Повторение · урок 11 из 34 · обобщение

Алгебраические
выражения:
преобразования и ОДЗ

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-113

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 11/34, единица R06.1 — блок «Алгебраические выражения (преобразование алгебраических выражений, допустимые значения)». Тип урока — О (обобщение). Прошлый урок ALG9U-112 — повторение текстовых задач; следующий ALG9U-114 — продолжение повторения выражений (выражения в задачах части 2, моделирование формулами).
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка ФСУ) 2 · 6 (допустимые значения) 2 · 8 (алгебраические дроби) 2 · 11 (корни и степени) 2 · 14 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 12, 13) 2,5 + 2 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 · найди ошибку (сл. 15) 2 · база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 3 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 5 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 и задание 3 сл. 18 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Раскладывать на множители

ФСУ, группировка, суммы и разности кубов

Находить допустимые значения

знаменатель, корень, корень в знаменателе

Преобразовывать дроби

сокращать, складывать, делить — с учётом ОДЗ (ПР-6)

Упрощать с корнями и степенями

$a^{2} = ∣ a ∣$ , иррациональность в знаменателе (ПР-1, ПР-3)

1 мин · теория
Единица R06.1 (ФРП дословно, фрагмент): «Алгебраические выражения (преобразование алгебраических выражений, допустимые значения)». Вид деятельности: «Выполнять основные действия: выполнять расчеты по формулам, преобразовывать целые, дробно-рациональные выражения и выражения с корнями, реализовывать разложение многочлена на множители, в том числе с использованием формул разности квадратов, суммы и разности кубов, квадрата суммы и разности, куба суммы и разности; находить допустимые значения переменных для дробно-рациональных выражений, корней».
Опора на результаты: ПР-1 (корни, степени), ПР-3 (сравнение и оценка), ПР-6 (дробно-рациональные уравнения — без ОДЗ и сокращения дробей их не решить). Кодификатора у курса нет.

разминка · R06.1

Разминка · устно

Формулы и дроби — быстро

(a + 3)^{2}

раскройте скобки

a^{2} + 6 a + 9

x^{2} - 49

разложите

(x - 7) (x + 7)

102 \cdot 98

вычислите

9996

a^{3} - 1

= (a - 1) \cdot (\dots)

a^{2} + a + 1

\frac{1}{x - 5}

при каком

x

не имеет смысла?

x = 5

\frac{x ^{2} - 1}{x + 1}

сократите

x - 1

(- 4)^{2}

вычислите

4

2^{- 3}

вычислите

\frac{1}{8}

R06.1

Сводка · формулы сокращённого умножения

Семь формул — читаем слева направо и справа налево

Название	Формула
квадрат суммы / разности	$(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$
разность квадратов	$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
куб суммы / разности	$(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}$
сумма / разность кубов	$a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})$

Разложение: общий множитель → ФСУ → группировка → корни трёхчлена

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

R06.1

Образец → сам · разложение на множители

Разложите на множители

Образец

$x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18$

$x^{2} (x - 2) - 9 (x - 2)$ группировка

$(x - 2) (x^{2} - 9)$ общий множитель $x - 2$

$(x - 2) (x - 3) (x + 3)$ разность квадратов

Сам

база $8 a^{3} - 27$ $(2 a - 3) (4 a^{2} + 6 a + 9)$
база $x^{4} - 5 x^{2} + 4$ $(x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2)$
повыш. $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ $(x - 1) (x + 2)^{2}$

R06.1

Сводка · допустимые значения

ОДЗ — значения переменной, при которых выражение имеет смысл

$\frac{A}{B}$ : $B \neq = 0$

$A$ : $A \geq 0$

$\frac{C}{A}$ : $A > 0$

Условий несколько — нужны все сразу (система)

R06.1

Образец → сам · область допустимых значений

При каких $x$ выражение имеет смысл?

Образец

$\frac{x + 3}{x ^{2} - 4}$

$x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq - 3$ корень

$x^{2} - 4 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = \pm 2$ знаменатель

$x \geq - 3, x \neq = - 2, x \neq = 2$ оба условия

Сам

база $\frac{5}{x ^{2} - 9 x}$ $x \neq = 0, x \neq = 9$
база $6 - 2 x + \frac{1}{x + 1}$ $x \leq 3, x \neq = - 1$
повыш. $\frac{1}{x ^{2} - 5 x + 6}$ $x < 2$ или $x > 3$

R06.1

Сводка · алгебраические дроби

Сначала разложить, потом сокращать

\frac{A C}{BC} = \frac{A}{B}, C \neq = 0

\frac{A}{B} \pm \frac{C}{D} = \frac{A D \pm BC}{B D}

\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}

Сокращают только множители, не слагаемые

Общий знаменатель — наименьший: разложите знаменатели

После сокращения ОДЗ не расширяется:

\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x + 2

при

x \neq = 2

R06.1

Образец → сам · сокращение дробей

Сократите дробь

Образец

$\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 9}$

$= \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )}$ Виета; разность квадратов

$= \frac{x - 2}{x + 3}$ сократили $x - 3 \neq = 0$

$x \neq = \pm 3$ ОДЗ исходной дроби

Сам

база $\frac{a ^{3} - 8}{a ^{2} + 2 a + 4}$ $a - 2$
база $\frac{2 x ^{2} + 5 x - 3}{4 x ^{2} - 1}$ $\frac{x + 3}{2 x + 1}$
повыш. $\frac{x ^{3} - x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} + x - 2}$ $x - 2$

R06.1

Образец → сам · действия с дробями

Упростите выражение

Образец

$\frac{2}{a - 3} - \frac{12}{a ^{2} - 9}$

$= \frac{2 ( a + 3 ) - 12}{( a - 3 ) ( a + 3 )}$ общий знаменатель

$= \frac{2 ( a - 3 )}{( a - 3 ) ( a + 3 )}$ $2 a + 6 - 12 = 2 a - 6$

$= \frac{2}{a + 3}$ $a \neq = \pm 3$

Сам

база $\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x ^{2} - 1}$ $\frac{1}{x + 1}$
база $\frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - a}$ $1$
повыш. $(\frac{x}{x - 2} - \frac{x}{x + 2}) : \frac{4 x}{x ^{2} - 4}$ $1$

R06.1 · опора R05

Сводка · корни и степени

Свойства, которые нужны в каждом варианте ОГЭ

Корни

$a^{2} = ∣ a ∣$

$ab = a b$ $a, b \geq 0$

$\frac{1}{a - b} = \frac{a + b}{a - b}$

Степени с целым показателем

$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}, a^{0} = 1$ $a \neq = 0$

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}, \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$

$(a^{m})^{n} = a^{mn}, (ab)^{n} = a^{n} b^{n}$

R06.1

Образец → сам · корни и степени

Найдите значение выражения

Образец

$\frac{1}{5 - 2} + \frac{1}{5 + 2}$

$= \frac{5 + 2 + 5 - 2}{( 5 - 2 ) ( 5 + 2 )}$ общий знаменатель

$= \frac{2 5}{5 - 4}$ разность квадратов

$= 25$

Сам

база $(7 - 3) (7 + 3)$ $4$
база $\frac{2 ^{- 3} \cdot 4 ^{5}}{8 ^{2}}$ $2$
повыш. $(2 - 5)^{2} + 5$ $25 - 2$

R06.1

Образец → сам · сначала упростить, потом подставить

Найдите значение выражения

Образец

$\frac{a ^{2} - b ^{2}}{ab} : (\frac{1}{b} - \frac{1}{a})$
при $a = 3 + 1, b = 3 - 1$

$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab}$ общий знаменатель

$\frac{( a - b ) ( a + b )}{ab} \cdot \frac{ab}{a - b} = a + b$ деление

$a + b = 23$ подстановка

Сам

база $\frac{x ^{2} - 4}{x} \cdot \frac{x}{x + 2}$ при $x = - 1, 5$ $- 3, 5$
база $(2 x - 3)^{2} - 4 x (x - 3)$ при $x = 17$ $9$
повыш. $a^{2} + \frac{1}{a ^{2}}$ , если $a + \frac{1}{a} = 5$ $23$

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Сократили слагаемые

$\frac{x + 3}{x + 5} = \frac{3}{5}$

так нельзя: сокращают только множители

при $x = 1$ : $\frac{4}{6} \neq = \frac{3}{5}$

Забыли модуль

$(3 - π)^{2} = 3 - π$

$= ∣3 - π ∣ = π - 3$

корень не бывает отрицательным

Потеряли ОДЗ

$\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x + 2$ всегда

только при $x \neq = 2$

на графике — выколотая точка $(2; 4)$

R06.1

Найди ошибку

Ученик упростил два выражения. Где ошибки?

Задача 1. Сократите дробь

$\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 6 x + 9} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ^{2}} =$

$= \frac{x + 3}{x - 3}$

Ошибка: $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$

Верно: $\frac{x - 3}{x + 3}$ , $x \neq = - 3$

Задача 2. Упростите

$\frac{3}{x - 2} - \frac{x + 4}{x ^{2} - 4} = \frac{3 x + 6 - x + 4}{x ^{2} - 4} =$

$= \frac{2 x + 10}{x ^{2} - 4}$

Ошибка: $- (x + 4) = - x - 4$

Верно: $\frac{2 x + 2}{x ^{2} - 4}$

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Разложите, сократите, упростите

Разложите $x^{2} - 10 x + 25$ $(x - 5)^{2}$
Разложите $a^{3} - a$ $a (a - 1) (a + 1)$
Сократите $\frac{3 x - 6}{x ^{2} - 4}$ $\frac{3}{x + 2}$

ОДЗ: $\frac{x}{x - 4}$ $x \geq 0, x \neq = 4$
$\frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1}$ $\frac{1}{a ( a + 1 )}$
$(12 - 3)^{2}$ $3$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Приёмы, которые пригодятся в части 2

повыш.Разложите $x^{4} + 4$ $(x^{2} - 2 x + 2) (x^{2} + 2 x + 2)$
повыш.Упростите $\frac{a ^{3} + b ^{3}}{a + b} - (a - b)^{2}$ $ab$
повыш. $x - \frac{1}{x} = 3$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ $11$
повыш.Упростите $11 - 62$ $3 - 2$
повыш.При каких целых $n$ дробь $\frac{n ^{2} + 3 n + 6}{n + 1}$ — целое число? $- 5; - 3; - 2; 0; 1; 3$

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Выражения в части 2 — с полным оформлением

Сократите дробь $\frac{6 ^{n + 3}}{3 ^{n + 2} \cdot 2 ^{n + 1}}$ $12$
Найдите $61 a - 11 b + 50$ , если $\frac{2 a - 7 b + 5}{7 a - 2 b + 5} = 9$ $10$
Упростите $\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x - 3}$ при $x < 3$ $- 1$

1:

6^{n + 3} = 2^{n + 3} \cdot 3^{n + 3}

2: пропорция — избавьтесь от дроби

3:

(x - 3)^{2} = ∣ x - 3∣

R06.1 · моделирование формулами

Задача из жизни · параллельное соединение

Сопротивление двух резисторов: $R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ (Ом)

практика $R_{1} = 6$ , $R_{2} = 3$ . Найдите $R$ . $2$ Ом
повыш.Выразите $R_{2}$ через $R$ и $R_{1}$ . $R_{2} = \frac{R R _{1}}{R _{1} - R}$
практикаНужно $R = 4$ Ом, есть $R_{1} = 12$ Ом. Какой $R_{2}$ ? $6$ Ом

R06.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаРазложите $2 x^{2} - 8$ $2 (x - 2) (x + 2)$
базаСократите $\frac{x ^{2} - x - 6}{x ^{2} - 9}$ $\frac{x + 2}{x + 3}$
базаУпростите $\frac{4}{a - 2} - \frac{16}{a ^{2} - 4}$ $\frac{4}{a + 2}$
повыш. $a + \frac{1}{a} = 4$ . Найдите $a^{2} + \frac{1}{a ^{2}}$ $14$

Вариант 2

базаРазложите $3 x^{2} - 27$ $3 (x - 3) (x + 3)$
базаСократите $\frac{x ^{2} + x - 6}{x ^{2} - 4}$ $\frac{x + 3}{x + 2}$
базаУпростите $\frac{3}{b + 1} + \frac{6}{b ^{2} - 1}$ $\frac{3}{b - 1}$
повыш. $a - \frac{1}{a} = 2$ . Найдите $a^{2} + \frac{1}{a ^{2}}$ $6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что можно сокращать в дроби, а что нельзя?
Чему равно $a^{2}$ при $a < 0$ ?
Почему после сокращения ОДЗ записывают отдельно?

Домашнее задание

Разложите $a^{3} + 2 a^{2} - a - 2$
Упростите $(\frac{a}{a - 1} - \frac{a + 1}{a}) \cdot \frac{a ^{2} - a}{3}$
Найдите $(3 - 2)^{2} + 3$
Тренажёр: reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_index.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-113 · Обобщение и систематизация: алгебраические выражения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 11/34 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 (алгебраические выражения: преобразование, допустимые значения; моделирование формулами) → 2–21 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 8, 11, 14) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 7, 9, 10, 12, 13, 15–21)
Результаты	ПР-6 (дробно-рациональные выражения как основа дробно-рациональных уравнений) → 6–10, 15, 16, 20 · ПР-1 (степени и корни) → 11, 12, 17, 18 · ПР-3 (сравнение, оценка: знак под модулем) → 12, 14, 18 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	графики дробно-рациональных функций с выколотыми точками (ОГЭ 22) — повторение функций на следующих уроках R06; текстовые задачи — ALG9U-108–112
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Алгебраическиевыражения:преобразования и ОДЗ

Сегодня вы повторите и научитесь

Раскладывать на множители

Находить допустимые значения

Преобразовывать дроби

Упрощать с корнями и степенями

Формулы и дроби — быстро

Семь формул — читаем слева направо и справа налево

Разложите на множители

Образец

Сам

ОДЗ — значения переменной, при которых выражение имеет смысл

При каких x выражение имеет смысл?

Образец

Сам

Сначала разложить, потом сокращать

Сократите дробь

Образец

Сам

Упростите выражение

Образец

Сам

Свойства, которые нужны в каждом варианте ОГЭ

Корни

Степени с целым показателем

Найдите значение выражения

Образец

Сам

Найдите значение выражения

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Сократили слагаемые

Забыли модуль

Потеряли ОДЗ

Ученик упростил два выражения. Где ошибки?

Задача 1. Сократите дробь

Задача 2. Упростите

Разложите, сократите, упростите

Приёмы, которые пригодятся в части 2

Выражения в части 2 — с полным оформлением

Сопротивление двух резисторов: R=R1​+R2​R1​R2​​ (Ом)

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-113 · Обобщение и систематизация: алгебраические выражения

Алгебраические
выражения:
преобразования и ОДЗ

При каких $x$ выражение имеет смысл?

Сопротивление двух резисторов: $R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ (Ом)