Повторение · урок 12 из 34 · обобщение

Повторение:
текстовые
задачи

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-114

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 12/34, единица R06.1 — блок «Текстовые задачи (решение текстовых задач арифметическим и алгебраическим способами)». Тип урока — О (обобщение). Прошлый урок ALG9U-113 — повторение по R06.1; следующий ALG9U-115 — продолжение повторения.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (схема решения) 3 · 5 (движение) 3 · 8 (работа и покупки) 2 · 12 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 10, 11) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2 · ОГЭ (сл. 16) 3 · задача из жизни (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 4 · итог (сл. 19) 1.
Три формулы на титуле — три типа задач урока: движение (путь, скорость, время), работа (объём работы, производительность, время), покупки (стоимость, цена, количество).
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 15 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Переводить условие на язык алгебры

обозначить, составить таблицу, уравнение или систему (ПР-15)

Решать задачи на движение

навстречу, вдогонку, по реке — арифметически и с уравнением (ПР-15, ПР-16)

Решать задачи на работу и покупки

вся работа — 1, производительность — $\frac{1}{t}$ (ПР-16)

Отбирать корни по смыслу

и отвечать именно на вопрос — линия 21 ОГЭ (ПР-6, ПР-13)

1 мин · теория
Вид деятельности ФРП по строке R06: «Решать практические задачи, содержащие проценты, доли, части, выражающие зависимости: скорость – время – расстояние, цена – количество – стоимость, объем работы – время – производительность труда… Решать текстовые задачи арифметическим способом… Решать текстовые задачи с помощью введения переменных, составлять уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств по условию задачи».
ПР-15: текстовые задачи алгебраическим способом. ПР-16: модель реальной ситуации, интерпретация результата. ПР-6: дробно-рациональные уравнения (почти каждая задача линии 21 сводится к ним). ПР-13: решения с ограничениями (натуральные числа, положительные скорости).

разминка · R06.1

Разминка · устно

Путь, время, работа, цена

120

км за

1, 5

ч. Скорость?

80

км/ч

20

мин — это сколько часов?

\frac{1}{3}

ч

Катер

18

км/ч, течение

2

км/ч. Против течения?

16

км/ч

Навстречу:

50

и

70

км/ч, между ними

240

км. Встреча через?

2

ч

Труба наполняет бак за

6

ч. Какая часть за

1

ч?

\frac{1}{6}

За час:

\frac{1}{3}

и

\frac{1}{6}

работы. Вместе за?

2

ч

3

кг стоят

450

руб. Цена

1

кг?

150

руб

Скорость

x

км/ч. Время на

100

км?

\frac{100}{x}

ч

R06.1

Схема · решение текстовой задачи

Шесть шагов алгебраического способа

шаг 1

Обозначить

$x$ — искомая или удобная величина, с единицами

шаг 2

Ограничения

$x > 0$ , скорость больше течения, число натуральное

шаг 3

Таблица

три величины, все — через $x$

шаг 4

Уравнение

из условия, которое ещё не использовано: «на $2$ ч меньше»

шаг 5

Решить

знаменатели $\neq = 0$ , корни проверить

шаг 6

Отбор и ответ

корни по шагу 2; ответить на вопрос задачи

3 мин · теория
Арифметический способ — по действиям, без переменной (разминка, сл. 6). Алгебраический — по шагам 1–6; в задании 21 ОГЭ за решение без обоснования уравнения балл снижают.
Шаг 3: в таблице столько строк, сколько участников или этапов; в столбцах — три величины. Две величины выражаем через $x$ и данные, третью — по формуле.
Шаг 4: одно условие уходит на заполнение таблицы, второе — на уравнение. Вопрос классу: какое условие в задаче «туда 48 км, обратно на 2 ч быстрее» даёт уравнение? (Разность времён.)
Шаг 6: x — часто не ответ (нашли скорость второго, а спрашивали первого) — ошибка 3 на сл. 12.

R06.1

Сводка · задачи на движение

$s = v \cdot t$ и скорость сближения

Ситуация	Скорость
навстречу	$v_{1} + v_{2}$
вдогонку	$v_{1} - v_{2}$
по течению	$v + u$
против течения	$v - u$ , $v > u$
плот	$u$ — скорость течения

3 мин · теория
Скорость сближения: при движении навстречу расстояние сокращается на v₁ + v₂ в час; вдогонку (v₁ > v₂) — на v₁ − v₂. d — начальное расстояние между участниками.
По реке: собственная скорость v (в стоячей воде), течение u. По течению v + u, против течения v − u; условие v > u — иначе лодка против течения не плывёт (отбор корней, сл. 7).
Полезные следствия: v = (v_по + v_против)/2, u = (v_по − v_против)/2 — задача «сам» 2 на сл. 7.
Вопрос классу: с какой скоростью относительно берега плывёт плот? (Со скоростью течения: собственной скорости у плота нет.)

R06.1

Образец → сам · движение навстречу и вдогонку

Линейное уравнение по условию

Образец

Из двух городов, между которыми $360$ км, навстречу выехали два автомобиля и встретились через $2$ ч. Скорость первого на $20$ км/ч больше. Найдите скорости.

$x$ и $x + 20$ км/ч обозначили

$2 (x + (x + 20)) = 360$ $s = v \cdot t$

$2 x + 20 = 180, x = 80$ решили

$80$ и $100$ км/ч ответ

Сам

базаВелосипедист едет $12$ км/ч. Через $2$ ч за ним выехал мотоциклист, $36$ км/ч. Через сколько часов догонит? $1$ ч
базаПоезд прошёл путь за $4$ ч. Со скоростью на $15$ км/ч больше прошёл бы за $3$ ч. Скорость? $45$ км/ч
повыш.Из A в B ( $24$ км) вышел пешеход, одновременно выехал велосипедист — на $8$ км/ч быстрее; он прибыл на $4$ ч раньше. Скорость пешехода? $4$ км/ч

R06.1 · ПР-6

Образец → сам · движение по реке

Дробно-рациональное уравнение и отбор корня

Образец

Лодка прошла $48$ км против течения и вернулась, затратив на обратный путь на $2$ ч меньше. Течение $2$ км/ч. Скорость лодки в неподвижной воде?

$x$ км/ч, $x > 2$ ограничение

$\frac{48}{x - 2} - \frac{48}{x + 2} = 2$ разность времён

$192 = 2 (x^{2} - 4), x^{2} = 100$ общий знаменатель

$x = 10$ ( $x = - 10$ не подходит) отбор

Сам

базаКатер прошёл $30$ км по течению за $1, 5$ ч. Течение $2$ км/ч. Собственная скорость? $18$ км/ч
база $60$ км теплоход проходит по течению за $3$ ч, против — за $5$ ч. Скорость течения? $4$ км/ч
повыш.Теплоход прошёл $255$ км по течению, стоял $2$ ч и вернулся через $34$ ч после отплытия. Течение $1$ км/ч. Скорость в неподвижной воде? $16$ км/ч

R06.1

Сводка · работа и покупки

Та же схема: три величины

Задача	Величины	Формула
движение	путь, скорость, время	$s = v \cdot t$
работа	объём, производительность, время	$A = p \cdot t$
покупки	стоимость, цена, количество	$C = a \cdot n$

Вся работа = 1

$p = \frac{1}{t}$ , вместе $p_{1} + p_{2}$

Вместе за время

$t = \frac{1}{p _{1} + p _{2}}$

2 мин · теория
Если объём работы не дан (бассейн, заказ без числа деталей), его принимают за 1. Тогда производительность — доля работы за единицу времени: 1/t.
При совместной работе складываются производительности, а не времена. Сливная труба — производительность со знаком минус (сл. 9, задание 2).
Покупки — та же таблица: цена (руб/шт.) — аналог скорости, количество — аналог времени. Вопрос классу: что в задаче на покупки играет роль «на 2 ч меньше»? («На 5 штук больше».)

R06.1 · ПР-6

Образец → сам · совместная работа

Вся работа — единица

Образец

Две трубы вместе наполняют бассейн за $6$ ч. Первая одна — на $5$ ч быстрее второй. За сколько часов наполняет бассейн вторая?

вторая $x$ ч, первая $x - 5$ , $x > 5$ обозначили

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 5} = \frac{1}{6}$ производительности

$x^{2} - 17 x + 30 = 0$ на $6 x (x - 5)$

$x = 15$ ( $x = 2 < 5$ ) отбор

Сам

базаПервый рабочий выполняет работу за $12$ ч, второй — за $6$ ч. За сколько часов вместе? $4$ ч
базаПервая труба наполняет бак за $3$ ч, вторая сливает его за $6$ ч. Открыли обе. За сколько наполнится? $6$ ч
повыш.Первый рабочий делает в час на $3$ детали больше второго и выполняет заказ из $180$ деталей на $3$ ч быстрее. Сколько деталей в час делает второй? $12$

R06.1 · ПР-16

Образец → сам · цена, количество, стоимость

Покупки — та же таблица

Образец

На $1200$ руб купили тетради. Если бы тетрадь стоила на $20$ руб дешевле, купили бы на $5$ тетрадей больше. Цена тетради?

цена $x$ руб, $x > 20$ обозначили

$\frac{1200}{x - 20} - \frac{1200}{x} = 5$ разность количеств

$x^{2} - 20 x - 4800 = 0$ на $5 x (x - 20)$

$x = 80$ ( $x = - 60$ не цена) отбор

Сам

база $3$ кг яблок и $2$ кг груш стоят $520$ руб; кг груш на $60$ руб дороже. Цена кг яблок? $80$ руб
повыш.Цена товара выросла на $20 %$ , и на $3000$ руб стало можно купить на $5$ штук меньше. Начальная цена? $100$ руб
повыш.Автобус заказали за $12000$ руб. Когда $5$ человек отказались, каждый доплатил $80$ руб. Сколько было человек? $30$

R06.1 · ПР-15

Образец → сам · две неизвестных — система

Два условия — два уравнения

Образец

Из A и B ( $30$ км) навстречу вышли два пешехода и встретились через $3$ ч. Первый проходит весь путь на $2, 5$ ч быстрее второго. Скорости?

$⎩ ⎨ ⎧ 3 (x + y) = 30 \frac{30}{y} - \frac{30}{x} = 2, 5$ $x, y > 0$

$y = 10 - x$ : $x^{2} + 14 x - 120 = 0$ подстановка

$x = 6, y = 4$ ( $x = - 20$ нет) отбор

Сам

база $4$ ручки и $3$ карандаша стоят $210$ руб, $2$ ручки и $5$ карандашей — $140$ руб. Цена ручки? $45$ руб
повыш.Периметр прямоугольника $34$ см, диагональ $13$ см. Стороны? $5$ и $12$ см
повыш.Двузначное число в $4$ раза больше суммы цифр; если прибавить $27$ , цифры поменяются местами. Число? $36$

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Разные единицы

$\frac{40}{x} - \frac{40}{x + 10} = 20$ (20 мин)

$\frac{40}{x} - \frac{40}{x + 10} = \frac{1}{3}$

скорость в км/ч — время только в часах

Лишний корень

$x^{2} = 100 \Rightarrow x = \pm 10$

$x = 10$

отбор по смыслу: $x > 0$ , $x > u$ , $n \in N$

Ответ не на вопрос

спрашивали первую трубу, ответили $x = 15$

первая: $x - 5 = 10$ ч

перечитайте вопрос перед ответом

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1

Из A в B $40$ км. Обратно велосипедист ехал на $10$ км/ч быстрее и потратил на $2$ ч меньше. Скорость из A в B?

$\frac{40}{x + 10} - \frac{40}{x} = 2 \Rightarrow x^{2} + 10 x + 200 = 0$ , $D < 0$ — нет решения

Ошибка: из меньшего времени вычли большее

$\frac{40}{x} - \frac{40}{x + 10} = 2 \Rightarrow x = 10$ км/ч

Задача 2

Первый рабочий выполняет работу за $6$ ч, второй — за $3$ ч. За сколько часов они выполнят её вместе?

$\frac{6 + 3}{2} = 4, 5$ ч

Ошибка: сложили времена, а складывают производительности

$\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2$ ч

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Движение, работа, покупки

Поезд прошёл $240$ км за $3$ ч. На сколько увеличить скорость, чтобы пройти путь за $2, 5$ ч? $16$ км/ч
Собственная скорость теплохода $25$ км/ч, течение $3$ км/ч. За сколько часов он пройдёт $132$ км против течения? $6$ ч
Из одного пункта в одну сторону выехали машины: $60$ и $80$ км/ч. Через сколько часов между ними $50$ км? $2, 5$ ч

Первая бригада выполнит работу за $10$ дней, вторая — за $15$ . За сколько дней вместе? $6$
$5$ кг картофеля и $2$ кг лука стоят $380$ руб; кг лука на $15$ руб дороже. Цена кг картофеля? $50$ руб
Пешеход шёл $2$ ч со скоростью $5$ км/ч и $1$ ч со скоростью $2$ км/ч. Средняя скорость? $4$ км/ч

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Квадратные уравнения в текстовых задачах

повыш.Из A в B ( $120$ км) одновременно выехали два автомобиля. Первый на $20$ км/ч быстрее и прибыл на $1$ ч раньше. Скорость первого? $60$ км/ч
повыш.Два насоса вместе выкачивают воду за $4$ ч; первый один — на $6$ ч быстрее второго. За сколько часов справится второй? $12$ ч
повыш.Первую половину пути машина ехала $60$ км/ч, вторую — $90$ км/ч. Средняя скорость? $72$ км/ч
повыш.Поезд задержался на $12$ мин и нагнал время на перегоне $60$ км, увеличив скорость на $15$ км/ч. Скорость по расписанию? $60$ км/ч
повыш.Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на $109$ . Числа? $11$ и $12$

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 21

Текстовая задача с полным решением

Между пристанями A и B $120$ км. Из A в B отправился плот, через час — яхта; она дошла до B, сразу вернулась в A, и к этому времени плот прошёл $24$ км. Течение $2$ км/ч. Скорость яхты в неподвижной воде? $22$ км/ч
Первая труба пропускает на $1$ л/мин меньше второй. Сколько литров в минуту пропускает первая, если бак $110$ л она наполняет на $2$ мин дольше, чем вторая — бак $99$ л? $10$ л
Два автомобиля одновременно начали пробег $420$ км. Первый на $24$ км/ч быстрее и финишировал на $2$ ч раньше. Скорость первого? $84$ км/ч

1: время плота

24 : 2 = 12

ч

Запись: обозначение, уравнение, отбор

2 балла — полное обоснование

3 мин · практика
1) Плот в пути 12 ч, яхта на 1 ч меньше — 11 ч: 120/(x + 2) + 120/(x − 2) = 11 ⇒ 11x² − 240x − 44 = 0, D = 244², x = 22 (x = −2/11 не подходит). Проверка: 5 + 6 = 11 ✓.
2) 110/x − 99/(x + 1) = 2 ⇒ 2x² − 9x − 110 = 0, D = 31², x = 10 л/мин (x = −5,5 не подходит). Проверка: 11 − 9 = 2 ✓.
3) Второй x км/ч: 420/x − 420/(x + 24) = 2 ⇒ x² + 24x − 5040 = 0, D = 144², x = 60; первый 84 км/ч. Проверка: 7 − 5 = 2 ✓. Все ответы проверены в sympy.
Задание 21 — 2 балла: уравнение должно быть обосновано (что обозначено, откуда каждое выражение), отбор корня — с объяснением. Ответ без единиц или «x = 60» в задаче 3 — потеря балла.

R06.1 · ПР-16 · ПР-24

Задача из жизни

Какое такси выгоднее?

A: $150$ руб + $30$ руб/км B: $40$ руб/км

практикаСколько стоит поездка на $10$ км в A и в B? $450$ и $400$ руб
практикаС какого расстояния такси A выгоднее? больше $15$ км
повыш.Такси C: $300$ руб, первые $5$ км включены, далее $35$ руб/км. Что дешевле на $25$ км? A, $900$ руб

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

база $3$ ч со скоростью $70$ км/ч и $2$ ч — $95$ км/ч. Средняя скорость? $80$ км/ч
базаЛодка $15$ км/ч, течение $3$ км/ч. $36$ км по течению и обратно — сколько часов? $5$ ч
базаОдна труба наполняет бак за $4$ ч, другая — за $12$ ч. Вместе? $3$ ч
повыш. $60$ км. Со скоростью на $10$ км/ч больше дорога заняла бы на $0, 5$ ч меньше. Скорость? $30$ км/ч

Вариант 2

база $2$ ч со скоростью $60$ км/ч и $3$ ч — $85$ км/ч. Средняя скорость? $75$ км/ч
базаЛодка $20$ км/ч, течение $4$ км/ч. $48$ км по течению и обратно — сколько часов? $5$ ч
базаОдна труба наполняет бак за $6$ ч, другая — за $12$ ч. Вместе? $4$ ч
повыш. $80$ км. Со скоростью на $10$ км/ч больше дорога заняла бы на $0, 4$ ч меньше. Скорость? $40$ км/ч

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что складывают при совместной работе?
Как найти скорость лодки против течения?
Почему отбрасывают отрицательный корень?

Домашнее задание

Лодка прошла $91$ км против течения и вернулась, на обратный путь — на $6$ ч меньше. Скорость лодки $10$ км/ч. Течение?
Билеты на $6000$ руб; будь билет на $100$ руб дешевле, купили бы на $3$ больше. Цена билета?
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_index.htm

1 мин · практика
Ответы на вопросы: производительности; v − u; скорость, время, цена, количество не бывают отрицательными.
Ответы ДЗ: 1) 91/(10 − u) − 91/(10 + u) = 6 ⇒ 3u² + 91u − 300 = 0, D = 109², u = 3 км/ч (проверка: 13 − 7 = 6 ✓). 2) 6000/(x − 100) − 6000/x = 3 ⇒ x² − 100x − 200000 = 0, D = 900², x = 500 руб (12 и 15 билетов ✓). Проверено в sympy.
Следующий урок ALG9U-115 — продолжение повторения по R06.1. Сегодняшние дробно-рациональные уравнения — основа задания 21 ОГЭ; линейная модель такси — к графикам функций (линия 22).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-114 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 12/34 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 (текстовые задачи арифметическим и алгебраическим способами; скорость – время – расстояние, цена – количество – стоимость, объём работы – время – производительность; моделирование реальных процессов) → 2–19 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 8, 12) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 6, 7, 9–11, 13–19)
Результаты	ПР-15 (текстовые задачи алгебраическим способом) → 4, 6, 7, 9–11, 14–16, 18 · ПР-16 (модель реальной ситуации, интерпретация) → 10, 17 · ПР-6 (дробно-рациональные уравнения) → 7, 9, 10, 15, 16 · ПР-13 (ограничения, целые числа) → 11, 12, 15 · ПР-24 (график реальной зависимости) → 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	числа и вычисления, проценты, алгебраические выражения — ALG9U-103…108; функции и графики, графическое решение уравнений — соседние уроки R06
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:текстовыезадачи

Сегодня вы повторите и научитесь

Переводить условие на язык алгебры

Решать задачи на движение

Решать задачи на работу и покупки

Отбирать корни по смыслу

Путь, время, работа, цена

Шесть шагов алгебраического способа

Обозначить

Ограничения

Таблица

Уравнение

Решить

Отбор и ответ

s=v⋅t и скорость сближения

Линейное уравнение по условию

Образец

Сам

Дробно-рациональное уравнение и отбор корня

Образец

Сам

Та же схема: три величины

Вся работа = 1

Вместе за время

Вся работа — единица

Образец

Сам

Покупки — та же таблица

Образец

Сам

Два условия — два уравнения

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Разные единицы

Лишний корень

Ответ не на вопрос

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1

Задача 2

Движение, работа, покупки

Квадратные уравнения в текстовых задачах

Текстовая задача с полным решением

Какое такси выгоднее?

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-114 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Повторение:
текстовые
задачи

$s = v \cdot t$ и скорость сближения