (k x + b) + c$ (ПР-23) и квадратичные неравенства — другие уроки повторения
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:квадратичнаяфункция

Сегодня вы повторите и научитесь

Читать параболу

Связывать график и формулу

Находить экстремум

Решать задачи линии 22

Парабола за 10 секунд

Всё начинается с вершины

Найдите вершину и множество значений

Образец

Сам

Что говорит каждый коэффициент

Определите знаки a, b, c по графику

Образец

Задайте параболу формулой

Образец

Сам

Наибольшее и наименьшее на [p; q]

Найдите наибольшее и наименьшее значения

Образец

Сам

Где выгоднее всего — в вершине

Образец

Сам

y=x2−4∣x∣+3: сколько общих точек с y=m?

При каких m прямая y=m и график имеют ровно … общих точек?

Образец: y=∣x2−2x−3∣, ровно 3

Сам: y=x2−6∣x∣+5

Три ошибки, которые стоят баллов

Потеряли минус в x0​

Вершина вне отрезка

Перепутали E(y)

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Наибольшее значение y=x2−4x+1 на [−1; 3]

2. Вершина параболы y=−2x2+8x−3

Свойства квадратичной функции

Коэффициенты, отрезок, касание

Установите соответствие: график — знаки коэффициентов y=ax2+bx+c

Постройте график. При каких m прямая y=m имеет с ним ровно две общие точки?

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-120 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Повторение:
квадратичная
функция

Определите знаки $a$ , $b$ , $c$ по графику

Наибольшее и наименьшее на $[p; q]$

$y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ : сколько общих точек с $y = m$ ?

При каких $m$ прямая $y = m$ и график имеют ровно … общих точек?

Образец: $y = ∣ x^{2} - 2 x - 3∣$ , ровно $3$

Сам: $y = x^{2} - 6∣ x ∣ + 5$

Потеряли минус в $x_{0}$

Перепутали $E (y)$

1. Наибольшее значение $y = x^{2} - 4 x + 1$ на $[- 1; 3]$

2. Вершина параболы $y = - 2 x^{2} + 8 x - 3$

Установите соответствие: график — знаки коэффициентов $y = a x^{2} + b x + c$

Постройте график. При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с ним ровно две общие точки?