Повторение · урок 9 из 34 · обобщение

Повторение:
рациональные
выражения и тождества

Алгебра · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG9U-111

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Паспорт: R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (34 ч), урок 9/34, единица R06.1 — блок «Алгебраические выражения (преобразование алгебраических выражений, допустимые значения)» и «Функции» (график дробной функции с выколотыми точками). Тип урока — О (обобщение). Прошлый урок ALG9U-110 — предыдущий урок повторения; следующий ALG9U-112 — продолжение повторения.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: разложение на множители) 2 · 6 (допустимые значения, сокращение) 2 · 8 (сложение дробей) 2 · 11 (значение при условии) 2 · 13 (типичные ошибки) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 12) 3 + 3 + 2 + 2 + 2 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка база (сл. 15) 2 · повышенный (сл. 16) 2 · ОГЭ 20 (сл. 17) 3 · ОГЭ 22 (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 5 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 16 и задание 3 сл. 19 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Раскладывать на множители

группировка, формулы сокращённого умножения, квадратный трёхчлен (ПР-5)

Сокращать и помнить ОДЗ

находить допустимые значения и не терять их после сокращения (ПР-4, ПР-5)

Упрощать выражения

действия с дробями, доказательство тождеств — линия 20 ОГЭ

Дробь и график

значение при условии, график с выколотыми точками — линия 22 (ПР-17)

1 мин · теория
ПР-4 (ФРП дословно): «Оперировать понятием квадратного трехчлена, находить корни квадратного трехчлена». ПР-5: «Раскладывать квадратный трехчлен на линейные множители». ПР-17: «Оперировать понятиями: зависимость, функция, график функции, прямая пропорциональность, линейная функция, обратная пропорциональность, парабола, гипербола, кусочно-заданная функция».
Вид деятельности ФРП по строке: «…преобразовывать целые, дробно-рациональные выражения и выражения с корнями, реализовывать разложение многочлена на множители, в том числе с использованием формул разности квадратов, суммы и разности кубов, квадрата суммы и разности…; находить допустимые значения переменных для дробно-рациональных выражений».

разминка · R06.1

Разминка · устно

Множители, ОДЗ, сокращение

a^{2} - 9

на множители

(a - 3) (a + 3)

x^{2} - 6 x + 9

на множители

(x - 3)^{2}

a^{3} - 8

на множители

(a - 2) (a^{2} + 2 a + 4)

x^{2} - 5 x + 6

на множители

(x - 2) (x - 3)

\frac{5}{x - 4}

допустимые значения

x \neq = 4

\frac{12 a ^{3} b}{18 a b ^{2}}

сократите

\frac{2 a ^{2}}{3 b}

\frac{x - y}{y - x}

упростите

- 1

\frac{1}{a} + \frac{1}{b}

сложите

\frac{a + b}{ab}

2 мин · практика
Блиц по цепочке, ответ открывается по клику.
1) Разность квадратов. 2) Квадрат разности: 9 = 3², 6x = 2 · x · 3. 3) Разность кубов: (a − 2)(a² + 2a + 4); частая ошибка — «2a» со знаком минус или «(a − 2)³». 4) Корни 2 и 3 (по Виету: сумма 5, произведение 6).
5) Знаменатель не равен нулю: x ≠ 4. 6) 12 : 18 = 2 : 3, a³ : a = a², b : b² = 1/b — ответ 2a²/(3b) при a ≠ 0, b ≠ 0. 7) y − x = −(x − y), ответ −1 при x ≠ y. 8) Общий знаменатель ab.
Карточки 1–4 — ключ к сл. 4–5; 5–7 — к сл. 6–7; 8 — к сл. 8–9.

R06.1

Сводка · разложение на множители

Формулы читаем справа налево — получаем множители

Формула	Пример разложения
$a^{2} \pm 2 ab + b^{2} = (a \pm b)^{2}$	$4 x^{2} - 12 x + 9 = (2 x - 3)^{2}$
$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$	$x^{4} - 16 = (x^{2} + 4) (x - 2) (x + 2)$
$a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})$	$x^{3} + 27 = (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$
$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$	$2 x^{2} - 7 x + 3 = (2 x - 1) (x - 3)$

Порядок: общий множитель за скобки → группировка → формула или корни трёхчлена

R06.1 · ПР-5

Образец → сам · разложение на множители

Группировка, формулы, корни трёхчлена

Образец

Разложите на множители $x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18$ .

$x^{2} (x - 2) - 9 (x - 2)$ группировка

$(x - 2) (x^{2} - 9)$ общий множитель $x - 2$

$(x - 2) (x - 3) (x + 3)$ разность квадратов

Сам

база $3 a^{2} - 12$ $3 (a - 2) (a + 2)$
база $2 x^{2} - 7 x + 3$ $(2 x - 1) (x - 3)$
повыш. $x^{3} + 27 - 3 x (x + 3)$ $(x + 3) (x - 3)^{2}$

R06.1

Сводка · допустимые значения и сокращение

Сокращаем только множители — ограничения остаются

\frac{A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{A}{B}, B \neq = 0, C \neq = 0

Допустимые значения: все, при которых каждый знаменатель

\neq = 0

\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x + 2

при

x \neq = 2

Выражения тождественно равны только на общей области допустимых значений

R06.1 · ПР-5

Образец → сам · сокращение дробей

Разложить, указать ОДЗ, сократить

Образец

Сократите дробь $\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 9}$ .

$x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ корни $2$ и $3$

$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ , $x \neq = \pm 3$

$\frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{x - 2}{x + 3}$ при $x \neq = 3$

Сам

база $\frac{a ^{2} - 4 a + 4}{a ^{2} - 4}$ $\frac{a - 2}{a + 2}$
база $\frac{3 x - 3 y}{y ^{2} - x ^{2}}$ $- \frac{3}{x + y}$
повыш. $\frac{2 x ^{2} + 5 x - 3}{x ^{3} + 27}$ $\frac{2 x - 1}{x ^{2} - 3 x + 9}$

R06.1

Сводка · сложение и вычитание дробей

Четыре шага к общему знаменателю

1

Разложить знаменатели на множители

2

Общий знаменатель: каждый множитель в наибольшей степени

3

Дополнительные множители, числители в скобках

4

Привести подобные, разложить числитель, сократить

\frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x ^{2} - 4} = \frac{( x + 2 ) - 4}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{x + 2}

R06.1

Образец → сам · сложение и вычитание

Общий знаменатель через множители

Образец

Упростите $\frac{a + 3}{a ^{2} - 3 a} - \frac{a - 3}{a ^{2} + 3 a}$ .

$a (a - 3)$ и $a (a + 3)$ общий: $a (a - 3) (a + 3)$

$\frac{( a + 3 ) ^{2} - ( a - 3 ) ^{2}}{a ( a - 3 ) ( a + 3 )}$ доп. множители

$\frac{12 a}{a ( a ^{2} - 9 )} = \frac{12}{a ^{2} - 9}$ $a \neq = 0$

Сам

база $\frac{3}{x} - \frac{2}{x + 1}$ $\frac{x + 3}{x ( x + 1 )}$
база $\frac{x}{x - y} + \frac{y}{y - x}$ $1$
повыш. $\frac{1}{a - 1} - \frac{a + 1}{a ^{2} + a + 1}$ $\frac{a + 2}{a ^{3} - 1}$

R06.1

Образец → сам · тождество

Несколько действий: значение не зависит от переменных

Образец

Докажите, что при допустимых $a, b$ значение $(\frac{a}{a - b} - \frac{a}{a + b}) \cdot \frac{a ^{2} - b ^{2}}{ab}$ равно $2$ .

$\frac{a ( a + b ) - a ( a - b )}{a ^{2} - b ^{2}} = \frac{2 ab}{a ^{2} - b ^{2}}$ скобка

$\frac{2 ab}{a ^{2} - b ^{2}} \cdot \frac{a ^{2} - b ^{2}}{ab} = 2$ сократили

Сам

база $\frac{x ^{2} - 1}{x} : \frac{x + 1}{x ^{2}}$ $x (x - 1)$
повыш. $(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}) : \frac{2 x}{x ^{2} - 1}$ $1$
повыш. $\frac{a ^{2} + ab}{b} \cdot (\frac{a}{a + b} - \frac{a - b}{a})$ $b$

R06.1

Сводка · значение выражения при условии

Не ищите переменную — выразите через известное

Сначала упростить

сократить дробь, потом подставить число

$\frac{a ^{2} - 9}{a ^{2} + 3 a} = \frac{a - 3}{a}$

Возвести в квадрат

$x + \frac{1}{x} = t$

$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2$

Разделить на $b^{n}$

если $\frac{a}{b} = k$ и все члены степени $n$

$\frac{a ^{2} + b ^{2}}{ab} = \frac{k ^{2} + 1}{k}$

R06.1

Образец → сам · значение при условии

Однородная дробь и сумма $x + \frac{1}{x}$

Образец

Известно, что $\frac{a}{b} = 3$ . Найдите $\frac{2 a ^{2} - ab}{a ^{2} + b ^{2}}$ .

$\frac{2 k ^{2} - k}{k ^{2} + 1}$ разделили на $b^{2}$ , $k = \frac{a}{b}$

$\frac{18 - 3}{9 + 1} = \frac{15}{10}$ $k = 3$

$= 1, 5$

Сам

база $x + \frac{1}{x} = 4$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ . $14$
база $\frac{a ^{2} - 9}{a ^{2} + 3 a}$ при $a = - 0, 5$ $7$
повыш. $x - \frac{1}{x} = 3$ . Найдите $x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}$ . $119$

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Три ошибки, которые стоят баллов

Сократили слагаемые

$\frac{x + 3}{x + 5} = \frac{3}{5}$

сокращать можно только множители

при $x = 1$ : $\frac{4}{6} \neq = \frac{3}{5}$

Забыли ОДЗ

$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1$ , «при $x = 1$ значение $2$ »

при $x = 1$ выражение не имеет смысла

ограничение $x \neq = 1$ остаётся

Минус перед дробью

$\frac{a - ( a + b )}{a - b} = \frac{b}{a - b}$

$\frac{a - a - b}{a - b} = - \frac{b}{a - b}$

минус меняет знак всего числителя

R06.1

Найди ошибку

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Упростите $\frac{x}{x - 2} - \frac{x + 6}{x ^{2} - 4}$

$= \frac{x ( x + 2 ) - x + 6}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x ^{2} + x + 6}{( x - 2 ) ( x + 2 )}$

Ошибка: $- (x + 6) = - x - 6$

$\frac{x ^{2} + x - 6}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{( x + 3 ) ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x + 3}{x + 2}$

2. Найдите $\frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} - 4}$ при $x = 2$

$= \frac{( x - 2 ) ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 2}{x + 2}$

при $x = 2$ : $\frac{0}{4} = 0$

Ошибка: при $x = 2$ знаменатель равен $0$

Выражение не имеет смысла

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Сократите, выполните действия, найдите ОДЗ

$\frac{5 a - 10}{a ^{2} - 4}$ $\frac{5}{a + 2}$
$\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{3 x - 9}$ $\frac{x - 3}{3}$
$\frac{2}{x} + \frac{3}{x ^{2}}$ $\frac{2 x + 3}{x ^{2}}$

$\frac{a}{a - 5} - \frac{5}{a - 5}$ $1$
$\frac{x ^{2} - 16}{x} \cdot \frac{2 x}{x + 4}$ $2 (x - 4)$
ОДЗ дроби $\frac{x + 1}{x ^{2} - 5 x}$ $x \neq = 0; 5$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Кубы, трёхчлены, условие, тождество

повыш.Сократите $\frac{x ^{3} - 8}{x ^{2} - 4}$ $\frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x + 2}$
повыш.Упростите $\frac{2}{a ^{2} - 1} - \frac{1}{a ^{2} - a}$ $\frac{1}{a ( a + 1 )}$
повыш.Сократите $\frac{3 x ^{2} - 2 x - 1}{x ^{2} - 1}$ $\frac{3 x + 1}{x + 1}$

повыш. $\frac{a}{b} = 2$ . Найдите $\frac{a ^{2} - 3 b ^{2}}{ab}$ $0, 5$
повыш.Докажите: $\frac{a ^{2}}{a - b} + \frac{b ^{2}}{b - a} - b = a$ $\frac{a ^{2} - b ^{2}}{a - b} - b = a$

R06.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Упростить и найти значение — с полным оформлением

Упростите выражение $(\frac{x}{x - 3} - \frac{x + 3}{x}) : \frac{x + 9}{x ^{2} - 3 x}$ и найдите его значение при $x = 9$ .

ОДЗ: $x \neq = 0, x \neq = 3, x \neq = - 9$

$\frac{x ^{2} - ( x + 3 ) ( x - 3 )}{x ( x - 3 )} = \frac{9}{x ( x - 3 )}$

$\frac{9}{x ( x - 3 )} \cdot \frac{x ( x - 3 )}{x + 9} = \frac{9}{x + 9}$

$x = 9$ : $\frac{9}{18} = 0, 5$ . Ответ: $0, 5$

Сам:

(\frac{a}{a + 2} - \frac{a - 2}{a}) \cdot \frac{a ^{2} + 2 a}{4}

1

R06.1 · формат ОГЭ · ПР-17

Формат ОГЭ · линия 22

График дроби: парабола с выколотыми точками

Постройте график $y = \frac{x ^{4} - 13 x ^{2} + 36}{( x - 3 ) ( x + 2 )}$ . При каких $c$ прямая $y = c$ имеет с ним ровно одну общую точку?

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = (x - 2) (x + 2) (x - 3) (x + 3)$

$y = (x - 2) (x + 3) = x^{2} + x - 6$ , $x \neq = 3, x \neq = - 2$

выколоты $(3; 6)$ и $(- 2; - 4)$ , вершина $(- 0, 5; - 6, 25)$

Ответ: $c = - 6, 25; c = - 4; c = 6$

2 мин · практика
Числитель — биквадратный трёхчлен: t = x², t² − 13t + 36 = (t − 4)(t − 9). ОДЗ x ≠ 3, x ≠ −2; после сокращения y = x² + x − 6.
Выколотые точки: y(3) = 9 + 3 − 6 = 6; y(−2) = 4 − 2 − 6 = −4. Вершина x = −1/2, y = 1/4 − 1/2 − 6 = −6,25.
Ровно одна общая точка: c = −6,25 (касание в вершине); c = 6 (вторая точка x = −4, первая x = 3 выколота); c = −4 (x = 1, вторая x = −2 выколота). Проверка: x² + x − 12 = 0 → 3 и −4; x² + x − 2 = 0 → 1 и −2.
Масштаб чертежа по осям разный: 1 по x — 60 px, 1 по y — 24 px (клетка по y = 2). Оформление на ОГЭ — 2 балла: ОДЗ, сокращение, график с выколотыми точками, обоснование значений c.

R06.1 · ПР-16

Задача из жизни · средняя скорость

Туда со скоростью $v_{1}$ , обратно — $v_{2}$ . Какова средняя скорость?

v = \frac{2 S}{\frac{S}{v _{1}} + \frac{S}{v _{2}}}

= \frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}}

практика $v_{1} = 12$ км/ч, $v_{2} = 18$ км/ч. Найдите $v$ . $14, 4$ км/ч
повыш.Туда $20$ км/ч. С какой скоростью ехать обратно, чтобы $v = 24$ км/ч? $30$ км/ч

повыш.Докажите, что $v \leq \frac{v _{1} + v _{2}}{2}$

$\frac{v _{1} + v _{2}}{2} - \frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}} = \frac{( v _{1} - v _{2} ) ^{2}}{2 ( v _{1} + v _{2} )} \geq 0$

Средняя скорость — не среднее арифметическое скоростей

R06.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаСократите $\frac{x ^{2} - 9}{2 x + 6}$ $\frac{x - 3}{2}$
базаУпростите $\frac{4}{a} - \frac{3}{a + 1}$ $\frac{a + 4}{a ( a + 1 )}$
база $\frac{a ^{2} - 4}{a ^{2} + 4 a + 4}$ при $a = - 3$ $5$
повыш. $x + \frac{1}{x} = 5$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ $23$

Вариант 2

базаСократите $\frac{x ^{2} - 16}{3 x - 12}$ $\frac{x + 4}{3}$
базаУпростите $\frac{5}{a} - \frac{2}{a - 1}$ $\frac{3 a - 5}{a ( a - 1 )}$
база $\frac{a ^{2} - 9}{a ^{2} - 6 a + 9}$ при $a = 1$ $- 2$
повыш. $x - \frac{1}{x} = 4$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ $18$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что можно сокращать в дроби, а что нельзя?
Зачем после сокращения записывать ограничение на $x$ ?
Как найти $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ , зная $x + \frac{1}{x}$ ?

Домашнее задание

Сократите $\frac{x ^{3} - 1}{x ^{2} - 1}$
Упростите $(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) : \frac{a - b}{ab}$
Постройте график $y = \frac{x ^{2} - 9}{x + 3}$ . При каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет с ним общих точек?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_drobi.htm

1 мин · практика
Ответы ДЗ: 1) (x − 1)(x² + x + 1)/((x − 1)(x + 1)) = (x² + x + 1)/(x + 1), x ≠ ±1. 2) (a² − b²)/(ab) · ab/(a − b) = a + b при a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ b.
3) y = x − 3, x ≠ −3, точка (−3; −6) выколота. kx = x − 3 ⇒ (k − 1)x = −3: при k = 1 решений нет (параллельна); при k ≠ 1 x = −3/(k − 1), общей точки нет, если x = −3, т. е. k = 2. Ответ: k = 1, k = 2.
Тренажёр «Рациональные дроби и тождества» (углублённый, 8 класс) — тема урока точнее общего тренажёра R06; общий — reknow.ru/9/algebra/9_algebra_adv_index.htm. Следующий урок ALG9U-112 — продолжение повторения по R06.1.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG9U-111 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R06 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 34 ч · урок 9/34 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 (алгебраические выражения: преобразования, допустимые значения; функции: построение графиков) → 2–21 · теория 12 мин (сл. 1, 2, 4, 6, 8, 11, 13) · практика 33 мин, 73 % (сл. 3, 5, 7, 9, 10, 12, 14–21)
Результаты	ПР-4, ПР-5 (квадратный трёхчлен, разложение) → 3–5, 7, 16, 18 · ПР-17 (функция, график) → 6, 18, 21 · ПР-16 (модель реальной ситуации) → 19 · кодификатора у курса нет
Вне урока	выражения с корнями и степенями — ALG9U-100–103; текстовые задачи, уравнения и функции — другие уроки R06
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Повторение:рациональныевыражения и тождества

Сегодня вы повторите и научитесь

Раскладывать на множители

Сокращать и помнить ОДЗ

Упрощать выражения

Дробь и график

Множители, ОДЗ, сокращение

Формулы читаем справа налево — получаем множители

Группировка, формулы, корни трёхчлена

Образец

Сам

Сокращаем только множители — ограничения остаются

Разложить, указать ОДЗ, сократить

Образец

Сам

Четыре шага к общему знаменателю

Общий знаменатель через множители

Образец

Сам

Несколько действий: значение не зависит от переменных

Образец

Сам

Не ищите переменную — выразите через известное

Сначала упростить

Возвести в квадрат

Разделить на bn

Однородная дробь и сумма x+x1​

Образец

Сам

Три ошибки, которые стоят баллов

Сократили слагаемые

Забыли ОДЗ

Минус перед дробью

Ученик решил две задачи. Где ошибки?

1. Упростите x−2x​−x2−4x+6​

2. Найдите x2−4x2−4x+4​ при x=2

Сократите, выполните действия, найдите ОДЗ

Кубы, трёхчлены, условие, тождество

Упростить и найти значение — с полным оформлением

График дроби: парабола с выколотыми точками

Туда со скоростью v1​, обратно — v2​. Какова средняя скорость?

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG9U-111 · Обобщение и систематизация по теме «Повторение, обобщение, систематизация знаний»

Повторение:
рациональные
выражения и тождества

Разделить на $b^{n}$

Однородная дробь и сумма $x + \frac{1}{x}$

1. Упростите $\frac{x}{x - 2} - \frac{x + 6}{x ^{2} - 4}$

2. Найдите $\frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} - 4}$ при $x = 2$

Туда со скоростью $v_{1}$ , обратно — $v_{2}$ . Какова средняя скорость?