Повторение · урок 17 из 34 · обобщение

Повторение:
квадратичная функция
и её свойства

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-119

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 17/34, единица R06.1 — блок «Функции (построение, свойства изученных функций; графическое решение уравнений и их систем)» и «с помощью графиков реальные процессы и явления». Тип урока — О (обобщение). Прошлый урок ALG9U-118 — продолжение повторения; следующий ALG9U-120 — продолжение повторения. Графики и графический метод в целом повторялись на ALG9U-110; сегодня — квадратичная функция подробно.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: свойства) 3 · 6 (коэффициенты и график) 2 · 8 (наибольшее и наименьшее на отрезке) 1,5 · 11 (касание прямой и параболы) 1,5 · 14 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 12, 13) 3 + 2 + 3 + 2,5 + 2,5 + 3 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 1,5 · ОГЭ (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 1,5 · самостоятельная (сл. 20) 5 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 и вопрос 4 сл. 19 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Описывать свойства

вершина, нули, монотонность, множество значений квадратичной функции (ПР-18, ПР-21)

Читать коэффициенты

знаки $a$ , $b$ , $c$ и $D$ по положению параболы (ПР-20)

Находить экстремумы

наибольшее и наименьшее значения, в том числе на отрезке и с параметром (ПР-22)

Решать задачу 22 ОГЭ

касание, кусочные функции, задачи на оптимум из жизни (ПР-14, ПР-19)

1 мин · теория
ПР-18 (ФРП дословно): «Исследовать функцию по ее графику, устанавливать свойства функций: область определения, множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, четность и нечетность, наибольшее и наименьшее значения, асимптоты».
ПР-20: «Определять положение графика квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов». ПР-21: «Строить график квадратичной функции, описывать свойства квадратичной функции по ее графику». ПР-22: «Использовать свойства квадратичной функции для решения задач».
ПР-14: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…». ПР-19: «Распознавать квадратичную функцию по формуле, приводить примеры квадратичных функций из реальной жизни, физики, геометрии».
Вид деятельности ФРП по строке: «Оперировать понятиями: функция, график функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания, промежутки убывания, наибольшее и наименьшее значения функции… квадратичная функция, парабола».

разминка · R06.1

Разминка · устно

Парабола за минуту

y = x^{2} - 6 x + 5

x_{0}

вершины

3

y = (x + 2)^{2} - 7

вершина

(- 2; - 7)

y = - x^{2} + 9

наибольшее значение

9

y = x^{2} - 9

нули функции

\pm 3

y = 2 x^{2} - 3 x + 5

пересечение с

O y

(0; 5)

y = - (x - 1)^{2}

куда ветви?

вниз

y = x^{2} + 4 x

y (- 2)

- 4

y = x^{2} + 2 x + 5

есть ли нули?

нет

R06.1 · ПР-18, ПР-21

Сводка · свойства квадратичной функции

Всё начинается с вершины

x_{0} = - \frac{b}{2 a}, y_{0} = y (x_{0})

$a > 0$ : убывает на $(- \infty; x_{0}]$ , возрастает на $[x_{0}; + \infty)$ ; наименьшее значение $y_{0}$ ; $E (y) = [y_{0}; + \infty)$

$a < 0$ : всё наоборот — $y_{0}$ наибольшее; $E (y) = (- \infty; y_{0}]$

Нули — корни

a x^{2} + b x + c = 0

; ось симметрии — прямая

x = x_{0}

R06.1 · ПР-21

Образец → сам · вершина и свойства

Опишите свойства функции по формуле

Образец

$y = x^{2} - 6 x + 5$

$x_{0} = \frac{6}{2} = 3, y_{0} = 9 - 18 + 5 = - 4$ вершина

$a = 1 > 0$ : $E (y) = [- 4; + \infty)$ $y_{0}$ — наименьшее

убывает на $(- \infty; 3]$ , возрастает на $[3; + \infty)$

нули $1; 5$ , $y < 0$ при $1 < x < 5$ Виета

Сам

база $y = - x^{2} + 4 x + 5$ : наибольшее значение $9$ при $x = 2$
база $y = 2 x^{2} + 8 x + 3$ : множество значений $[- 5; + \infty)$
повыш. $y = - 3 x^{2} + 6 x - 1$ : промежуток возрастания $(- \infty; 1]$

R06.1 · ПР-20

Сводка · коэффициенты и положение параболы

Что говорит каждый коэффициент

Число	Что показывает на графике	Как читать
$a$	направление ветвей	$a > 0$ — вверх, $a < 0$ — вниз
$c$	точка пересечения с $O y$ : $(0; c)$	выше $O x$ — $c > 0$ , ниже — $c < 0$
$b$	сдвиг вершины: $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$	$x_{0}$ и $a$ одного знака $\Rightarrow b < 0$ ; разных $\Rightarrow b > 0$
$D$	число общих точек с $O x$	$D > 0$ — две, $D = 0$ — касание, $D < 0$ — нет

Пример:

y = x^{2} - 4 x + 7

— ветви вверх,

(0; 7)

,

x_{0} = 2

,

D < 0

: парабола целиком выше

O x

R06.1 · ПР-20

Образец → сам · знаки коэффициентов

Определите знаки $a$ , $b$ , $c$ по графику

Образец

ветви вниз: $a < 0$

$(0; c)$ выше $O x$ : $c > 0$

$x_{0} > 0$ , $a < 0$ — разных знаков: $b > 0$

две точки с $O x$ : $D > 0$

1.

a > 0, b > 0, c > 0

2.

a > 0, b < 0, c < 0

3. повыш.

a < 0, b < 0, c < 0

R06.1 · ПР-22

Сводка · наибольшее и наименьшее на отрезке

Вершина на отрезке или вне его?

$x_{0} = 2 \in [0; 5]$ : наименьшее — в вершине,
наибольшее — на дальнем конце

$x_{0} = 2 \in / [3; 5]$ : функция монотонна,
оба значения — на концах отрезка

R06.1 · ПР-22

Образец → сам · значения на отрезке

Найдите наибольшее и наименьшее значения

Образец

$y = x^{2} - 4 x + 1$ на $[0; 5]$

$x_{0} = 2 \in [0; 5]$ вершина на отрезке

$y (2) = - 3, y (0) = 1, y (5) = 6$

наименьшее $- 3$ , наибольшее $6$ сравнили

Сам

база $y = x^{2} + 2 x - 3$ на $[1; 3]$ наим. $0$ , наиб. $12$
база $y = - x^{2} + 6 x$ на $[0; 4]$ наиб. $9$ , наим. $0$
повыш. $y = 2 x^{2} - 8 x + 3$ на $[- 1; 3]$ наим. $- 5$ , наиб. $13$

R06.1 · ПР-22

Образец → сам · параметр в формуле

Найдите значение параметра

Образец

При каком $c$ наименьшее значение функции $y = x^{2} - 6 x + c$ равно $2$ ?

$x_{0} = 3$ от $c$ не зависит

$y_{0} = 9 - 18 + c = c - 9$ $a > 0$ — наименьшее

$c - 9 = 2, c = 11$ проверка: $(x - 3)^{2} + 2$

Сам

базаПри каком $b$ ось симметрии параболы $y = x^{2} + b x + 4$ — прямая $x = 3$ ? $b = - 6$
базаПри каких $a$ график $y = x^{2} - 4 x + a$ не имеет общих точек с $O x$ ? $a > 4$
повыш.При каких $p$ вершина параболы $y = x^{2} - 2 p x + p + 6$ лежит ниже оси $O x$ ? $p < - 2$ или $p > 3$

R06.1 · ПР-14

Сводка · прямая и парабола

Одна общая точка — дискриминант равен нулю

x^{2} + 4 = k x ⟺ x^{2} - k x + 4 = 0

$D = k^{2} - 16$ : $D > 0$ — две точки, $D = 0$ — одна (касание), $D < 0$ — нет

$k^{2} = 16$ : $k = 4$ и $k = - 4$ ; точки касания $(2; 8)$ и $(- 2; 8)$

R06.1 · ПР-14

Образец → сам · касание

Ровно одна общая точка прямой и параболы

Образец

При каких $k$ прямая $y = k x$ имеет с параболой $y = x^{2} + 1$ одну общую точку?

$x^{2} - k x + 1 = 0$ приравняли

$D = k^{2} - 4 = 0$ один корень

$k = \pm 2$ ; точки $(1; 2)$ , $(- 1; 2)$ $x = \frac{k}{2}$

Сам: одна общая точка

база $y = k x$ и $y = x^{2} + 9$ $k = \pm 6$
база $y = x + c$ и $y = x^{2} - 3 x + 4$ ; найдите $c$ $c = 0$ , точка $(2; 2)$
повыш. $y = k x + 1$ и $y = - x^{2} + 2 x$ $k = 0$ или $k = 4$

R06.1 · ПР-14, ПР-17

Образец → сам · кусочная функция

Сколько общих точек у прямой $y = m$ с графиком?

Образец: три общие точки

$y = {x^{2} - 2 x - 3, x - 3, x \geq 0, x < 0$

парабола: вершина $(1; - 4)$

$y (0) = - 3$ ; на луче все $y < - 3$

$m < - 3$ : одна точка на луче

$- 4 < m \leq - 3$ : две на параболе

Ответ: $- 4 < m < - 3$

Сам: тот же график

базаровно две общие точки $m = - 4$ или $m = - 3$
базаровно одна $m < - 4$ или $m > - 3$
повыш.прямая $y = k x$ через вершину: $k$ и число общих точек $k = - 4$ ; одна

3 мин · практика
Образец. Точка (0; −3) принадлежит параболе (x ≥ 0), луч y = x − 3 при x < 0 её не содержит. Для −4 < m < −3: одна точка на луче (x = m + 3 < 0) и две на параболе (x = 1 ± √(m + 4), обе ≥ 0, так как √(m + 4) < 1) — три. На рисунке m = −3,5.
1) m = −4: луч (x = −1) и вершина (1; −4) — две; m = −3: на луче нет (x = 0 не входит), на параболе x = 0 и x = 2 — две.
2) m < −4: только луч; m > −3: только правая ветвь параболы (x > 2).
3) y = kx через (1; −4): k = −4. Луч: x − 3 = −4x, x = 0,6 — не меньше 0, точки нет; парабола: x² + 2x − 3 = 0, x = 1 или x = −3 (не входит, x ≥ 0). Итого одна точка — вершина. Проверено в python.

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Потерян минус

$y = x^{2} + 6 x$ : $x_{0} = \frac{6}{2} = 3$

$x_{0} = - \frac{6}{2} = - 3, y_{0} = - 9$

формула: $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$

Вершина вне отрезка

$y = x^{2} - 6 x + 5$ на $[0; 2]$ : наименьшее $y (3) = - 4$

$3 \in / [0; 2]$ : наименьшее $y (2) = - 3$

на отрезке функция убывает

Ветви вниз

$y = - x^{2} + 4 x + 1$ : $E (y) = [5; + \infty)$

$E (y) = (- \infty; 5]$

при $a < 0$ значение $y_{0}$ наибольшее

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Наименьшее значение $y = 2 x^{2} - 12 x + 7$

$x_{0} = - \frac{- 12}{2} = 6$

$y (6) = 72 - 72 + 7 = 7$ . Ответ: $7$

Ошибка: делить на $2 a = 4$ , $x_{0} = 3$

$y (3) = 18 - 36 + 7 = - 11$

Задача 2. При каких $k$ прямая $y = k x$ касается параболы $y = x^{2} + 4$ ?

$x^{2} - k x + 4 = 0, D = k^{2} - 16 = 0$

Ответ: $k = 4$

Ошибка: у $k^{2} = 16$ два корня

$k = \pm 4$ , точки $(2; 8)$ и $(- 2; 8)$

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Свойства по формуле

Вершина $y = x^{2} + 2 x - 8$ $(- 1; - 9)$
Нули $y = x^{2} + 2 x - 8$ $- 4; 2$
Наибольшее $y = - x^{2} + 6 x - 4$ $5$

$E (y)$ для $y = 2 x^{2} - 4 x + 7$ $[5; + \infty)$
Возрастание $y = x^{2} - 10 x$ $[5; + \infty)$
Где $x^{2} - 5 x + 4 < 0$ ? $(1; 4)$

R06.1 · ПР-22

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Отрезок, параметр, касание

повыш.Наименьшее значение $y = x^{2} - 2 x - 3$ на $[2; 5]$ $- 3$
повыш.При каком $c$ наибольшее значение $y = - x^{2} + 4 x + c$ равно $10$ ? $c = 6$
повыш.Вершина параболы $y = a x^{2} + b x + 1$ — точка $(2; - 3)$ . Найдите $a$ и $b$ . $a = 1, b = - 4$
повыш.При каких $k$ прямая $y = k x - 1$ касается параболы $y = x^{2}$ ? $k = \pm 2$

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки?

$y = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + 4 x + 5, - \frac{6}{x}, x \geq - 3, x < - 3$

парабола: вершина $(- 2; 1)$ , $y (- 3) = 2$

гипербола при $x < - 3$ : $0 < y < 2$ , точка $(- 3; 2)$ не входит

$m = 1$ : вершина и точка гиперболы — две

$1 < m < 2$ — три; $m = 2$ — две (только парабола)

Ответ: $m = 1; m = 2$

2 мин · практика
Полное решение (2 балла). Парабола y = (x + 2)² + 1 на x ≥ −3: от точки (−3; 2) вниз до вершины (−2; 1), затем вверх. Гипербола y = −6/x на x < −3: положительна, возрастает, стремится к 2 при x → −3, но значения 2 не достигает (−6/x = 2 при x = −3, не входит).
Прямая y = m: m ≤ 0 — общих точек нет; 0 < m < 1 — одна (гипербола); m = 1 — две (x = −6 и вершина x = −2); 1 < m < 2 — три (гипербола x = −6/m < −3 и парабола x = −2 ± √(m − 1), оба ≥ −3); m = 2 — две (парабола x = −3 и x = −1); m > 2 — одна. Проверено в python.
Дополнительный вопрос: ровно одна общая точка — 0 < m < 1 или m > 2.
Критерии ОГЭ: график построен верно и ответ верный — 2 балла; график верный, но ответ неполный (например, потеряно m = 2) — 0 баллов. Чаще всего теряют m = 2: кажется, что гипербола тоже даёт точку на этой высоте.

R06.1 · ПР-19, ПР-22

Задача из жизни · огород у стены

$40$ м сетки на три стороны прямоугольника, четвёртая — стена

практикаПлощадь $S$ через ширину $x$ $S = x (40 - 2 x)$
практикаПри какой ширине $S$ наибольшая? $x = 10$ м
практикаНаибольшая площадь $200 м^{2}$
повыш.При каких $x$ площадь не меньше $150 м^{2}$ ? $5 \leq x \leq 15$

R06.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаВершина $y = x^{2} - 8 x + 12$ $(4; - 4)$
база $E (y)$ для $y = - 2 x^{2} + 4 x + 1$ $(- \infty; 3]$
базаНаименьшее значение $y = x^{2} + 4 x$ на $[0; 3]$ $0$
повыш.При каких $k$ прямая $y = k x$ касается параболы $y = x^{2} + 16$ ? $k = \pm 8$

Вариант 2

базаВершина $y = x^{2} + 6 x + 5$ $(- 3; - 4)$
база $E (y)$ для $y = 3 x^{2} - 6 x + 2$ $[- 1; + \infty)$
базаНаибольшее значение $y = - x^{2} + 2 x + 3$ на $[2; 4]$ $3$
повыш.При каких $k$ прямая $y = k x$ касается параболы $y = x^{2} + 25$ ? $k = \pm 10$

5 мин · практика
4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
В-1. 1) x₀ = 4, y(4) = 16 − 32 + 12 = −4. 2) x₀ = 1, y(1) = −2 + 4 + 1 = 3, a < 0: (−∞; 3]. 3) x₀ = −2 ∉ [0; 3], возрастает: y(0) = 0 (наибольшее y(3) = 21). 4) x² − kx + 16 = 0, k² = 64, k = ±8.
В-2. 1) x₀ = −3, y(−3) = 9 − 18 + 5 = −4. 2) x₀ = 1, y(1) = 3 − 6 + 2 = −1, a > 0: [−1; +∞). 3) x₀ = 1 ∉ [2; 4], убывает: y(2) = −4 + 4 + 3 = 3 (наименьшее y(4) = −5). 4) k² = 100, k = ±10.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Ответ в 4 только с одним знаком — задание не засчитывается.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти множество значений квадратичной функции?
Где искать наибольшее значение на отрезке?
Когда прямая и парабола имеют одну общую точку?

Домашнее задание

Свойства $y = - x^{2} + 2 x + 8$ и её график
Наибольшее и наименьшее значения $y = x^{2} - 6 x + 4$ на $[- 1; 4]$
При каких $k$ прямая $y = k x + 2$ касается параболы $y = x^{2} + 3 x + 6$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-119 · Повторение: квадратичная функция и её свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 17/34 · тип О
Единицы → слайды	R06.1, блок «Функции (построение, свойства изученных функций; графическое решение уравнений и их систем)» → 2–18, 20, 21 · «с помощью графиков реальные процессы и явления» → 19 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 8, 11, 14) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 7, 9, 10, 12, 13, 15–21)
Результаты	ПР-18, ПР-21 (свойства) → 3–5, 14, 16, 20 · ПР-20 (положение графика) → 6, 7 · ПР-22 (задачи на свойства) → 8–10, 15, 17, 19, 20 · ПР-14, ПР-17 (исследование, кусочные функции) → 11–13, 18 · ПР-19 (из жизни) → 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	общий графический метод и выколотые точки — ALG9U-110; преобразования графиков y = af(kx + b) + c и неравенства — другие уроки повторения
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:квадратичная функцияи её свойства

Сегодня вы повторите и научитесь

Описывать свойства

Читать коэффициенты

Находить экстремумы

Решать задачу 22 ОГЭ

Парабола за минуту

Всё начинается с вершины

Опишите свойства функции по формуле

Образец

Сам

Что говорит каждый коэффициент

Определите знаки a, b, c по графику

Образец

Вершина на отрезке или вне его?

Найдите наибольшее и наименьшее значения

Образец

Сам

Найдите значение параметра

Образец

Сам

Одна общая точка — дискриминант равен нулю

Ровно одна общая точка прямой и параболы

Образец

Сам: одна общая точка

Сколько общих точек у прямой y=m с графиком?

Образец: три общие точки

Сам: тот же график

Три ошибки, которые стоят баллов

Потерян минус

Вершина вне отрезка

Ветви вниз

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Наименьшее значение y=2x2−12x+7

Задача 2. При каких k прямая y=kx касается параболы y=x2+4?

Свойства по формуле

Отрезок, параметр, касание

При каких m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки?

40 м сетки на три стороны прямоугольника, четвёртая — стена

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-119 · Повторение: квадратичная функция и её свойства

Повторение:
квадратичная функция
и её свойства

Определите знаки $a$ , $b$ , $c$ по графику

Сколько общих точек у прямой $y = m$ с графиком?

Задача 1. Наименьшее значение $y = 2 x^{2} - 12 x + 7$

Задача 2. При каких $k$ прямая $y = k x$ касается параболы $y = x^{2} + 4$ ?

При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки?

$40$ м сетки на три стороны прямоугольника, четвёртая — стена