Повторение · урок 15 из 34 · обобщение

Повторение:
свойства функций
и графики

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-117

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 15/34, единица R06.1 (блок «Функции: построение, свойства изученных функций; графики реальных процессов»). Тип урока — О (обобщение). Прошлые уроки строки повторяли числа, проценты, выражения, графический метод (ALG9U-110) и текстовые задачи; следующий ALG9U-118 — продолжение повторения.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (свойства по графику) 3 · 6 (квадратичная функция) 3 · 9 (преобразования графиков) 2 · 12 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 3 · образцы → сам (сл. 5, 7, 8, 10, 11) по 3 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2 · ОГЭ (сл. 16) 3 · самостоятельная (сл. 17) 5 · итог (сл. 18) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 15 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Читать свойства по графику

область определения, значения, нули, знаки, монотонность (ПР-18)

Исследовать параболу по формуле

вершина, ветви, знаки $a, b, c$ по рисунку (ПР-20, ПР-21, ПР-22)

Строить графики сдвигами

$y = a f (x - m) + n$ из $y = f (x)$ (ПР-23)

Понимать графики процессов

скорость, отдых, наибольшее удаление; линия 22 ОГЭ (ПР-24, ПР-17)

1 мин · теория
ПР-18 (ФРП дословно): «Исследовать функцию по ее графику, устанавливать свойства функций: область определения, множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, четность и нечетность, наибольшее и наименьшее значения, асимптоты».
ПР-20: «Определять положение графика квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов». ПР-23: «…строить график функции y = af(kx + b) + c с помощью преобразований графика функции y = f(x)». ПР-24: «Иллюстрировать с помощью графика реальную зависимость или процесс по их характеристикам». ПР-17 — кусочно-заданная функция (линия 22).
Вид деятельности ФРП по строке: «Анализировать, сравнивать, обсуждать свойства функций, строить их графики… Использовать графики для определения свойств, процессов и зависимостей».

разминка · R06.1

Разминка · устно

Функции за 10 секунд

y = 2 x - 6

нуль функции

3

y = \frac{1}{x - 3}

область определения

x \neq = 3

y = x + 2

область определения

x \geq - 2

y = x^{2} + 1

множество значений

[1; + \infty)

y = - \frac{3}{x}

в каких четвертях?

II и IV

y = x^{2} - 4 x

абсцисса вершины

2

f (x) = x^{2} - 2 x

f (- 1)

3

y = ∣ x ∣ - 2

нули

\pm 2

R06.1 · ПР-18

Сводка · свойства функции по графику

Что читаем по графику $y = f (x)$

Область определения — тень на $O x$ : $D (f) = [- 5; 5]$
Множество значений — тень на $O y$ : $E (f) = [- 2; 2]$
Нули — точки на $O x$ : $- 4; - 1; 3$
$f (x) > 0$ — график выше $O x$ : $(- 4; - 1) \cup (3; 5]$
Возрастает на $[- 5; - 3]$ и $[1; 5]$
Наибольшее и наименьшее: $2$ и $- 2$

3 мин · теория
Демонстрация учителя: каждую строку сначала проговорить по рисунку, затем открыть ответ. Бирюзовая полоса на Ox — проекция графика (D), фиолетовая на Oy — проекция (E), бирюзовые точки — нули.
График — ломаная через (−5; −2), (−3; 2), (1; −2), (5; 2). Нули: на звеньях 1–3 — x = −4, −1, 3 (проверено кодом). f(x) < 0 при x ∈ [−5; −4) ∪ (−1; 3); убывает на [−3; 1].
Вопрос классу: можно ли написать «возрастает на [−5; −3] ∪ [1; 5]»? Нет: f(−3) = 2 > f(1) = −2 — промежутки монотонности записывают отдельно, через «и» (см. сл. 12).
Наибольшее значение 2 достигается дважды: при x = −3 и x = 5; наименьшее −2 — при x = −5 и x = 1. Концы отрезка входят в D — закрашенные точки.

R06.1 · ПР-18

Образец → сам · свойства по графику

Функция задана графиком на отрезке $[- 4; 4]$

Образец: нули и где $f (x) > 0$

нули: $- 3; - 1; 3$ график на $O x$

$[- 4; - 3) \cup (- 1; 3)$ выше $O x$ , $x = - 4$ входит

Сам

база $D (f)$ и $E (f)$ $[- 4; 4]$ и $[- 2; 4]$
базаПромежутки убывания $[- 4; - 2]$ и $[1; 4]$
повыш.Сколько корней у $f (x) = 1$ ? $3$

3 мин · практика
Образец 1 мин у доски (учитель), затем 2 мин самостоятельно. График — ломаная через (−4; 2), (−2; −2), (1; 4), (4; −2).
Нули: на звене 1 y = 2 − 2(x + 4) = 0 при x = −3; на звене 2 y = −2 + 2(x + 2) = 0 при x = −1; на звене 3 y = 4 − 2(x − 1) = 0 при x = 3.
1) D = [−4; 4], E = [−2; 4] (наименьшее −2 при x = −2 и x = 4, наибольшее 4 при x = 1). 2) Убывает на [−4; −2] и [1; 4], возрастает на [−2; 1].
3) Прямая y = 1 пересекает три звена: x = −3,5; −0,5; 2,5 — три корня. Ошибка: «один корень, f(1) = 1» — путают x и y.

R06.1 · ПР-20, ПР-21

Сводка · квадратичная функция

$y = a x^{2} + b x + c, a \neq = 0$ — парабола

x_{0} = - \frac{b}{2 a}, y_{0} = y (x_{0})

a > 0

— ветви вверх,

min y = y_{0}

, убывает на

(- \infty; x_{0}]

, возрастает на

[x_{0}; + \infty)

c = y (0)

— точка на оси

O y

; нули — корни трёхчлена

Знак

b

:

b = - 2 a x_{0}

— по знакам

a

и

x_{0}

3 мин · теория
На рисунке y = x² − 4x + 3: x₀ = 2, y₀ = −1, c = 3, нули 1 и 3 (Виета), ось симметрии x = 2. При a < 0 всё наоборот: ветви вниз, max y = y₀, возрастает на (−∞; x₀], E = (−∞; y₀].
Откуда x₀: y = a(x + b/2a)² − D/4a — выделение полного квадрата (9 класс, R01). Отсюда же y₀ = −D/4a.
Знак b: из x₀ = −b/2a получаем b = −2a·x₀. Если a и x₀ одного знака — b < 0, разных — b > 0; x₀ = 0 — b = 0. На рисунке a > 0, x₀ = 2 > 0, значит, b < 0 (b = −4 ✓).
Число нулей — по D: D > 0 — два, D = 0 — вершина на Ox, D < 0 — нулей нет.

R06.1 · ПР-21, ПР-22

Образец → сам · свойства параболы по формуле

Опишите свойства функции, не строя график

Образец

$y = - x^{2} + 2 x + 8$

$a = - 1 < 0$ — ветви вниз знак $a$

$x_{0} = 1, y_{0} = - 1 + 2 + 8 = 9$ $- \frac{b}{2 a}$

$E (y) = (- \infty; 9]$ $max y = y_{0}$

нули: $- 2; 4$ $x^{2} - 2 x - 8 = 0$

$y > 0$ при $x \in (- 2; 4)$ между нулями

растёт на $(- \infty; 1]$ , убывает на $[1; + \infty)$

Сам: $y = x^{2} - 6 x + 5$

базаВершина и $E (y)$ $(3; - 4)$ , $[- 4; + \infty)$
базаПри каких $x$ $y < 0$ ? $(1; 5)$
повыш.При каком $c$ наименьшее значение $y = x^{2} + 4 x + c$ равно $3$ ? $c = 7$

R06.1 · ПР-20 · ОГЭ линия 11

Образец → сам · знаки коэффициентов

Положение параболы и коэффициенты $a, b, c$

Образец: знаки $a, b, c$

ветви вниз: $a < 0$

$c = y (0) = 1 > 0$

$x_{0} = 2 > 0$ , $b = - 2 a x_{0} > 0$

Сам: формула → график

А

Б

В

1)

y = x^{2} + 4 x + 3

2)

y = - x^{2} - 2 x + 3

3)

y = x^{2} - 4 x + 3

1 — В, 2 — Б, 3 — А

R06.1 · ПР-23

Сводка · преобразования графиков

Из графика $y = f (x)$ — новые графики

Формула	Что делаем с графиком	Пример из $y = x^{2}$
$y = f (x) + n$	сдвиг вдоль $O y$ на $n$ (вверх при $n > 0$ )	$y = x^{2} - 3$
$y = f (x - m)$	сдвиг вдоль $O x$ на $m$ (вправо при $m > 0$ )	$y = (x + 2)^{2}$ — влево
$y = - f (x)$	симметрия относительно $O x$	$y = - x^{2}$
$y = a f (x), a > 1$	растяжение от $O x$ в $a$ раз	$y = 3 x^{2}$
$y = f (k x), k > 1$	сжатие к $O y$ в $k$ раз	$y = (2 x)^{2}$
$y = ∣ f (x) ∣$	часть ниже $O x$ отразить вверх	$y = ∣ x^{2} - 4∣$

R06.1 · ПР-23

Образец → сам · преобразования графиков

Постройте график из известного

Образец

$y = - 2 (x - 1)^{2} + 3$ из $y = x^{2}$

$(x - 1)^{2}$ вправо на $1$

$- 2 (x - 1)^{2}$ $\times 2$ , отразить

$+ 3$ вверх на $3$

вершина $(1; 3)$ , $E = (- \infty; 3]$

Сам

базаВершина и $E$ для $y = 3 (x + 2)^{2} - 5$ $(- 2; - 5)$ , $[- 5; + \infty)$
базаКакими сдвигами из $y = x^{2}$ получить $y = x^{2} + 6 x + 5$ ? влево на $3$ , вниз на $4$
повыш. $y = \frac{1}{x}$ сдвинули вправо на $2$ и вверх на $1$ . Формула и асимптоты? $y = \frac{1}{x - 2} + 1$ ; $x = 2$ , $y = 1$

R06.1 · ПР-24

Образец → сам · график реального процесса

Турист: расстояние $s$ от лагеря в момент $t$

Образец

$[2; 3]$ : $s$ не меняется — отдых $1$ ч

$v = 8 : 2 = 4$ км/ч первые $2$ ч

Сам

базаНаибольшее удаление и когда? $14$ км, $t = 5$ ч
базаСкорость на обратном пути $7$ км/ч
повыш.Средняя скорость за $7$ ч $4$ км/ч

3 мин · практика
График — ломаная через (0; 0), (2; 8), (3; 8), (5; 14), (7; 0). Горизонтальный участок — расстояние не меняется (стоянка).
1) Наибольшее значение функции s(t) — 14 км при t = 5 ч. 2) С 5 до 7 ч расстояние уменьшилось с 14 до 0: 14 : 2 = 7 км/ч. На участке [3; 5]: (14 − 8) : 2 = 3 км/ч.
3) Весь путь: 14 туда + 14 обратно = 28 км, время 7 ч (с отдыхом): 28 : 7 = 4 км/ч. Типичная ошибка — «средняя скорость = (4 + 3 + 7) : 3» или «s(7) : 7 = 0».
Вопрос классу: где функция возрастает, где убывает и что это значит для туриста? (Возрастает на [0; 2] и [3; 5] — удаляется; убывает на [5; 7] — возвращается.)

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Вершина: делят на $2$

$y = 2 x^{2} - 8 x + 1$ : $x_{0} = \frac{8}{2} = 4$

$x_{0} = \frac{8}{2 \cdot 2} = 2$

в знаменателе $2 a$ , а не $2$

Сдвиг не в ту сторону

$y = (x + 3)^{2}$ — вправо на $3$

влево на $3$ : вершина $(- 3; 0)$

$f (x - m)$ — вправо при $m > 0$

Знак « $\cup$ » в монотонности

$y = \frac{1}{x}$ убывает на $(- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$

убывает на $(- \infty; 0)$ и на $(0; + \infty)$

$- 1 < 1$ , но $f (- 1) < f (1)$

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Свойства $y = - x^{2} + 4 x - 1$

$x_{0} = \frac{- 4}{- 2} = 2, y_{0} = - 4 + 8 - 1 = 3$

$E (y) = [3; + \infty)$

возрастает на $[2; + \infty)$

Ветви вниз ( $a = - 1$ ): $E (y) = (- \infty; 3]$

возрастает на $(- \infty; 2]$ , убывает на $[2; + \infty)$

Задача 2. Нули $y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$

$x^{2} - 4 = 0$

$x = 2$ или $x = - 2$

Ответ: $\pm 2$

Ошибка: $x = 2$ не входит в $D (y)$ — знаменатель $0$

Ответ: $- 2$ (график — прямая $y = x + 2$ без точки $(2; 4)$ )

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Свойства функции по формуле

Нули $y = x^{2} - 5 x + 6$ $2; 3$
$D (y)$ для $y = \frac{x}{x ^{2} - 9}$ $x \neq = \pm 3$
Вершина $y = x^{2} + 2 x - 3$ $(- 1; - 4)$

$E (y)$ для $y = - x^{2} + 4$ $(- \infty; 4]$
Где возрастает $y = x^{2} - 8 x$ ? $[4; + \infty)$
Где $2 x - 4 > 0$ ? $x > 2$

R06.1 · ПР-18, ПР-22

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Свойства функций — на шаг глубже

повыш. $D (y)$ для $y = 6 - x - x^{2}$ $[- 3; 2]$
повыш.Множество значений $y = x^{2} - 4 x + 7$ на отрезке $[0; 3]$ $[3; 7]$
повыш.Наименьшее значение $y = (x - 1) (x - 5)$ $- 4$
повыш.При каких $p$ вершина параболы $y = x^{2} - 2 p x + p + 6$ лежит на оси $O x$ ? $- 2; 3$
повыш.Чётная или нечётная $f (x) = x^{3} - 4 x$ ? нечётная

R06.1 · ПР-17 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте график и найдите $m$

$y = \frac{x ^{4} - 13 x ^{2} + 36}{( x - 3 ) ( x + 2 )}$ . При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку?

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = (x^{2} - 4) (x^{2} - 9)$ корни $4$ и $9$

$y = (x - 2) (x + 3) = x^{2} + x - 6$ , $x \neq = 3, x \neq = - 2$

выколоты $(3; 6)$ и $(- 2; - 4)$ подставили

вершина $(- 0, 5; - 6, 25)$ $x_{0} = - \frac{1}{2}$

$m = - 6, 25; m = - 4; m = 6$

3 мин · практика
1,5 мин ученики решают, затем шаги по клику; линии y = m на графике открываются после ответа (три пунктира).
Числитель: биквадратный трёхчлен, t = x², t² − 13t + 36 = 0, t = 4 и 9. (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3) / ((x − 3)(x + 2)) = (x − 2)(x + 3) при x ≠ 3, x ≠ −2. Значения в выколотых точках: y(3) = 6, y(−2) = −4.
Одна общая точка: касание в вершине m = −6,25; m = −4: x² + x − 2 = 0, корни −2 (выколот) и 1 — одна точка; m = 6: x² + x − 12 = 0, корни 3 (выколот) и −4 — одна точка. Проверено кодом.
На ОГЭ — 2 балла: нужны верный график с выколотыми точками и все три значения. Типичная потеря — забыть m = −4 и m = 6.

R06.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаНули $y = x^{2} + 2 x - 8$ $- 4; 2$
базаВершина и $E (y)$ : $y = x^{2} - 4 x + 1$ $(2; - 3)$ , $[- 3; + \infty)$
базаГде убывает $y = - x^{2} + 6 x$ ? $[3; + \infty)$
повыш. $D (y)$ : $y = \frac{x + 3}{x - 1}$ $[- 3; 1) \cup (1; + \infty)$

Вариант 2

базаНули $y = x^{2} - 3 x - 10$ $- 2; 5$
базаВершина и $E (y)$ : $y = - x^{2} + 2 x + 3$ $(1; 4)$ , $(- \infty; 4]$
базаГде возрастает $y = x^{2} + 8 x$ ? $[- 4; + \infty)$
повыш. $D (y)$ : $y = \frac{5 - x}{x + 2}$ $(- \infty; - 2) \cup (- 2; 5]$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по графику найти $E (f)$ ?
Как по рисунку узнать знак $b$ ?
Куда сдвигает $f (x + 2)$ ?
Что делать с точкой, где знаменатель $0$ ?

Домашнее задание

Все свойства $y = 2 x^{2} - 4 x - 6$
Постройте $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$ ; при каких $m$ прямая $y = m$ имеет ровно $3$ общие точки?
Асимптоты графика $y = \frac{2 x - 3}{x - 2}$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_funkcii.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-117 · Обобщение и систематизация: свойства функций и графики

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 15/34 · тип О
Единицы → слайды	R06.1, блок «Функции (построение, свойства изученных функций; графическое решение уравнений и их систем); с помощью графиков реальные процессы и явления» → 2–18 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 9, 12) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13–18)
Результаты	ПР-18 (свойства по графику) → 4, 5, 12–15, 17 · ПР-20 (положение параболы и коэффициенты) → 6, 8 · ПР-21, ПР-22 (квадратичная функция) → 6, 7, 13–15, 17 · ПР-23 (преобразования графиков) → 9, 10, 12 · ПР-24 (графики реальных процессов) → 11 · ПР-17 (кусочно-заданная функция, выколотые точки) → 13, 16 · кодификатора у курса нет
Вне урока	графический метод решения уравнений и систем — ALG9U-110; последовательности и прогрессии — следующие уроки повторения
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:свойства функцийи графики

Сегодня вы повторите и научитесь

Читать свойства по графику

Исследовать параболу по формуле

Строить графики сдвигами

Понимать графики процессов

Функции за 10 секунд

Что читаем по графику y=f(x)

Функция задана графиком на отрезке [−4; 4]

Образец: нули и где f(x)>0

Сам

y=ax2+bx+c, a=0 — парабола

Опишите свойства функции, не строя график

Образец

Сам: y=x2−6x+5

Положение параболы и коэффициенты a, b, c

Образец: знаки a, b, c

Сам: формула → график

Из графика y=f(x) — новые графики

Постройте график из известного

Образец

Сам

Турист: расстояние s от лагеря в момент t

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Вершина: делят на 2

Сдвиг не в ту сторону

Знак «∪» в монотонности

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Свойства y=−x2+4x−1

Задача 2. Нули y=x−2x2−4​

Свойства функции по формуле

Свойства функций — на шаг глубже

Постройте график и найдите m

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-117 · Обобщение и систематизация: свойства функций и графики

Повторение:
свойства функций
и графики

Что читаем по графику $y = f (x)$

Функция задана графиком на отрезке $[- 4; 4]$

Образец: нули и где $f (x) > 0$

$y = a x^{2} + b x + c, a \neq = 0$ — парабола

Сам: $y = x^{2} - 6 x + 5$

Положение параболы и коэффициенты $a, b, c$

Образец: знаки $a, b, c$

Из графика $y = f (x)$ — новые графики

Турист: расстояние $s$ от лагеря в момент $t$

Вершина: делят на $2$

Знак « $\cup$ » в монотонности

Задача 1. Свойства $y = - x^{2} + 4 x - 1$

Задача 2. Нули $y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$

Постройте график и найдите $m$