Повторение · урок 13 из 34 · обобщение

Повторение:
движение
и работа

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-115

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 13/34, единица R06.1 — блок «Текстовые задачи (решение текстовых задач арифметическим и алгебраическим способами)» и «с помощью графиков реальные процессы». Тип урока — О (обобщение). Прошлый урок ALG9U-114 — повторение по R06.1; следующий ALG9U-116 — продолжение повторения.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (движение по прямой) 3 · 6 (по реке и по кругу) 2 · 9 (совместная работа) 2 · 11 (оформление линии 21) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 8, 10, 12) 3 + 3 + 2 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 3 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Составлять модель

величины $v, t, s$ и $p, t, A$ — в таблицу, уравнение — по «лишнему» условию (ПР-15)

Решать и отбирать корни

дробно-рациональное уравнение → квадратное, отбор по смыслу задачи (ПР-6)

Оформлять линию 21

движение по реке, по кругу, совместная работа — полная запись решения (ПР-16)

Читать графики движения

скорость, остановки и средняя скорость по графику $s (t)$ (ПР-24)

1 мин · теория
Вид деятельности ФРП по строке R06: «Решать практические задачи, содержащие … зависимости: скорость – время – расстояние, … объем работы – время – производительность труда… Решать текстовые задачи с помощью введения переменных, составлять уравнения… Использовать графики для определения свойств, процессов и зависимостей».
ПР-15: текстовые задачи алгебраическим способом. ПР-6: дробно-рациональные уравнения. ПР-16: модель реальной ситуации, интерпретация результата. ПР-24: график реальной зависимости (сл. 18).

разминка · R06.1

Разминка · устно

Скорость, время, работа

60

км/ч,

2, 5

ч.
Путь?

150

км

84

км за

1, 2

ч.
Скорость?

70

км/ч

Навстречу:

50

и

70

км/ч. Скорость сближения?

120

км/ч

Вдогонку:

15

и

5

км/ч. Скорость сближения?

10

км/ч

Лодка

12

км/ч, течение

3

км/ч. Против течения?

9

км/ч

20

мин — это сколько часов?

\frac{1}{3}

ч

Труба наполняет бак за

6

ч. Какую часть — за

1

ч?

\frac{1}{6}

\frac{1}{3}

и

\frac{1}{6}

бака в час. Вместе — за сколько часов?

2

ч

R06.1

Сводка · движение по прямой

Одна формула и две скорости сближения

s = v t, t = \frac{s}{v}, v = \frac{s}{t}

Ситуация	Время до встречи
навстречу	$t = \frac{s}{v _{1} + v _{2}}$
вдогонку, $v_{1} > v_{2}$	$t = \frac{s}{v _{1} - v _{2}}$

Единицы согласовать: км, ч, км/ч ·

40

мин

= \frac{2}{3}

ч

3 мин · теория
Сближение навстречу — расстояние уменьшается на v₁ + v₂ за единицу времени; вдогонку — на v₁ − v₂ (догоняет только более быстрый). Удаление в противоположные стороны — тоже v₁ + v₂.
Таблица «v · t = s» — главный инструмент: в каждой строке два значения известны или выражены через x, третье получаем формулой. Уравнение составляют по условию, которое ещё не использовано («лишнему»): равенство путей, разность времён, сумма путей.
Вопрос классу: в задаче скорость в км/ч, время в минутах — что делаем? (Переводим минуты в часы: 15 мин = 1/4 ч, 36 мин = 0,6 ч.)

R06.1 · ПР-15

Образец → сам · навстречу и вдогонку

Составьте уравнение по условию

Образец

Из пунктов, расстояние между которыми $300$ км, навстречу выехали два автомобиля. Скорость одного на $20$ км/ч больше. Встретились через $2, 5$ ч. Найдите скорости.

$x$ и $x + 20$ км/ч обозначили

$(x + x + 20) \cdot 2, 5 = 300$ сумма путей

$2 x + 20 = 120, x = 50$ решили

$50$ и $70$ км/ч ответ

Сам

базаПешеходы вышли из одной точки в разные стороны: $4$ и $5$ км/ч. Через сколько часов между ними $27$ км? $3$ ч
базаВелосипедист едет $12$ км/ч; через $2$ ч вслед выехал мотоциклист, $36$ км/ч. Через сколько часов он догонит? через $1$ ч
повыш.Путь $120$ км. Первый автомобиль на $10$ км/ч быстрее второго и приезжает на $1$ ч раньше. Скорость первого? $40$ км/ч

R06.1

Сводка · движение по реке и по кругу

Течение и круговая трасса

По реке: $v$ — лодка, $u$ — течение

по течению $v + u$ , против $v - u$

плот плывёт со скоростью $u$

$v = \frac{v _{по} + v _{пр}}{2}, u = \frac{v _{по} - v _{пр}}{2}$

По кругу длины $L$ из одной точки

в одну сторону, обгон на круг:

$t = \frac{L}{v _{1} - v _{2}}$

в разные стороны, встреча:

$t = \frac{L}{v _{1} + v _{2}}$

Старт из противоположных точек круга: до встречи разность путей

\frac{L}{2}

2 мин · теория
Плот не имеет собственной скорости — движется со скоростью течения. Формулы v и u получаются сложением и вычитанием равенств v + u = v_по, v − u = v_пр.
Круг: обгон «на один круг» значит, что быстрый прошёл на L больше; до первой встречи из диаметрально противоположных точек при движении в одну сторону — на L/2 больше.
Ограничение в задачах на реку: v > u, иначе лодка против течения не движется — по нему отбирают корни (сл. 7, 17).

R06.1 · ПР-6

Образец → сам · движение по реке

Найдите скорость течения

Образец

Лодка прошла против течения $91$ км и вернулась, затратив на обратный путь на $6$ ч меньше. Собственная скорость $10$ км/ч.

$\frac{91}{10 - u} - \frac{91}{10 + u} = 6$ разность времён

$182 u = 6 (100 - u^{2})$ $0 < u < 10$

$3 u^{2} + 91 u - 300 = 0$ , $D = 10 9^{2}$

$u = 3$ км/ч $u = - \frac{100}{3}$ не подходит

Сам

базаПо течению катер идёт $22$ км/ч, против — $18$ км/ч. Собственная скорость и течение? $20$ и $2$ км/ч
базаПлот проплыл $15$ км за $5$ ч. За сколько часов лодка ( $12$ км/ч) пройдёт $27$ км против течения? $3$ ч
повыш.Теплоход прошёл $48$ км по течению и обратно за $5$ ч, течение $4$ км/ч. Собственная скорость? $20$ км/ч

R06.1 · ПР-15

Образец → сам · движение по кругу

Обгон на круг и встреча

Образец

Из одной точки круговой трассы длиной $14$ км в одном направлении стартовали автомобили: $80$ и $100$ км/ч. Через сколько минут быстрый обгонит другого на круг?

$100 - 80 = 20$ км/ч скорость сближения

$t = \frac{14}{20} = 0, 7$ ч разность путей $L$

$0, 7 \cdot 60 = 42$ мин ответ в минутах

Сам

базаБегуны стартуют из одной точки круга $600$ м в разные стороны: $5$ и $7$ м/с. Через сколько секунд встретятся? $50$ с
повыш.Мотоциклисты стартуют в одну сторону из диаметрально противоположных точек трассы $20$ км. Скорость одного на $15$ км/ч больше. Через сколько минут поравняются впервые? $40$ мин

R06.1

Сводка · совместная работа

Работа $= 1$ , производительность — часть за час

A = p \cdot t

Величина	Как найти
вся работа	$A = 1$ (бассейн, заказ)
один за $t_{1}$ ч	$p_{1} = \frac{1}{t _{1}}$
вместе	$p = p_{1} + p_{2}$ , $t = \frac{1}{p}$

Аналогия с движением

$A \leftrightarrow s$ , $p \leftrightarrow v$ : производительности складываются, как скорости навстречу

Складывают производительности, а не время

R06.1 · ПР-6

Образец → сам · совместная работа

Трубы, насосы, рабочие

Образец

Две трубы вместе наполняют бассейн за $6$ ч. Первая одна наполняет его на $5$ ч быстрее второй. За сколько часов — первая?

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6}$ $x > 0$

$6 (2 x + 5) = x (x + 5)$ × $6 x (x + 5)$

$x^{2} - 7 x - 30 = 0$ : $10$ ; $- 3$

$10$ ч $- 3$ не подходит

Сам

базаМаша выполняет работу за $3$ ч, Петя — за $6$ ч. За сколько часов вместе? $2$ ч
базаНасос откачивает воду за $4$ ч, вместе со вторым — за $3$ ч. За сколько часов второй один? $12$ ч
повыш.Первый рабочий делает в час на $2$ детали больше и выполняет заказ из $120$ деталей на $2$ ч быстрее второго. Сколько деталей в час делает первый? $12$

R06.1 · линия 21

Схема · оформление задачи линии 21

Шесть шагов полного решения

шаг 1

Обозначить

$x$ — что именно, в каких единицах; ограничения

шаг 2

Таблица

$v \cdot t = s$ или $p \cdot t = A$ для каждого участника

шаг 3

Уравнение

по условию, не вошедшему в таблицу

шаг 4

Решить

свести к квадратному, знаменатели $\neq = 0$

шаг 5

Отобрать корни

по смыслу: $x > 0$ , $v > u$ , условие задачи

шаг 6

Ответить

на вопрос задачи, с единицами

R06.1 · ПР-15

Образец → сам · таблица и средняя скорость

Наверстать опоздание

Образец

Поезд задержали на $12$ мин; на перегоне $60$ км он наверстал время, увеличив скорость на $15$ км/ч. Найдите скорость по расписанию.

	$v$	$t$	$s$
план	$x$	$\frac{60}{x}$	$60$
факт	$x + 15$	$\frac{60}{x + 15}$	$60$

$\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 15} = \frac{1}{5} \Rightarrow x^{2} + 15 x - 4500 = 0$

$x = 60$ км/ч $x = - 75$ не подходит

Сам

базаАвтомобиль ехал $2$ ч со скоростью $60$ км/ч и $1$ ч — $90$ км/ч. Средняя скорость? $70$ км/ч
повыш.Турист прошёл $20$ км. Если бы он шёл на $1$ км/ч быстрее, затратил бы на $1$ ч меньше. Его скорость? $4$ км/ч

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Минуты вместо часов

на $20$ мин раньше:

$\frac{s}{x} - \frac{s}{y} = 20$

$\frac{s}{x} - \frac{s}{y} = \frac{1}{3}$

скорость в км/ч — время в часах

Среднее арифметическое

туда $60$ , обратно $40$ :

$v_{ср} = 50$

$v_{ср} = \frac{2 s}{\frac{s}{60} + \frac{s}{40}} = 48$

весь путь делят на всё время

Ответ не на вопрос

$x = 30$ — скорость второго, а спрашивали о первом

$x + 10 = 40$ км/ч

в конце перечитать вопрос; отрицательный корень отбросить

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1

Пешеход прошёл $12$ км, обратно шёл на $1$ км/ч быстрее и затратил на $36$ мин меньше. Скорость туда?

$\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 1} = 36 \Rightarrow 36 x^{2} + 36 x - 12 = 0$

Ошибка: $36$ мин $= 0, 6$ ч

$x (x + 1) = 20 \Rightarrow x = 4$ км/ч

Задача 2

Первая труба наполняет бак за $4$ ч, вторая — за $12$ ч. За сколько часов вместе?

«В среднем $(4 + 12) : 2 = 8$ ч, а вдвоём — вдвое быстрее: $4$ ч»

Ошибка: складывают производительности

$\frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3$ ч

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Движение и работа: одно действие — один ответ

Катер ( $18$ км/ч) $2, 5$ ч идёт по течению ( $2$ км/ч). Путь? $50$ км
Из сёл в $21$ км навстречу: $4$ и $3$ км/ч. Через сколько часов встреча? $3$ ч
По течению $15$ км/ч, против — $11$ км/ч. Течение? $2$ км/ч

Мастер — за $5$ ч, ученик — за $20$ ч. Вместе? $4$ ч
$45$ мин со скоростью $80$ км/ч. Путь? $60$ км
Три одинаковых насоса откачивают воду за $4$ ч. А два таких? $6$ ч

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Плот, поезд, стрелки, насосы

повыш.От пристани $A$ поплыл плот; одновременно от пристани $B$ , на $24$ км ниже по реке, навстречу вышла лодка ( $10$ км/ч). Течение $2$ км/ч. Через сколько часов встреча? $2, 4$ ч
повыш.Поезд проходит мимо столба за $30$ с, а мимо платформы длиной $400$ м — за $50$ с. Длина и скорость поезда? $600$ м; $72$ км/ч
повыш.Насосы 1 и 2 наполняют бассейн за $9$ ч, 2 и 3 — за $12$ ч, 1 и 3 — за $18$ ч. За сколько часов все три? $8$ ч
повыш.Через сколько минут после 12:00 стрелки часов впервые совпадут? $65 \frac{5}{11}$ мин
повыш.Первую треть пути — $60$ км/ч, остальной путь — $120$ км/ч. Средняя скорость? $90$ км/ч

2 мин · практика
1) Плот: 2 км/ч, лодка против течения: 10 − 2 = 8 км/ч; сближение 10 км/ч (течение «сокращается»); 24 : 10 = 2,4 ч.
2) Мимо платформы поезд проходит свою длину плюс 400 м: v · 50 − v · 30 = 400, v = 20 м/с = 72 км/ч; длина 20 · 30 = 600 м.
3) Сумма трёх равенств: 2(p₁ + p₂ + p₃) = 1/9 + 1/12 + 1/18 = 9/36 = 1/4, p₁ + p₂ + p₃ = 1/8 → 8 ч.
4) Круговое движение: минутная 6°/мин, часовая 0,5°/мин; обгон на круг 360° : 5,5 = 720/11 = 65 5/11 мин (в 13:05 и ~27 с).
5) Путь 3s: время s/60 + 2s/120 = s/30; 3s : (s/30) = 90 км/ч. Если не успеваете — 4 и 5 в ДЗ. Проверено в sympy.

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 21

Решите задачу с полным оформлением

Лодка прошла против течения $112$ км и вернулась, затратив на обратный путь на $6$ ч меньше. Течение $3$ км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде. $11$ км/ч
Первая труба пропускает на $1$ л в минуту меньше второй. Резервуар $110$ л она заполняет на $1$ мин дольше. Сколько литров в минуту пропускает первая? $10$
Два автомобиля одновременно выехали из $A$ в $B$ . Первый ехал с постоянной скоростью, второй первую половину пути — $55$ км/ч, вторую — на $6$ км/ч быстрее первого; прибыли одновременно. Скорость первого, если она больше $45$ км/ч? $60$ км/ч

1:

\frac{112}{v - 3} - \frac{112}{v + 3} = 6

2:

\frac{110}{x} - \frac{110}{x + 1} = 1

3: путь

= 1

,

\frac{1}{x} = \frac{1}{110} + \frac{1}{2 ( x + 6 )}

R06.1 · ПР-24

Задача из жизни · график велопрогулки

Что рассказывает график $s (t)$

Расстояние от дома до велосипедиста $s$ (км) за время прогулки $t$ (ч).

практикаСкорость на пути от дома? $15$ км/ч
практикаСколько минут длилась остановка? $30$ мин
практикаСкорость на обратном пути? $10$ км/ч
повыш.Средняя скорость за всю прогулку? $10$ км/ч

2 мин · практика
Масштаб: по t клетка 0,5 ч, по s клетка 5 км. Точки ломаной: (0; 0), (1; 15), (1,5; 15), (3; 0).
1) 15 км за 1 ч → 15 км/ч. 2) Горизонтальный участок от 1 до 1,5 ч — 0,5 ч = 30 мин (расстояние не меняется). 3) 15 км за 1,5 ч → 10 км/ч.
4) Весь путь 15 + 15 = 30 км, всё время 3 ч (с остановкой) → 10 км/ч. Типичная ошибка — взять путь 0 км (расстояние от дома в конце) или забыть обратный путь. Вопрос классу: какой будет средняя скорость без учёта остановки? (30 : 2,5 = 12 км/ч.)

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаИз пунктов в $180$ км навстречу: $40$ и $50$ км/ч. Через сколько часов встреча? $2$ ч
базаПо течению $20$ км/ч, против — $14$ км/ч. Скорость течения? $3$ км/ч
базаПервый выполняет работу за $10$ ч, второй — за $15$ ч. Вместе? $6$ ч
повыш.Велосипедист проехал $60$ км; обратно ехал на $3$ км/ч быстрее и затратил на $1$ ч меньше. Скорость туда? $12$ км/ч

Вариант 2

базаИз пунктов в $210$ км навстречу: $30$ и $40$ км/ч. Через сколько часов встреча? $3$ ч
базаПо течению $25$ км/ч, против — $19$ км/ч. Собственная скорость? $22$ км/ч
базаПервый выполняет работу за $12$ ч, второй — за $6$ ч. Вместе? $4$ ч
повыш.Автомобиль проехал $120$ км; обратно ехал на $20$ км/ч быстрее и затратил на $1$ ч меньше. Скорость туда? $40$ км/ч

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти скорость течения по $v_{по}$ и $v_{пр}$ ?
Что складывают при совместной работе?
Как найти среднюю скорость?
Какие корни отбрасывают?

Домашнее задание

Баржа прошла по течению $40$ км и обратно $30$ км за $5$ ч; течение $5$ км/ч. Собственная скорость?
Двое вместе выполняют работу за $12$ дней; первый за $2$ дня делает столько, сколько второй за $3$ . За сколько дней — первый один?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_index.htm

1 мин · практика
Ответы на вопросы: u = (v_по − v_пр)/2; производительности; весь путь : всё время; отрицательные и не удовлетворяющие условию (v ≤ u, x ≤ 45 и т. п.).
Ответы ДЗ: 1) 40/(v + 5) + 30/(v − 5) = 5 ⇔ v² − 14v − 15 = 0, v = 15 км/ч (−1 не подходит); проверка 40/20 + 30/10 = 2 + 3 = 5 ✓. 2) p₁ : p₂ = 3 : 2, p₁ + p₂ = 1/12 ⇒ p₁ = 3/5 · 1/12 = 1/20 → 20 дней (второй — 30 дней). Проверено в sympy.
Следующий урок ALG9U-116 — продолжение повторения по R06.1. Сегодняшние модели понадобятся в задачах на проценты и в графиках реальных процессов (линии 21–22).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-115 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 13/34 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 (текстовые задачи арифметическим и алгебраическим способами; реальные процессы с помощью графиков) → 2–20 · теория 13 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 9, 11, 13) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14–20)
Результаты	ПР-15 (текстовые задачи алгебраическим способом) → 4, 5, 8, 11, 12, 15, 16 · ПР-6 (дробно-рациональные уравнения) → 7, 10, 14, 17, 19 · ПР-16 (модель реальной ситуации, интерпретация) → 9, 11, 17 · ПР-24 (график реальной зависимости) → 18 · кодификатора у курса нет
Вне урока	проценты, смеси — ALG9U-104…107; выражения — ALG9U-108; функции и графическое решение уравнений — следующие уроки R06
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:движениеи работа

Сегодня вы повторите и научитесь

Составлять модель

Решать и отбирать корни

Оформлять линию 21

Читать графики движения

Скорость, время, работа

Одна формула и две скорости сближения

Составьте уравнение по условию

Образец

Сам

Течение и круговая трасса

По реке: v — лодка, u — течение

По кругу длины L из одной точки

Найдите скорость течения

Образец

Сам

Обгон на круг и встреча

Образец

Сам

Работа =1, производительность — часть за час

Аналогия с движением

Трубы, насосы, рабочие

Образец

Сам

Шесть шагов полного решения

Обозначить

Таблица

Уравнение

Решить

Отобрать корни

Ответить

Наверстать опоздание

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Минуты вместо часов

Среднее арифметическое

Ответ не на вопрос

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1

Задача 2

Движение и работа: одно действие — один ответ

Плот, поезд, стрелки, насосы

Решите задачу с полным оформлением

Что рассказывает график s(t)

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-115 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Повторение:
движение
и работа

По реке: $v$ — лодка, $u$ — течение

По кругу длины $L$ из одной точки

Работа $= 1$ , производительность — часть за час

Что рассказывает график $s (t)$