Повторение · урок 10 из 34 · обобщение

Повторение:
алгебраические дроби
и допустимые значения

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-112

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 10/34, единица R06.1 — блок «Алгебраические выражения (преобразование алгебраических выражений, допустимые значения)». Тип урока — О (обобщение). Прошлый урок ALG9U-111 — повторение по R06.1; следующий ALG9U-113 — продолжение повторения.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (допустимые значения) 2 · 6 (разложение на множители) 3 · 8 (действия с дробями) 3 · 12 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 11) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка база (сл. 14) 2 · повышенный (сл. 15) 2 · ОГЭ (сл. 16) 2 · задача из жизни (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 5 · итог (сл. 19) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 15 и задание 3 сл. 17 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Находить допустимые значения

для дробей и корней, записывать их промежутками (ПР-2, ПР-18)

Раскладывать и сокращать

формулы сокращённого умножения, группировка, $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ (ПР-5)

Выполнять действия с дробями

общий знаменатель, умножение и деление, значение по условию (R06.1)

Решать задачи ОГЭ 20 и 22

не терять допустимые значения в уравнении и на графике (ПР-6, ПР-17)

1 мин · теория
Вид деятельности ФРП по строке R06 (дословно): «преобразовывать целые, дробно-рациональные выражения и выражения с корнями, реализовывать разложение многочлена на множители, в том числе с использованием формул разности квадратов, суммы и разности кубов, квадрата суммы и разности…; находить допустимые значения переменных для дробно-рациональных выражений, корней».
ПР-2: «Использовать понятие множества действительных чисел при решении задач…» (допустимые значения — числовое множество). ПР-5: «Раскладывать квадратный трехчлен на линейные множители». ПР-6: «…дробно-рациональные уравнения». ПР-17, ПР-18: функция, область определения, график.

разминка · 8 кл.

Разминка · устно

Множители, дроби, допустимые значения

x^{2} - 9

разложите

(x - 3) (x + 3)

a^{3} - 8

разложите

(a - 2) (a^{2} + 2 a + 4)

\frac{1}{x - 5}

где не имеет смысла?

x = 5

x + 2

допустимые

x

x \geq - 2

\frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x - 2}

сократите

x - 2

\frac{a}{b} = 3

\frac{a + b}{b} = ?

4

\frac{2}{x} + \frac{3}{x}

упростите

\frac{5}{x}

\frac{x}{3} : \frac{x}{6}

упростите

2

R06.1

Сводка · допустимые значения

Допустимые значения — те, при которых выражение имеет смысл

$\frac{A}{B}$ : $B \neq = 0$

$A$ : $A \geq 0$

$\frac{A}{B}$ : $B > 0$

Условия всех частей выражения выполняются одновременно — пересечение

\frac{x + 3}{x ^{2} - 1}

[- 3; - 1) \cup (- 1; 1) \cup (1; + \infty)

R06.1

Образец → сам · допустимые значения

Найдите допустимые значения переменной

Образец

$\frac{6 - x}{x ^{2} - 5 x + 4}$

$6 - x \geq 0, x \leq 6$ корень

$x^{2} - 5 x + 4 \neq = 0$ знаменатель

$x \neq = 1, x \neq = 4$ $a + b + c = 0$ , Виета

$(- \infty; 1) \cup (1; 4) \cup (4; 6]$

Сам

база $\frac{3 x}{x ^{2} - 9}$ $x \neq = \pm 3$
база $x + 4 + \frac{1}{x}$ $[- 4; 0) \cup (0; + \infty)$
повыш. $\frac{1}{x ^{2} - x - 6}$ $(- \infty; - 2) \cup (3; + \infty)$

R06.1

Сводка · разложение на множители

Сократить можно только множители — сначала разложите

Способ	Формула	Пример
общий множитель	$ab + a c = a (b + c)$	$6 x^{3} - 9 x^{2} = 3 x^{2} (2 x - 3)$
разность квадратов	$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$	$a^{2} - 4 b^{2} = (a - 2 b) (a + 2 b)$
квадрат суммы/разности	$a^{2} \pm 2 ab + b^{2} = (a \pm b)^{2}$	$x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$
сумма/разность кубов	$a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})$	$27 x^{3} + 1 = (3 x + 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)$
группировка	по парам, общий множитель	$x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18 = (x - 2) (x^{2} - 9)$
квадратный трёхчлен	$a (x - x_{1}) (x - x_{2})$	$2 x^{2} - 5 x - 3 = (x - 3) (2 x + 1)$

R06.1 · ПР-5

Образец → сам · сокращение дробей

Сократите дробь

Образец

$\frac{2 x ^{2} - 5 x - 3}{x ^{2} - 9}$

$2 x^{2} - 5 x - 3 = (x - 3) (2 x + 1)$ трёхчлен

$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ разность квадратов

$= \frac{2 x + 1}{x + 3}$ при $x \neq = \pm 3$

Сам

база $\frac{a ^{2} - 4 ab + 4 b ^{2}}{a ^{2} - 4 b ^{2}}$ $\frac{a - 2 b}{a + 2 b}$
база $\frac{x ^{3} - 8}{x ^{2} + 2 x + 4}$ $x - 2$
повыш. $\frac{x ^{3} - 2 x ^{2} - 9 x + 18}{x ^{2} - 5 x + 6}$ $x + 3$

R06.1

Сводка · действия с дробями

Правила те же, что для обыкновенных дробей

\frac{a}{b} \pm \frac{c}{b} = \frac{a \pm c}{b}

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}, \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a d}{b c}

Минус перед дробью меняет знак каждого члена числителя

План сложения дробей

Разложить знаменатели на множители
Общий знаменатель — все множители, без повторов
Дополнительные множители, привести подобные
Разложить числитель и сократить
Допустимые значения — как у исходного выражения

R06.1

Образец → сам · сложение и вычитание

Упростите выражение

Образец

$\frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x ^{2} - 4}$

$x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ общий знаменатель

$= \frac{x + 2 - 4}{( x - 2 ) ( x + 2 )}$ доп. множитель $x + 2$

$= \frac{x - 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{x + 2}$ сократили

Сам

база $\frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - a}$ $1$
база $\frac{2}{x ^{2} - x} - \frac{2}{x ^{2} + x}$ $\frac{4}{x ( x - 1 ) ( x + 1 )}$
повыш. $\frac{1}{x ^{2} + 3 x + 2} + \frac{1}{x ^{2} + 5 x + 6}$ $\frac{2}{( x + 1 ) ( x + 3 )}$

R06.1

Образец → сам · значение выражения

Сначала упростите — потом подставляйте

Образец

$(\frac{x}{x - 3} - \frac{x}{x + 3}) : \frac{6 x}{x ^{2} - 9}$ при $x = 2026$

$\frac{x ( x + 3 ) - x ( x - 3 )}{x ^{2} - 9} = \frac{6 x}{x ^{2} - 9}$ скобка

$\frac{6 x}{x ^{2} - 9} \cdot \frac{x ^{2} - 9}{6 x} = 1$ деление

$2026$ — допустимое: ответ $1$ $x \neq = 0, \pm 3$

Сам

база $\frac{a ^{2} - 25}{a} \cdot \frac{3 a}{a + 5}$ при $a = - 1, 5$ $- 19, 5$
повыш. $\frac{x}{y} = 3$ . Найдите $\frac{2 x ^{2} - x y}{x ^{2} + y ^{2}}$ $1, 5$
повыш. $x + \frac{1}{x} = 3$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ $7$

R06.1 · ПР-17 · линия 22

Образец → сам · график с выколотой точкой

График дроби: не теряйте выколотую точку

Образец

$y = \frac{x ^{2} - x - 6}{x - 3}$ . При каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет общих точек с графиком?

$y = \frac{( x - 3 ) ( x + 2 )}{x - 3} = x + 2$ $x \neq = 3$

выколота точка $(3; 5)$

$k = 1$ параллельна

$5 = 3 k, k = \frac{5}{3}$ через $(3; 5)$

Сам

база $y = \frac{x ^{2} - 1}{x + 1}$ : при каких $m$ прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком? $m = - 2$
повыш. $y = \frac{x ^{3} - x ^{2}}{x - 1}$ : при каких $m$ прямая $y = m$ имеет ровно одну общую точку с графиком? $m = 0$ или $m = 1$

3 мин · практика
Образец: числитель x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2); график — прямая y = x + 2 без точки (3; 5). Прямая y = kx не имеет общих точек, если она параллельна графику (k = 1) или проходит через выколотую точку (k = 5/3). Проверка: kx = x + 2 ⇒ x = 2/(k − 1); нет решения при k = 1; решение x = 3 (недопустимое) при k = 5/3. Ответ: k = 1; k = 5/3.
1) y = x − 1, x ≠ −1, выколота (−1; −2): m = −2.
2) y = x²(x − 1)/(x − 1) = x², x ≠ 1, выколота (1; 1). Ровно одна точка: m = 0 (вершина) и m = 1 (из точек ±1 осталась только −1). Ответ: 0; 1.
Чертёж точный: 34 px на единицу, начало координат (166; 292).

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Сократили слагаемые

$\frac{x ^{2} + 5}{x + 5} = x$

дробь не сокращается

сокращают только общие множители числителя и знаменателя

Минус перед дробью

$\frac{x}{x - 1} - \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - x + 1}{x - 1}$

$\frac{x - x - 1}{x - 1} = - \frac{1}{x - 1}$

минус относится ко всему числителю

Потеряли ограничение

$\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x + 2$ при всех $x$

только при $x \neq = 2$

на графике — выколотая точка $(2; 4)$

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Упростите

$\frac{3}{a - 3} - \frac{a + 3}{a ^{2} - 9}$

$= \frac{3 ( a + 3 ) - a + 3}{a ^{2} - 9} = \frac{2 a + 12}{a ^{2} - 9}$

Ошибка: $- (a + 3) = - a - 3$

$\frac{2 a + 6}{( a - 3 ) ( a + 3 )} = \frac{2}{a - 3}$

Задача 2. Значение при $x = - 3$

$\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 3 x} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ( x + 3 )} = \frac{x - 3}{x}$

$= \frac{- 6}{- 3} = 2$

Ошибка: при $x = - 3$ знаменатель $x^{2} + 3 x = 0$

Выражение не имеет смысла

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Сократите, упростите, найдите допустимые значения

$\frac{5 x - 15}{x ^{2} - 9}$ $\frac{5}{x + 3}$
$\frac{x ^{2} - 7 x + 12}{x - 4}$ $x - 3$
$\frac{3}{x} + \frac{2}{x + 1}$ $\frac{5 x + 3}{x ( x + 1 )}$

$\frac{a ^{2} - b ^{2}}{ab} \cdot \frac{b}{a + b}$ $\frac{a - b}{a}$
$\frac{4}{a ^{2} - 4} : \frac{2}{a + 2}$ $\frac{2}{a - 2}$
Допустимые значения $\frac{x}{x ^{2} - 4 x}$ $x \neq = 0; 4$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Условие, разложение, «телескоп»

повыш. $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$ . Найдите $\frac{3 a + b}{a - b}$ $- \frac{11}{3}$
повыш. $x - \frac{1}{x} = 2$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ $6$
повыш.Сократите $\frac{x ^{4} - 16}{x ^{3} + 2 x ^{2} + 4 x + 8}$ $x - 2$
повыш. $\frac{1}{x ( x + 1 )} + \frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} + \frac{1}{( x + 2 ) ( x + 3 )}$ $\frac{3}{x ( x + 3 )}$
повыш.Допустимые значения $\frac{4 - x ^{2}}{x ^{2} - x}$ $[- 2; 0) \cup (0; 1) \cup (1; 2]$

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Сократите, упростите, решите — с полной записью

Сократите дробь $\frac{4 5 ^{n}}{3 ^{2 n - 1} \cdot 5 ^{n - 2}}$ $75$
$\frac{a ^{2} - 4}{a ^{2} + 4 a + 4} \cdot \frac{a + 2}{a ^{2} - 2 a}$ при $a = - 0, 25$ $- 4$
Решите уравнение $\frac{x ^{2} - x - 6}{x - 3} = 2 x - 1$ корней нет

1:

4 5^{n} = 3^{2 n} \cdot 5^{n}

2: разложите всё, ответ

\frac{1}{a}

3: найденный корень проверьте:

x \neq = 3

R06.1 · ПР-16

Задача из жизни · средняя скорость

Туда со скоростью $v_{1}$ , обратно — $v_{2}$ . Средняя скорость?

практикаУпростите $v_{ср} = \frac{2 s}{\frac{s}{v _{1}} + \frac{s}{v _{2}}}$ $\frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}}$
практика $v_{1} = 60$ км/ч, $v_{2} = 90$ км/ч $72$ км/ч
повыш.Туда $40$ км/ч. С какой скоростью ехать обратно, чтобы средняя была $60$ км/ч? $120$ км/ч

R06.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаСократите $\frac{x ^{2} - 25}{x ^{2} + 5 x}$ $\frac{x - 5}{x}$
база $\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x ^{2} - 1}$ $\frac{1}{x + 1}$
базаДопустимые значения $\frac{x + 3}{x - 2}$ $[- 3; 2) \cup (2; + \infty)$
повыш. $x + \frac{1}{x} = 4$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ $14$

Вариант 2

базаСократите $\frac{x ^{2} - 36}{x ^{2} - 6 x}$ $\frac{x + 6}{x}$
база $\frac{1}{x + 2} + \frac{4}{x ^{2} - 4}$ $\frac{1}{x - 2}$
базаДопустимые значения $\frac{5 - x}{x + 1}$ $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 5]$
повыш. $x - \frac{1}{x} = 3$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ $11$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что можно сокращать в дроби?
Откуда берутся допустимые значения — из исходного выражения или из ответа?
Что такое выколотая точка на графике?

Домашнее задание

Упростите $(\frac{a}{a - 2} - \frac{a}{a + 2}) \cdot \frac{a ^{2} - 4}{a}$
$y = \frac{x ^{2} - 9}{x + 3}$ : при каких $m$ прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком?
$\frac{a}{b} = 4$ . Найдите $\frac{a ^{2} - b ^{2}}{ab}$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_drobi.htm

1 мин · практика
Ответы ДЗ: 1) (a(a + 2) − a(a − 2))/(a² − 4) · (a² − 4)/a = 4a/a = 4 (a ≠ 0, ±2). 2) y = x − 3, x ≠ −3, выколота (−3; −6): m = −6. 3) (16 − 1)/4 = 15/4 (разделить на b²).
Тренажёр «Алгебраические дроби» 8 класса (углублённый) — точнее по теме, чем общий раздел 9 класса; можно добавить reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_index.htm.
Следующий урок ALG9U-113 — продолжение повторения по R06.1. Сегодняшние разложения и допустимые значения понадобятся в дробно-рациональных уравнениях и функциях.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-112 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 10/34 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 (алгебраические выражения: преобразование, допустимые значения; функции: графики) → 2–19 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 8, 12) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 7, 9–11, 13–19)
Результаты	ПР-2 (множество действительных чисел) → 4, 5, 14, 15, 18 · ПР-5 (разложение трёхчлена) → 6, 7, 9 · ПР-6 (дробно-рациональные уравнения) → 16 · ПР-17, ПР-18 (функция, график, область определения) → 11, 19 · ПР-16 (модель ситуации) → 17 · кодификатора у курса нет
Вне урока	числа, проценты, текстовые задачи — ALG9U-103, ALG9U-104 и следующие уроки R06; дробно-рациональные уравнения и функции — следующие уроки повторения
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:алгебраические дробии допустимые значения

Сегодня вы повторите и научитесь

Находить допустимые значения

Раскладывать и сокращать

Выполнять действия с дробями

Решать задачи ОГЭ 20 и 22

Множители, дроби, допустимые значения

Допустимые значения — те, при которых выражение имеет смысл

Найдите допустимые значения переменной

Образец

Сам

Сократить можно только множители — сначала разложите

Сократите дробь

Образец

Сам

Правила те же, что для обыкновенных дробей

План сложения дробей

Упростите выражение

Образец

Сам

Сначала упростите — потом подставляйте

Образец

Сам

График дроби: не теряйте выколотую точку

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Сократили слагаемые

Минус перед дробью

Потеряли ограничение

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

Задача 1. Упростите

Задача 2. Значение при x=−3

Сократите, упростите, найдите допустимые значения

Условие, разложение, «телескоп»

Сократите, упростите, решите — с полной записью

Туда со скоростью v1​, обратно — v2​. Средняя скорость?

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-112 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Повторение:
алгебраические дроби
и допустимые значения

Задача 2. Значение при $x = - 3$

Туда со скоростью $v_{1}$ , обратно — $v_{2}$ . Средняя скорость?